LABORATORIO PENDULO DE POHL
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS PROYECTO PROYECTO CURRICULAR DE MA MATEMA TEMATICAS TICAS Erika Johanna Martinez Salinas C´ odigo: odigo: 20101167050 William Mauricio Buitrago Parra C´ odigo: odigo: 20091167031 Wilson Javier Forero Baquero C´ odigo: odigo: 20101167029 Andres Camilo Calderon C´ odigo: odigo: 20091167060 Resumen
Dentro de las aplicaciones de las oscilaciones se encuentra el pedulo de Pohl el cual funciona conjugando el concepto de oscilacion y las corrientes de Foucault nos permite ver claramente un sistema con amortiguamiento y forzamiento tanto conjunt conjuntament amentee como como por por separ separado, ado, con con esto notamos notamos la variacion variacion que puede puede llegar a tener fuerzas de recuperacion o de perdida influyendo al sistema del pendulo dandonos asi una idea de como esto actuan en el medio natural. Abstract
Among the applications of the oscillations is the Pohl pedulo of which works by combining the concept of oscillation and the eddy currents allows us to clearly see a system with damping and forcing both jointly and separately, we note that the variation can forces have lost recovery or influencing the pendulum system giving us an idea of how it will act in the wild. 1.Introducci´ on
El p´ endulo endulo de Pohl es un sistema sistema oscilante que consta de un anillo de cobre unido a un muelle helicoidal que puede girar alrededor de un eje horizontal. El disco se frena mediante las corrientes de Foucault que genera el campo magn´etico etico producido producid o por una bobina bob ina en el anillo de cobre. La intensidad int ensidad del campo campo magn´etico etico es proporcional a la corriente i que pasa por la bobina, obina, la fuerza fuerza sobr sobre dichas dichas corrientes corrientes es tambi´ en en proporcion proporcional al al campo magn´etico. etico. El momento de frenado nado es prop propor orcio cional nal,, por tanto, tanto, al cuadrado de la intensidad de la corriente que pasa por la bobina. La fuerza oscilante se proporciona mediante un motor de velocidad variable able,, que que disp dispon onee de una una rue rueda imimpulsora y una exc´ entrica entrica unida a una biel biela. a. La biel biela a se ato atornil rnilla la a una varilla varilla que puede puede girar girar alre alrededor dedor del 1
mismo eje y cuyo extremo est´ a unido al muelle helicoidal. La varilla dispone de una ranura que permite ajustar la amplitud de la oscilaci´ on forzad forzada. a. La varilla impulsora y el disco giran independie dependienteme ntemente nte uno del otro, otro, solamente est´ an conectados por el muelle helicoidal. El montaje experimental se realizo con los siguientes implementos: •
Voltimetro
•
Soporte
•
Masa
•
Fuente de poder
•
Cables banana banana
•
Sistema Cobra 3
•
Pendulo de Pohl
Durante el desarrollo experimental se denota de ante mano en las graficas los saltos vistos son propios del rosamiento entre la rueda del pendulo con el hilo utilizado para sostener la masa, los datos variados tuvieron el siguiente orden: •
•
Girar la rueda del pendulo manualmente Aplicar
amortiguamiento
por
medio de la fuente •
•
Aplicar forzamiento por medio de la fuente al motor del pendulo Aplicar los dos item anteriores al tiempo colocando el voltimetro en serie para permitir una medicion correcta sin llegar a da˜ nar el motor del pendulo que solo soporta 1A.
Figure 1: Pendulo Pohl sultante, si no hay amortiguamiento, se puede tomar como un movimiento arm´ onico simple en la variable angular Durante el laboratorio se realizo Φ. Tal sistema se conoce como p´endulo diferentes tipos de mediciones con facde torsi´ on. tores diferentes por tanto se expone en 2.1 Oscilaciones amortiguadas orden cronologico que factores se variaron y su interpretacion fisica. En un oscilador libre se tienen en cuenta p´ erdidas de energ´ıa debidas a 2.1 Oscilaciones libres fuerzas de rozamiento, se obtiene una Podemos considerar el p´endulo de Pohl oscilaci´ on amortiguada. En el caso libre como una corona circular plana del p´ endulo de Pohl, se dispone de un que gira respecto a un eje perpendicu freno magn´ etico que produce un molar a ella, el eje z , que pasa por su cenmento de una fuerza de amortiguaci´ on tro de masas. La rueda est´ a conectada que es proporcional a la velocidad ana un muelle de tipo helicoidal, de tal gular, manera que, cuando se separa la rueda de su punto de equilibrio un ´ angulo donde C es un factor de proporΦ, el muelle trata de devolverla a su cionalidad que depende de la intensiposici´ on de equilibrio con una fuerza dad de corriente que alimente al freno proporcional a la distancia dada por magn´ etico. Entonces, la ecuaci´ on de la ley de Hooke. El movimiento re- movimiento del p´ endulo introduciendo 2. Resultados
2
el momento amortiguador como un nuevo sumando en la ecuaci´ on del caso libre I z
d2 Φ dΦ + C + k Φ = 0 2 dt dt
Utilizando la frecuencia natural de la oscilaci´ on ω 0 dada y definiendo el coe ficiente de amortiguamiento γ como γ =
1. Sobreamortiguado: Si γ 2 > ωo 2 entonces el p´endulo retorna lentamente a su posici´ on de equilibrio sin llegar a oscilar en torno a ella. 2. Subamortiguado: Si γ 2 < ωo 2 entonces el p´endulo oscila en torno a la posici´ on de equilibrio aunque la amplitud de oscilaci´ on va decayendo exponencialmente en el tiempo.
C 2I z
que dando asi la ecuacion: d2 Φ dΦ + 2γ + ωo 2 Φ = 0 2 dt dt
3. Amortiguado critico: Si γ 2 = ωo 2 el resultado es muy parecido al anterior, aunque la convergencia hacia el equilibrio es un poco m´ as r´ apida.
Cuando se resuelve esta ecuaci´ on, se obtienen distintos tipos de soluciones para los cuales se tienen las siguientes posibilidades:
Figure 2: Sobremortiguamiento del pendulo de Pohl
Figure 3: Amortiguamiento critico del pendulo de Pohl
3
Figure 4: Subamortiguamiento del pendulo de Pohl
Figure 5: Subamortiguamiento del pendulo de Pohl 2.3 Oscilaciones forzadas
0
las oscilaciones amortiguadas, la amplitud y, por tanto, la energ´ıa, decrecen con el tiempo hasta que la oscilaci´ on muere. Para mantener en marcha el p´ endulo de torsi´ on, se utiliza un motor que proporciona un momento de fuerzas externo peri´ odico del tipo M f = M 0 cos(Ωt), donde M0 es una constante y W es la frecuencia del forzamiento. Al introducir este nuevo momento, la ecuaci´ on vista en item (2.2) se transforma en: I z
donde f 0 = M se llama amplitud I del forzamiento. Esta es la ecuaci´ on de un oscilador forzado. La soluci´ on de esta ecuaci´ on de movimiento tiene una componente complicada, llamada soluci´ on transitoria, que est´ a llamada a desaparecer tras un intervalo inicial de tiempo, pero tiene una nueva componente, que permanece indefinidamente en el tiempo, llamada soluci´ on estacionaria, que est´ a provocada por la presencia del momento de fuerzas externo, y que es del tipo arm´ onico simple, pero tal que la frecuencia del movimiento es igual a la frecuencia de forzamiento Ω.
d2 Φ dΦ + C + k Φ = f 0 cos(Ωt) dt2 dt
4
z
Figure 6: Forzamiento del pendulo de Pohl
Figure 7: Forzamiento del pendulo de Pohl el sobreamortiguamiento En este caso el sistema tiende a su punto de minima energia al ser la fuerza de amortiguamiento o de perdida por cada ciclo mayor a la de ganancia efectuada por forzamiento del sistema, tardando un poco mas si solo fuera amortiguado el sistema.
2.4 Oscilaciones amortiguadas y forzadas
Las oscilaciones de este tipo es la con jugacion del forzamiento y el amortiguamiento en un sistema contemplando asi tres posiblidades: •
•
El forzamiento sea mayor que el sobreamortiguamiento En este caso al ser la fuerza aplicada al sistema mayor a la perdida por cada ciclo realizado el sistema tendera a infinito claro esta con mayor lentitud acausa de la fuerza amortiguadora que se aplica en cada ciclo. El forzamiento sea menor que
5
•
El forzamiento sea igual al amortiguamento En este caso tendriamos un sistema idealizado que no habria perdida ni ganancia por ciclo permitiendo asi un sistema ideal e infinito que se mantendria todo el tiempo que nosotros lo quisieramos asi.
Figure 8: Forzamiento mayor a amortiguamiento del pendulo de Pohl
Figure 9: Forzamiento igual a amortiguamiento del pendulo de Pohl pero al aplicarlo externamente de tal forma que hacelere este proceso disminuye la vida promedio del movimiento significativamente dependiendo de la fuerza amortiguardora que se aplique.
3.Conclusiones
Durante el desarrollo del laboratorio se evidencion la concordancia teorica con la practica permitiendos asi retificar lo visto en clase por medio del programa de Cobra que nos permite visualizar todo con mas facilidad, por tanto las conclusiones que se llegaron fueron la siguiente: •
•
•
El pendulo de Pohl es un sistema oscilatorio que nos permite aplicar el concepto de oscilacion libre y amortiguada-forzada con gran facilidad
•
•
El forzamiento en un sistema oscilatorio nos permite perturbarlo de tal forma que podriamos mantenerlo infinitamente si es proporcional o mayor a la perdida en el sistema o incrementar el tiempo de vida del sistema en caso de no ser asi El amortiguamiento esta presente en todo sistema oscilatorio
Los calculos teoricos son precisos para este tipo de experimentos dejando asi solo el error del programa de Cobra como la unica variable deduciendo asi que la teoria estudiada es acorde al comportamiento del pendulo durante el experimento.
4.Bibliograf´ ıa •
6
La conjugacion de amortiguamiento y forzamiento nos permitiria contruir un sistema oscilatorio de vida infinita si los parametros de perdida como de ganancia son proporcionales
Paul Allen Tipler, Volumen 1B,
•
•
F´ısica para la ciencia y la tecnologia, Reverte, 2005.
II, F´ısica para ciencias e ingenier´ıa,Cengace Learning, 2008.
Burbano De Ercilla, Fisica general, Edicion 32, T´ebar, 2003.
5.Anexos En las siguientes tablas
se denotaran algunos valores tomados Raymond A. Serway, Volumen para poder graficar los resultados:
7
