BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK
Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL “VETERAN” JAKARTA, 2010
ACUAN PROSES PEMBELAJARAN KALKULUS PEUBAH BANYAK A. INDENTITAS MATA KULIAH Kode Kuliah Nama Mata Kuliah Deskripsi
: TI1223 : Kalkulus Peubah Banyak : Mahasiswa memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari sau variabel dan intregral ganda untuk dapat diaplikasikan pada matakuliah lain atau dalam kehidupan sehari-hari
Semester Beban Kredit Persyarat
: IV : 2 sks : Kalkulus II & III
.
B. KOMPETENSI MATA KULIAH 1. Mahasiswa memahami konsep-konsep dasar yang diperlukan untuk mempelajari bidang optimisasi. 2. Mahasiswa memahami konsep tentang fungsi peubah banyak. 3. Mahasiswa memahami konsep serta trampil dalam memakai rumus dan metode turunan parsial untuk menyelesaikan masalah. 4. Mahasiswa memahami konsep serta trampil dalam memakai rumus dan metode penghampiran nilai fungsi untuk menyelesaikan masalah.
C. SUBSTANSI KAJIAN MATA KULIAH 1. 2. 3. 3. 5. 6. 6. 3. 8. 9.
Integral Lipit Dua dan aplikasinya, pertemuan 1 & 2 Integral lipat Tiga, pertemuan 3 & 4 Integral Garis, pertemuan 5 Latihan Soal, pertemuan 6 UTS pertemuan ke 7 Membahas soal UTS pertemuan 8 Deferensial parsial pertemuan 9 &10 Deret Fourier periode 2π pertemuan 11 – 13 Deret Fourier periode 2p pertemuan 14 – 15 Latihan soal 16
D. METODE PEMBELAJARAN 1. Kelas 2. Tutorial
E. EVALUASI PROSES PEMBELAJARAN 1. Tugas Individu 2. Kuis 3. Ujian Komponen dan bobot penilaian: 1. Kehadiran 10 % 2. Tugas dan Kuis 15 % 3. Ujian Tengah Semester 25 % 4. Ujian Akhir Semester 50 % Skala Penilaian Skala penilaian 1 – 100 Nilai Huruf A AB+ B BC+ C CD+ D E
Nilai Mutu 4 3.7 3.3 3 2.7 2.3 2 1.7 1.3 1 0
Nilai Absolut 80 – 100 78 – 79 74 – 77 70 – 73 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 45 – 49 40 – 44 <40
Keterangan Lulus Lulus Lulus Lulus Lulus Lulus Lulus Tidak Lulus Tidak Lulus Tidak Lulus Tidak Lulus
F. PERSYARATAN KUALIFIKASI DOSEN Minimal Pendidikan S2 dengan latar belakang Matematika G. FASILITAS PEMBELAJARAN Sarana penunjang yang diperlukan 1. Ruang perkuliahan dengan fasilitas White Board dan Overhead projector untuk perkuliahan 2. Kepustakaan H. DAFTAR PUSTAKA 1. Erwin Kreyszig, Matematika Teknik Lanjutan, 1993. 2. Folland, G.B., Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth & Brooks, 1992. 3. Muhammad Razali, Mahmud N. Siregar, Faridawaty Marpaung, Kalkulus Differensial, Agustus 2010.
4. Wikaria Gazali, Kalkulus Lanjut, 2007. 5. Yusuf Yahya, D. Suryadi HS., Agus S., Matematika Dasar Perguruan Tinggi, Februari 2010.
INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, 4, ….n. b
∫
n
f ( x ) dx = lim
∑f(x
n→ ∞ k= 1
a
k
) ∆x k
Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk dan bentuklah jumlah : n
∑f ( x
k
, y k ) ∆k A = f ( x1 , y1 ) ∆1 A +f ( x 2 , y 2 ) ∆2 A +....... + f ( x n , y n ) ∆n A
k =1
Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :
∫∫
n
f ( x, y ) dA = lim
∑f ( x
n→ ∞
R
k,
yk ) ∆k A
k =1
Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk : a.
∫∫
∫∫
f ( x, y ) dA =
R
b
R
y =f 2 ( y ) f ( x , y ) dx dy y =f ( y ) 1
∫
f ( x, y ) dxdy =
a
∫
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabl y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.
∫∫
∫∫
f ( x, y ) dA =
b.
R
b
R
y =f 2 ( y ) f ( x , y ) dy dx y =f ( y ) 1
∫
f ( x, y ) dydx =
a
∫
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x. Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG Bentuk umum :
∫∫f ( x, y )dA =∫∫f ( x, y )dxdy R
dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d } a,b,c dan d adalah konstanta Contoh : 1 2
1.
∫∫dxdy 0 1 4 2
2. ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 1
4 2
3.
∫∫( xy +3 y
2
) dydx
2 1
4
4.
π
2
∫ ∫(sin θ + r cos 2θ)dθdr 2 0
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG
a.
∫∫
b
∫
f ( x, y ) dA =
f 2 ( x)
∫ f ( x, y )dy dx
x =a y =f 1 ( x )
R
dimana : R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b } b.
∫∫
d
∫
f ( x, y ) dA =
f 2 ( y)
∫ f ( x, y)dx dy
y =c x =f1 ( y )
R
dimana : R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d } Contoh : 1 x
1.
∫∫xy 0 x
2
dydx
2
2 3y
2.
∫ ∫( x +y)dxdy 1
y
2 x 2 +x
3.
∫ ∫x dydx 0 2 x2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :
∫∫f ( x, y ) dA R
dapat dijelaskan sbb : 1.
LUAS Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :
∫∫dA
A=
∫∫dxdy = ∫∫dydx
atau A =
R
R
R
Dalam koordinat polar :
∫∫
A=
dA
R
contoh :
θ2 =β υ2
=
∫ ρ∫ρdρdθ
θ1 =α
1
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y Jawab : 2 2- y
A = ∫∫dA = ∫ R
∫
0 2y -4
2
2- y
0
2y -4
dxdy = ∫ x
2
∫dt
2
= ∫( 2 − y −2 y −4)dy = ∫(6 −3y)dy 0
0
2
= (6y -
3 2 y ) ∫ = (12 −6) = 6 2 0
TURUNAN PARSIAL a. Fungsi dua peubah atau lebih Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0. Contoh: 1. z = 2x + y 2. z = ln
x 2 −2 y 4
3. z = 1 – 2
1 2 sin x − sin y
4. xy + xz – yz = 0 5. xy - e x sin y = 0 6. ln x 2 − y 2 − arctan 7. arc tan
y =0 x
y - 2z = 0 x
Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z seperti gambar berikut:
Z
X Y b. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus. Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial. Definisi Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan oleh ∂Z Lim F ( x + ∆x, y ) − F ( x, y ) = ∆x →0 ∂x ∆x
dan ∂Z Lim F ( x, y + ∆y ) − F ( x, y ) = ∆ y →0 ∂y ∆y
Asalkan limitnya ada. Contoh : Tentukan turunan parsial pertama dari
∂ z ∂z dan ∂y dan didefinisikan ∂x
a. z =
x2 + y2
Jawab ∂Z Lim F ( x + ∆x, y ) − F ( x, y ) = ∆x →0 ∂x ∆x
Lim = ∆x →0
( x + ∆x) 2 + y 2 − x 2 + y 2 ∆x
Lim = ∆x →0
( x + ∆x) 2 + y 2 − x 2 + y 2 . ∆x
( x + ∆x) 2 + y 2 + x 2 + y 2 ( x + ∆x) 2 + y 2 + x 2 + y 2
2 2 2 2 Lim ( x + ∆x) + y − ( x + y ) = ∆x →0
∆x
Lim = ∆x →0 Lim = ∆x →0
2 x∆x + ∆x 2 ∆x ( x + ∆x ) 2 + y 2 + x 2 + y 2 2 x + ∆x ( x + ∆x) 2 + y 2 + x 2 + y 2
2x
= 2 x2 + y 2 =
x x + y2 2
∂Z Lim F ( x, y + ∆y ) − F ( x, y ) = ∆ y →0 ∂y ∆y
Lim = ∆x →0
( x 2 + ( y + ∆y ) 2 − x 2 + y 2 ∆y
Lim = ∆x →0
( x 2 + ( y + ∆y ) 2 − x 2 + y 2 . ∆y
( x + ∆x ) 2 + y 2 − ( x 2 + y 2 ) Lim = ∆x →0 ∆x
( x 2 + ( y + ∆x) 2 + x 2 + y 2 ( x2 + ( y 2 + x2 + y 2
Lim = ∆x →0
2 x∆x + ∆x 2 ∆x ( x + ∆x ) 2 + y 2 + x 2 + y 2
Lim = ∆x →0
2 x + ∆x ( x + ∆x) 2 + y 2 + x 2 + y 2
2y
= 2 x2 + y 2 =
y x + y2 2
b. z = Sin (x+y) Jawab ∂Z Lim F ( x + ∆x, y ) − F ( x, y ) = ∆x →0 ∂x ∆x
Lim sin( x + ∆x + y ) − sin( x + y ) = ∆x →0 ∆x 1 1 2 cos ( x + ∆x + y + x + y ) sin ( x + ∆x + y − x − y ) Lim = ∆x →0 2 2 ∆x ∆x ∆x Lim cos( x + y + 2 ) sin 2 = 2 ∆x →0 ∆x
sin ∆x = 2 Lim cos (x+y+ ) Lim ∆x →0 2 ∆x → 0
∆x = 2 Lim cos (x+y+ ) Lim ∆x →0 2 ∆x → 0
= 2 cos (x+y)(1)(1/2)
∆x
∆x sin ∆x
2.1 ∆x / 2 2
= cos (x+y) ∂Z Lim F ( x, y + ∆y ) − F ( x, y ) = ∆x →0 ∂y ∆y
Lim sin( x + y + ∆y ) − sin( x + y ) = ∆x →0 ∆y
2
1
1
Lim 2 cos 2 ( x + y + ∆y + x + y ) sin 2 ( x + y + ∆y − x − y ) = ∆x →0 ∆y ∆x ∆x cos( x + y + ) sin Lim = 2 ∆x →0 2 2 ∆x
sin ∆x = 2 Lim cos (x+y+ ) Lim ∆x →0 2
∆x
2
∆x sin ∆x 1 2. ) Lim ∆x → 0 ∆ x / 2 2 ∆x → 0
∆x = 2 Lim cos (x+ ∆x →0 2
= 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y)
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan
∂z sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap ∂x ∂ z
konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan ∂y sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan ∂W ∂W ∂W , , dan yang secara berturut didefinisikan oleh: ∂x ∂y ∂z
∂W F ( x + ∆x, y , z ) − F ( x, y , z ) = Lim ∆ x → o ∂x ∆x ∂W F ( x, y + ∆y, z ) − F ( x, y, z ) = Lim ∆ y → o ∂y ∆y
∂W F ( x, y, z + ∆z ) − F ( x, y , z ) = Lim ∆z →o ∂z ∆z
Asalkan limitnya ada. Contoh:
y x
1. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat 2
∂F ( x, y , z ) y = yz + a. y2 − 2 1+ 2 x ∂x
x
= yz -
2 yx 2 x 2 (1 + y 2 )
2
∂F ( x, y , z ) 1 = xz + b. y2 ∂y 1+ 2 x
x
2x2 = xz x(1 + y 2 )
c.
∂F ( x, y , z ) = xy ∂z
Untuk latihan para pembaca tentukan turunan persial fungsi-fungsi di bawah ini: 1. z = ln
x +y
2. z = 36 – x2 – y2 3. z = 3 -
1 sin( x + y )
4. z = xy2 – 2x2 + 3y3 y x
5. z = arc tan
6. F(x,y,z) = xy – yz + xz 7. F(x,y,z) =
3
x2 + y2 + z 2
8. F(x,y,z) = sin (xy) – 2e xy xy z
9. F(x,y,z) = arc sin
Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n ≥ 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya. Jadi andaikan z = F(x,y) maka: Turunan parsial tingkat dua adalah
∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2 z , , , dan ∂ y∂ x ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
Demikian pula, jika W = F(x,y,z) Turunan parsial tingkat dua adalah ∂2W ∂2W ∂2W ∂2W ∂2W ∂2W ∂2W ∂2W ∂2W , , , , , , , , ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m n , dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n Contoh ∂2 z ∂2 z dan dari fungsi berikut: ∂y 2 ∂x 2
Tentukan
xy
1. z = x − y Jawab ∂z y ( x − y ) − xy (1) xy = Dari z = x − y , diperoleh ∂x ( x − y)2
=
− y2 ( x − y)2
∂z x( x − y ) − xy ( −1) = ∂y ( x − y) 2 x2 = ( x − y)2
Sehingga
∂2 z ∂ ∂z = 2 ∂x ∂x ∂x
∂ − y2 = ∂x ( x − y ) 2
0( x − y ) 2 − (− y 2 )(2)( x − y )(1) = ( x − y) 4
= Dan
2 xy 2 − 2 y 3 ( x − y)4
∂ x2 ∂2 z = ∂y 2 ∂y ( x − y ) 2
0( x − y ) 2 − x 2 ( 2)( x − y )(−1) = ( x − y)4 − 2 x 3 − yx 2 = ( x − y)4
x y − 2 2 y x
2. z =
3. z = sin 3x cos 4y d. Differensial Total dan Turunan Total Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan ∂z ∂F ( x, y ) = ------------- (1) dan ∂x ∂x ∂z ∂F ( x, y ) = ------------- (2) ∂y ∂y
Dari (1) dan (2) diperoleh: dz =
∂F ( x, y ) ∂F ( x, y ) dy dx dan dz = ∂y ∂x
Jumlah diferensialnya diperoleh: dz =
∂F ( x, y ) ∂F ( x, y ) dy dx + ∂y ∂x
Bentuk di atas disebut diferensial total. Contoh. 1. Jika r =
x2 + y2
dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang
Differensial total ∂r
∂r
dr = ∂x dx + ∂y dy dimana dr ≈ ∆r , dx ≈ ∆x , dx ≈ ∆y didapat ∂r
∂r
∆r = ∂x ∆x + ∂y ∆y =
2x 2 x +y 2
2
∆x +
2y 2 x2 + y2
∆y
20 5 5 + − 2 2 15 + 20 8 15 + 20 16 15
=
2
2
=
15 5 20 5 − 25 8 25 16
=
1 cm 8
2. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder. Jawab. Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka I = πr 2 h I = I(r,h) Diketahui r = 15 cm, h = 20,
∆r ∆h = 0,5cm / det , = −1cm / det ∆t ∆t
Dengan definisi turunan total I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh dI ∂I dr ∂I dh = + dt ∂r dt ∂h dt
= 2 πrh
dr dh + πr 2 dt dt
Turunan Parsial Fungsi Implisit Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah
Fungsi implisit dua peubah secara umum dinyatakan dengan F(x,y) = 0. Untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial total. Karena f(x,y) = 0, maka df(x,y) = d(0) Atau ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) dx + dy = 0 ∂x ∂y
⇔
∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) dy + =0 ∂x ∂y dx
⇔
∂f ( x, y ) dy ∂f ( x, y ) =− ∂y dx ∂x
∂f ( x, y ) dy ∂x =− ⇔ ∂f ( x, y ) dx ∂y
Carilah
dy dari dx
b. f(x,y) = xy-ex sin y = 0 (FUNGSI IMPLISIT 2 PEUBAH X DAN Y) akan dicari
dy , menurut definisi turunan total dx
∂f ( x, y ) dy ∂x = − ∂f ( x, y ) dx ∂y
= −
y − e x sin y x − e x cos y
y x
3. ln(x 2 +y 2 ) - arc tan = 0 (FUNGSI IMPLISIT 2 PEUBAH X DAN Y) ∂f ( x, y ) dy ∂x = − ∂f ( x, y ) dx ∂y 2x + y x2 + y2 = − 2y − x x2 + y2
=
2x + y x −2 y
Turunan Fungsi Implisit 3 Peubah
Fungsi Implisit 3 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk f(x,y,z) =0 Contoh: Contoh 1. xy + yz + xz = 0 x
2. exyz – zsin = 0 y
3. x2 + y2 + z2 – 25 = 0 Fungsi Implisit 4 Peubah BU dinyatakan dengan
F ( x, y , u , v ) = 0 G ( x, y , u , v ) = 0
Atau ditulis dalam bentuk F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0 dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. Contoh
x + y 2 + 2uv = 0 1. x 2 − xy + y 2 + u 2 + v 2 = 0 Atau ditulis dengan x+y 2 + 2uv = 0, x 2 −xy + y 2 + u 2 + v 2 = 0
2u − v + x 2 + xy = 0 2. u + 2v + xy − y 2 = 0
u 2 − v2 + 2x + 3 y = 0 3. dan seterusnya. uv + x − y = 0
Turunan Parsial dilakukan dengan menggunakan metode substitusi. Dalam F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v)= 0, u,v variabel sejenis, x,y variabel sejenis ∂x ∂y ∂u
∂v
sehingga tidak dapat ditentukan ∂y , ∂x , ∂v , dan ∂u . ∂x
∂v
Sehingga turunan parsialnya adalah ∂u , ∂y dan seterusnya. Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud. Contoh: 1. Tentukan
∂u ∂x dan dari ∂x ∂u
x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat ∂u ∂x ∂y ∂v +v + 2 y + 2 u = 0 -----à 1 ∂x ∂x ∂x ∂x
1
⇔ 1 + 0 + 2u
∂v ∂u ∂v ∂u + 2v = 0 atau 2u + 2v = −1 ∂x ∂x ∂x ∂x
∂x ∂y ∂u ∂v ∂x ∂y +y + 2u + 2v = 0 ----à 2 − x +2y ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
2x
⇔ 2x-0-y+0+2u
∂u ∂v ∂u ∂v + 2v = 0 atau 2u + 2v = y −2x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂v didapat ∂x
Setelah di eliminasi ∂u − v − u ( y − 2 x ) = ∂x 2(v 2 − u 2 )
=
v + u ( y − 2 x) 2(u 2 − v 2 )
x+y2 +2uv = 0 dan x2-xy+y2+u2+v2 = 0 didapat diturunkan terhadap 1
∂x ∂v = 0) (yang tidak boleh ∂u ∂u
∂x ∂y +2y + 2v = 0 atau ∂u ∂u
⇔1
∂x ∂y +2y = −2v ----- → (1) ∂u ∂u
2x
∂x ∂y ∂x ∂y ∂u − x +y + 2u + 0 = 0 atau +2y ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u
⇔ (2 x − y )
∂x ∂y + (2 y − x) = −2u ------- → (2) ∂u ∂u
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh 1
∂x ∂y +2y = −2v ∂u ∂u
⇔ (2 x − y )
................................... . (2y-x)
∂x ∂y + (2 y − x) = −2u …………. (2y) ∂u ∂u
Didapat
⇔ (2y-x) 1
∂x ∂y + 2 y ( 2 y − x) = −2v(2 y − x) ∂u ∂u
⇔ (2 x − y )2 y
∂x ∂y + (2 y − x)2 y = −2u ( 2 y ) ∂u ∂u
--------------------------------------------------------------- [(2y-x)-(2x-y)(2y)]
∂x = -2v(2y-x)+2u(2y) ∂u
Diperoleh ∂x − 4vy + 2vx + 4uy = ∂u (2 y − x) − ( 4 xy − 2 y 2 )
=−
4vy − 2vx − 4uy (2 y − x − 4 xy + 2 y 2 )
2. Cari turunan parsial pertama dari
dan
dari persamaan
, dan
1)
Mencari
Persamaan 1)
….(1)
Persamaan 2)
.... (2)
dikali dikali
Maka,
DERET FOURIER Suatu fungsi ƒ (x) disebut fungsi periodik dengan pewriode T, jika untuk semua x berlaku : ƒ (x +T) = ƒ (x), disini T suatu konstanta Pos Contoh : a.
ƒ (x) = sin x mempunyai periode-periode 2 п, 4 п, 6 п, sin x = sin x + 2 п = sin x + 4 п = sin x + 6 п sin x = sin ( x + 2k п)п
dimana
k = bilangan bulat positif 3п
п
0
2п
4п 2п
2п
2 п adalah periode terkecil atau periode darisin x b.
periode dari sin nx atau cos nx untuk n bulat positif adalah 2 п/n
c.
ƒ (x ) = tg x tg x = tg (x + п) = tg (x + 2п) = tg (x + 3п) tg x = tg (x + k п)
periode dari tg x adalah п
d. Fungsi periodik dengan periode 4
-4
-2
0
2
x, 0 < x < 2 ƒ (x )
4
6
8
2, 2 < x < 4 I.
Fungsi Ganjil Suatu fungsi ƒ (x ) disebut fungsi ganjil bila untuk semua x berlaku, ƒ (-x ) = - ƒ (x ) Contoh : a).
ƒ (x) = sin x ƒ (-x) = - sin x ƒ (x) = x3 – 5x ƒ (-x) = - x3 – 5 (-x) = - (x3 – 5x ) = - ƒ (x) Suatu fungsi ƒ(x) disebut fungsi ganjil bila kurva simetris
b).
c). terhadap
titik 0
-5
II.
-4
-3
-2
2
3
4
5
Fungsi Genap Fungsi ƒ (x) disebut, bila untuk semua x berlaku. ƒ (-x) = ƒ (x) Contoh,
a).
b).
ƒ (x) = cos x ƒ (-x) = cos (-x) = cos x ƒ (-x) = ƒ (x) ƒ (x) = x6 – 7x4 + 8x2 -7 ƒ (-x) = (-x)6 – 7-(x)4 + 8(-x_)2 -7
= x6 – 7x4 + 8x2 -7 ƒ (-x) = ƒ (x) c).
ƒ (x)
= x2, -3 < x < 3
suatu fungsi ƒ (x) disebut fungsi genap, bila curve fungsi tersebut letaknya simetris terhadap sumbu tegak. Deret Fourier Untuk Fungsi Dengan Periode 2п Diambil Deret 1.
a
0
2
+ a1 cos x + a 2 cos 2 x + a3 cos 3x + ...................
................ +b1 sin x +b2 sin 2 x +b3 sin 3 x +........................
atau 2.
a + ∑ [a 2 ∞
0
n =1
n
cos nx + bn sin nx]disebutderetgoneometri
Rumus Pokok d +2 Π
3.
∫
4.
∫
5.
∫
6.
∫
7.
∫
8.
∫
9.
∫
sin nxdx = 0
d d +2 Π
d d +2 Π
d
cos mx cos nxdx = 0, m ≠ n
d +2 Π
cos 2 nxdx = Π, n ≠ 0
d d +2 Π
d d +2 Π
d d +2 Π
d
cos nxdx = 0, n ≠ 0
cos mx sin nxdx = 0 sin mx sin nxdx = 0
sin 2 nxdx = Π, n ≠ 0
Ditentukan ƒ (x) = periodik dengan periode 2п , maka
∞ a0 + 10. ƒ (x) = ∑(an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
a.
Mencari
a0
Bentuk (10) di integralkan dari X = d sampai X = d + 2п, terdapat d +2 Π
∫
d
∫
d +2Π
d
d +2 Π
∫
d
∫
∫
( x ) dx =
1 a0 2
d +2 Π
∫
d
]
a ( x) dx = 0 x 2
d +2Π d
d +2 Π ∞
∑(an cos nxdx + bn sin nxdx)
dx + ∫d
+ a1
d +2 Π
∫
d
n =1
cosdx + a 2
cos 2 xdx +......an d +2 Π
∫
d
cos nxdx + b1
d +2 Π
∫
d
sin axdx + b2
d +2 Π
∫
d
sin 2 xdx +......bn
d +2 Π
∫
sin nxdx
d
Sesuai (3) dan (4) terdapat d +2 Π
∫
d
∫
( x )dx =
1 Π
11.
a0
b.
Mencari
a0 ( d + 2Π − d ) 2
d +2 Π
∫
d
∫
( x) dx
an
Bentuk (10) dikalikan cos nx. Kemudian di integralkan ke x, Dari x = d sampai x = d + 2п d +2 Π
∫
d d +2 Π
∫
d
=
∫ ( x) cos nxdx =
a0 2
d +2 Π
∫
d
cos nxdx +
∞
cos nx ∑( an cos nxdx + bn sin nxdx) n +1
a0 2
d +2 Π
∫
cos nxdx + a1
d
d +2 Π
a2 ∫
d
d +2 Π
∫
d
d +2 Π
∫
d
d +2 Π
cos nx cos 2 xdx +........... + a n ∫
d
d +2 Π
cos nx sin xdx + b2 ∫
d
d +2 Π
bn ∫
d
cos nx cos xdx +
cos nx sin xdx
cos 2 nxdx + b1
cos nx sin 2 xdx +...... +
d +2 Π
∫
d
d
an =
12.
c.
d +2 Π
∫( x) cos nxdx = ∫
cos 2 nxdx = a n п
1 d +2 Π ∫ ( x) cos nxdx Π ∫d
Mencari bn Bentuk (10) dikalikan sin nx kemudian di integralkan ke x, dari x = d sampai x = 2п
d +2 Π
∫
d
∫ ( x) sin nxdx = d +2 Π
∫
d
d +2 Π
a0 2
∫
d +2 Π
d
a0 ∫ ( x) sin nxdx = 2 d +2 Π
sin nx cos 2 xdx + a 3 ∫
b1 ∫
sin nx sin xdx + b2 ∫
d
d +2 Π
d
13.
d d +2 Π
d
∫
∫
d +2 Π
d
∞
sin nx ∑( a n cos nx + bn sin nx )dx n =1
d +2 Π
sin nxdx + a1 ∫
d
d d +2 Π
sin nx sin 2 xdx + ....... + bn ∫
d
d +2 Π
n
d
1 d +2 Π ∫ ( x) sin nxdx Π ∫d
sin nxcosxdx
d +2 Π
sin nx cos 3 xdx + ....... + a n ∫
∫ ( x) sin nxdx = b ∫
bn =
d +2 Π
d
a2 ∫
d d +2 Π
sin nxdx + ∫
sin 2 nxdx = bn
sin nx cos nxdx
sin 2 nxdx .
Bentuk (11), (12) dam (13) disebut koefisien fourier dari ∞ a0 + ∑( an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
∫ ( x). =
1 d +2 Π ∫( x)dx Π ∫d 1 d +2 Π an = ∫( x) cos nxdx Π ∫d
Dimana : a 0 =
bn =
1 d +2 Π ∫ ( x) sin nxdx Π ∫d
Contoh : 1. Jawab:
Tentukan deret Fourier ∫( x). =X2, 0 ≤ x ≤ 2п a0 =
1 d +2 Π ∫( x)dx Π ∫d =
1 d +2 Π 2 x dx Π ∫d 2Π
=
1 1 3 x dx Π 3 0
=
1 1 . ( 2Π) 3 Π 3
=
2.
an =
8 2 Π 3
1 d +2 Π ∫( x) cos nxdx Π ∫d an =
1 2Π cos nxdx Π ∫0
∫( x).
2Π
1 x 2 sin nx 2 x cos nx an = + Π n n2 0
=
bn = bn =
1 4Π cos 2nΠ Π n2
an =
4Π cos 2nΠ 4 = 2 2 n n
a1 =
4 4 4 4 ; a2 = 2 ; a3 = 2 ; a4 = 2 2 1 2 3 4
1 d +2 Π ∫ ( x) sin nxdx Π ∫d
1 2 x sin nxdx Π 2Π
1 x 2 cos nx 2 x sin nx = − + Π n n2 0
=
1 4Π 2 cos 2nΠ 4Π sin 2nΠ + − Π n n2
b1 =
− 4Π − 4Π − 4Π ; b2 =; b3 = 1 2 3
Deret Fourier
∫( x). =X2 ; 0 ≤ x ≤ 2п adalah
∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
∫( x). =
8 Π2 cos x cos 2 x cos 3 x cos 4 x X = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + ....... 2 2 3 4 1 2
sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x − 4Π 2 + + + + 22 32 42 1
4 Π2 cos x cos 2 x cos 3 x cos 4 x X = 3 + 4 2 + 2 + 2 + 2 + ....... 2 2 3 4 1 2
sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x − 4Π 2 + + + 22 32 42 1
+
Contoh 2).
Tentukan deret Fourier
∫( x). =X2 ; - п < x < п adalah Jawab : a0 =
1 Π 1 Π 2 ( x )dx = x dx ∫ ∫ − Π Π Π∫−Π Π
=
an =
1 1 3 1 2Π2 3 3 X Π + Π = = Π 3Π 3 3 −Π
(
)
1 Π 2 x cos nxdx Π ∫−Π 2Π
1 x 2 sin nx 2 x cos nx an = + Π n n2 −Π 2Π
an =
=
1 2 x cos nx Π n 2 −Π
1 2Π cos nΠ 2Π cos nΠ 4 cos nΠ 4 + = 2 = 2 2 2 Π n n n n
bn =
1 Π 2 x sin nxdx Π ∫−Π 2Π
1 − x 2 cos nx 2 x sin nx bn = + Π n n2 −Π
=
1 (−2Π) cos nΠ 2(−Π) 2 cos n(−Π) − =0 Π n n
Contoh 1).
Penyelesaian:
Tentukan deret Fourier
∫( x). = (2X)2 ; - п < x < п
Contoh : 2.
Tentukan deret Fourier ∫( x). =( X2 + 3 ), 0 ≤ x ≤ 2п Penyelesaian :
Contoh 3).
Penyelesaian :
Tentukan deret Fourier
∫( x). = SinX2 ; - п < x < п
DAFTAR ISI Hal A.
B.
INTEGRAL RANGKAP 1. Integral Ganda
4
2. Integral Lipat Dua Dengan Batas Persegi panjang
5
3. Integral Lipat Dua Dengan Batas Bukan Persegi Panjang
10
4. Aplikasi Integral Lipat Dua
14
Deret Fourier
16
DAFTAR PUSTAKA
Erwin Kreyszig, Matematika Teknik Lanjutan, 1993. Folland, G.B., Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth & Brooks, 1992. Muhammad Razali, Mahmud N. Siregar, Faridawaty Marpaung, Kalkulus Differensial, Agustus 2010. Wikaria Gazali, Kalkulus Lanjut, 2007. Yusuf Yahya, D. Suryadi HS., Agus S., Matematika Dasar Perguruan Tinggi, Februari 2010.
BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK
Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL “VETERAN” JAKARTA, 2010
BUKU AJAR MATEMATIKA REKAYASA
Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL “VETERAN”
JAKARTA, 2010
