Indwiarti
[email protected] 70640200
Seorang peneliti mengukur umur suatu komponen komponen yang dihitung dalam hari (X). Kemudian peneliti lain menyatakan umur komponen tersebut dalam minggu, maka : g(X) = 7X Misal X adalah peubah acak dan mempunyai fungsi peluang (fpp/fmp), kemudian ada suatu fungsi dari X, g(X), maka fungsi peluang dari g(X) dapat ditentukan berdasarkan fungsi peluang dari X
Periksa, apakah transformasinya satu-ke-satu, atau dua-ke-satu
Kasus Diskret 4
Misalkan X adalah p.a.d. Dengan fmp p X ( x) dan Y=g(X) adalah fungsi yang mendefinisikan transformasi satu-ke-satu. Persamaan y=g(x) dapat diselesaikan secara unik, yaitu : 1
x g ( y ) Dan fmp Y adalah : 1
pY ( y ) p X ( g ( y )) Transformasi Peubah Acak
4/22/2013
Diketahui p.a.d. X mempunyai fmp 3 1 x 2 3 x , x 0,1,2,3 p X ( x ) x 3 3 0 , x lainnya
Tentukan fmp bagi a. Y = 2X +1 b. Y = X 2
Soal- soal 1. Andaikan VRD X dengan pmf sebagai berikut :
0,15 0, 20 p ( x) X 0,30 0 tentukan pmf dari Y : a. Y= 2X +1 dan b. Y = ( X – 2 )2
jika x 0, 3 jika x 1, 2 jika x 4 untuk x lainnya
Soal- soal 2. VR X mempunyai pmf sebagai berikut : x p( x) X
P( X
x)
-1 1
0 1
1 1
2 1
2
4
8
8
Tentukan pmf dari VR Y, jika : a. Y = g(X) = 2X + 1 b. Y = g(X) = 2X2 + 1
Senin, 22 April 2013
[MA 2513] PROBSTAT
Bila y = g(x) bersifat monoton naik jika x1 x2 , maka g ( x1 ) g ( x2 )
1.
F Y (a) P (Y a)
Y
a
P ( x X ; g ( x) a)
g ( x2 )
P ( X g 1 (a))
g ( x1 )
1
F X ( g (a)) x1
x 2
g 1 (a) X
Fungsi distribusi untuk p.a. Y = g(x) adalah :
F Y ( y ) F X ( g 1 ( y ))
untuk y
Fungsi Padat Peluang peubah acak kontinu Y :
f Y ( y )
dF Y ( y ) dy
1
dF X ( g ( y )) dy dF X ( g 1 ( y )) dg 1 ( y ) . 1 dg ( y ) dy
dg 1 ( y )
f X ( g 1 ( y )).
dy
Karena y = g(x) monoton naik, maka
x
g 1 ( y ) juga monoton naik.
1
Jadi
dg ( y ) dy
Sehingga
0, untuk y Y
1 ( y ) dg 1 f Y ( y ) f X ( g ( y )) dy
f Y ( y ) f X ( g 1 ( y )) J dimana
dg 1 ( y ) J dy
adalah Jacobi transformasi
2. Bila y = g(x) bersifat monoton turun jika x1 x2 , maka g ( x1 ) g ( x2 )
F Y (a) P (Y a)
Y
P ( x X ; g ( x) a)
a g ( x1 )
1
P ( X g (a))
g ( x2 )
g 1 (a)
1
1 P ( X g (a)) x1
x 2
X
Kasus Kontinu 12
Karena X adalah p.a.k., maka Fungsi distribusi untuk p.a. Y = g(x) adalah : 1
F Y (a) 1 F X ( g (a)) F Y ( y ) 1 F X ( g 1 ( y )) untuk y Fungsi Padat Peluang peubah acak kontinu Y :
f Y ( y )
dF Y ( y ) dy
d dy
Transformasi Peubah Acak
1
[1 F X ( g ( y ))]
4/22/2013
Kasus Kontinu 13
1
dF X ( g ( y )) dy 1
1
dF X ( g ( y )) dg ( y ) 1
dg ( y ) 1
f X ( g ( y )). Transformasi Peubah Acak
.
dy 1
dg ( y ) dy 4/22/2013
Kasus Kontinu 14
Karena y = g(x) monoton turun, maka Jadi
dg 1 ( y ) dy
Sehingga
0, untuk y Y
atau
x
g 1 ( y ) juga monoton turun.
dg 1 ( y )
0, untuk y Y
dy 1 ( y ) dg
f Y ( y )
f X ( g 1 ( y )).
dy
1 ( y ) dg 1 f Y ( y ) f X ( g ( y )). dy
f Y ( y )
f X ( g 1 ( y )) J
dg 1 ( y ) dy
dimana J
Transformasi Peubah Acak
adalah Jacobi transformasi 4/22/2013
Contoh Soal : 15
1. Variabel Random X mempunyai pdf : f ( x) 2 x
0 x 1
X
Andaikan : Y = g(X) = 3X + 6, tentukan : f ( y ) ? Y
Solusi : g(x) = 3x + 6 y 6 x g 1 ( y )
d g 1 ( y )
3
1
f ( y ) f g ( y ) Y
dg 1 ( y )
X
f ( y ) Y
[MA 2513] PROBSTAT
2( y 6) 9
dy
dy
1 3
y 6 1 2( y 6) 2. . ...6 y 9 3 3 9
....6 y 9 Senin, 22 April 2013
Soal- soal 16
2. Resistansi R yang ditunjukan dalam sirkuit di bawah ini merupakan VR, sedangkan pdfnya seperti pada gambar dibawah ini. Apabila besarnya arus yang mengalir i = 0,1 Amp da ro = 100 Ohm, maka : Tentukan pdf dari voltage V ro
f (r ) R
V
+ -
i
R
0,1
90
[MA 2513] PROBSTAT
110
r
Senin, 22 April 2013
17
Andaikan U adalah VR yang menyatakan temperatur dari suatu proses kimia, dengan Fungsi distribusi adalah sbb: , jik a t 170 0 1 F U (t ) t 170 , jik a170 t 174 2 , jik a t 174 1 U diukur dalam derajat Fahrenheit. Misalkan V adalah peubah acak yang menyatakan temperatur proses kimia dalam skala Kelvin, yaitu V= 5/9 U+256 (7/9), maka tentukan fungsi distribusi untuk V Transformasi Peubah
4/22/2013
SOAL 18
1. Andaikan peubah acak I menyatakan arus listrik,
dan I berdistribusi Uniform dalam selang (9,11). Jika arus I ini melalui resistor 2 Ohm, tentukan : Fungsi Padat Peluang dari power E(P).
1 f I (i ) 2 0
,9 i 11 , x lainnya
Transformasi Peubah
4/22/2013
19
a.
P = 2 I2 p = 2i2
i2 = p/2 i
Transformasi Peubah
p 2
1 g ( p )
4/22/2013
Soal UTS Gasal 2008-2009 20
Peubah acak kontinu X mempunyai fungsi padat peluang :
k e 3 x f ( x) 0 a) b)
, untuk x 0 , untuk x lainnya
Tentukan nilai k Jika , maka tentukan fungsi padat peluang Y.
Jawab : a. Menggunakan sifat fpp :
f ( x ) dx 1
Diperoleh nilai k = 3
Transformasi Peubah
4/22/2013
21
b. y
ln y
x
e x
ln e x
ln y
dg
1
J
f Y ( y ) f Y ( y ) f Y ( y )
( y )
d (ln y )
dy
3e
dy
3 ln y
3 e y
3 y y
1
y
1 y
3 ln y
3
Transformasi Peubah
3 y 4 4/22/2013
22
3 y 4 f Y ( y ) 0
, ln y 0 , ln y ln 1 , y 1 , y lainnya
Transformasi Peubah
4/22/2013
