Sistemas No Lineales y Método de Linealización Modelado Matemático de Sistemas M. en C. Rubén Velázquez Cuevas
En general los modelos que representan sistemas físicos reales mediante expresiones matemáticas son idealizaciones bajo condiciones específicas o hipótesis. Una de estas consideraciones es la propiedad de Linealidad; sin embargo, dicho comportamiento se presenta siempre dentro de un margen de operación acotado. Cuando se desea conocer el comportamiento de un sistema fuera de ese margen o el sistema simplemente no posee condiciones de linealidad, entonces lo que se obtiene es un modelo No Lineal. Como se sabe, la propiedad de linealidad satisface el principio de superposición. Es decir, que la relación matemática que existe entre las variables del dominio o argumento y la imagen satisface las condiciones de homogeneidad (o proporcionalidad) y aditividad. En otras palabras, una función es lineal si y solo si dados , constantes & , respectivamente; entonces la ecuación (1) se cumple:
=
, ∈ , ∈ ℝ + = +
= =
(1)
Lo anterior se puede visualizar en los siguientes diagramas:
∙ ∙
Para:
Si y solo si:
+
/
∙ +
Básicamente, la relación lineal salida entrada queda representada mediante la expresión matemática de la ecuación de la recta que pasa por el origen (ecuación (2)).
=
− = , ,⋯,⋮ = ∑
Cabe mencionar que la expresión se puede extender para el caso
2
(2)
dimensional (ecuación (3)).
(3)
Sin embargo, como ya se mencionó los sistemas físicos reales son localmente lineales dentro de un margen de operación y no así a nivel global. Por ejemplo, un motor de CD representado mediante un modelo lineal indicaría que la velocidad de salida se puede incrementar ilimitadamente si se incrementa el voltaje de entrada. Sin embargo, en la práctica esto no es cierto debido a que se presenta una característica de saturación que limita la velocidad máxima, así que por más que se incremente el voltaje en la entrada la velocidad no aumentará más. Evidentemente que los sistemas o funciones matemáticas que no satisfacen esta condición se conocen como no lineales. En general las características no lineales se pueden clasificar en dos tipos: Estáticas y Dinámicas.
No linealidades Estáticas Las no linealidades estáticas son aquellas que guardan una relación funcional invariante; es decir algebraica fija. Algunas de las no linealidades más representativas son las siguientes:
/
1. Saturación. Es la propiedad que define un intervalo de valores dentro de los cuales la relación salida entrada es lineal (ecuación de la recta) pero que fuera de ese intervalo es igual a una constante y por lo tanto no lineal (ver figura 1). La combinación de una relación lineal con una no lineal dará por resultado una relación total NO LINEAL.
Figura 1. Característica de saturación 2. Zona muerta . Es la propiedad no lineal que define una relación nula (igual a cero) dentro de un intervalo de valores, mientras que fuera de dicho intervalo se establece otra relación. En la figura 2 se muestra el efecto de la zona muerta (característica de acoplamientos mecánicos).
Figura 2. Característica de zona muerta 3
3. Fricción de Coulomb . Esta propiedad no lineal se conoce como la fuerza de amplitud constante a cualquier cambio de velocidad, pero si el sentido de la velocidad cambia, el signo de la fuerza de fricción también cambia. La fricción de coulomb se caracteriza mediante la función signo y también se le conoce como relevador de dos posiciones.
Figura 3. Característica de fricción de Coulomb
4. Histéresis. Es la propiedad no lineal que se compone de una característica o gráfica con dos caminos que dependen del valor actual de y de la forma en cómo llegó a dicho valor. Por ejemplo, en la figura 4 se muestra el efecto de histéresis: si está en el extremo izquierdo, cuando va de menos a más se adopta el camino de la derecha. Siempre que no llegue al otro extremo en que ambas gráficas se unen, el valor de seguirá dependiendo de dicha gráfica. Para el caso contrario en que () está en el extremo derecho, cuando va de más a menos se adopta el camino de la izquierda y se mantendrá en el siempre que no llegue al extremo de la derecha. Esto quiere decir que los puntos de cambio en ambos caminos son los extremos de la gráfica por lo que este ancho o diferencia entre ambas gráficas se conoce como histéresis. Obsérvese que cuando la histéresis es igual a cero, ambas gráficas coinciden, haciéndose una sola gráfica.
Figura 4. Característica de Histéresis
En conclusión, existen diversas combinaciones entre estas características que dan por consecuencia una no linealidad estática compuesta. En la figura 5 se muestran algunos ejemplos.
4
Figura 5. Algunas no linealidades estáticas compuestas
No linealidades Dinámicas Por otro lado, las no linealidades dinámicas se relacionan mediante ecuaciones diferenciales no lineales. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales de la (4) a la (8) son no lineales: a) b)
d
2 y (t ) + y (t ) = x (t ) dt d d y + xy + x=0 dt dt
(4) (5)
c) 2 x′′ + 3x′ − x = 0 d) a
d 2 2
dt
(6)
y + by = k sin y
(7)
e) x& = − x + 1
(8)
Si los sistemas en la realidad son no lineales, ciertamente presentan un comportamiento lineal para determinadas condiciones o bien, es posible aproximar dicho comportamiento de forma local mediante un comportamiento lineal. A éste procedimiento se le conoce como linealización. Linealizar una
! "
función significa reemplazarla por otra función lineal. Usualmente, esta linealización se realiza alrededor de un punto fijo denotado como (ver figura 6).
5
Figura 6. Explicación gráfica de la linealización Para este ejemplo, la línea continua corresponde a la función no la lineal, mientras que la línea punteada representa la función de aproximación lineal. En general el tamaño de la región donde es válida la linealización suele ser pequeño y varía según la no linealidad y el punto que se elija para aproximar dicha función. Esto quiere decir que se puede elegir más de un punto fijo que representa condiciones de operación específicas (o deseadas) alrededor de las cuales se puede establecer un sistema de control.
Punto de Equilibrio
#$
Además de los puntos fijos mencionados anteriormente, existe uno en particular llamado punto de equilibrio . Este punto tiene la característica primordial de que la función o ecuación que describe el comportamiento de un sistema evaluado en dicho punto es igual a cero (conocido también como solución del sistema) . Para el caso de los sistemas lineales este punto de equilibrio es único y para la relación salida entrada es el origen , dependiendo del número de componentes de . Sin embargo, para el caso de los sistemas no lineales los es posible que también exista un único punto de equilibrio, pero también se puede dar el caso en que existan dos o más puntos de equilibrio, un número infinito de puntos de equilibrio, o bien que no existan puntos de equilibrio.
/#$ = %
&' = & %'
Ya sea el caso de sistemas lineales o no lineales, en general existen tres tipos de puntos de equilibrio que se pueden caracterizar mediante el concepto de estabilidad . La estabilidad está relacionada con la convergencia o divergencia hacia una condición o estado de equilibrio. De ese modo, un sistema se dice estable si a partir de un estado ligeramente perturbado al estado de equilibrio el sistema converge (o tiende a regresar) a dicho estado. Un sistema se dice inestable si por el contrario diverge (o se aleja) del estado de equilibrio. Finalmente existe una tercera condición que establece que un sistema es marginalmente estable si a partir de un estado diferente al de equilibrio el sistema no diverge pero tampoco converge al estado de equilibrio, sino que la diferencia se mantiene constante. De ese modo, los diferentes puntos de equilibrio son estables, inestables, y marginalmente estables. En la figura 7 se muestra un esquema de ejemplo para cada uno de los diferentes puntos de equilibrio. 6
Figura 7. Diferentes puntos de equilibrio:
❶ inestable,
❷ estable y ❸ marginalmente estable Método de Linealización de Taylor Sea el sistema dinámico no lineal definido mediante la ecuación (9):
( = * -. " " . = ).0 -. − 3 * * " " " " " = + - − + 1 - − + 2 -3 " − "3 + ⋯ =1 " #$ " = #$ = % − " ! − " = + -- " − " = 4= ! = − "5
(9)
El comportamiento de dicha función se puede aproximar mediante la serie de Taylor siguiente:
El método de linealización por Taylor consiste en truncar la serie hasta , utilizando sólo los primeros dos términos de la serie y despreciando el resto (llamados Términos de Orden Superior). Adicionalmente, si se considera que el punto fijo es igual a un punto de equilibrio , entonces . Por lo tanto:
d dx f ( x) x = x*
f ( x*)
Definiendo:
d dx f ( x) ; x = x*
La aproximación lineal se define en (10) como: x& = f ( x ) = α x
Nota: La aproximación lineal puede hacerse en un punto considera que las condiciones iniciales no son cero.
7
6" 7 #$ 8 6" 7 % tal que
(!" , en cuyo caso se
Para este caso es posible hacer la aproximación lineal con condiciones iniciales igual a cero y posteriormente, extrapolar los resultados obtenidos hacia las condiciones iniciales (lo que significa simplemente un desplazamiento de los ejes). Es decir, si las condiciones iniciales se definen como , entonces se tiene la ecuación (11):
0 = "
x& − x0 = α x
(11)
Donde en el lado derecho de la ecuación se sigue manteniendo una expresión lineal
Linealización general para el modelo matemático no lineal de un sistema El caso anterior podría referirse a un sistema autónomo; es decir, que no tiene entrada. Sin embargo, en los sistemas de control, los modelos de los sistemas disponen regularmente de una variable de entrada que permita interactuar y hacer control sobre el sistema. Por lo tanto, es posible calcular la aproximación lineal alrededor del punto para dos casos particulares:
9
", 9"
1. Para el caso unidimensional , se tiene que la expresión no lineal está dada por (12) x& = f ( x, u )
(12)
De donde se sabe entonces que su serie de Taylor es:
,9 = ", 9"+ :: ", 9" −" + :9: ", 9"9 − 9"+ ;< <>< ! = −"59? = 9 − 9" ∂ ∂ ; b= ; f ( x, u ) f ( x, u ) ∂ x ( x*,u *) ∂u ( x*,u *)
Definiendo: a =
Se tiene entonces que la aproximación lineal respecto a las variables linealizadas x& = ax + bu
Lo anterior es cierto para
", 9" = 0 = %
6?,@?
es: (13)
; de lo contrario se tiene que: x& − x0 = ax + bu
2. Para el caso multivariable, se tiene que x = [ x1
x2
L
T
xn ] ; u = [u1
u2
L
T
ur ] y la
expresión no lineal es:
A
f1 ( x1 , L xn , u1 , L ur ) f ( x , L x , u , L u ) n r 2 1 1 x& = f (x, u ) = M L L ( , , , ) f x x u u 1 1 n r n
(14)
Donde x y u tiene y componentes respectivamente. Por lo tanto, la aproximación lineal de
B C = ",⋯,",9",⋯,9D"
Taylor alrededor del estado estacionario x*, u *
8
está dada por:
f ( x, u ) = f ( x*, u *) +
∂ ∂x
f ( x*, u *) (x − x*) +
∂ ∂u
f ( x*, u *) (u − u*) + T .O .S .
Entonces, para f ( x*, u *) = 0; x = ( x − x*); u = (u − u*) y omitiendo los términos de orden superior, se tiene:
x& = f ( x, u ) =
∂ ∂ x f1 ( x*, u*) 1 x&1 & ∂ f (x*, u*) x2 = ∂ x1 2 M M & x n ∂ f (x*, u*) ∂ x1 n
∂ ∂x2 ∂ ∂x2
f1 (x*, u*) L f 2 (x*, u*) L M
∂ ∂x2
O
f n (x*, u*) L
∂ ∂x
f ( x*, u *) x +
∂ ∂u
f ( x*, u *) u
∂ ∂u f 1 ( x*, u*) f 1 (x*, u*) 1 ∂xn x1 ∂ f 2 (x*, u*) ∂ f 2 (x*, u*) x2 ∂u1 ∂xn M + M M xn ∂ ∂ f n (x*, u*) f n (x*, u*) ∂xn ∂ u 1 ∂
(15)
L
L
O
L
∂ ∂ur
f 1 (x*, u*)
f 2 (x*, u*) u1 ∂ur M M ur ∂ f n (x*, u*) ∂ur ∂
Donde:
x& = x&1
x&2
T
x&n ; x = [ x1
L
x2
L
T
xn ] ; u = [u1
L
T
ur ]
Finalmente, definiendo:
∂ ∂ x f1 (x*, u*) 1 ∂ f 2 (x*, u*) A = ∂ x1 M ∂ f (x*, u*) ∂ x1 n
∂ ∂x2 ∂ ∂x2
f1 ( x*, u*)
f 2 ( x*, u*) L M
∂ ∂x2
L
O
f n ( x*, u*) L
∂ ∂u f1 (x*, u*) f 1 ( x*, u*) 1 ∂xn ∂ ∂ ∂u f 2 (x*, u*) f 2 ( x*, u*) 1 ∂xn ;B = M M ∂ ∂ f n ( x*, u*) f n (x*, u*) ∂xn u ∂ 1 ∂
L
L
O
L
∂ ∂ur
f 1 ( x*, u*)
f 2 ( x*, u*) ∂ur ; M ∂ f n ( x*, u*) ∂ur ∂
B C
Se tiene que la aproximación lineal del sistema multivariable alrededor de x*, u * es:
x& = Ax + Bu
(16)
Con: A ∈ Μ ( n×n) & B ∈ Μ ( n×r ) Nota: para el caso en que las condiciones iniciales son diferentes de cero, se tiene entonces:
x& − x 0 = Ax + Bu , donde x 0 = f (x*, u*) ≠ 0
9
EJEMPLOS RESUELTOS Ejemplo 1. Determinar el modelo linealizado para el sistema autónomo descrito por la ecuación diferencial no lineal:
Alrededor del punto
Solución:
( = 1EF G " = 1H = %,*,1,2,I ; donde
Para la linealización, se toma en cuenta que:
" = 1EFG = 1EFG H = % 4 = -- KL" = 1MNEOL" = 1 "
Por lo tanto, la expresión linealizada alrededor de Donde
! = − "5
es: x& = 2 x
es la variable linealizada.
P", Q" = 1H,%5 = %,*,1,2,I
Ejemplo 2. Obtener la linealización por el método de Taylor para el péndulo simple de la figura 8, alrededor del punto de equilibrio con
Figura 8. Sistema de péndulo simple
Solución: La ecuación de equilibrio del sistema está dada por la ecuación diferencial (no lineal) siguiente:
RQ S+ Q (+ RUT EFG Q = % 10
Definiendo:
= Q5 = Q (
se reescribe la ecuación del sistema como: x2 x&1 f1 ( x1 , x2 ) = = b x& g 2 − sin x1 − x2 f 2 ( x1 , x2 ) m l
Calculando la matriz Jacobiana y evaluando para
∂ ∂ x f1 ( x1 , x2 ) 1 A = ∂ ∂ x f 2 ( x1 , x2 ) 1
∂ ∂x2
P",Q" = "," = 1H,%
se tiene:
f1 ( x1 , x2 )
∂ f2 ( x1 , x2 ) ∂x2 ( x *, x *) 1
0 = g − cos x1 l
1
− m ( 2 nπ ,0 ) b
2
Por lo tanto, el modelo linealizado del péndulo simple alrededor del punto
0 x&1 & = g x2 − l
1
0 = g − l
En el punto de equilibrio
Solución:
#$,9#$ = V,*
x1 b − x2 m
x = u2 +1
Reacomodando la ecuación diferencial se tiene que:
( = −W + 9 + * = , 9
Debido a que
2 f ( x , u ) = f (4,1) = − x + u + 1 eq
eq
(4,1)
= − 4 + 1 + 1 = 0
Entonces:
d d eq eq eq eq x& = f ( x , u ) x + f ( x , u ) u dx du Por lo tanto:
11
2
− m b
", " = 1H,%
Ejemplo 3. Calcular el modelo linealizado para el sistema descrito mediante: x& +
1
es:
1 d f ( x eq , u eq ) = − 2 x x = 4 dx
a=
=−
1 4
d eq eq f ( x , u ) = 2u u =1 = 2 du
b=
Finalmente, el modelo linealizado alrededor de
#$, 9#$
x& = −
es:
1
4
x + 2u
CASOS DE ESTUDIO. Los siguientes sistemas no lineales propuestos representan características importantes que se toman en cuenta para posteriormente diseñar sistemas de control. Los algoritmos generados que se han basado en los siguientes modelos han permitido desarrollar diversas aplicaciones importantes, tales como sistemas de navegación, estabilidad de naves aéreas y marítimas, sistemas contra sismos, etc. I.
Sistema de giroscopio
En la figura 9 se muestra el esquema de un giroscopio con un grado de libertad.
Figura 9. Esquema de un giroscopio con un grado de libertad Aquí, el volante interno se monta en un Soporte móvil que a su vez se monta en el Cuerpo del giroscopio. El Soporte tiene la libertad de moverse en relación con el Cuerpo alrededor del eje de salida OB. Nótese que el ele de salida es perpendicular al eje del volante giratorio OH . El eje de entrada alrededor del cual se mide la tasa de cambio en el ángulo (es decir, la velocidad ) es perpendicular tanto al eje de salida como al eje de giro del volante.
P
12
La información de la señal de entrada se obtiene del movimiento angular resultante del Soporte en relación con el eje de salida, con respecto al Cuerpo. La figura 10 muestra un diagrama funcional del sistema del giroscopio.
Figura 10. Diagrama funcional del giroscopio de la figura 9 La ecuación de movimiento respecto al eje de salida se obtiene igualando la razón de cambio del momento angular con la suma de los pares externos: El cambio en el momento angular con respecto al eje OB tiene dos partes:
XQ S,
1. que es el cambio debido a la aceleración del soporte alrededor del eje OB 2. El cambio debido al giro del vector del momento angular del volante alrededor del eje OA es:
YZPMNEQ
−Q (
El par externo está formado por el par de amortiguamiento Por lo tanto la ecuación del sistema del giroscopio es: J θ&& − H ω cos θ = −bθ& − k θ
O bien:
= Q5 = Q (5 9 = P5 = Q5 J θ&& + bθ& + kθ = H ω cos θ
y el par del resorte
.
Definiendo las variables: ecuaciones de estado (no lineales)
−Q
*[
entonces se obtienen las
x&1 = x2 x&2 = −
k J
x1 −
b J
x2 −
H J
u cos x1
Por lo tanto el modelo del giroscopio esta dado por: x2 x&1 f1 ( x1 , x2 , u ) b H x& = f ( x , x , u ) = k 2 2 1 2 − x1 − x2 − u cos x1 J J J
13
*\
II.
Sistema de péndulo invertido
La figura 11 muestra el esquema de un péndulo invertido de dos dimensiones (debido a que solo tiene movimiento en el plano) montado sobre un carro que se maneja mediante un motor que aplica una fuerza de control .
9
Figura 11. Esquema de un péndulo invertido montado en un carro.
]
Suponiendo que el centro de gravedad de la barra del péndulo se encuentra en su centro geométrico, la distancia entre un extremo y el centro de gravedad es . Definiendo las coordenadas del centro de gravedad de la barra como se tiene que:
^,^
xG = x + l sin θ yG = l cosθ
Por lo tanto, para obtener las ecuaciones del sistema, se considera el diagrama de cuerpo libre de la figura 12. En ella se observa que el movimiento rotacional de la barra del péndulo alrededor de su centro de gravedad se describe mediante:
X Z
J θ&& = V l sin θ − H l cos θ
Donde es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad; vertical y la fuerza horizontal.
14
_
(19) describe la fuerza
Figura 12. Diagrama de cuerpo libre del péndulo invertido en la figura 11 Los movimientos horizontal y vertical de la barra del péndulo están dados respectivamente por: H = m
d 2 2
dt
( x + l sin θ )
V − mg = m
d 2 dt 2
(20)
( l cos θ )
(21)
Finalmente, el movimiento horizontal del carro se describe mediante: 2
M
d
dt 2
x = u − H
(22)
Sustituyendo (20) y (21) en (19) se obtiene:
d Jθ&& = mg + m
d 2 l l m x l − + cos sin sin θ θ θ ( ) ( ) l cos θ 2 2 dt dt 2
&& − ml sin θ ) l cosθ Jθ&& = ( mg − ml cos θ ) l sin θ − ( mx
Jθ&& = mlg sin θ − ml&& x cos θ
15
(23)
Sustituyendo (20) en (22):
d 2 M 2 x = u − m 2 ( x + l sin θ ) dt dt d2
&& = u − ( mx && − ml sin θ ) Mx
( M + m ) &&x = u + ml sin θ
S
(24)
Despejando de (24): && = x
Q S
1
( M + m )
u+
ml
( M + m)
sin θ
(25)
Despejando de (23) y sustituyendo (25) se obtiene: θ&& =
mlg J
θ&& =
mlg J
sin θ −
ml
1
J ( M + m )
u+
ml
( M + m)
sin θ cos θ
2
( ml ) u cos θ − sin θ − sin θ cos θ J ( M + m) J ( M + m) ml
(26)
Por lo tanto, (25) y (26) son las ecuaciones del péndulo invertido de la figura 11. Definiendo:
Entonces se tiene que:
= 5 = (5 3 = Q5 ` = Q ( x&2 =
x&4 =
mlg J
ml
( M + m )
sin x3 +
1
( M + m)
u
2
( ml ) u cos x3 − sin x3 − sin x3 cos x3 J ( M + m) J ( M + m) ml
Finalmente, el modelo matemático no lineal del sistema del péndulo invertido está dado por:
x2 1 x&1 f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 , u ) ml sin x + u 3 x& f x , x , x , x , u ( M + m ) M m + ( ) 2 = 2 ( 1 2 3 4 ) = x&3 f3 ( x1 , x 2 , x3 , x4 , u ) x4 2 ( ml ) ml x&4 f 4 ( x1 , x 2 , x3 , x4 , u ) mlg sin x3 − sin x3 cos x3 u cos x3 − J J ( M + m) J ( M + m) 16
(27)
III.
Sistema barra–esfera
La figura 13 muestra el esquema e un sistema barra–esfera. Existen diferentes onfiguraciones que cambian según la posición del actu dor. En la configuración aquí presentada se m estra al centro de la barra un motor que permite control r la posición angular de la barra que a su vez odifica la posición de la esfera en la barra.
Figura 3. Esquema de un sistema barra −esfera La figura 14 muestra un diagram parámetros principales del sistema.
de cuerpo libre del sistema donde se visual izan las variables y
Figura 14. Diagrama de cuerpo libre para el sistema barra −esfera de la igura 13 Como se observa en la figura el l rgo de la barra es 1U, R y A son la masa y l radio de la esfera respectivamente. La masa de la barr a se representa mediante a . 17
Evidentemente el sistema es electromecánico puesto que el actuador es un motor eléctrico. Sin embargo el principal interés es conocer el modelo no lineal de la parte mecánica. Por lo tanto, la variable de entrada para la parte mecánica está dada por la posición angular mientras que la variable de salida es la posición traslacional (a lo largo de la barra). Una tercera variable intermedia que aparece es la posición angular de la bola o esfera sin embargo, es posible relacionar esta variable con la variable de salida a través del radio de la esfera :
Q
bA = Ab
La componente de fuerza a lo largo de la barra es mg sin θ y a su vez es igual a la suma de fuerzas en la esfera; es decir: mg sin θ = FT + FR
cd
Donde es la fuerza traslacional y simplemente como:
ce
(28)
la fuerza rotacional. La fuerza traslacional se define
&& FT = mx
(29)
Mientras que para la fuerza rotacional se tiene que el par producido en la esfera es igual a la fuerza rotacional multiplicada por el radio de la esfera:
Donde es:
X = g RA5
f = ceA = XbS = XA S
es el momento de inercia de para una esfera sólida. Por lo tanto la fuerza rotacional
F R =
τ
r
=
J r
2
&& x=
2 mr 2 2
5 r
&& x=
2 5
&& mx
(30)
Por lo tanto, sustituyendo (29) y (30) en (28) se tiene: && + mg sin θ = mx
&& = x
= 5 = (5 9 = Q5
5 7
2 5
&& = mx
7 5
mx&&
g sin θ
Definiendo se obtienen las ecuaciones correspondientes a la parte mecánica del sistema barra–esfera:
x x&1 f1 ( x1 , x2 , u ) 2 x& = f ( x , x , u ) = 5 2 2 1 2 g sin u 7 18
(31) diferenciales
no
lineales
(32)
PROBLEMAS PROPUESTOS. 1. Considérese la ecuación del oscilador de Van Der Pol: && − (1 − x x
2
) x& + x = 0
Determinar: a) El punto de equilibrio del sistema b) El modelo matemático linealizado alrededor del punto de equilibrio
h i j h
2. Considérese la operación isotérmica de un reactor tanque agitado donde se efectúa la reacción de segundo orden . El modelo matemático del proceso que describe la variación de concentración en el reactivo está dada por: c& A =
kl0 nol#$, m#$p
q V
( cA0 − c A ) − kcA2
m
kl
Donde es la concentración inicial (constante), es la entrada de flujo volumétrico y es la concentración de salida. Determinar el modelo matemático linealizado alrededor del punto de equilibrio
3. Obtener el modelo matemático linealizado alrededor del punto de equilibrio para el sistema de giroscopio en la ecuación (18)
4. Obtener el modelo matemático linealizado alrededor del punto de equilibrio para el sistema de péndulo invertido en la ecuación (27)
5. Obtener el modelo matemático linealizado alrededor de un punto de equilibrio para el sistema barra–esfera en la ecuación (32)
19
