MAKALAH APLIKASI DISTRIBUSI STATISTIKA FERMI-DIRAC DALAM KEHANCURAN BINTANG KATAI PUTIH
Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Fisika Statistika Dosen Pengampu : Dr. Lilik Hasanah M.Si
Disusun oleh: Zaenal Arifin 1103641
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2014
1. DISTRIBUSI STATISTIKA FERMI-DIRAC
Distribusi fermi-Dirac ini adalah distribusi yang mematuhi asas larangan pauli seperti partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2, 3/2, ....) contohnya elektron atau nukleon, yang disebut dengan fermion, dan fungsi distribusi yang berlaku bagi sistem fermion ini adalah distribusi Fermi-Dirac:
[ Pers. Pers. 1.1] 1.1]
untuk distribusi Fermi-Dirac, A sangat bergantung pada T, dan ketergantungannya ini biasanya menghampiri bentuk eksponensial sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
[ Pers. Pers. 1.2] 1.2]
dengan demikian, fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi
[ Pers. Pers. 1.3] 1.3]
E F disebut sebagai energi fermi. (Walaupun energi fermi sendiri bergantung pada suhu, ketergantungannya cukup lemah sehingga E F dapat kita perlakukan sebagai sebuah tetapan).
Marilah kita lihat secara kualitatif perbedaan antara pada suhu rendah. Untuk distribusi Bose-Einstein, pada limit li mit T rendah, dengan menganggap sementara A = 1, faktor eksponensial menjadi besar untuk E yang besar; karena itu, itu , untuk keadaan dengan energi ener gi yang besar. Satu-satunya Satu -satunya tingkat energi yang memiliki memil iki peluang besar untuk ditempati adalah keadaan yang memiliki karena faktor eksponensial menghampiri 1, sehingga penyebut f menjadi sangat kecil, dan dengan demikian . Jadi, bila T kecil, semua partikel dalam sistem berebut menempati keadaan energi yang terendah. Efek ini dikenal sebagai “pengembunan” (condensation). Kelak akan kita lihat bagaimana efek ini memberikan akibat-akibat tidak terduga yang cukup menarik perhatian.
Efek “pengembunan” ini tidak mungkin terjadi pada sistem fermion, seperti sistem elektron, karena sebagaimana telah kita ketahui, elektron-elektron dalam sebuah atom, misalnya tidak ti dak semuanya menempati keadaan energi terendah, te rendah, berapapun rendahnya suhu. Marilah kita lihat bagaimana distribusi Fermi-Dirac mencegah mence gah terjadinya hal ini. Faktor eksponensial dalam penyebut
adalah
. Untuk
berbeda, karena E – E E F negatif, sehingga untuk T yang kecil, faktor
ceritanya sangat mendekati
nol, dan Dengan demikian, probabilitas populasi hanyalah satu fermion per satu keadaan kuantum, sesuai dengan yang disyaratkan oleh asas Pauli. Jadi, pada suhu yang rendah sekalipun, sistem fermion tidak “mengembun” ke tingkat energi yang terendah. Pada
[Gambar 1.1: Pengisian berbagai energi elektron menurut distribusi Fermi-Dirac pada T=0]
Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah N fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total E . Seperti pada pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita mengandung sejumlah g keadaan dengan energi yang berada dalam interval Konfigurasi assembly ditandai oleh nilai yang menyatakan jumlah
∑
sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai s. Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total haruslah memenuhi syarat
∑
Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan). Selanjutnya jika terdapat cara menyusun sistem diantara pita energi s yang memiliki keadaan, maka jumlah totall konfigurasinya adalah
∏ Yang tentu saja W tak lain adalah bobot konfigurasi
Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka jumlah yang dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika sejumlah sistem telah ditempatkan
dalam keadaan, maka terdapat ( banyaknya cara untuk mengisinya adalah
) dari g keadaan yang masih kosong. Maka
Untuk menggambarkan proses pengisian ini, gambar berikut memperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan (digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara, nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3 Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni
∏
∑ ∑ ∑
Oleh karena Stirling
dan
cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan
Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah
Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga s manapun
Dari persamaan 1.5
( ) ( )
Nilai n yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar
Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion. Bentuk
secara
umumnya ditulis dalam bentuk
umum
dikenal
dengan
]
Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substitusi
nama
fungsi Fermi dan
dan
dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan dengan energi berada di antara , maka jumlah sistem yang berada dalam interval energi tersebut adalah
1.2 Konfigurasi Fermion
Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsip ekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari satu fermion memiliki keadaan kuantum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya ditempati oleh satu fermion. Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang tersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupun boson yang jumlahnya berapa pun. Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi-Dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan-keadaan atas kelompok-kelopok sebagai berikut : Kelompok-1 memiliki jumlah keadaan Kelompok-2 memiliki jumlah keadaan Kelompok-s memiliki jumlah keadaan -
dan eneri rata-rata
dan energi rata-rata
dan energi rata-rata
Kelompok-M memiliki jumlah keadaan
dan energi rata-rata
Kita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika : Terdapat Terdapat -
sistem di kelompok-1 sistem di kelompok-2
Terdapat -
sistem dikelompok-s
Terdapat
sistem di kelompok-M
Jika ditinjau kelompok-1 di mana terdapat
keadaan dan
sistem. Mari kita
analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem dianalogikan sebagai sebuah benda yang akan diletakkan dikursi tersebut. Satu kursi dapat saja kosong atau menampung benda dalam jumlah beberapa saja. Untuk menghitung jumlah penyusun benda, dapat dilakukannya sebagai berikut :
Gambar 2. Contoh penyusunan fermion analog dengan penyusunan kursi. Sebagian kursi ditempeli benda (keadaan yang diisi fermion) dan sebagian kursi kosong (keadaan yang tidak ditempati fermion).
Untuk menentukan jumlah cara menempatkan benda pada kursi -kursi tersebut, kita
tempelkan
benda
ditempelkan satu
benda.
pada
kursi-kursi
tesebut.
Pada
Penempelan ini menjamin bahwa
satu
kursi
hanya boleh
tidak boleh lebih dari satu
benda berada pada satu lursi. Akibatnya kita dapatkan :
Ada
buah kursi yang ditempeli benda
Ada
buah kursi yang kosong.
Kemudian kita melakukan permutasi semua kursi yang ada baik yang kosong maupun yang ditempeli benda, karena benda sudah menempel pada kursi maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu kursi yang menampung lebih dari satu benda.
Jumlah kursi yang dipermutasi adalah sebanyak
cara. tetapi, karena (
kursi sehingga menghasilkan jumlah permutasi
buah kursi kosong tidak terbedakan dan Ada
buah kursi yang ditempeli benda juga tidak dapat dibedakan maka jumlah permutasi
buah kursi harus dibagi dengan permutasi buah kursi kosong, tidak terbedakan dan buah kursi yang ditempeli benda untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, jumlah penyusunan yang berbeda hanyalah
Hal yang sama berlaku untuk kelompok-2 yang mengandung
populasi
keadaan dengan
sistem. Jumlah cara penyusunan yang berada sistem-sistem, ke dalam keadaan-
keadaan tersebut adalah
Terakhir hingga kelompok energi ke-M, jumlah cara penyusunan yang berbeda untuk sistem dalam
keadaan adalah
Akhirnya jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan
keadaan,
sistem di dalam
….,
sistem dalam
keadaan adalah
sistem di dalam
∏
Harus juga diperhitungkan jumlah cara membawa N sistem dari luar untuk didistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. Jumlah cara pengambilan N sistem adalah N! cara. Karena sistem tidak dapat dibedakan maka jumlah tersebut harus dibagi dengan N!, sehingga jumlah total cara membawa N sistem ke dalam tingkat-tingkat energi di dalam assembli adalah N!/N!=1. Akhirnya, kita dapatkan jumlah penyusunan sistem-sistem dalam assembli boson adalah
∏
2. KATAI PUTIH
Hasil akhir dari sebuah evolusi bintang adalah bergantung dari pada konfigurasi masa awalnya. Data dari hasil observasi maupun perhitungan secara teoritis mengindikasikan bahwa bintang dengan masa setelah melepaskan sebagian masanya dalam bentuk
nebula-nebula planet melahirkan sebuah katai putih, dengan massa, jari-jari dan kerapatan yang khas dan . Katai putih sebagian besar tersusun atas helium, karbon dan oksigen, karena massa nenek moyangnya yang sedemikian rupa sehingga suhunya tidak pernah cukup untuk dapat membakar karbon secara lebih jauh, dan kalaupun pembakaran tersebut dapat terjadi, pada prinsipnya, hal tersebut akan membutuhkan waktu yang lebih lama dibandingkan dengan usia alam semesta kita. Seperti yang akan kita tunjukan selanjutnya, bahwa katai putih dengan massa melebihi nilai kritis tidak akan pernah ada.
Bintang neutron atau lubang hitam dianggap sebagai sisa dari keruntuhan gravitasi, setelah terjadinya ledakan supernova, dari sebuah bintang yang massanya lebih besar dari , akan tetapi mekanismenya sampai dengan sekarang ini masihlah belum jelas. Simulasi numerik menunjukan bahwa apabila masa dari nenek moyang bintang lebih kecil dari , bintang neutron lah yang akan terbentuk, namun apabila masanya lebih besar
maka akan menghasilkan lubang hitam. Seperti pada katai putih, kehadiran masa kritis juga terjadi pada bintang neutron. Batas atas mutlak berada pada kisaran ; nilai dari masa kritis bergantung daripada persamaan keadaan yang dipilih dalam menggambarkan materi dalam kerapatan supernuklir. Seperti yang berlaku pada inti sebuah bintang neutron. Bintang-bintang neutron telah diamati dalam sebuah sistem biner atau sebagai objek yang terisolasi. Parameter khususnya sekitar dan . Lubang hitam dapat memiliki perbedaan masa yang sangat berbeda, berkisar dari beberapa masa matahari sampai ke lubang hitam yang sangat masif, dengan masa
, yang mana terdapat dipusat beberapa galaksi.
2.1 Penemuan Bintang Katai Putih Katai putih yang pertama, yaitu Sirius B, diamati pertama kali pada tahun 1915 oleh Adams. Beliau menemukan bahwa terdapat sebuah spektrum dari objek bintang mengorbit di seputaran Sirius, dinamakan Sirius B karena merupakan bintang putih, tidak terlalu berbeda dengan spektrum dari Sirius. Massa dari sebuah bintang yang baru ditemukan dapat ditentukan dengan menggunakan hukum ketiga Kepler.
dan diperkirakan massa Sirius B ini berada disekitaran
. Dengan mengetahui
jarak dari sistem tersebut terhadap bumi, dan dari pengamatan fluks radiasinya dimungkinkan untuk memperkirakan suhu efektifnya, yang dalam hal ini diperkirakan berkisar . Semenjak ditemukannya radiasi benda hitam
, dari perhitungan spektral ini
dimungkinkan untuk memperkirakan jari-jari bintang tersebut, yang mana cukup mengejutkan, yaitu sekitar , jauh lebih kecil dibandingkan dengan matahari! Nilai yang sesungguhnya dari massa dan jari-jarinya adalah dan
(i.e
Pada waktu itu hasil ini sangat mengejutkan karena bintang tersebut memiliki massa yang sebanding dengan matahari namun memiliki jari-jari 40 kali lebih kecil dari matahari. Sebagai tambahan, meskipun pergeseran merah gravitasi yang diprediksi oleh teori relatifitas Einstein telah di ukur pada sebuah ekspedisi Eddington yang sangat terkenal pada tahun 1919, pergeseran merah dari garis-garis spektral Sirius B ini diukur oleh Adams sendiri pada tahun 1925 dengan verifikasi yang lebih baik pada teori tersebut, dan faktanya didalam bukunya The internal constitution of stars Sir Arthur Eddington menulis “Profesor Adam s telah membunuh 2 ekor burung dengan 1 buah batu: dia telah melakukan tes baru terhadap teori relativitas umum Einstein, dan dia telah mengkonfirmasi kecurigaan kita bahwa materi yang 2000 kali lipat lebih rapat dari platinum ialah tidak mungkin, namun kenyataanya adalah ada di alam semesta kita. Penemuan dari sebuah bintang dengan kerapatan yang seperti demikian memberikan sebuah pertanyaan: bagaimana katai putih ini, mendukung materi tersebut untuk tidak mengalami kehancuran? Memang, apabila materi yang menyusun bintang tersebut adalah gas yang sempurna pada temperatur tersebut tetaplah terlalu rendah untuk mencegah terjadinya kehancuran, yaitu karena gradien tekanan yang sesuai tidak akan cukup untuk menyeimbangkan gaya tarik gravitasi. Mengenai masalah ini Eddington kemudian menulis: “Ini terlihat seperti kekeliruan yang lumrah terjadi pada hukum gas karena untuk ukuran yang terbatas pada molekul akan terjadi pada kepadatan yang tinggi, dan saya tidak mengira katai putih ini berprilaku seperti sebuah gas ideal”. Kemudian apa yang membuat katai putih ini terjaga dalam keseimbangannya? Jawaban untuk pertanyaan ini datang beberapa tahun setelahnya, ketika Dirac memformulasikan Statistik Fermi-Dirac (August 1926), R.H Fowler mengidentifikasi bahwa tekanannya lah yang memegang peranan bagi katai putih ini untuk terhindar dari kehancuran yaitu dengan tekanan degenerasi elektron (Desember 1926). Hal ini telah menjadi langkah yang krusial bagi formulasi yang konsisten terhadap teori dari bintang tersebut yang kemudian menuntun S. Chandrasekar untuk memprediksikan keberadaan dari masa kritis diatas yang mana katai putih yang tidak stabil ters ebut dapat hidup. Dalam rangka untuk memformulasikan teori tersebut, marilah secara singkat kita memanggil beberapa persamaan dari degenerasi gas. 2.1.1 Degenerasi Gas didalam Mekanika Kuantum Gas ideal dapat dikatakan telah terdegenerasi apabila perilakunya berbeda dari perilaku klasik karena sifat kuantum dari sistem partikelnya. Karena degenerasi gas ini penting didalam mempelajari struktur dalam dari bintang-bintang yang padat, kita akan mencoba untuk menguraikan beberapa elemen dasar dari teori tersebut. Dengan menganggap
bahwa gas tersebut tersusun atas partikel yang kesemuanya sama. Secara umum, sistem secara utuh dapat digambarkan apabila kita menetapkan jumlah partikel per satuan volume ruang fase, yaitu nilai kerapatan didalam ruang fasa
[ Pers. 2.1]
Yang mana adalah volume dari sel didalam ruang fasa, adalah jumlah kestabilan dari sebuah partikel dengan diberikan nilai dari ketiga momentum p, s adalah spin, dan f (x, p) adalah fungsi probabilitas kerapatan, yaitu probabilitas dari menemukan sebuah partikel didalam posisi antara x dan x+d x dan ketiga momentum antara p dan p+d p. Apabila masa diam dari sebuah partikel adalah m, maka total energinya adalah dan total kerapatan energi gasnya adalah
[ Pers. 2.2]
Fungsi distribusi gas ideal untuk fermion atau boson didalam kesetimbangan adalah
[ Pers. 2.3]
Yang mana tanda + digunakan untuk fermion (Statistika Fermi-Dirac) dan tanda – untuk boson (Statistika Bose-Eisnetin) Didalam persamaan [ Pers. 2.3]
adalah energi kinetik partikel
dan adalah potensial kimia, yang mana penurunan secara parsial terhadap setiap potensial termodinamika dari sistem (entalpi, energi dalam, dll) relatif terhadap nilai molnya, menjaga agar jumlah mol dari setiap spesies partikel lain yang ada tetap atau konstan, dan parameter diam dalam kaitannya dari yang mana potensial diekspresikan. Sebagai contoh
} } [ Pers. 2.4]
Yang mana H adalah entalpi dan U adalah energi dalam, dari persamaan [ 2.3] kita meilhat bahwa semenjak f harus merupakan bilangan positif, potensial kimia dari fermion dapat diambil dari setiap nilai, baik itu positif maupun negatif, sedangkan untuk partikel boson terbatas kepada .
Apabila temperaturnya tinggi, atau energinya rendah distribusi Bose-Einstein dan distribusi Fermi-Dirac cenderung kepada distribusi klasik Maxwell-Boltzmann.
[ Pers. 2.5]
Karena f yang diberikan pada persamaan [ Pers. 2.3] hanya bergantung pada , yaitu hanyalah bergantung pada aturan dari ketiga momentum p, distribusi dari momentumnya menjadi isotropik, atau sama ke segela arah, sehingga kita dapat menulis , dengan demikian persamaan [ Pers. 2.2] menjadi
[ Pers. 2.6 ]
Dengan tekanan dapat ditulis
[ Pers. 2.7 ]
Dimana adalah kecepatan partikel dan faktor 1/3 datang dari hipotesa keisotropian, pernyataan ini mendefinisikan tekanan sebagai aliran momentum. Selanjutnya jumlah dari partikel dan energi dalam dari sistem dapat ditulis sebagai
[ Pers. 2.8]
2.1.2 Kriteria untuk berdegenerasi Mari kita pertimbangkan batas non-relatifistik ketika mengenalkan variabel
Dapat dilihat bahwa persamaan [ Pers. 2.8] berubah menjadi
. Jika kita
dan
[ Pers. 2.9]
Pada prinsipnya, integral ini dapat diselesaikan dan dapat ditemukan sebagai fungsi dari variabel termodinamika. Disini kita akan membahas secara eksplisit limit ketika , yaitu untuk statistika Fermi-Dirac yang mana menjadi sorotan utama kita, ketika bernilai negatif dan jauh lebih besar dibandingkan . Pada kasus ini integralnya berubah menjadi
Kemudian, mengkombinasikan pernyataan dari N dan U yang diberikan pada persamaan [ Pers. 2.9] kita menemukan
Dan karena
∫∫ ∫ √ ∫ √ ( ) dan
kita menemukan
,
yang mana ini merupakan pernyataan klasik dari energi dalam sebuah gas ideal. Dengan demikian ketika sesuai dengan limit klasik. Pada limit ini, pada persamaan pertama dari [2.9] kita temukan bahwa
[ Pers. 2.10]
Apabila sekarang kita mengambil didefinisikan degenerasi suhunya adalah
, dimana
[ Pers. 2.11]
Persamaan [ Pers. 2.10] dapat ditulis sebagai
jumlah partikel per
, dan
Jadi apabila,
[ Pers. 2.12]
, kemudian
dan gas berperilaku sebagai gas klasik; sebaliknya
sebuah gas ideal dikatakan berdegenerasi apabila
(
. Ketika
temperatur berdegenerasi menjadi nol, menunjukan bahwa degenerasi dari gas bersifat kuantum. Degenerasi diatur dalam kepadatan yang tinggi atau temperatur yang rendah. Persamaan [2.11] menunjukan bahwa pada kerapatan tertentu
,
lebih tinggi untuk
partikel dengan massa yang lebih kecil. Sehingga, elektron berdegenerasi lebih awal dibandingkan partikel lain yang lebih berat. CONTOH
Gas foton selalu mengalami degenerasi karena
Untuk
gas
hidrogen
pada
kondisi normal, yaitu ketika dan kesesuaian degenerasi suhu nya , dengan demikian hal ini berperilaku sebagai gas klasik i deal.
dan adalah
Untuk gas yang lebih berat dibandingkan hidrogen dan menjadi lebih kecil, dan akibatnya pada suhu dan tekanan normal mereka tidak berdegenerasi
dan
Elektron didalam logam berdegenerasi karena masanya yang cukup kecil yaitu sekitar dan kerapatannya yang cukup tinggi . Memang pada kasus seperti ini , dan apabila, untuk contoh tadi .
Mari sekarang kita kembali kepada katai putih. Seperti yang kita bicarakan sebelumnya, mereka secara umum tersusun atas helium, karbon dan oksigen, dan elemen-elemen yang lebih berat didalam inti dalamnya. Ketika material nuklir didalam inti terbakar, inti mengerut sampai menuju titik ketika jarak antara kedua inti menjadi sebanding dengan dimensi dari inti
tersebut (ini terjadi ketika dan dimana z adalah muatan inti). Pada situasi seperti ini, disana tidak terdapat lagi ruang bagi orbit eksternal dari elektron-elektron yang diperas untuk memulai sebuah dorongan tekanan proses ionisasi yang membuat kerapatannya meningkat, semakin melibatkan orbit dalam. Sebagai akibat dari proses ini inti padat dari nukleous terbentuk, direndam dalam sebuah gas elektron bebas yang terdegenerasi. Pada waktu yang sama kulit dari elemen yang lebih terang yang mengelilingi inti melanjutkan evolusi nuklirnya sampai semua bahan bakar intinya habis, dan proses kontraksi serta ionisasi berlangsung juga dalam lapisan yang lebih luar; sang bintang kemudian meradiasikan sisa panasnya dan kemudian mendingin. Penggambaran yang lebih akurat dari katai putih haruslah mempertimbangkan efek-efek lainnya, seperti misalnya koreksi elektrostatik karena faktanya muatan positif terkonsentrasi pada pada inti secara individual tidak merata. Meskipun demikian, untuk selanjutnya kita akan mengabaikan efek ini. Kita akan membahas sebuah katai putih pada titik akhir evolusinya, anggap bahwa proses ionisasinya telah selesai untuk seluruh konfigurasi dan bintang telah memancarkan sebuah
radiasi termal, sehingga secara ekslusif hal ini terdiri dari sebuah inti padat dari sebuah intiinti atom, yang terbenam didalam gas elektron yang berperilaku sebagai gas yang berdegenerasi pada suhu nol. Untuk menggambarkan struktur dari katai putih kita tidak membutuhkan relatifitas umum. Memang, untuk katai putih tertentu nilai gravitasi permukaannya relatif kecil
Kemudian kita akan menggunakan persamaan newtonian dari struktur bintang, yang mana dapat dengan mudah ditemukan sebagai berikut
Mari kita pertimbangkan kulit dari sebuah materi dengan radius r dengan ketebalan dr. Menjadi volume dari sebuah elemen cair termasuk kedalam kulitnya, yang mana dA adalah bagian (ortogonal terhadap r), dan menjadi untuk massanya. Gaya yang bekerja pada elemen cair adalah gaya tarik gravitasi yang diberikan oleh bola massa M(r) dan gradien dari tekanan menyilang kepada kulitnya; apabila elemen fluida didalam kesetimbangan mereka seimbang, yaitu
[ Pers. 2.13]
Masa yang terkandung dalam sebuah bola dengan radius r adalah
[ Pers. 2.14]
Persamaan (16.15) dan (16.16) dapat diselesaikan hanya jika kita menetapkan sebuah persamaan lebih lanjut yang menghubungkan antara tekanan dan kerapatan, yaitu dengan persamaan keadaan . Akhirnya, persamaan kesetimbangan dapat terselesaikan.
{ [ Pers. 2.15]
Sekarang kita akan mencoba untuk menentukan persamaan keadaan (PK) dari gas yang terdegenerasi. 2.1.3 Persamaan Keadaan untuk Gas yang Terdegenerasi
Ketika
fungsi distribusi Fermi-Dirac menjadi
[ Pers. 2.16 ]
Dimana dan adalah energi dan momentum Fermi. Karena suhunya nol, partikel memiliki energi kinetik sebesar nol. Apabila mereka adalah boson mereka akan menduduki energi level terendah , yang disebut sebagai kondensasi Bose. Akan tetapi Fermion tidaklah demikian, karena prinsip eksklusi Pauli yang menyatakan bahwa dalam setiap tingkat energi akan ada paling banyak dua elektron, yang satu spin-up dan yang satu spin down. Dengan demikian, elektron akan mengisi setiap tempat dengan energi lebih rendah daripada .
Ungkapan dari sebagai fungsi dari kerapatan dapat ditemukan sebagai berikut. Jumlah dari momentum antara dan per unit volume adalah
[ Pers. 2.17 ]
Karena prinsip pauli menetapkan dua keadaan spin yang tersedia, dimana dua elektron untuk masing-masing tingkatan; dengan demikin jumlah elektron per unit volumenya adalah
[ Pers. 2.18]
Apabila disana terdapat buah nukleon untuk masing-masing elektron ( untuk bintang-bintang yang telah menggunakan bahan bakar hidrogen mereka) masa jenisnya adalah
[ Pers. 2.19]
Dimana adalah masa dari nukleon. Kontribusi elektron-elektron terhadap masa jenisnya dapat kita abaikan karena . Dari persamaan [ Pers. 2.18] dan [ Pers. 2.19] kita dapat meneumkan sebagai fungsi dari kerapatan
[ Pers. 2.20]
[ [
Dengan mengetahui , kita dapat menentukan kerapatan energi kinetik tekanan P dari gas sebagai berikut
dan
[ Pers. 2.21]
Dimana,
adalah energi kinetik untuk masing-
masing elektron, dan dengan menggunakan persamaan [ Pers. 2.7 ]
[ Pers. 2.22]
Persamaan ini dapat dengan mudah diintegrasikan kedalam dua cara: 1) nonrelatifistik dan 2) ultrarelatifistik. Untuk tujuan ini, sangatlah bergunan untuk mendefinisikan kerapatan kritis, , sebagai sebuah kerapatan yang mana momentum fermi menjadi sama dengan dengan menggunakan persamaan [ Pers. 2.20]
⁄ * () () + [ Pers. 2.23]
1) apabila , dan elektron-elektronnya tidaklah reltifistik. Dalam kasus ini, persamaan [ Pers. 2.22] menjadi
[ Pers. 2.24]
Dengan menggunakan persamaan [ Pers. 2.20]
[ Pers. 2.25]
Dengan demikian, gas dari degenerasi elektron berperilaku sebagai gas ideal depan persamaan keadaan politropik.
() () [ Pers. 2.26 ]
[
Selain itu, dari persamaan [ Pers. 2.21] kerapatan-energi kinetik adalah
[ Pers. 2.27 ] Dan dengan menggunakan persamaan [ Pers. 2.24]
[ Pers. 2.28]
2) apabila dan elektron-elektron bersifat sebagai ultrarelatifistik. Dalam kasus ini, dari persamaan (16.24) kita temukan
[ Pers. 2.29]
Dan menggunakan persamaan [ Pers. 2.20]
() () [ Pers. 2.30]
Lagi, degenerasi gas elektron berperilaku sebagai gas ideal dengan persamaan keadaan politropik
() () [ Pers. 2.31]
Selain itu,
[ Pers. 2.32]
i.e
[ Pers. 2.33]
RINGKASAN: kita dapat tunjukan bahwa degenerasi dari gas elektron dapat digambarkan oleh persamaan keadaan
( ) () () ()
Didalam dua keadaan cara:
Keadaan non-relatifistik yaitu ketika
[ Pers. 2.34]
Keadaan ultra-relatifistik yaitu ketika
[ Pers. 2.35] Pada pernyataan ini kita dapat melihat, pada gas yang sudah benar-benar terdegenerasi, tekanan hanyalah bergantung kepada kerapatannya. Apabila kerapatannya meningkat, maka tekanan degenerasinya pun meningkat pula, dan gradien tekanan yang berkembang didalam bintang telah cukup untuk mendukung keseimbangan melawan gaya tarik gravitasinya. Dengan demikian maka benarlah, seperti yang kita kemudian kita akan lihat, apabila masan ya tidak melebihi nilai kritis. Hal ini juga harus dicatat bahwa, baik untuk non-relatifistik maupun relatifistik tinggi, gas yang terdegenerasi berperilaku sebagai gas ideal dengan persamaan keadaan politropik. Hal ini jelas bertentangan dengan pemikiran Eddington bahwa pada keadaan kerapatan tinggi pada bagian dalam bintang katai putih, materi penyusunnya tidaklah harus berupa fluida yang ideal. 2.1.4 Struktur Katai Putih Sekarang kita akan menemukan konfigurasi keseimbangan daripada katai putih dengan menggunakan persamaan-persamaan newtonian dari kesetimbangan hidrostatik [2.15] dan menggunakan hasil yang diperoleh pada bagian yang sebelumnya. Seperti yang telah disebutkan pada bagian 2.1.2, dalam rangka untuk memecahkan persamaan [2.15] kita perlu mengetahui persamaan keadaan dari materinya, yaitu pada persamaan yang menghubungkan tekanan dengan kerapatan; karena kita tertarik dalam penggambaran dua macam cara pada bagian 16.1.3, yaitu cara non relatifistik ( ), dan cara relatifistik ( ), kita harus mengasumsikan bahwa persamaan keadaanya memiliki bentuk politropik; dengan demikin kumpulan lengkap dari persamaan untuk menyelesaikannya dengan memberlakukan kondisi batas yang sesuai adalah
{ [ Pers. 2.36 ]
Dengan ini dapat dengan mudah dilihat bahwa dua persamaan pertama dapat dikombinasikan pada persamaan kedua yang selanjutnya (petunjuk: diferensia lkan persamaan kedua dan ganti ungkapan dari
dengan yang diberikan pertama kali)
[ Pers. 2.37 ]
Menjadi
{ pusat kerapatan; dengan mengambil
[ Pers. 2.38]
Persamaan [ Pers. 2.37 ] menjadi
( ) [ Pers. 2.39]
Apabila sekarang kita mengenalkan koordinat radial tak berdimensi berikut
[ Pers. 2.40] [ Pers. 2.39] menjadi
( ) [ Pers. 2.41]
Diketahui sebagai persamaan Lane-Emden. Haruslah dicatat bahwa persamaan tak berdimensional ini yang bergantung hanya pada indek politropik n.
Kondisi batas fisik yang harus dikenakan untuk memecahkan struktur persamaan ini adalah bahwa pada saat kerapatannya memiliki beberapa nilai yang diberikan dan pada permukaan bintang, yaitu ketika r=R, tekanannya menghilang, yaitu
Karena
[ Pers. 2.42]
, kondisi pertama menyiratkan bahwa pada saat
massanya menjadi nol sebagai
selain itukarena
, dari persamaan [ Pers. 2.36 ] ini berarti bahwa
Yaitu ia menuju nol sebagai
r. Dari persamaan keadaan
Dari yang berikut apabila
cenderung menuju nol
kita temukan
harus juga cenderung menuju nol.
Dengan demikian, kondisi lebih lanjut memaksa bagi adalah theta (r=0)=0. Kesimpulannya, persamaan Lane-Emden (16.43) haruslah diintegrasikan secara paksa pada pusat dari bintang tersebut.
[ Pers. 2.43]
Hal ini dapat ditunjukan apabila
lenyap untuk beberapa
kerapatan dan tekanannya menghilang, oleh karena itu dapat ditentukan secara numerik.
. Ketika
adalah batas bagi bintang, yang
