TRANSFORMASI PEUBAH ACAK UNIVARIAT
Indwiarti
[email protected] 70640200
Contoh Kasus 2
Seorang
peneliti mengukur umur suatu komponen yang dihitung dalam minggu (X). Kemudian peneliti lain menyatakan umur komponen tersebut dalam hari, maka : g(X) = 7X
Misal
X adalah peubah acak dan mempunyai fungsi fungs i peluang (fpp/fmp), kemudian ada suatu fungsi dari X, g(X), maka fungsi peluang dari g(X) dapat ditentukan berdasarkan fungsi peluang dari X
MA2513
Transformasi Transforma si Peubah Acak
03/02/10
Tujuan 3
Periksa, apakah transformasinya satuke-satu, atau dua-ke-satu
MA2513
Transformasi Transforma si Peubah Acak
03/02/10
Kasus Diskret 4
Misalkan
X adalah p.a.d. Dengan fmp p ( x) dan X Y=g(X) adalah fungsi yang mendefinisikan transformasi satu-ke-satu. Persamaan y=g(x) dapat diselesaikan secara unik, yaitu :
1
x g ( y )
=
−
Dan fmp Y adalah :
MA2513
−1
pY ( y ) = p X ( g ( y )) Transformasi Transforma si Peubah Acak
03/02/10
Contoh soal 5
Diketahui p.a.d. X mempunyai fmp
3 1 x 2 3− x , x = 0,1,2,3 p X ( x ) = x 3 3 0 , x lainnya
Tentukan fmp bagi a. Y Y = 2X +1 b. Y Y =
MA2513
X
−2
Transformasi Transforma si Peubah Acak
03/02/10
Kasus Kontinu 6
1. Bila y = g(x) bersifat monoton naik
x1 < x2
g ( x1 ) < g ( xm 2)
∞
Y
F Y (a ) = P (Y ≤ a )
a
= P ( x ∈ X ; g ( x ) ≤ −1
g ( x2 )
= P ( X ≤ g
g ( x1 ) − ∞
−1
= F X ( g
x1
x2
g −1 (a ) X
a)
(a ))
(a ))
∞
− ∞
MA2513
Transformasi Transforma si Peubah Acak
03/02/10
Kasus Kontinu 7
Fungsi distribusi untuk p.a. Y = g(x) adalah :
F Y ( y ) = F X ( g −1 ( y )) untuk − ∞ < y < ∞ Fungsi Padat Padat Peluang peubah acak kontinu Y :
f Y ( y )
=
dF Y ( y ) dy
dF X ( g 1 ( y )) −
=
dy dF X ( g 1 ( y )) dg 1 ( y ) . 1 dg ( y ) dy −
=
−
−
dg 1 ( y ) −
f X ( g 1 ( y )). −
=
MA2513
Transformasi Transforma si Peubah Acak
dy 03/02/10
Kasus Kontinu 8
Karena y = g(x) monoton naik, maka x
Jadi
dg 1 ( y )
=
g 1 ( y ) juga monoton naik. −
−
dy
Sehingga
>
0, untuk y ∈ Y
−1 ( y ) dg f Y ( y ) = f X ( g −1 ( y )) dy
f Y ( y ) = f X ( g −1 ( y )) J dimana
MA2513
J =
dg −1 ( y ) dy
Transformasi Transforma si Peubah Acak
adalah Jacobi transformasi
03/02/10
Kasus Kontinu 9
2. Bila y = g(x) bersifat monoton turun
x1 < x2
g ( x1 ) > g ( x2m )
Y
F Y (a ) = P (Y ≤ a )
∞
= P ( x ∈ X ; g ( x) ≤
a g ( x1 )
−1
= P ( X ≥ g
g ( x2 )
−∞
g −1 (a) x1
−∞
MA2513
(a )) −1
= 1 − P ( X < g
x2 Transformasi Transforma si Peubah Acak
X
a)
(a ))
∞
03/02/10
Kasus Kontinu 10
Karena X adalah p.a.k., maka
Fungsi distribusi untuk p.a. Y = g(x) adalah : −1
F Y (a ) = 1 − F X ( g (a )) F Y ( x) = 1 − F X ( g −1 ( x)) untuk − ∞ < y < ∞ Fungsi Padat Padat Peluang peubah acak kontinu Y :
f Y ( y )
MA2513
=
dF Y ( y ) dy
=
d dy
Transformasi Transforma si Peubah Acak
1
[1 F X ( g ( y ))] −
−
03/02/10
Kasus Kontinu 11
1
dF X ( g ( y )) −
= −
dy
− =
1
1
dF X ( g ( y )) dg ( y ) . 1 dg ( y ) dy −
−
−
1
dg ( y ) −
= −
MA2513
1
f X ( g ( y )). −
Transformasi Transforma si Peubah Acak
dy 03/02/10
Kasus Kontinu 12
Karena y = g(x) monoton turun, maka
dg 1 ( y ) −
Jadi
dy
Sehingga
x
=
g 1 ( y ) juga monoton turun. −
− dg
1
−
<
0, untuk y ∈ Y atau
f Y ( y )
f X ( g 1 ( y )). −
=−
( y )
>
0, untuk y ∈ Y
dy dg 1 ( y ) dy
−
−
1 ( y ) d g 1 f X ( g ( y )). dy −
f Y ( y )
=
f Y ( y )
=
−
f X ( g 1 ( y )) J
dg 1 ( y ) dy
−
−
dimana J MA2513
=
Transformasi Transforma si Peubah Acak
adalah Jacobi transformasi 03/02/10
