05-Fungsi-Dua-Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknolo eknologi gi Telkom

Fungsi Dua Peubah

[MA1124] KALKULUS II

Sistem Koordinat z

y Kuadran II

Kuadran I P(x,y,z)

P(x,y)

x y

x Kuadran III

Oktan 1

y

Kuadran IV x R3(Ruang)

R2(Bidang)

2/11/2010

[MA 1124] KALKULUS II

2

Sistem Koordinat z

y Kuadran II

Kuadran I P(x,y,z)

P(x,y)

x y

x Kuadran III

Oktan 1

y

Kuadran IV x R3(Ruang)

R2(Bidang)

2/11/2010


2

Permukaan di Ruang (R3) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunyai bentuk umum :



2

2

2

=

2

Jejak di bidang XOY, z = 0  x 2 + y 2 = a,2 berupa lingkaran 2 2 2 Jejak di bidang XOZ, y = 0  x + z = a , berupa lingkaran 2 2 2 Jejak di bidang YOZ, x = 0  y + z = a , berupa lingkaran

2/11/2010


3

Gambar Bola Z

y

x

2/11/2010


4

Permukaan di Ruang 

Elipsoida, mempunyai bentuk umum x2 a

2

+

y2 b

2

+

z2 c

2

Je ak di bidan XOY z = 0  Jejak di bidang XOZ, y = 0 

Jejak di bidang YOZ, x = 0 

2/11/2010

, a, b, c > 0

=1

x

2

y

2

a x2

a

2

z2 c

2


2 2

+

b z2

c +

2

y2 b

2

=

,

= 1 , berupa Ellips

= 1 , berupa Ellips

5

Gambar Ellipsoida

Z

y

x

2/11/2010


6

Permukaan di R3 

Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum: x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

=1

, a, b, c > 0 2

Jejak di bidang XOY, z = 0  Jejak di bidang XOZ, y = 0  Jejak di bidang YOZ, x = 0 

2/11/2010

a

2

x

2

a

2

y2 b

2

2

+

−

−


b

2

z

2

c

2

z2 c

2

= 1 , berupa Ellips

= 1 , berupa Hiperbolik


7

Gambar Hiperbolik Berdaun Satu

Z

y

x

2/11/2010


8

Permukaan di R3 

Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:

y

2

b

2

+

z

2

c

2

=

x

2

a

2

x

2

a

2

−

−1

y

2

b

2

−

z

2

c

2

, a, b, c > 0

=1

, maka terdefinisi saat x ≤ - a atau x ≥ a

Jejak di bidang XOY, z = 0  Jejak di bidang XOZ, y = 0 

x a

2

b

x2

−

2

a y2

Jejak di bidang YOZ, x = 0  −

y

−

2

−

2

z2 2



c z2 2

= 1, tidak ada jejak

b c x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips

2/11/2010


9

Gambar Hiperbolik Berdaun Dua

Z

y

x

2/11/2010


10

Permukaan di R3 



Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum: x

2

a

2

+

y

2

b

2

a

2

2

−

b

=

2

c

, a, b, c > 0

Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum: x2 a



c

, a, b, c > 0

Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum: 2



z

=

2

+

y2 b

2

−

z2 c

2

=0

Bidang , mempunyai bentuk umum: A x + By + Cz = D

2/11/2010


11

Gambar Z

Z

y

y

x

Paraboloida Eliptik z

x

Paraboloida Hiperbolik z

y

y x

x

Kerucut Eliptik 2/11/2010


Bidang 12

Latihan: Gambarkan 1. 2. 3. 4. 5. .

2/11/2010

x 2 + y2 = 4 y = x2 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 36 z =4 x +y +z – x– y– z=


13

Fungsi Dua Peubah 

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A  R ( A C R2) (x,y)  z = f(x,y) Contoh: 1. f(x,y) = x2 + 4 y2 2. f(x,y) = 3.

2/11/2010

f(x,y) =

1 36 − 9 x 2 3

−

4y 2

2y − x 2 2

x 2 + (y − 2)


14

Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (R f) D f = {( x, y) ∈ R 2 f ( x, y) ∈ R}

R f = {f ( x , y) ( x , y) ∈ D f } Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari 1. f(x,y) = x2 + 4 y2 1 2. f ( x , y) = 36 − 9 x 2 − 4 y 2 3 3. f ( x , y) = x (1 − y)

2/11/2010


15

Contoh (Jawab) 1. Df ={(x,y)∈

R2

x2

|

+4

y2

y

∈ R}

= {(x,y)∈ R2} x



2. Df = ( x , y ) ∈ R2



= {(x,y)∈

R2

1 36 − 9 x 2 3

| 36 –

9x2

–

−

4y 2

4y2

∈



R

≥ 0}



y 3

= {(x,y)∈ R2 | 9x2 + 4y2 ≤ 36} =

2/11/2010

2  x   2 ( x , y ) ∈ R    4  

 y  +   9 

2

 ≤ 1 


2

x 16

Contoh (Jawab) 3.

D f = ( x, y ) ∈ R

2

x (1 − y ) ≥ 0

= {(x,y)∈ R2| x(1 – y) ≥ 0} = {(x,y)∈ R2|x ≥0 dan (1–y)≥0 atau x≤0 dan (1–y)≤0} = {(x,y)∈ R2|x ≥ 0 dan y ≤ 1 atau x≤0 dan y ≥ 1} y

x

2/11/2010


17

Latihan Tentukan dan Gambarkan Df dari 1. 2. 3.

2/11/2010

f(x,y) = f(x,y) = f(x,y) =

2y − x 2 x + (y − 2)

2

2

x 1− y y x

4.

f(x,y) =

5.

f(x,y) =

16 − x 2 − y 2 ln(x + y) ln(x − y + 1) y − x +1

−2


18

Grafik Fungsi Dua Peubah 

Grafiknya berupa permukaan di ruang

z Z=f(x,y)

y D

f

x

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 2/11/2010


19

Contoh Gambarkan Grafik 1. f(x,y) = 2 x2+ 3y2

Z

z = 2 x2+ 3y2 2

z =

x

2

y

2

+

y

Paraboloida eliptik

3

x

Z

3

2.

f(x,y) = 3 – x2 – y2 y

z-3 = – x2 – y2

√3 x

2/11/2010


20

Contoh 1 36 − 9 x 2 − 4y 2 3 9z2 = 36 – 9x2 – 4y2

Z

3. f(x,y) =

2

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 x 2 y 2 z 2 + + =1 Eli soida

4

9

3

4

y

2

x

Z

4. f(x,y) =

2

16 − x − y

2

2

z2 = 16 –x2 –y2 z≥0 x2 + y2 + z2 = 42

2

Bola 2/11/2010

x


y

2

21

Kurva Ketinggian z = f(x,y)  z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari . , = , = , , , 2. f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4

2/11/2010


22

Contoh (Jawab) 1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4 Untuk k = 0  x2 +2 y2 = 0 x = 0, y = 0  titik (0, 0) Untuk k = 1  x2 +2 y2 = 1 2 2 x

1

Untuk k = 2 

x2

+

x 2

2

y

=

2

+2 y2 = 2 +

2

y

=

1

Untuk k = 4  x22 +2 2y2 = 4 x

4

2/11/2010

y

1

+

y

2

=

1

 elips

. k=1

k=0

x

k=2 k=4

 elips


23

Contoh (Jawab) 2. f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4 Untuk k = -2  x – y2 = -2 x = y2 – 2 

parabola

Untuk k = 0  x – y2 = 0 =

y arabola

2

Untuk k = 2  x – y2 = 2 x = y2 + 2

k=0

 parabola

x

k=2 k=4

k=-2

Untuk k = 4  x2 +2 y2 = 4 x = y2 + 4  parabola

2/11/2010


24

Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x2 /y , k = -4, -1, 0, 1, 4 2. f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9 3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4 . , – , , , , KONTUR ???

2/11/2010


25

Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis lim

( x , y ) →( a , b )

a

ε

>

>

f ( x, y) = L

∋

<

f ( x , y) − L < ε

x −a

− y−

z

<

er a u

Z =f(x,y)

L+ε L L–ε y

δ (a,b) 2/11/2010

x


26

Catatan lim

( x , y ) →( a , b )

f ( x , y) = L

ada jika lim

( x , y )→( a , b )

f ( x , y) = L

untuk sembarang

kurva yang melalui (a,b). Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R 2 yang melalui ,

( x , y )→( a ,b )

-

,

kurva, maka dikatakan lim

( x , y ) →( a , b )

f ( x , y) tidak ada.

. (a,b)

2/11/2010


27

Contoh xy Buktikan bahwa limit ( x , y )→(0,0) x 2 + y 2 berikut tidak ada

lim

Jawab f ( x , y ) =

xy terdefinisi di Df = R2 – {(0,0)} 2 2 x + y

Di se an an aris =0 kecuali x =0 maka nilai f adalah x .0 =0 f ( x ,0) = 2 2 x + 0 Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah x .0 =0 lim f ( x ,0) = lim ( x ,0) →(0,0) ( x ,0)→(0,0) x 2 + 02

2/11/2010


28

Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah x . x 1 = x 2 + x 2 2 Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x f ( x , x ) =

lim

( x , x )→(0,0)

Karena lim

( x ,0)→(0,0)

f ( x , x ) = f ( x ,0) ≠

x . x 1 = ( x , x ) →(0,0) x 2 + x 2 2

lim

lim

( x , x )→(0,0)

f ( x , x ) maka

xy tidak ada ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2

lim

2/11/2010


29

Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada 1. 2.

lim

( x , y ) →( 0 , 0 )

lim

( x , y ) →( 0 , 0 )

2/11/2010

x 2 − y2 2

2

4

2

x +y x2y x +y

3.

lim

( x , y ) →( 0 , 0 )

x 3 + y4 x 2 + y6


30

Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f ( x , y) ada ( x , y ) →( a , b )

iii.

,

lim

,

f ( x , y) = f (a , b)

Teorema: 1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm 2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df ,asal q(x,y)≠0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f 0g kontinu di (a,b) didefinisikan f 0g (x,y) = f(g(x,y)) 2/11/2010


31

Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 1. f(x,y) =

2 x + 3y ( y 2 − 4x )

Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x 2 2 2. f(x,y) = cos( x − 4 xy + y )

f(x,y) = h(g(x,y)) : fgs komposisi h o g (x,y) Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom)  g kontinu dimanamana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang

2/11/2010


32

Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f x ( x , y) = lim

f ( x + h, y) − f ( x, y)

h →0

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f y ( x , y) = lim h →0

2/11/2010

f ( x , y + h ) − f ( x , y) h


33

Contoh: Tentukan f x dan f y 3

1. f ( x , y) = x y + 4xy

3. f ( x, y) =

2

y

∫ ln sin t dt x

Jawab

Jawab

f x(x,y) = 3 x2 y + 4 y2

f x(x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx)

f (x,y) = x3 + 8 xy

f x(x,y) = – ln(sinx) y x,y = . n s ny – . n s nx

2. f ( x, y) = y cos( x 2 + y 2 )

Jawab

f y(x,y) = ln(siny)

f x(x,y) = –2xy cos(x2 + y2) f y(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2)

2/11/2010


34

Latihan Tentukan f x dan f y 3 1. f ( x , y ) = x cos( x + y ) + y sin 2 xy

2.

f ( x , y ) =

y

cos t e ∫ dt x

3. f ( x , y ) = x 3 cos( x + y ) + y sin(2 xy )

Tentukan f x, f y dan f z 1. f ( x , y , z ) = xy + y 2 z + 3xz 2.

2/11/2010

f ( x , y , z ) = x cos(y − z ) + 2 xy


35

Turunan Parsial Kedua f xx ( x , y ) =

 ∂f    ∂ x  ∂ x 

f yy ( x , y ) =

 ∂f    ∂y  ∂y 

f xy ( x , y ) =

 ∂f    ∂y  ∂ x 

f yx ( x , y ) =

2/11/2010

∂

∂

∂

 ∂f    ∂ x  ∂y  ∂

2

=

f 2 ∂ x

=

f 2 ∂y

=

f ∂y ∂ x

=

∂

∂

2

∂

2

2

f ∂ x ∂y ∂


36

Contoh Tentukan f xx, f yy ,f xy, f yx 1. f(x,y)= x y3 + y3x2 Jawab f x(x,y) = y3 + 2xy3 y

,

=

2

2 2

f xx(x,y) = 2y3 f xy(x,y) = 3y2 + 6xy2 f yy(x,y) = 6xy + 6x2y f yx(x,y) = 3y2 + 6xy2

2/11/2010


37

Contoh 2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3) Jawab f x(x,y) = y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3) f y(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) f xx(x,y) =y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3) – xy x+ y s n x + xy+y f xy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) +(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) f yy(x,y) =(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3) –xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3) f yx(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3) +(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) 2/11/2010


38

Latihan Tentukan f xx, f yy ,f xy, f yx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y 2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3) 3. f(x,y) = tan-1(y2 /x) 4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)

2/11/2010


39

Arti Geometri Turunan Parsial

z

s

y (a, b) x

2/11/2010

Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) (f x(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x .


40

Arti Geometri Turunan Pertama (2)

z

s

(a, b)

x

2/11/2010

y

Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) (fy(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y .


41

Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah ∂ z 1 = f y ( x , y ) = y ∂ z Sehingga didapat f y (3,2) = = 1 . Bilangan ini adalah ∂y menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1 (dx =0, d y=1, d z=1). Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 3 , y = 2 + t , z = 2 + t 2/11/2010


42

Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 2. 2z =√(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial terhadap x adalah ∂ z 18 x 9x f x ( x , y ) = = = 2 2 2 2 ∂ x − − ∂ z Sehingga didapat f x (2,1) = = 3 . Bilangan ini adalah ∂ x

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1 (dx =1, d y=0, dz =3). Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 2+t , y = 1 , z = 3/2 + 3 t 2/11/2010


43

Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 3z =√(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, √11/3) . z= -x engan ang y= tt , ,

2/11/2010


44

Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D ⊂ R2  Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) ∈D, didefinisikan sebagai r

,

=

x

,

ˆ

y

,

ˆ

î , jˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) 

Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah

ˆ + f ( x , y, z) k ˆ ∇f ( x , y, z ) = f x ( x , y, z )î + f y ( x , y, z ) j z r

î , jˆ, k ˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif

2/11/2010


45

Contoh r

Tentukan ∇f ( x , y ) dan

r

∇f (−1,−1)

dari f ( x , y ) = x e xy

Jawab f x ( x , y ) = e xy + xye xy



f x (−1,−1) = e + e = 2e

f y ( x , y ) = x 2e xy



f y (−1,−1)

=

e

Sehingga diperoleh: r

∇f ( x , y ) = r

(e xy + xye xy )î + x 2e xy ˆj

∇f (−1,−1) =

2/11/2010

ˆ i + e j 2e ˆ


46

Latihan r

I. Tentukan

∇f dari

x 2 y 1. f ( x , y ) = x + y

3 2 3. f ( x , y ) = sin x y

2 2 2. f ( x , y ) = ln x + y

.

, ,

=

2

x − z

4. f ( x , y ) = xy ln( x + y ) .

,

−2 y

r

II. Tentukan ∇f di titik yang diberikan 1. f ( x , y ) = x 2 y − xy 2

di P (– 2,3)

3 2 3 2. f ( x , y ) = ln( x − xy + 4y ) di P (– 3, 3)

x 2 3. f ( x , y ) = y 2/11/2010

di P (2, –1) [MA 1124] KALKULUS II

47

Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai z

=

dt

z x ∂x ∂t

+

z y ∂y ∂t

Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka

(i )

dz

(ii )

dz

2/11/2010

=

ds dt

=

∂z ∂x ∂x ∂s ∂z ∂x ∂x ∂t

+

+

∂z ∂y ∂y ∂s ∂z ∂y ∂y ∂t


48

Contoh 1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan

dw dt

Jawab: dw dt

=

∂w ∂ x ∂ x ∂t 3

+

∂w ∂y ∂y ∂t 2

2

2

= 2t 3 (t 2 )3 (3t 2)+3 (t 3 )2 (t 2 )2(2t ) = 2t 3. t 6. 3t 2+3 t 6. t 4. 2t = 6t 11+6 t 11 = 12 t 11

2/11/2010


49

Contoh 2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, dz dz tentukan dan dt ds Jawab: dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂y =

+

= 6x. 7 + (–2y) 5 s = 42 (2s +7t ) – 50 s2t dz ∂ z ∂ x ∂ z ∂y = + ds ∂ x ∂s ∂y ∂s

= 6 x. 2 + (–2y ) 5 t = 12 (2s +7t ) – 50 s t 2 2/11/2010


50

Latihan dw (dalam t) dt

1. Tentukan

a. w = x 2 y – y 2 x ; x = cos t , y = sin t b. w = e x siny – ey sin x ; x = 3t , y = 2t c. w = sin( xyz 2 ) ; x = t 3, y = t 2 , z =t 2. Tentukan

dt

(dalam t dan s)

a. w = x 2 – y lnx ; x = s/t , y = s2 t b. w =

2/11/2010

x 2 + y 2

e

; x = s sin t , y = t sin s


51

Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u = u1î + u 2 jˆ adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : D u f (p) = ∇ f (p) • u atau D u f (a, b) = f x (a, b)u1 + f y (a, b)u2

er a

an a wa r

r

r

D u f (p) = ∇f (p) • u = ∇f (p) • u cos θ = ∇f (p) cos θ r

r

Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum (θ=0)jika ∇f (p) u= ∇f (p) ∇f (p) Sebaliknya akan minimum jika u = − ∇f (p) r

r

r

r

r

r

2/11/2010


52

Contoh 1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4 x 3y pada titik P(2,1) dalam arah vektor a = 4 ˆ i + 3 ˆ j r

Jawab: Du f (2, 1) = f x (2, 1) u1 + f y (2, 1) u2 r

Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a ˆ 4 a i + 3 j 4ˆ 3ˆ ˆ u= = = i + j 5 5 5 a r

r

2 2 f f x (x,y)= 12 x y  x (2, 1)= 12.2 .1 =48 3 f y (x,y)= 4 x 3 x (2, 1)= 4.2 =32  f Sehingga Du f (2, 1) = f x (2, 1) u1 + f y (2, 1) u2 r

=48 . (4/5) + 32 . (3/5) = 288/5 2/11/2010


53

Contoh 2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sin z pada ˆ ˆ + 2 k titik P(1,2, π /2) dalam arah vektor a = ˆ i + 2 j r

Jawab:

π π π π Du f (1, 2, ) = f x (1, 2, ) u1 + f y (1, 2, ) u2 + f z (1, 2, ) u3 2 2 2 2 r

ˆ 1 ˆ ˆ + 2k a i + 2 j 2ˆ 2ˆ ˆ u= = = i + j + k a 3 3 3 9 r

r

r

f x (x,y,z)= y sinz f y (x,y,z)= x sin z

/2)= 2 sin(π /2) =2 x (1,2,π  f /2)= 1.sin(π/2) =1 x (1,2, π  f

f z  f /2)= 1.2 cos(π/2) =0 z (x,y,z)= xy cos z (1,2, π 2/11/2010


54

Contoh (Lanjutan) Sehingga

π π π π Du f (1, 2, ) = f x (1, 2, ) u1 + f y (1, 2, ) u2 + f z (1, 2, ) u3 2 2 2 2 =2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3) r

=4 3

2/11/2010


55

Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a a. f(x,y) = y 2 ln x , P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xey – ye x , P(0, 0), a = 5 i – 2 j c. f(x,y) = e – xy , P(1, –1), a = – i + √3 j . , , , , e. f(x,y) = xy+z 2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) 2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(x,y) = x 3 – y 5 , P(2, –1) d. f(x,y) = 1–x 2–y 2 , P(–1,2) b. f(x,y) = ey sin x , P(5π /6,0) c. f(x,y) = 4x 3y 2 , P(–1,1) 2/11/2010


56

Latihan (lanjutan) 3. Misal f ( x , y ) =

y

r

.Tentukan u sehingga Du f (2, 3) = 0 r

x + y

4. Jika ∇f ( x 0 , y 0 ) = ˆ i − 2 ˆ j ,Tentukan u sehingga Du f ( x 0 , y 0 ) = −2 3 4ˆ dan 5. Diketahui Du f (1, 2) = −5 jika u = ˆ i − j 5 5 4 3ˆ Dv f (1, 2) = 10 jika v = ˆ i + j 5 5 r

r

r

r

r

r

r

a. Tentukan f x(1,2) dan f y(1,2) b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)

2/11/2010


57

Bidang Singgung 

Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada ∇f (a , b, c) r

Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : F x (a,b,c) ( x –a) + Fy (a,b,c) (y –b) + F z (a,b,c) ( z –c) = 0 Jika permukaan z = f( x , y ) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z – f(a,b) = f x – a) + f y (a,b) (y – b) x (a,b) ( 2/11/2010


58

Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3) Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2 r

∇f ( x , y , z ) = r

∇f (1, 2, 3) =

ˆ ˆ + 4 z k i + 2y j 2 x ˆ

ˆ ˆ + 12 k i + 4 j 2ˆ

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah 2(x – 1) + 4(y - 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46

2/11/2010


59

Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

x − 1

2

2/11/2010

=

y − 2

4

=


z − 3

12

60

Contoh 2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan z = f(x,y)=x2+2xy-3xy2 +2 di titik (1, 2, -5) Jawab:

f x ( x , y ) = 2 x + 2y − 3y 2 y

 f x (1,2) = 2 + 4 − 12 = −6

x , y = x − xy

y

,

=

−

= −

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah (z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) 6x + 10y + z = 21

2/11/2010


61

Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+6t, y = 2 + 10t , z = –5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

x − 1 −

2/11/2010

=

y − 2 −

=


z + 5 −

62

Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. x 2 + y 2 – 3 z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = e x cos z di titik (1, e, 0) c. x 1/2 + y 1/2 + z 1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. z = 2e3y cos 2 x di titik (π /3, 0, -1) 2. Tentukan semua titik pada permukaan z = x 2–2 xy –y 2–8 x +4y dimana bidang singgungnya mendatar (sejajar bidang XY) 3. Perlihatkan bahwa permukaan x 2+4y + z 2=0 dan x 2+y 2+ z 2 – 6 z +7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x 2+2y 2+3 z 2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x =1+2t , y =3+8t , z =2 – 6t 2/11/2010


63

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah 

Definisi Misalkan (x0,y0) ∈ Df , maka  f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df , jika f(x0,y0) ≥ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ Df  f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df , jika f(x0,y0) ≤ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ Df x0,y0 a a a n a e s r m g o a ar pa a f , a  ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal , pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N ∩ S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0).

2/11/2010


64

Di mana nilai ekstrim muncul? 

Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis



Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu  Titik-titik batas D f  Titik Stasioner  Titik Singular

2/11/2010


65

Uji Nilai Ekstrim 

Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0), ∇f ( x 0 , y 0 ) = 0 r

dan =

x 0 , y0 =

xx

x 0 , y0 .

yy

x 0 , y0 −

xy

x 0 , y0

maka 1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y0 ) < 0 2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) > 0 3. f(x0,y0) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan 2/11/2010


66

Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari f ( x,y ) = 2 x 4– x 2+3y 2 Jawab f x,y ) = 8 x 3 – 2 x f y ( x,y ) = 6y x ( f x,y ) = 24 x 2 – 2 f yy ( x,y ) = 6 xx ( f x,y ) = 0 xy ( Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x(x,y) = 0 dan f y(x,y)=0, yaitu 8 x 3 – 2 x =0  2 x (4 x 2 – 1)=0  x =0 , x =± ½ 6y =0  y = 0 Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 2/11/2010


67

Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut: f xx

f yy

f xy

D

Keterangan

(0,0)

–2

6

0

–12

Titik pelana

(½, 0)

4

6

0

24

Titik Minimum

(-½, 0)

4

6

0

24

Titik Minimum

Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

2/11/2010


68

Contoh 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari f ( x,y ) = x 2–y 2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2 ≤ 1} Jawab f y ( x,y ) = – 2y f x,y ) = 2x x ( f x,y ) = 2 f yy ( x,y ) = –2 xx ( = xy , Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f x(x,y) = 0 dan f y(x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos2 t – sin2t+1 (untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S) 2/11/2010


69

Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:

 4 cos t sint= 0 sin2t= 0  2t= 0, π, 2π, 3π  t= 0, π /2, π, 3π /2 f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0

,

,

Untuk t = π/2  x = 0, y = 1  f(0, 1) = 0 Untuk t = π

 x = -1, y = 0  f(-1, 0) = 2

Untuk t = 3π/2  x = 0, y = -1  f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 2/11/2010


70

Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari = x 3+y 3-6 xy

a. f ( x,y ) b. f ( x,y ) = xy 2 –6 x 2 – 6y 2 c. f ( x,y ) = x 2 +4 y 2 – 2 x +8y – 1

e. f ( x , y ) = xy + 2

f . f ( x , y ) = e −( x

2 4 + x y 2

+ y − 4y )

d. f ( x,y ) = 3 x 3 +y2 – 9 x + 4y 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari a. f ( x,y ) = x 2–6x+y 2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 ≤ 1} b. f ( x,y ) =3 x +4y pada S={(x,y)| 0≤ x ≤1, –1≤ y ≤ 1}

2/11/2010


71

g ( x, y )

Metode Lagrange 

Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala (batas) g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f ( x,y ) = 9 – x 2 – y 2 berikut :

ntu mema s mum an t en a a g x,y = sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap x, y ∈ Df sepanjang g (x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung  garis tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian ⊥ ∇ f dan kurva kendala maka ∇ f ( x , y) = λ ∇ g( x , y) r

r

2/11/2010

r


72

=0

Metode Lagrange 

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x 0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan r

r

∇ f ( x 0 , y 0 ) = λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) dan g ( x 0 , y 0 ) = 0

dengan (x0,y0) titik kritis, λ pengali lagrange 

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan

r

∇ f ( x 0 , y 0 ) =

r

r

λ ∇ g( x 0 , y 0 ) + µ ∇ h( x 0 , y 0 ) , g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0

dengan (x0,y0) titik kritis, λ pengali lagrange

2/11/2010


73

Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(x,y)= x2 – y2 + 1 pa pada da lin ingk gka ara ran n x2+y2=1 Jawab: ˆ ˆ ∇ g( x , y ) = 2 x ˆ i + 2y j i − 2y j ∇ f ( x , y ) = 2 x ˆ r

r

lagrange berikut ∇ f ( x , y ) = λ ∇ g( x , y ) dan g( x , y ) = 0 r

r

yaitu: 2x = λ 2x …….(1) – 2y = λ 2y …….(2) x2+y2 = 1 ……..(3)

2/11/2010


74

Contoh (lanjutan) Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin samasama nol, sehingga Untuk x ≠ 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1  x = ± 1 Untuk y ≠ 0, dari (2) di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapa dapatt x = 0, dan dan dari dari (3) di dapa dapatt y =1  y = ± 1 Titik-titik Titik -titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0)  f(1, 0) = 2, untuk (-1,0)  f(-1, 0) = 2 Untuk (0,1)  f(0, 1) = 0, untuk (0,-1)  f(0,-1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 2/11/2010


75

Contoh 2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1 Jawab: ˆ ∇ h ( x , y ) = j ˆ ∇ g( x , y ) = 2 x ˆ ˆ + 3 k ˆ ˆ + k i + 2y j i + 2 j ∇ f ( x , y ) = ˆ Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan r

r

r

r

∇ f ( x , y , z ) =

r

r

λ ∇ g( x , y , z ) + µ ∇ h( x , y , z ) , g( x , y , z ) = 0 dan h( x , y , z ) = 0

yaitu: 1 = 2λx …………….(1) 2 = 2λy + µ …….(2) 3 = µ ……………….(3) x2+y2 = 2 ……..…..(4) y + z = 1 ……..…..(5) 2/11/2010


76

Contoh (lanjutan) Dari (1), x = 1/(2λ), dari (2) dan (3), y = -1/(2λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½. Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)

2/11/2010


77

05-Fungsi-Dua-Peubah

Recommend Documents