UNIVERSIDAD DE LA COSTA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS ÁREA DE LABORATORIO DE F ÍSICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
AJUSTES LINEALES CON MINIMOS CUADRADOS Y LINEALIZACION DE GRAFICOS NO LINEALES. 1
1
2
2
Antonio José Salcedo , María Acosta Diaz , Pablo Díaz Tejedor , María Mendoza Leon 1
2
Ingeniería Civil, Ingenieria Industrial.
L aborat aboratori orio o de F í sica si ca M ecáni cánica ca G r upo: upo: CD CDL
Ecuación lineal cuadrados:
y
mínimos
Una función lineal se caracteriza por ser directamente proporcional entre la variable dependiente (y) e independiente (x) de una función y=mx+b, donde m es la pendiente y b el intercepto con la variable dependiente. Dado un determinado número de de datos donde se cree que el comportamiento es lineal, es posible determinar la ecuación que representa esta tendencia a través del método de los mínimos cuadrados con ayuda de las siguientes formulas:
Gráficos no lineales. Cuando se obtiene un gráfico que no presenta forma lineal, el método que sigue a resolver es el de linealizacion, lo cual consiste en transformar la ecuación que se ajuste a sus datos a un comportamiento lineal y de esta manera poder realizar el método de mínimos cuadrados. Por ejemplo, la ecuación cuadrática se puede escribir en la ecuación
como:
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Función exponencial en cualquier base (potencia): Una función que represente una serie de datos puede ser , luego linealizando obtenemos
Luego las nuevas variables son: ;
Función exponencial con base e.
Si la función es con base e, atreves de la expresión se linealiza aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación:
Dónde:
Luego la ecuación es
Ejemplo:
.
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Los siguientes datos muestran el resultado de la medición de la descarga en función del tiempo de un elemento electrónico llamado con densador o capacitor, los datos se obtuvieron midiendo cada dos segundos. Tiempo(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 90
Voltaje(V) 50 33,5 22,5 15,1 10,1 6,8 4,5 3 2 1,4 148,9
Abajo se muestra el grafico que indica el comportamiento de la esta funcion. La ecuacion que describe los datos es Procederemos a linealizar la ecuacion y realizar minimos cuadrados para encontrar sus valores.
Solución. Linealizando la ecuación obtenemos:
y= mx+b
X (tiempo) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 90
voltaje 50 33,5 22,5 15,1 10,1 6,8 4,5 3 2 1,4 148,9
ln(voltaje) Y 3,91 3,51 3,11 2,71 2,31 1,92 1,50 1,10 0,69 0,34 21,11
0 4 16 36 64 100 144 196 256 324 1140
(X)(lny) 0 7,02 12,45 16,29 18,50 19,17 18,05 15,38 11,09 6,06 124,01
(y-mx-b) 1,78934E-07 2,97692E-09 3,66841E-06 9,57744E-06 8,75018E-07 2,83302E-05 5,65896E-05 0,000168681 0,000340507 0,000618628 0,001227038
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б=
б=
б=
Entonces m = -0,2 ± 0,12
Entonces b = 3,91 ± 0,11
Al encontrar los valores de “m” y “b” podemos definir la función Lny= -0,2x + 3,91 5,00 4,00 3,00
Series1
2,00
Lineal (Series1) y = -0,2x + 3,9116
1,00 0,00 0
5
Dónde: lnA=b b= 3,91
b=
; k= -0,2
10
lnA=3,91
15
20
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Por lo tanto ecuación original es: y=50
60
50
40 Series1
30
Exponencial (Series1) 20
y = 49,981e -0,2x
10
0 0
5
10
15
20
Actividad Use los conceptos de linealizacion y mínimos cuadrados para encontrar la ecuación que relacionan los datos de “X” y “Y” en las siguientes tablas:
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Tabla n° 1 x
y
80
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 12 15 19 24 30 37 45 54 64 75
70
y = 0,5x2 + 1,5x + 10
60
Series1
50
Potencial (Series1)
40 Potencial (Series1)
30
Polinómica (Series1)
20 10 0 0
2
4
6
8
10
12
Solución:
x
y
(y-c)/x
x^2
x* (y-c/x)
(y-mx-b)^1
0
10
0
0
0
-2,25
1
12
2
1
2
1
2
15
2,5
4
5
2,25
3
19
3
9
9
3
4
24
3,5
16
14
3,25
5
30
4
25
20
3
6
37
4,5
36
27
2,25
7
45
5
49
35
1
8
54
5,5
64
44
-0,75
9
64
6
81
54
-3
10
75
6,5
100
65
-5,75
55
385
42,5
385
275
4
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б=
б=
б=
8 7 y = 0,5282x + 1,527 6 5 Series1
4
Lineal (Series1)
3 2 1 0 0
2
4
6
8
10
12
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Tabla n° 2. x
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
500
5 8 14 22 37 61 100 166 273 450
450
y = 4,9754e 0,5007x
400 350 300 250
Series1
200
Exponencial (Series1)
150 100 50 0 0
2
4
6
8
10
Solución:
x
y
lny
x^2
x*lny
(y-mx-b)^2
0
5
1,6
0
0,00
10,33
1
8
2,1
1
2,08
10,13
2
14
2,6
4
5,28
10,51
3
22
3,1
9
9,27
10,20
4
37
3,6
16
14,44
10,32
5
61
4,1
25
20,55
10,32
6
100
4,6
36
27,63
10,28
7
166
5,1
49
35,78
10,31
8
273
5,6
64
44,88
10,29
9
450
6,1
81
54,98
10,29
45
1136
38,6
285,0
214,9
103,0
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б=
б=
б=
7,0 6,0 y = 0,5007x + 1,6045 5,0 4,0
Series1
3,0
Lineal (Series1)
2,0 1,0 0,0 0
2
4
6
8
10
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Tabla n°3 x
y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12,5 6,3 4,2 3,1 2,5 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3
y 14 12 10 8
y
6
y = 12,435x-0,99
4
Potencial (y)
2 0 0
2
4
6
8
10
12
Solución:
x
log x
y
log y
logx^2
Log x* log y
1
0,00
12,5
1,1
0
0,0
2
0,30
6,3
0,8
0,09
0,2
(y-mx+b)^2 0,99 2,84 6,25
3
0,48
4,2
0,6
0,23
0,3
4
0,60
3,1
0,5
0,36
0,3
11,28 18,10 5
0,70
2,5
0,4
0,49
0,3 26,72
6
0,78
2,1
0,3
0,61
0,3
7
0,85
1,8
0,3
0,71
0,2
37,12 49,45 8
0,90
1,6
0,2
0,82
0,2 63,43
9
0,95
1,4
0,1
0,91
0,1
10
1,00
1,3
0,1
1,00
0,1
79,61 295,77 55,00
6,56
36,8
4,45
5,22
2,02
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√
б=
б=
б=
1,2 1,0 0,8 Series1
0,6
Lineal (Series1) 0,4 0,2 y = -0,9903x + 1,0947 0,0 0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
