OBJETIVOS •
Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico.
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Calcular Calcular los momentos momentos de inercia inercia a partir de estos estos periodos periodos de oscilación.
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Conoc Conocer er la dife difere renc ncia ia entre entre un péndu péndulo lo simpl simple e y un péndu péndulo lo físico.
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Conocer un nuevo método para calcular el momento de inercia de un eje que pasa por el centro de gravedad, el método de Steiner.
MARCO TEÓRICO El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.
La ec ecua uaci ción ón de la di diná námi mic ca de ro rota taci ción ón se escribe IO· =-mgxsen Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O. IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.
Expre Expresa samos mos la ecuac ecuació ión n de la dinám dinámic ica a de rota rotaci ción ón en form forma a de ecuación diferencial
Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces
Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P
Por el teorema de Steiner IO=IC+mx2=mR2+mx2 R se deno denomi mina na radi radio o de giro, giro, para una varilla R2=l2/12, 12, siendo ndo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe
Cuan Cuando do se repr repres esen enta ta P en func funció ión n de x. Apar Aparec ecen en dos dos curv curvas as simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.
Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo. Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado
La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x1 y x2 de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x). De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado
Midiendo en la gráfica x1 y x2 para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el
momento de inercia del péndulo Ic=mR2 compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R2 mediante el producto de x1 por x2.
RECONOCIMIENTO DE MATERIALES
PROCEDIMIENTO 1.- Para 5 longitudes La diferentes del péndulo compuesto, distanciadas aproximadamente 0.24m (u otra indicada por el profesor) una de otra, se cronometra el tiempo t 1, para 10 oscilaciones. Esta operación se repite 3 veces para cada una de las cinco longitudes del péndulo, luego se calcula para cada tiempo el periodo T1, T2, T3, a partir de los cuales se calcula el periodo promedio Tm para cada longitud como promedio de los 3 valores anteriores, registre sus datos en una tabla:
N° 1 2 3 4 5 6
L(m) Tiempos (s)
Periodos (s)
La 87 83 79 75 71 69
T1 1.902 1.870 1.764 1.690 1.586 1.532
t1 9.51 9.35 8.82 8.45 7.93 7.66
Promedio Tm(s) 1.902 1.870 1.764 1.690 1.586 1.532
Tm(s2) 3.617 3.497 3.112 2.856 2.515 2.347
Dónde: La = Distancia del punto de suspensión al centro del disco metálico t1 = Tiempo para 5 oscilaciones T1 = Periodos
Estos valores especifican en siguiente representación:
se la
2.- Medir la longitud total de la barra con su error Lb = 0.987 m La medición de la barra se hizo con un wincha, cuidando minuciosamente ser exacto hasta la escala de los milímetros, se concluye que en este caso no hay error visible, si lo hubiera es muy poco y despreciable. 3.- Para cada valor de L a y su correspondiente Tm se calcula I (±ΔI), R (±ΔR) y la aceleración de la gravedad con su error g (±Δ g), de la siguiente ecuación tomando como m = m a + mb, cumpliendo la tabla anterior. En el cuadro N°1 se especifican los valores de L a con sus respectivos periodos (promedio de periodos), luego a partir de ello se calculara I (±ΔI), según la siguiente fórmula: I: Donde: La: Distancia del punto de suspensión al centro del disco metálico Lb: Longitud total de la barra metálica
Luego se calculara R (±ΔR), según la siguiente fórmula:
R o b: La distancia entre el eje de suspensión y el centro de masas del conjunto (barra y disco) Seguidamente se calculara el valor de la gravedad experimental:
Dónde: I: momento de inercia m: masa total T o Tm: Promedio de periodos experimentales Si se tiene el valor de L e es posible hallar el periodo directamente según la siguiente fórmula:
T1: (otra forma
de hallar el periodo)
Donde: Le: Longitud equivalente del péndulo, cuyo valor es:
m: ;
=1.0732 Kg,
= 0.1535 Kg, m=1.2267 Kg
El siguiente cuadro muestra los valores obtenidos para cada experiencia, luego de reemplazar en las formulas anteriores:
N°
La (m) Lb (m)
R(m)
I(Kg m/s2)
Le (m/s2)
T1(s)
T(s)
g (m/s2)
m (Kg)
1
0.735
0.987
0.704
0.6296
0.7290
1.713
1.713
9.8042
1.2267
2
0.862
0.987
0.815
0.8472
0.8474
1.825
1.826
10.0342
1.2267
3
0.977
0.987
0.916
1.0742
0.9559
1.945
1.946
9.9685
1.2267
4
0.610
0.987
0.595
0.4491
0.6153
1.549
1.550
10.1129
1.2267
5
0.485
0.987
0.486
0.3022
0.5068
1.462
1.463
9.3511
1.2267
Para contestar los puntos 4 y 5 introduciremos el concepto de Error absoluto y error relativo:
Cálculos con datos experimentales. La estadística es muy importante en la Ciencias Experimentales. Toda experiencia debería tener detrás un estudio estadístico que nos indique cuantos datos debemos tomar y cómo tratarlos una vez realizada la misma. Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo para obtener el error absoluto y relativo de la gravedad por ejemplo con datos experimentales son las siguientes: •
•
•
•
Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental. Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados. El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética). El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).
Veamos: Medidas de la gravedad efectuadas en cada experiencia en m/s2: 9.8042, 10.0342, 9.9685, 10.1129, 9.3511
g
exacto
= 9.8541 m/s2
Valor que se considera exacto = 9.8541 m/s2
Cálculo de errores: error absoluto, error relativo . Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: •
•
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
4.- A partir de los 5 valores de g (±Δg) m/s2, calcule el valor medio de g (gm) m/s2 con su error.
Medidas m/s2 Errores absolutos
Errores relativos
9.8042
9.8042 - 9.8541= -0.0499
-0.0499/9.8541 = -5.06x10 -3(-0.506 %)
10.0342
10.0342 - 9.8541= 0.1801
0.1801/9.8541 = 0.0182 (1.827 %)
9.9685
9.9685 - 9.8541= 0.1144
0.1144/9.8541 = 1.144x10 -3 (0.1144%)
10.1129
10.1129 - 9.8541= 0.2588
0.2588/9.8541 = 0.026 (2.6263 %)
9.3511
9.3511 - 9.8541= -0.503
-0.503/9.8541 = -0.05 (-5.1044%)
Cuadro N°3 OBS: el signo negativo es generado debido a que en el error relativo algunas cantidades fueron menores a valor promedio de errores (valor exacto).
Donde 9.8541 m/s2 es el valor exacto o el promedio de las gravedades experimentales 5.- Sabiendo que el valor de la gravedad es 9.8 m/s2, calcule también el error relativo porcentual. Ingrese sus datos en una tabla. Comparando los resultados con el valor real (dato) de 9.8 m/s 2 con cada una de las gravedades experimentales, se obtiene el siguiente cuadro con sus respectivos errores absolutos y relativos:
Medidas m/s2 Errores absolutos
Errores relativos
9.8042
9.8042 - 9.8000= 4.2x10 -3
4.2x10 -3/9.800 = 4.285x10 -4(0.0428 %)
10.0342
10.0342 - 9.8000= 0.2342
0.2342/9.800 = 0.0238 (2.3897 %)
9.9685
9.9685 - 9.8000= 0.1685
0.1685/9.800 = 0.0171 (1.719%)
10.1129
10.1129 - 9.8000= 0.3129
0.3129/9.800 = 0.0319 (3.1928 %)
9.3511
9.3511 - 9.8000= -0.4489
-0.4489/9.800 = -0.0458 (-4.5806%)
Cuadro N°4
CUESTIONARIO 1.- ¿Se solapan las bandas de error del valor de “g” obtenido en el péndulo simple y gm en el péndulo compuesto?, explique. Si se solapan las bandas de error por ser estas relativamente bajas. El valor obtenido de acuerdo a las experiencias demuestran que los errores relativos y absolutos son bajos y que casi la medición de la gravedad experimental iguala a la gravedad ya conocida. 2.- Investigue sobre los péndulos físicos acoplados. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estos péndulos?, ¿cómo implementaría usted un experimento para este péndulo? Explique. Un sistema oscilatorio formado por dos péndulos simples idénticos, fijos a un mismo soporte con un resorte de constante elástica k colocado entre ellos, se le conoce con el nombre de péndulos acoplados.
La inclusión del resorte entre los péndulos hace que sus movimientos no sean independientes. El movimiento de uno de ellos influye en el movimiento del otro y viceversa dando como resultado un movimiento que se conoce como oscilaciones acopladas. Dado que para describir el movimiento de cada uno de los péndulos son necesarias dos funciones de posición angular con respecto al tiempo: θ1(t) y θ2(t), se dice que el sistema posee dos grados de libertad. La dinámica asociada al movimiento de cada uno de los péndulos puede resumirse de la siguiente manera: cuando la masa se separa de la posición de equilibrio una cierta cantidad angular, aparece sobre ella un torque restaurador τ que tiende a llevarla de nuevo a dicha
posición, causándole una aceleración angular α, la cual se relaciona con dicho torque a través de la expresión: τ = Iα I: es el momento de inercia de la masa M respecto al eje de rotación. De la definición de I y de α, la anterior ecuación se escribe como: τ = ML2θ’’ Utilizando esta ecuación y la definición de τ, se encuentra que para el péndulo cuyo desplazamiento es θ1 se tiene la siguiente ecuación de movimiento: ML2θ’’1 = −MgLsenθ1 + kℓ2sen(θ2 − θ1) (2.1) y para el otro
ML2θ’’2 = −MgLsenθ2 − kℓ2sen(θ2 − θ1)
(2.2)
Si los desplazamientos θ1 y θ2 son pequeños la aproximación Senθ ≈ θ será válida con lo cual las expresiones (2.1) y (2.2) se rescriben como: ML2θ’’1 = −MgLθ1 + kℓ2 (θ2 − θ1)
(2.3) y
ML2θ’’2 = −MgLθ2 − kℓ2 (θ2 − θ1)
(2.4)
Dado que las anteriores ecuaciones se encuentran acopladas, se sigue el Siguiente procedimiento de desacople: Al sumar las ecuaciones (2.3) y (2.4) se obtiene: ML2θ’’1 = −MgL θ1
(2.5)
Y al restarlas: ML2θ’’2 = −(MgL + 2k2ℓ2) θ2 Donde: θ1 = θ1 + θ2 y θ2 = θ1 − θ2 Escribiendo (2.5) y (2.6) en la forma Θ’’1 + ω12θ1 = 0
(2.6)
Θ’’2 + ω22θ2 = 0 Se obtienen las ecuaciones desacopladas cuyas frecuencias son: ω12 =g/L
(2.7)
y
ω22=g/L+ 2ε2 k/M
(2.8)
3.- Investigue sobre el péndulo muelle. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estos péndulos?, ¿cómo implementaría usted un experimento para este péndulo? Explique. Este sistema es la combinación de dos modos de oscilación, el péndulo simple y el muelle elástico, estos están acoplados de forma no lineal y tienen su frecuencia característica. Si el péndulo se desplaza un ángulo q de la vertical o se cambia su longitud de equilibrio o se hace cualquiera de estas dos combinaciones, la dinámica del objeto está dada por la fuerza del resorte, la fuerza gravitatoria y su propia masa. En primera instancia, el sistema comienza a oscilar de arriba abajo, pero el acoplamiento provoca que la masa m se desvíe de un lado a otro.
En el caso que el péndulo se aparta de la vertical un ángulo theta, la fuerza neta sobre la masa m está dada por: F = -k(r -r0) + mg en donde las letras en negrita indican vectores y r es el vector de posición de la masa m y r0 es el vector de posición del péndulo con la misma desviación de la vertical que antes, pero con la longitud original del resorte L. Las componentes escalares de la fuerza están dada por:
Fx=-k(x-Lsenq) Fy = -k(y-y0 +L cosq ) - mg Donde
De esta forma, las componentes determinadas, por:
de
la
aceleración quedan
4.- Investigue sobre las figuras de Lissajous. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estas figuras?, ¿cómo generaría usted esta figuras a partir del uso de los péndulos estudiados? Explique. Descritas por el matemático francés Jules Antoine Lissajous, a partir de los trabajos de Nathaniel Bowditch. Básicamente, éstas se producen al representar de forma simultánea en un osciloscopio dos ondas senoidales cuyas frecuencias se encuentren en fase, dando lugar a imágenes bastante atractivas. Las ecuaciones que describen a ambas señales serían: X (t) = a sen (ωt + δ) Y (t) = b sen (t) Y según la proporción que guarden entre sí las variables a y b, y la frecuencia angular ω en que ambas se encuentren, iremos obteniendo distintas figuras o curvas. Por ejemplo:
A partir de ahí, y variando los parámetros de las dos ecuaciones paramétricas descrito, pueden obtenerse infinidad de curvas.
5.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la amplitud?, ¿Qué relación existe entre ellos? Explique. El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:
Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:
Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:
Solución de la ecuación de movimiento
Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud φ 0 = 0,999π (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud φ0 = 0,25π (gris). Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto
basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:
Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además: , es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud
. , es la energía potencial.
Realizando en variable , la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:
Donde: , es la función elíptica de Jacobi tipo seno.
El lagrangiano del sistema es , donde θ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y l es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento:
.
6.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la longitud? ¿Qué relación existe entre ellos? Explicar. Si depende por lo siguiente: Es siempre posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir
(6) y, por lo tanto, tenemos que
(7) Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ. Según la fórmula ambas oscilaciones dependen del la longitud o longitud equivalente.
7.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la masa? Explicar. Esto es análogo a la cuestión de por qué una pluma y un yunque que son lanzados a una misma altura, caen al mismo tiempo (en el vacío por supuesto). Y la razón de esto, es que el tiempo de la caída depende de la aceleración. En el péndulo se encuentra que la aceleración es directamente proporcional al opuesto del desplazamiento, y cuya constante de proporcionalidad es g/L; es decir que la cinemática del péndulo no depende de la masa. 8.- Determine la aceleración de la gravedad con ayuda del grafico T 2 vs. I para ambos péndulos
Según la siguiente formula, se puede hallar la gravedad a partir de I, R, T2 y m:
9.¿Es el de Foucault es péndulo simple?, Explique sus características y
péndulo un
usos.
Un péndulo de Foucault es un péndulo simple, es decir, una bola colgada de un hilo largo y puesta a oscilar.
El científico francés J. B. Leon Foucault , en el año 1850, comprobó que el plano de oscilación del péndulo -el plano en donde se encuentra la trayectoria del péndulo- giraba lentamente en el sentido de las agujas del reloj. Esto le llamó la atención porque, en todo caso, debería girar en el sentido que lo hace la tierra que es el antihorario - mirando la tierra desde el hemisferio norte, que es en el que se encontraba nuestro científico. La explicación del fenómeno ya se podía dar, entonces, con ayuda de la mecánica newtoniana: el Principio de la Inercia lo explica. Ocurre que, aunque parece que la trayectoria del péndulo cambia, es el suelo, que tiene debajo, el que se mueve - y nosotros con él. Porque si sobre el péndulo sólo actúan la fuerza del peso y la tensión de la cuerda atada y ambas se encuentran en el mismo plano de la trayectoria, el péndulo tiene que seguir siempre en ese plano -al no haber fuerza alguna que lo saque de él. Aunque la velocidad angular es la misma en todos los puntos de la superficie de la Tierra, no ocurre lo mismo con su velocidad lineal. Esta velocidad vale w·r , donde w es la velocidad angular y r la distancia al
eje de giro. Es máxima en los puntos del ecuador -que en este caso r es el radio de la Tierra- y vale cero en los polos. A un observador en la superficie de la Tierra le parecerá que actúa una fuerza sobre el péndulo, cambiando su trayectoria. Los físicos llaman a esta fuerza imaginaria: fuerza de Coriolis -o aceleración de Coriolis, si nos fijamos en la aceleración que produce. En el hemisferio norte parece desviar los cuerpos hacia la derecha de su trayectoria y en el hemisferio sur hacia la izquierda. En las siguientes figuras puedes ver las trayectorias que sigue el péndulo visto desde la Tierra (Fig.1) y desde el espacio exterior, por ejemplo, desde el platillo de un extraterrestre que se encuentre inmóvil respecto de las estrellas (Fig. 2). Fig. 1
Fig. 2
El extratrerestre verá que la trayectoria es una línea recta. Desde la Tierra, la trayectoria va girando. La velocidad de giro de ésta, en los polos, es la máxima dando una vuelta cada 24 horas. En el ecuador el péndulo no gira. Según la latitud en la que se encuentre la velocidad de giro vale wf = w·senß. Las trayectorias de las figuras anteriores corresponden a las de un péndulo que inicia su movimiento desde el centro de oscilación, en reposo, con un breve impulso. Si la oscilación del péndulo se inicia desde desde un extremo, en reposo respecto de la Tierra, las
trayectorias vistas desde la Tierra y desde el espacio exterior serían respectivamente las de las figuras 3 y 4: Fig. 3
Fig. 4
Es esta
aceleración la responsable del giro del aire formando las borrascas y los anticiclones. En el hemisferio norte el aire de las borrascas se desvía hacia la derecha formando un remolino en sentido antihorario y en los anticiclones en sentido horario. En el hemisferio Sur ocurre al contrario. Si Foucaul hubiera hecho su experiencia en una ciudad del hemisferio Sur -en vez de en París, en donde lo llevó a cabo- habría observado como su péndulo giraba en sentido antihorario. 10.- ¿Cuál de las siguientes relaciones entre la aceleración a y el desplazamiento x de la partícula relaciona un movimiento armónico simple ¿(a) a=0.5x, (b)=400x2, (c) a=-20x, (d) a=-3x2? (c) porque es de la forma a= -
x
11.- ¿Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error en su experimento? - al momento de contar las oscilaciones (no fueron exactas) - la resistencia del aire dificulta el movimiento del péndulo compuesto - el péndulo opone la resistencia al cambio de estado - al medir el tiempo en las oscilaciones
12.- ¿Como aplicaría este tema en su carrera profesional? Una aplicación del péndulo en la ingeniería, es en la construcción de edificaciones, veamos un ejemplo de la vida real: El Taipéi 101 es uno de los edificios más altos de mundo, que cuenta con novedosos adelantos tecnológicos y uno de los más seguros debido a que cuenta con un sencillo pero eficaz amortiguador estabilizador, un amortiguador de masa destinado a contrarrestar los efectos de huracanes y temblores de tierra sobre el edificio .Se trata de un mecanismo simple que consiste básicamente en un enorme bloque - bola de acero y hormigón colgando como un péndulo que contrarresta los vaivenes y movimientos laterales habituales en este tipo de edificios, desplazándose en el sentido contrario a estos. La esfera estabilizadora del Taipéi 101 se llama Damper Baby, pesa 660 toneladas, su actividad prioritaria es columpiarse haciendo tolerables los tifones y los terremotos que asaltan habitualmente a este rascacielos por estar construido en Taiwán, una de las zonas con más temblores del mundo.
CONCLUSIONES •
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Luego de realizada esta experiencia, podemos mostrar que los sistemas pendulares son mecanismos que permiten la Interacción de muchos factores como la gravedad, la masa, la longitud y demás unidades de medidas. La masa es un factor que no determina ninguna influencia al momento de calcular el periodo pendular, por tanto, la masa y la naturaleza del objeto son independientes del funcionamiento del sistema. Al obtener errores tan bajos podemos concluir que el método de elaboración de la práctica es confiable y sus resultados son producto de la buena elaboración en el laboratorio La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio.
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