1
KL3103 Gelombang Acak Buku teks : rd Goda, Yoshimi. Yoshimi. 2010. “Random Seas and Design of Maritime Structures S tructures 3 Edition”. World Scientific, Singapore. Dean, R.G, Dalrymple. 1991. “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. Scientists”. World Scientific Mekanika Gelombang
Gelombang monokromatis = gelombang reguler. Memiliki 1 nilai H dan 1 nilai T. Merambat pada kedalaman perairan h.
[perairan dangkal] [perairan dalam] [perairan transisi]
Gelombang nyata memiliki bermacam nilai H dan T yang te rjadi di kedalaman h. Parameter utama gelombang air: 1. H 2. T 3. h → tempat → tempat kejadian 4. L → tidak independen, bergantung pada T dan H (persamaan dispersi)
T dan h →
= kecepatan sudut
= bilangan gelombang ( wave number )
2
Elevasi Muka Air Persamaan elevasi muka air (selanjutnya disingkat EMA) dari mekanika gelombang:
Keterangan: H = tinggi gelombang (m) Fungsi harmonik yang dipilih adalah fungsi cosinus. Nilai cosinus bervariasi terhadap ruang x dan waktu t.
Dalam profesi Teknik Kelautan, yang disebut dengan data mentah ( raw data) gelombang air adalah record η = EMA sebagai fungsi waktu t. Periode gelombang laut berkisar dari beberapa detik sampai dengan 30-an detik. Untuk mendapatkan record η(t) yang dapat menunjukkan variasi η dalam waktu, harus dipilih Δt (jarak antara titik dalam waktu) yang cukup kecil. Lazimnya diterapkan diterapkan Δt = 0,5 0 ,5 s. Sehingga sampling rate-nya adalah
= 2 Hz.
Dalam kenyataannya, kenyataannya, gelombang laut tidak monokromatik. Gelombang laut be rsifat rsifat acak dalam tinggi dan perioda. Diilustrasikan dalam ruang x dan waktu t sebagai berikut.
2
Elevasi Muka Air Persamaan elevasi muka air (selanjutnya disingkat EMA) dari mekanika gelombang:
Keterangan: H = tinggi gelombang (m) Fungsi harmonik yang dipilih adalah fungsi cosinus. Nilai cosinus bervariasi terhadap ruang x dan waktu t.
Dalam profesi Teknik Kelautan, yang disebut dengan data mentah ( raw data) gelombang air adalah record η = EMA sebagai fungsi waktu t. Periode gelombang laut berkisar dari beberapa detik sampai dengan 30-an detik. Untuk mendapatkan record η(t) yang dapat menunjukkan variasi η dalam waktu, harus dipilih Δt (jarak antara titik dalam waktu) yang cukup kecil. Lazimnya diterapkan diterapkan Δt = 0,5 0 ,5 s. Sehingga sampling rate-nya adalah
= 2 Hz.
Dalam kenyataannya, kenyataannya, gelombang laut tidak monokromatik. Gelombang laut be rsifat rsifat acak dalam tinggi dan perioda. Diilustrasikan dalam ruang x dan waktu t sebagai berikut.
3
Gelombang perlu di-parameterkan di-parameterkan (diwakili oleh parameter fisik tertentu) untuk menunjukkan karakternya. karakternya. Untuk gelombang reguler: 1. H 2. T 3. h 4. L Untuk gelombang acak: ada 1 nilai h dan banyak nilai H, T, dan L. Dua pendekatan untuk masalah gelombang acak 1. Pendekatan domain waktu. Statistik gelombang individual yang diperoleh dari seri waktu EMA = η(t). 2. Pendekatan domain frekuensi. Transformasi Fourier atas seri waktu EMA → spektrum gelombang Gelombang acak dipecah menjadi be berapa gelombang individual (1 puncak dan 1 lembah) Domain Waktu Seri waktu EMA dipilah menjadi gelombang individual (Hi, Ti) i = indeks gelombang individual = 1, 2, 3, ..., N N = jumlah gelombang individual dalam data seri waktu yang dibahas Misal:
Seri waktu EMA tersedia 1 tahun.
Periode rata-rata = 5 s.
= 6.307.200 gelombang individual
Cara mengidentifikasi gelombang individual: 1. Cara zero up-crossing
2. Cara zero down-crossing
4
Dalam praktek, data gelombang tidak langsung tersedia dalam bentuk H, T. T. Raw data berbentuk seri waktu (time series) EMA.
Sketsa seri waktu EMA hasil pengukuran Δt lazimnya ≤ 0,5 detik (ukur gelombang). Dalam kenyataan, gelombang laut acak (random). Perlu cara untuk mengkarakterisasi gelombang acak. Gelombang Reguler Diwakili oleh parameter:
Gelombang Acak Apa parameternya?
h
h (sama)
H
pendekatan domain waktu
T
pendekatan domain frekuensi
L
5
Pengenalan awal tentang domain waktu dan domain frekuensi Domain Waktu Tinjau kronologis-fisik [sketsa timeseries] Seri waktu ema (η) diurai menjadi gelombang individual: Zero up-crossing Zero down-crossing
Domain Frekuensi Tinjauan menggunakan transformasi Fourier Seri waktu η(t) ditransformasikan menjadi koefisien Fourier → spektrum gelombang
rd
Goda (3 edition) (2010) halaman 23 -24: 4 jenis gelombang yang merepresentasi: 1. : gelombang tertinggi
2.
: gelombang “ ”
3.
: gelombang signifikan atau gelombang “ ”
4.
Hmax Tmax
: gelombang rata-rata (mean wave) = tinggi gelombang individu terbesar dalam himpunan yang ditinjau = periode gelombang yang menyertai Hmax
Hi Ti
= tinggi gelombang individual = periode gelombang individual
6
N i
= jumlah gelombang individual dalam himpunan = indeks gelombang individu = 1, 2, 3, ..., N (kronologis)
Diperkenalkan ranking Ranking (r) (besar → kecil) 1 2 3
H individual (m) 7,27 7,14 7,12
T individual (m) 9,03 5,33 6,26
N
dst.
dst.
n = angka partisi yang dipilih misal : n=3→
!
AWAS: r disusun berdasarkan H, bukan T
n = 10 →
n = 100 →
Distribusi Gelombang Individual Tinjau hanya tinggi gelombang individual H i. i = 1, 2, 3, ..., N (Goda (2010), 2.2.1, page 24) Dibuat histogram gelombang individual.
Dalam ilustrasi ini dibuat histogram per ½ meter tinggi gelombang
7
Histogram yang dinormalkan N = jumlah gelombang individual = tinggi gelombang rata-rata ΔH = interval histogram fisik
Seri waktu η(t) ↓ Gelombang individual (H i, Ti) ↓ Histogram Hi saja ↓ Histogram dinormalkan dengan cara seperti dijelaskan ↓ Distribusi gelombang individual
Ini dapat menjadi satu karakter laut yang ditinjau (beda laut beda distribusi)
Dari populasi gelombang individual Hi = 1, 2, 3, ..., N disusun grafik probabilitas sebagai ber ikut.
Distribusi tinggi gelombang individual dapat menjadi bagian dari karakter gelombang di suatu perairan. Pembentukan grafik distribusi mudah ( straight forward ) → ikuti prosedur Goda. Namun: hanya bisa menyusun grafik distribusi jika punya data riil gelombang individual dalam jumlah besar atau kurun waktu lama. → ini langka karena pengukuran gelombang mahal.
8
Diperkenalkan: distribusi tinggi gelombang teoritis/sintetis → distribusi Rayleigh
x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
(2.1) Goda (2010)
p(x) 0.000 0.304 0.554 0.710 0.760 0.716 0.608 0.472 0.337 0.222 0.136
Apa gunanya?
1. Ini xp apa?
Hp = nilai tinggi gelombang yang paling banyak terjadi dalam populasi. 2. Luas yang diarsir terletak di antara:
Luasnya = p(x)∙[x 2 – x1] = probabilitas kejadian gelombang yang tingginya H1 ≤ Hi ≤ H2.
3. Luas keseluruhan = jumlah bagian = 1 = probabilitas semua kejadian gelombang. 4. Kaitan dengan tinggi gelombang signifikan
1
= rata-rata dari /3 tinggi gelombang individual terbesar.
9
5. Kaitan dengan
6.
(mirip dengan
)
10
Distribusi Tinggi Gelombang Individual Merupakan salah satu cara menyatakan karakter (sifat) gelombang acak. Dapat dengan mudah dibuat jika data gelombang individual dimiliki (= himpunan H i yang diperoleh dari seri waktu ema). → ikuti prosedur di Goda (2010) butir 2.2.1. Secara teoritis diperkenalkan distribusi gelombang individual Rayleigh. Distribusi Rayleigh:
;
(2.1)
Diperkenalkan: probabilitas terlampaui
Ranking r
Hi (meter)
Probabilitas Terlampaui
1 2 3
10,37 10,16 9,71
N
0,01
0,000... 0,000... 0,000...
0,999...
Di-plot Format 1: sumbu P mendatar
Format 2: sumbu P vertikal mengikuti fig. 2.4 (Goda, 2010)
11
Selanjutnya: probabilitas terlampaui mengikuti distribusi gelombang individual Rayleigh.
Probabilitas terlampaui teoritis sesuai distribusi Rayleigh
= distribusi gelombang individual Rayleigh
Pertanyaan: 1. Di mana posisi 2. Apa makna xb?
?
(2.2)
12
Hubungan Antar Nilai Tinggi Gelombang Tinjau kembali distribusi gelombang individual Rayleigh.
Karena bentuk kurva Rayleigh tertentu, maka posisi ,
Dapat dicari hubungan antar mereka:
(2.3)
,
,
juga tertentu.
→ berdasarkan distribusi gelombang individual Rayleigh
Jika distribusi diperoleh dari data gelombang riil (lapangan), angka hubungan belum tentu sama dengan angka Rayleigh. Gelombang Maksimum
Di mana posisi
?
Hmax = gelombang tertinggi dalam himpunan yang ditinjau. Hmax hanya ada satu dalam populasi, tidak bisa diwakili dengan angka luas tertentu. Maka, hubungan Hmax dengan tinggi gelombang lain tidak bisa diturunkan seperti persamaan 2.3 Goda. Makin besar populasi gelombang individual, makin besar peluang nilai H max lebih tinggi.
13
Goda (2010) memberikan rumus se bagai berikut: 1. Most probable value (modus)
(2.4)
N = jumlah populasi gelombang individual yang ditinjau. 2. Nilai “rata-rata” Hmax
(2.5)
= koefisien Euler = 0,5772 3. Nilai Hmax yang memiliki probabilitas terlampaui μ (2.6)
Contoh 2.1 di halaman 30 Goda (2010) Hubungan antar tinggi gelombang:
Berdasarkan data gelombang riil → site specific Berdasarkan distribusi Rayleigh → teoritis, exact
Hubungan berbasis distribusi Rayleigh
Gelombang terbesar = Hmax → hanya ada 1 nilai Hmax dalam populasi. Persamaan 2.4 sampai dengan 2.6 memberikan rumus H max yang bergantung kepada N = jumlah gelombang individual dalam populasi. Mengapa?
14
Posisi xmax bergeser mengikuti nilai N. Makin besar nilai N, nilai x max makin bergeser ke kanan (makin besar). Contoh dari Goda (2010) Example 2.1
Diketahui: 1. Populasi gelombang individu = 500 2. = 6,0 m
Hitung: nilai modus dan nilai rata-rata H max. Jawab:
Buat tabel untuk N berbeda. N 500 5 000 50 000 500 000 5 000 000
10,6 m 12,4 m 13,9 m 15,3 m 16,6 m
11,1 m 12,8 m 14,3 m 15,7 m 16,9 m
Untuk taksiran kasar, Goda merekomendasikan (2.7) Bagaimana dengan perioda? Hubungan empiris dari sejumlah data lapangan:
Nilai Hmax meningkat dengan N
15
Angka rata-rata:
(2.9)
Analisis gelombang acak:
Dalam domain waktu (time domain). Dalam domain frekuensi (frequency domain).
Domain Waktu Gelombang dipandang sebagai seri waktu kejadian ema yang berubah terhadap waktu ↓ Seri waktu ema dipilah (broken down) menjadi gelombang individual dengan identitas H i, Ti ↓ Statistik gelombang individual merupakan pokok bahasan dalam domain waktu Domain Frekuensi Gelombang acak dalam domain frekuensi dipandang sebagai sinyal. Analisis sinyal mengikuti disiplin iptek yang sudah terlebih dahulu mapan, misalnya elektro. Tool (perkakas) utama dalam analisis sinyal adalah deret Fourier. Fourier menyatakan bahwa (hampir) setiap fungsi f(t) dapat didekati/diwakili oleh deret Fourier sebagai berikut.
k a0, ak, bk
= indeks Fourier = 1, 2, 3, ..., N = koefisien Fourier
Fourier memandang fungsi f(t) sebagai superposisi gerak harmonik (sinus, cosinus) dengan suku deret tidak terbatas. Dalam praktek perhitungan, tidak ada istilah ‘tidak terbatas’. Jumlah suku dalam deret Fourier akan dibatasi suatu angka yang besar.
16
Ilustrasi deret Fourier
Secara matematika, koefisien Fourier dihitung dengan rumus sebagai berikut.
Semua formulasi di atas ditulis dalam bentuk matematika murni (integral, tak berhingga). Dalam praktek komputasi, perlu adaptasi numerik agar perhitungan dapat dilakukan dengan bantuan komputer. Pernyataan diskrit deret Fourier
= seri waktu ema yang diketahui
N k
= jumlah titik data dalam seri waktu η(t) = indeks Fourier = 1, 2, 3, ..., N
(11.15)
k = 0, 1, 2, ...,
(11.14) Goda 2010
17
(11.16)
k = 1, 2, 3, ...,
DOMAIN WAKTU
DOMAIN FREKUENSI koefisien Fourier
k = 1, 2, 3, ...,
Hendak diapakan?
Diperkenalkan: spektrum gelombang Tata sumbu
f
= frekuensi =
T S
= periode gelombang = power spectral density (PSD)
k
= indeks Fourier = 0, 1, 2, ...,
k = 0 → S0 = S(f=0) = 0 k = 1, 2, ..., k=
→ Sk = S(f k) =
→
tmax = durasi seri waktu η(t) f k = k∙Δf
18
DOMAIN WAKTU
DOMAIN FREKUENSI
k = 0, 1, 2, ...,
= 1, 2, ..., N
Sk dihitung dengan rumus yang sudah diperkenalkan
Pengertian spektrum gelombang dari buku Dean, Dalrymple “Water Wave Mechanics” chapter 7:
an = amplitudo Tn = perioda = fasa
(7.22)
Komponen ke-n deret Fourier
Bandingkan, sebelumnya deret Fourier ditulis:
Ingat identitas trigonometri: a
= amplitudo = fasa A, B = koefisien Fourier Dengan:
Jadi, deret Fourier dapat dinyatakn lebih dari satu cara tanpa me ngubah esensi permasalahannya. A, B → diperoleh dari transformasi Fourier → amplitudo a bisa dihitung (
)
19
Spektrum gelombang hanya butuh “a”. Informasi tentang fasa φ hilang dalam proses transformasi Fourier. Mengikuti buku DD1991, susun sebagai berikut (fig. 7.2) :
1) Spektrum amplitudo
3) Spektrum kerapatan energi
2) Spektrum energi
4) PSD = power spectral density → dibuat kontinu PSD =
Kini: Jika diberikan η(t) = seri waktu ema → dapat menyusun spektrum gelombang. Butuh: “tools” (perkakas, software) untuk transformasi Fourier untuk mengkonversi η(t) menjadi a. TF ITF
: Transformasi Fourier : Invers Transformasi Fourier
ηi : i = indeks ema = 1, 2, 3, ..., k k = jumlah titik data dalam seri waktu ema
an : n = 1, 2, 3, ..., N = indeks komponen Fourier N = jumlah komponen Fourier yang diperhitungkan
20
Hubungan parameter dalam domain waktu dan domain frekuensi.
f nyq
tmax = durasi data ema (s) = k∙Δt k = jumlah titik data ema Δt = interval waktu antar titik data (s)
(Hz = )
= frekuensi Nyqwist = frekuensi terbesar yang dihitung dalam domain frekuensi =
Kenapa dibatasi? f kecil → T besar → gelombang panjang f besar → T kecil → gelombang pendek
Gelombang terpendek yang bisa terekam dalam domain waktu adalah sebagai berikut:
Spektrum Gelombang Teoritis atau Semi-Empiris Jika data riil gelombang tersedia → spektrum gelombang dapat dibuat. Tapi data riil gelombang langka. Diperkenalkan spektrum gelombang yang telah diformulasikan dalam literatur teknik kelautan.
21
1. Formula baku spektrum gelombang ( fully developed wind wave)
,
(2.10)
= gelombang signifikan
Spektrum ditentukan dari
,
→ misalnya dari penaksiran gelombang berbasis data angin
2. Spektrum BM (Bretschneider-Mitsuyasu)
(2.11)
3. Spektrum JONSWAP
Parameter baru:
(2.12)
, ,
(2.13)
(2.14)
= 1 – 7, rata-rata 3.3
TP = periode puncak spektrum
4. Spektrum Wallops
(2.16)
(2.17)
22
(2.18)
= fungsi Gamma
Untuk m=5 → spektrum Wallops = spektrum BM 5. Spektrum TMA (Texel, Marsen, Arsole)
= spektrum JONSWAP
(2.19)
(2.12)
6. Spektrum Bretschneider (buku Reeve (2004))
(3.17) Reeve 2004
= tinggi gelombang signifikan = periode gelombang rata-rata (mean)
Persamaan empiris Bretschnetider
= periode puncak spektrum
= periodegelombang signifikan
7. Spektrum PM (Pierson-Moskowitz)
(3.18) Reeve 2004
-3
α = 8.1 x 10 2 g = percepatan gravitasi = 9.8 m/s Hubungan empiris Ochi
= kecepatan angin pada ketinggian 19,5 m di atas elevesi lahan/laut
23
Profil kecepatan angin
Alat ukur angin biasanya ditempatkan pada ketinggian 10 meter. Dari catatan data angin (misalnya dari BMKG) diperoleh U10. Nilai U19,5 didekati dengan rumus:
Selanjutnya:
Kini, hakikat spektrum gelombang telah dipahami. Spektrum menjadi salah satu acara untuk menyatakan karakter gelombang. Idealnya, spektrum gelombang disusun dari data riil gelombang.
Parameter domain waktu:
... (3.20) Reeve
24
Domain frekuensi juga memiliki parameter domain frekuensi yang dihitung dari spektrum gelombang.
Diperkenalkan: Momen spektrum orde ke-k (k = 0, 1, 2, 3, ...)
Misal:
Luas daerah di bawah kurva spektrum
Hm0
= tinggi gelombang signifikan berbasis spektrum = 4,004
Periode gelombang berbasis spektrum
25
Sudah dibahas domain waktu
domain frekuensi transformasi
Cara teknik kelautan mengkarakterisasi gelombang acak
Prosedur transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi sudah baku dan tidak ada variasinya. Siapapun yang melakukan transformasi secara benar akan m endapatkan spektrum gelombang yang persis sama. Bagaimana sebaliknya (Inverse Transformasi Fourier)?
Apakah akan diperoleh seri waktu ema tertentu untuk suatu spektrum gelombang yang diketahui? TIDAK Suatu spektrum gelombang dapat diwujudkan dalam variasi seri waktu yang berbeda. Namun, semua variasi seri waktu ema itu jika ditransformasi kembali ke domain frekuensi, akan menghasilkan spektrum gelombang yang sama. Mengapa bisa terjadi kondisi tidak simetris ini? Tinjau kembali pendekatan Fourier atas seri waktu ema gelombang acak.
c, d
= koefisien Fourier
T φ n N t
= amplitudo = perioda komponen Fourier = fasa = indeks komponen Fourier = 1, 2, 3, ..., N = jumlah komponen Fourier yang dihitung = waktu
}
atau
26
Ketika ditransformasi, informasi yang dipertahankan dari domain waktu ke domain frekuensi adalah: Informasi tentang φ tidak terbawa transformasi. Ingat:
Dalam proses transformasi, φ (fasa) tidak terbawa. Bagaimana caranya membuat seri waktu ema dari suatu spektrum gelombang? Bedah spektrum gelombang
Komponen ke-n memiliki:
Frekuensi = f n Periode = Tn =
Amplitudo an dari irisan spektrum Tapi tidak mempunyai φn. Persamaan harmonik komponen ke-n
an, Tn Fasa
: diketahui dari spektrum harus diambil
27
Penjumlahan dari semua komponen merupakan seri waktu ema
Spektrum gelombang mengandung informasi sebagai berikut:
Setiap tongkat (bar)dalam spektrum mewakili satu komponen Fourier. Tinjau misalnya tongkat dengan:
Nilai frekuensi = f 1 Komponen Fourier yang diwakili oleh f 1 adalah gelombang sinusoidal dengan:
o
Perioda
o
Amplitudo = a1 dari tinggi tongkat
o
Tinggi gelombang H1 = 2a1
Di mana t=0 nya? Spektrum tidak memiliki informasi tentang fasa φ1. Jadi dari spektrum gelombang diperoleh untuk tiap komponen Fourier:
Periode Tinggi
Gelombang acak memandang seri waktu EMA sebagai deret Fourier.
28
Dibutuhkan angka φ (fasa) sebanyak N komponen Fourier agar dapat membuat seri waktu EMA berbasis spektrum gelombang yang diketahui. Angka φ ini diperoleh dari generator angka acak ( random number generator ) yang tersedia di kalkulator dan semua Library Subroutine pake bahasa komputer yang Anda pakai (Fortran, Pascal, C, Matlab, dll.)
Generator memproduksi angka acak di antara 0 dan 1 se cara merata sehingga rata-rata angka acak = 0,5 untuk N lebar. Generator angka acak (random number generator)
Produksi angka acak terdistribusi merata dalam interval [0, 1].
29
Terkait kebutuhan dalam mendapatkan angka fasa gerak harmonik:
n
= nomor produksi
N
= jumlah produksi terkait dengan jumlah komponen Fourier dalam spektrum.
Fasa φn memiliki nilai dalam interval [0, 2π]. Produksi asli generator angka dalam interval [0, 1] dikalikan dengan 2π
Prosedur menciptakan seri waktu EMA berbasis spektrum gelombang yang diketahui: 1. Pastikan spektrum gelombang diketahui dengan benar.
2. Tetapkan Δf. Ingat kaitan Δf (domain frekuensi) dengan tmax (domain waktu)
= panjang seri waktu yang akan diciptakan
3. Hitung jumlah komponen Fourier = jumlah gerak harmonik penyusun gelombang acak.
4. Siapkan untuk tiap komponen Fourier: a.
Periode
; f n = frekuensi
komponen dalam spektrum b. Amplitudo an c. Fasa φn dari generator angka acak [Sketsa spektrum] 5. Ciptakan seri waktu EMA dengan persamaan
Didapat seri waktu EMA
30
Kini proses bolak-balik antara
DW
DF
domain waktu
domain frekuensi
sudah selesai dibahas. Selanjutnya dibahas aspek kuantitatif dari aspek bolak-balik ini. Cara Mengukur EMA
Hasil ukur:
Perhatikan: 1. Ideal: η(t) diukur menerus tanpa je da. Dulu, keinginan ini sukar dipenuhi (alasan baterai dan memori). Kini pengukuran menerus t idak banyak kendala.
31
2. Sampai saat ini (lihat Goda (2010) hal. 435) pengukuran masih lazim dilaksanakan tidak menerus. Kelaziman yang diterima adalah sebai berikut.
Dengan pola ukur ini, setiap interval ukur memiliki panjang 20 menit = 1200 detik.
Jika = 5s ada 240 gelombang Jumlah 100-200 gel. individual per interval individual per interval dianggap cukup untuk mewakili karakter Jika = 10s ada 120 gelombang gelombang pada jam yang ditinjau Individual per interval 3. Pengolahan data EMA dilakukan dengan basis = 0 (ema rata-rata = 0). Posisi elevasi rata-rata ema belum diketahui saat pengukuran. AWAS, nilai ema rata-rata dalam kenyataan tidak konstan. ADA PASANG SURUT (selalu).
Perhatikan skala waktu:
Periode pasut 12 jam atau 24 jam. Periode gelombang < 30 detik.
Spektrum gelombang asli dari transformasi seri waktu ema t idak mulus (smooth). Variasi nilai tidak halus, melainkan “erratic” mencerminkan keacakan gelombang.
32
an, bn n
= koefisien Fourier (INGAT!) = nomor/indeks komponen = 1, 2, 3, ..., N
tmax = panjang seri waktu ema Semakin kecil , semakin besar variasi S(f). Ini tidak baik. Grafik yang keriting mengindikasikan ketidakmantapan statistik. Cara penanggulangan: SMOOTHING Cara penghalusan 1: Bandwidth Smoothing
Setiap m nilai f diwakili oleh satu nilai f. m = integer, misal m = 7. Semula spektrum memiliki spektrum memiliki resolusi
i = 1, 2, 3, ..., N N = jumlah komponen Fourier =
=
Setelah diperhalus, resolusi menjadi lebih kasar m resolusi semula. Nilai f kini mengikuti rumus sebagai ber ikut.
k = 1, 2, 3, ...,
= indeks komponen Fourier yang dihaluskan
Misal: m = 7 f setelah penghalusan
33
Nilai S dari spektrum yang dihaluskan hanya ada di f k (resolusi setelah dihaluskan).
tampak rumit. Sebenarnya hanya rata-rata sepanjang bandwidth
Penghalusan spektrum merupakan tindakan:
Meningkatkan reliability. Mengorbankan resolusi.
Telah dibahas cara penghalusan 1 di mana penghalusan dilakukan dengan merata-rata satu bandwidth m nilai S semula.
34
Cara ini mengandung kelemahan pada nilai Ilustrasi: tmax = 4 jam = 4 3600s
yang sangat kecil.
Angka kecil sukar dioleh oleh komputer. Ada batas ketelitian angka digital. Cara Penghalusan 2: Cara Ensemble
Seri waktu semula dikerat menjadi m r uas di mana m = bandwidth yang dipiih. Misalnya: m = 9.
! f nyq pada gelombang yang dikerat tidak berubah dari gelombang semula karena Δt tetap. Tinjau ke belakang transformasi dan invers transformasi antara domain waktu dan domain frekuensi. 1. Diingatkan, ditegaskan bahwa data mentah gelombang berwujud seri waktu (time series) ema.
35
2. Dalam domain waktu diidentifikasi gelombang individual dengan cara zero up-crossing dan zero down-crossing. Parameter gelombang acak dalam domain waktu adalah statistik dari himpunan gelombang individual (H i, Ti). Hi = tinggi gelombang individual dengan indeks i Ti = periode gelombang individual dengan indeks i i = indeks = 1, 2, 3, ..., N N = jumlah gelombang individual yang ditinjau
3. Transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi adalah menyatakan seri waktu ema dalam bentuk deret Fourier. Perkakas yang digunakan = TF = transformasi Fourier. Diperoleh: Fungsi deret Fourier uang mewakili se ri waktu ema = penjumlahan dari komponen Fourier. Komponen Fourier = gerak harmonik = gerak sinusoidal. Gerak harmonik didefinisikan oleh 3 parameter: 1. Amplitudo C 2. Perioda T 3. Fasa φ
Dua cara menyatakan gerak harmonik: 1. 2.
k = indeks komponen Fourier = 1, 2, 3, ..., K K = jumlah komponen Fourier yang diperhitungkan
4. Spektrum gelombang adalah grafik visualisasi komponen Fourier dengan cara yang disepakati.
Nilai Δf dan f max sudah ditentukan dari seri waktu aslinya (seri waktu yang diolah transformasinya)
36
5. Pada kenyataannya data riil gelombang langka. Iptek teknik kelautan mengatasi hal ini dengan dua akal: 1. Menaksir gelombang berdasarkan data angin wave hindcast 2. Menciptakan spektrum gelombnag semi-empiris. Dengan dua perkakas ini, praktisi KL dapat memperoleh spektrum gelombang dari data angin. 6. Dalam domain frekuensi ada sejumlah parameter yang diperkenalkan untuk mewakili karakter gelombang. Ada yang setara dengan parameter domain waktu.
DW
DF
Tinggi gelombang signifikan
Periode gelombang rata-rata Periode gelombang signifikan
(2.40)
(10.4)
S(f) = PSD (power spectral density) sebagai fungsi f
Tidak ada kesetaraan teoritis* *) tidak terdapat kesetaraan antara DW dengan
(10.4)
DF. Yang ada adalah hubungan empiris. (Goda 2010, p. 34) Untuk spektrum JONSWAP = 1 – 7, rata-rata 3.3
(2.14)
7. Kegunaan spektrum gelombang (1). Setelah S(f)diketahui:
Dalam bentuk rumus atau dalam bentuk grafik. Berbasis data real gelombang atau berbasis rumus semi-empiris. dapat diciptakan seri waktu ema. Seri waktu ema yang diciptakan tidak unik karena informasi tentang fasa φ harus diambil sembarang generator angka acak.
37
Dari seri waktu yang diciptakan dapat dilakukan analisis DW seakan-akan seri waktu ema diperoleh dari pengukuran. Dari analisis DW dapat diperoleh semua parameter gelombang DW yang diperlukan.
,
Distribusi gelombang individual Tabel kejadian gelombang individual akan dibahas lebih lanjut.
8. Kegunaan spektrum gelombang (2). Dari uraian dalam butir sebelumnya, spektrum gelombang merupakan bentuk representasi karakter gelombang di suatu perairan yang kompak, padat, komplit. [Sketsa spektrum] Dari info ini, semua besaran gelombang acak dapat + dihitung Generator angka acak
9. Tabel kejadian gelombang individual Dalam teknis lepas pantai dibutuhkan tabel ini untuk keperluan analisis struktur. Tabel kejadian gelombang individual selama n tahun. [Gambar tabel kejadian] Misalnya n = 30 tahun biasanya n lebih besar dari masa layan bangunan lepas pantai. Periode rata-rata gelombang individual = 5s. Jumlah semua:
Dari mana diperoleh hitungan jumlah gelombang individual per sel? Dari seri waktu empiris Per jam sesuai dengan resolusi data angin. Jumlah seri waktu ema sintetis invers transformasi = jumlah jam. Spektrum yang diformulasikan = 30 tahun 365 hari 24 jam adopsi rumus spektrum Parameter H dan T gelombang kelompok = 262800 hindcast Pekerjaan Tak masalah Data angin berulang sangat dengan banyak komputer
Awas harus ada rekayasa coba-coba agar dalam tabel ada satu angka Hmax yang cocok dengan perhitungan gelombang maksimum. Hmax = tinggi gelombang individual terbesar dalam populasi yang ditinjau. Analisis gelombang maksimum = analisis periode ulang gelombang. 10. Tinjau ulang perhitungan gelombang maksimum (gelombang dengan periode ulang tertentu) a) Untuk fenomena acak, tidak ada nilai m aksimum absolut. Selalu ada kemungkinan angka dilampaui oleh kejadian yang akan datang atau tidak tercatat. b) Profesi teknik mengatasi masalah ini dengan me ngenalkan konsep periode ulang di mana angka maksimum diberi atribut melekat periode ulang.
38
Misal: H50 = 4,12 m tinggi gelombang dengan periode ulang 50 tahun. Artinya: ada kemungkinan terjadi 1 kejadian tinggi gelombang sebesar 4,12 m setiap 50 tahun, berdasarkan data kejadian masa lalu. Dalam fenomena acak (angin, hujan, gelombang, gempa) tidak ada nilai absolut maksimum (tidak pernah diketahui). Iptek menyiasati kondisi ini dengan kaidah “nilai maksimum dengan periode ulang”. Dalam konteks penciptaan gelombang individual untuk kurun waktu n tahun, harus ada satu kejadian gelombang individual yang memiliki nilai tepat berperiode ulang n tahun. Hati-Hati! a) Parameter gelombang yang dianalisis maksimumnya adalah tinggi gelombang signifikan ( atau ).
b) Maka nilai berperiode ulang yang pertama adalah . c) Yang diciptakan melaui invers transformasi adalah gelombang individual (H i, Ti). d) Tinggi gelombang individual maksimum dikaitkan dengan tinggi gelombang signifikan melalui hubungan: Hmax = (1,6 – 2,0) (2.7) Goda 2010
e) Berapa angka yang selayaknya dipilih? Goda (2010) hal. 30:
Untuk bangunan lepas pantai, H max ≥ 2.0
Untuk pemecah gelombang vertikal, Hmax = 1.8
Mengikuti distribusi tinggi gelombang individual rayleigh (lihat DD1991 – Water Wave Mechanics – subbab 7.2)
Hrms = tinggi gelombang root-mean-squared
N Hi i
= jumlah kejadian gelombang individual. = tinggi gelombang individual. = nomor urut (indeks) gelombang individual.
Nilai N
400 1 000 10 000 100 000 1 000 000
1,729 1,856 2,143 2,386 2,625
39
f)
Bagaimana kemunculan Individual?
dalam Tabel Kejadian Gelombang
Jumlah Kejadian Gelombang Individual T (s)
H (m) 0 – 0,5 0,5 – 1,0
0-1
1-2
...
13 - 14
Jumlah
13,5 – 14 Jumlah
akan muncul sebagai satu kejadian gelombang individual maksimum dalam tabel ini. Periode ulang Gumbel, Log-Pearson, Log-Normal Perambatan Gelombang di Laut Teknik kelautan memandang perambatan gelombang sebagai berikut.
Karena keterbatasan tool/perkakas analisis dan data riil gelombang, praktek perhitungan yang lazim digunakan adalah: 1. Pembangkitan gelombang dihitung di perairan dalam agar faktor kedalaman perairan (h) tidak berpengaruh.
2. Transformasi (refraksi-difraksi) dihitung sperti gelombang reguler/monokromatik (lihat mekanika gelombang air) dengan parameter gelombang yang mewakili (HS, TS) gelombang signifikan.
40
3. Gelombang pecah di breaker line (BL). Dalam MGA, gelombang pecah saat dicapai kondisi ini:
Hubungan empiris yang lebih rumit ditawarkan dalam Goda (2010). (3.32)
4. Arah rambat gelombang:
Di perairan dalam tidak ada pengaruh h. Arah gelombang = arah angin pembangkitannya.
Di perairan transisi sampai dengan dangkal Arah gelombang mengikuti kaidah refraksi. 5. Apakah gelombang berjalan mengikuti arah tunggal? Ternyata tidak. Diperkenalkan spektrum gelombang berarah.
Sudah dikenal Spektrum gelombang arah tunggal representasi komponen Fourier
Kini spektrum gelombang berarah (2.20) fungsi sebaran arah ( directional spreading function )
41
Spektrum gelombang satu arah (sudah dikenal dari awal)
Salah satu arti fisik:
Luas area di bawah kurva spektrum =
Spektrum Gelombang Berarah = spektrum berarah = spektrum satu arah = fungsi distribusi ruang
(10.15)
=m0
(10.4) Goda (2010)
42
0
(2.22)
= arah rambat utama
(2.24)
= fungsi Gamma
(2.25)
(2.26)
U g
= kecepatan angin pembangkit gelombang = gravitasi
f p
= frekuensi puncak spektrum =
Tp
= periode puncak spektrum dapat diambil : Tp 1,05
Angka praktis: Untuk wind wave Untuk swell dengan kecuraman gelombang tinggi Untuk swell dengan kecuraman gelombang rendah Hanya fungsi yang memerlukan komputer untuk menghitung G0
Ilustrasi spektrum berarah Kini: m0 = volume di bawah kubah spektrum
(2.29)
(2.27)
43
Syarat:
(2.21)
Smax misalnya untuk wind wave = 10
Ambil 0 = 0
() -90 -60 -30 0 30 60 90
G 0,001 0,056 0,500 1 0,500 0,056 0,001
