Laboratorio de Física II
EXPERIENCIA N° 3 EL PÉNDULO DE TORSIÓN
PRESENTADO POR: SULIBETH BAYUELO BONILLA LUZ D. CARPIO ORTIZ ARLIN J. GALVÁN ESCORCIA JORGE JIMENEZ PEREZ
DOCENTE: DONALDO CABALLERO ASIGNATURA: FÍSICA II
UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
BARRANQUILLA – ATLANTICO OCTUBRE 3 DE 2014
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EXPERIENCIA #3
PÉNDULO DE TORSIÓN RESUMEN La experiencia se realizó en el laboratorio (calor y ondas) de física, la cual estuvo orientada a una aplicación experimental del péndulo de torsión, que permitió conocer las características propias de dicho movimiento tales como su periodo, el momento de inercia y el coeficiente elástico propio del material usado. Para ello se utilizó un cuerpo suspendido en su centro de masa mediante una varilla firmemente sujetada en su extremo superior. Se tomó la masa del disco macizo y el aro, se midió el radio interno y externo del objeto. Además el tiempo empleado en el movimiento de rotación por 10 oscilaciones. Finalmente, con los datos que se obtuvo se logró tener un valor experimental del momento de inercia con su respectivo error.
INTRODUCCIÓN El péndulo esférico o de torsión, no está limitado a oscilar en un único plano, por lo que su movimiento es mucho más complejo. Se dice que un cuerpo se desplaza con movimiento armónico de rotación entono a un eje fijo cuando un Angulo de giro resulta función sinusoidal del tiempo y el cuerpo se encuentra sometido a una fuerza recuperadora cuyo momento es proporcional a la elongación angular. Las ecuaciones que rigen este movimiento se obtienen por sustitución de las magnitudes lineales del movimiento armónico simple por las perspectivas. El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el período de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el período del péndulo si depende de ella). Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad es más o menos intensa según la latitud y la
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altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.
OBJETIVOS
Identificar las oscilaciones del péndulo de torsión como un M.A.S. Determinar el momento de inercia de un aro metálico a partir del péndulo de torsión.
MARCO TEÓRICO El péndulo de torsión es un ejemplo de movimiento armónico simple, consiste en un disco o cilindro sólido sostenido por una barra delgada. Si se hace girar el disco en la medida de un ángulo. El momento de torsión es directamente proporcional al desplazamiento angular. Se tiene:
Donde k’ es una constante que depende del material de que está hecha la barra delgada. El periodo del movimiento armónico simple angular esta dado por:
Donde I es el momento de inercia del sistema de vibración
El MOMENTO DE INERCIA DE UN SÓLIDO es una magnitud escalar que viene dada por:
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De su definición se deduce que el momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. El momento de inercia (o momento rotacional) depende de la masa del objeto y la distribución de la masa. Cuanto más lejos esté el grueso de la masa del objeto del eje de rotación, mayor es el momento de inercia. De hecho, el momento de inercia I es proporcional a la masa y al cuadrado de la distancia al eje:
=× Momento de inercia para un disco macizo de radio R y masa M.
El momento de inercia de un cilindro hueco de radio interior R1, radio exterior R2 y masa M está dado por:
Por tanto, a igual masa, un cilindro hueco tiene mayor momento de inercia que uno macizo.
EQUIPOS Y MATERIALES. Péndulo de torsión Aro metálico Cronómetro
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PROCEDIMIENTO. 1. Mida el radio del disco y péselo para determinar su masa y así calcular su
momento de inercia con respecto al eje del disco. 2. Arme el péndulo de torsión suspendiendo de la varilla solo el disco macizo, hágalo oscilar para medir el tiempo de n oscilaciones y así determinar su período . 3. Con la ecuación 3 y usando el resultado obtenido en el paso 1. Para determine la constante de torsión K del alambre (varilla). 4. Arme nuevamente el péndulo de torsión, colocando encima del disco el aro y mida ahora nuevo período T, para el conjunto aro más disco. Tenga en cuenta que ahora el momento de inercia en la ecuación 3 es y de aquí podemos obtener el momento de inercia del aro experimentalmente.
= aro
5. Pese el aro y mida los radios interior y exterior del aro. DATOS
Masa del disco: 4740 g → 4,740 Kg Masa del aro: 4225 g → 4,225 Kg (Radio interior): 11cm → 0,11 m (Radio exterior): 12,5 cm → 0,125 m
1 2 3
Tiempo (s) (disco) 13,47 13,52 13,60
Promedio
13,53
Medida
Período (disco)
= 13,1053 s =, Medida
Tiempo (s)
5
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1 2 3
(sistema) 21,69 21,62 21,61
Promedio
21,64
Período (sistema)
= 21,1064 s =, ANÁLISIS NUMÉRICO Para determinar el momento de inercia del aro de manera teórica, se logra a
= [ +] Iaro = 12 ×4,225 Kg[0,11m +0,125m] Iaro =0,059 Kg.m/s I =
partir de la siguiente ecuación:
Reemplazando los datos se obtiene:
A partir de la siguiente ecuación obtenemos de forma teórica:
(momento de inercia del disco)
I = 12 ×4,740Kg0,125m I =0,037 Kg.m/s
Al reemplazar se obtiene:
Ahora hallamos el valor de la constante de torsión del alambre (k), para poder determinar experimentalmente el momento de inercia del aro ( ). Se sabe que el periodo se halla partiendo de la siguiente ecuación; de la que se despeja k:
Iaro
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=2π Ik → =4π (TI) Reemplazando se tiene:
=4π (1,0,305337 ) =0, 8 0
Utilizando la ecuación del periodo detalla anteriormente, determinamos el momento de inercia experimentalmente, así:
I +I T a ro =2π k → = 4πk I Reemplazamos:
2, 1 64 = 4π0,80 0,037 =0,058 Kg.m/s Teniendo el momento de inercia teórico y el experimental del aro podemos calcular el porcentaje de error con la siguiente formula:
| ó % = | × ó Reemplazamos cada valor correspondiente:
| 0 59 % = |0,0580, 0,059 ×100 7
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% =, % Con el dato anterior podemos calcular el error del valor del momento de inercia del aro:
0 58 = 1,69×0, 100 =0,0009 ,± , ./ I I +I T a ro =2π k → = 4πk Iaro Entonces, el valor del momento de inercia del aro es:
Ahora de la misma ecuación del periodo despejamos experimental de éste y luego hallamos el error:
para calcular el valor
Reemplazamos y obtenemos:
2, 1 64 = 4π0,80 0,059 =0,036 Kg.m/s | 0 37 % = |0,0360, 0,037 ×100 % =, % I 0 36 = 2,70×0, 100 =0,0009
Calculamos el porcentaje de error del momento de inercia del disco:
El error del valor del momento de inercia (
viene dado por:
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Entonces el valor del momento de inercia del disco es:
,./
,±
Ahora hallamos el valor teórico del periodo del disco y del periodo del sistema (aro más disco), respectivamente, para poder estimar el error en cada caso, y se logra a partir de la siguiente formula:
=2π Ik → =2π 0,0,08370 =1,35 s , | 3 5 % = |1,3531, 1,35 ×100 % =,% 3 53 = 0,22×1, 100 =, ,±,
Enseguida determinamos el porcentaje de error del periodo del disco tomando como valor experimental el hallado en el laboratorio, el cual se encuentra detallado en los datos ( :
El error del valor del periodo del disco es:
Entonces, el valor del periodo del disco es:
Por ultimo hallamos el valor experimental del periodo del sistema (aro más disco), haciendo el mismo procedimiento anterior y teniendo en cuanta lo siguiente:
= + =0,037 Kg.m/s +0,059Kg.m/s =, ./
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Entonces, el periodo del sistema viene dado por:
=2π Iiktea → =2π 0,0,08960 =2,177 s , | 1 77 % = |2,1642, 2,177 ×100 % =, % 1 64 = 0,60×2, 100 =, ,±,
Determinamos el porcentaje de error del periodo del sistema tomando como valor experimental , detallado en los datos:
El error del valor del periodo del sistema es:
Entonces, el valor del periodo del sistema es:
CUESTIONARIO
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1. ¿Por qué el movimiento oscilatorio de este péndulo es armónico simple? Al suspender un cuerpo desde su centro de masa, mediante una varilla sujeta a su extremo superior, se le hace rotar alrededor de su eje de simetría, adquiriendo un movimiento de rotación alrededor de este eje, cuyo movimiento es armónico simple, ya que la varilla que lo sostiene va a estar sometida a deformaciones por torsión que obligan al cuerpo suspendido de ella a realizar un movimiento oscilatorio alrededor de su posición de equilibrio.
2. ¿Se podría utilizar el péndulo de torsión para determinar el valor de la aceleración gravitatoria en un lugar de la superficie terrestre? Razone la respuesta. No, pues la gravedad no juega ningún papel y la causa del movimiento es la deformación elástica del hilo.
3. ¿Cómo se puede utilizar el péndulo de torsión para determinar el momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria, respecto de un eje que pasa por su centro de gravedad? Deducir la expresión correspondiente y explicar el procedimiento a seguir. Sea una barra cilíndrica suspendida verticalmente por su extremo superior fijo. Aplicamos en el extremo inferior, un par de fuerzas, de manera que lo hacemos girar cierto ángulo Φ. Para explicar cómo se mueven las diferentes zonas de la barra, podemos suponer que está constituida por discos horizontales superpuestos, pero ligados entre sí. El giro se va transmitiendo a los discos, pero a medida que nos alejamos del extremo inferior el ángulo girado va disminuyendo, de manera que el disco superior no gira, ya que está fijo. La teoría de elasticidad por torsión establece la relación entre el momento M recuperador y el ángulo girado Φ.
Donde r, es el radio de la barra, L su longitud y µ es el módulo de rigidez de la misma. Por otra parte el momento es
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Con lo que:
Donde D es la constante recuperadora de torsión de la barra. La ecuación de movimiento es:
La cual pone de manifiesto que se trata de un movimiento oscilatorio armónico de periodo T, dado por:
Donde I es el momento de inercia del cuerpo oscilante, respecto del eje de giro. Se observa que D, depende de la naturaleza y geometría del cuerpo sometido a este tipo de deformación.
4. Una varilla delgada de masa 0.10 Kg y longitud de 0.10 m, está suspendida mediante un alambre que pasa por su centro y es perpendicular a la varilla. El alambre se tuerce y la varilla se pone a oscilar. Se encuentra que el período es de 2 seg. Cuando se suspende del alambre un cuerpo problema, se encuentra que el período es de 6 seg. ¿Cuál es el momento de inercia de dicho cuerpo, respecto al eje de rotación? DATOS
=,=. = = = ? SOLUCIÓN
Fig. 1 Sistema péndulo de torsión
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Teniendo en cuenta la fórmula de periodo del péndulo de torsión, tenemos :
= = =
Para una varilla delgada el
Por tanto,
Despejando tenemos:
= √ √ = →() =
=() ∗ 6 10. 1 00. 1 0 =(2)−∗ 12 =7.510 ∗
R/: El momento de inercia de dicho cuerpo respecto del eje de rotación es
.−∗
CONCLUSIÓN 13
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Luego de la práctica realizada pudimos concluir que:
Un cilindro hueco tiene mayor momento de inercia que uno macizo. El momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Es posible determinar los momentos de inercia aproximados de diferentes cuerpos utilizando como herramienta de medición un péndulo de torsión, sin necesidad de conocer la constante de torsión del alambre.
Además cabe destacar que en cada medición hubo errores de apreciación que no fueron tenidos en cuenta al momento de hacer los cálculos y que, por lo tanto, los resultados obtenidos son solo aproximaciones.
BIBLIOGRAFÍA
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Wikipedia, La enciclopedia libre. www.books.google.com.co.
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