LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES 1. SISTEMAS NO LINEALES Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados “sistemas lineales” sólo lo son en rangos de operación limitados. En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al cuadrado de la velocidad de operación. En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que involucran tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dificultad matemática que conllevan los sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sist emas lineales “equivalentes” en lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son válidos para un rango limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal mediante un modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para análisis y diseño.
2. LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio, y las señales pueden considerarse señales pequeñas alrededor del equilibrio. (Debe señalarse que hay muchas excepciones a tal caso.) Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal. Tal sistema lineal es equivalente al sistema no lineal, considerado dentro de un rango de operación limitado. Tal modelo linealizado (lineal e invariante con el tiempo) es muy importante en la ingeniería de control. En esta sección presentaremos una técnica de linealización aplicable a muchos sistemas no lineales. El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque linealizar ecuaciones no lineales
permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en la expansión de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término lineal. Debido a que no consideramos los términos de orden superior de la expansión en series de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de la condición de operación. A continuación presentaremos primero los aspectos matemáticos de la técnica de linealización y después aplicaremos la técnica a un sistema hidráulico de seguimiento a fin de obtener un modelo lineal para el sistema.
2.1. Serie de Taylor La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie elegir el número de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc... La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x , entonces el valor de la función está dado por:
o expresado de otra forma
Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso , expresando la serie de Taylor como:
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio ( ) por lo que para simplificar el asunto se igualara a siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. EJEMPLO: FUNCIÓN Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función . Después se tiene que sustituir en cada una de las derivadas, pero como se decidió que se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados: () () ( ) () ( ) ()
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de cómo se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie
Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que el resultado sea más preciso. Todo esto fue para ver cómo es la serie de la función , ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las , por ejemplo:
EJEMPLO: FUNCIÓN ()
En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo. Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en cada derivada:
Aquí sí se puede observar como comienza a ser repetitivo después de la tercera derivada
Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patrón:
Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos
EJEMPLO: FUNCIÓN () Para el coseno el procedimiento es el mismo. Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de en cada una para observar el patrón.
Después se va llenando la serie de Taylor con la finalidad de formar una ecuación general dada por:
Por último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso:
2.2. Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. A fin de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, suponemos que las variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considere un sistema cuya entrada es () y cuya salida es (). La relación entre () y () se obtiene mediante
Si la condición de operación normal corresponde a ̅ , la ecuación se expande en series de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente:
en donde las derivadas se evalúan en es posible no considerar los términos de orden superior en anterior se escribe como
. Si la variación es pequeña, . A continuación, la ecuación
En donde
La ecuación anterior puede reescribirse como
lo cual indica que
es proporcional a
. La ecuación anterior da un modelo matemático
lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la ecuación operación
.
cerca del punto de
