BAHAN AJAR KALKULUS
FUNGSI TURUNAN (DIFERENSIAL)
(Disusun oleh H. Zaimi Effendi)
1. Garis singgung kurva
Pandang titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) pada kurva y = f(x), pada
gambar 1 berikut ini.
Y
g
Q(x2,y2)
y
P(x1,y1)
y = f(x)
x
0 X
Gambar 1
Garis hubung PQ mempunyai gradien: m = = , dengan
x = x2 - x1 dan dapat ditulis x2 = x1 + x , dan y = y2
- y1 = f(x2) - f(x1) = f(x1 + x) - f(x1)
Jika titik Q bergerak menuju P sepanjang kurva y = f(x), maka x
makin kecil mendekati nol. Sedangkan garis hubung PQ akan makin dekat dan
menuju garis singung g di P(x1, y1) bersamaan dengan mendekatnya garis PQ
ke garis singgung g, maka gradien garis hubung PQ juga menuju gradien garis
singgung g. Dengan demikian gradien garis singgung g dapat diperoleh dari
limit gradien garis hubung PQ untuk x 0, maka gradien garis singgung
g, ditulis mg adalah:
mg = L i m = L i m = L i m
Jika x = h, maka :
mg = L i m
Contoh:
Tentukan gradien dan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 4x +
3 di P(5, 8)
Jawab:
Gradien garis singgung g :
mg = L i m
= L i m = L i m
= L i m = L i m (6 + h) = 6
Persamaan garis singgung g :
g: y - y1 = mg (x - x1)
y - 8 = 6 (x - 5)
y = 6x - 22
2. Kecepatan sesaat
Proses pencarian gradien garis singgung dengan limit juga terjadi
pada proses pencarian kecepatan gerak suatu benda. Misalkan S = f(t)
menyatakan jarak benda pada saat t detik diukur dari titik 0, maka
kecepatan rata-rata gerak benda tersebut mulai dari t1 sampai t2 adalah:
Vrata-rata =
Jika h = t2 – t1 maka kecepatan rata-rata (Vrata-rata) =
Kecepatan sesaat pada saat t = t1 yang ditulis V(t1) adalah:
V(t1) = L i m
Contoh 1:
Sebuah benda bergerak sepanjang lintasan S(t) = 16 t2
Hitunglah kecepatan rata-rata selama selang waktu dari t = 1 sampai t = 2
Jawab:
Vrata-rata =
= = = 48
Contoh 2:
Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = 3t2 - 2t + 1.
Hitunglah kecepatan pada saat t = 1 detik
Jawab:
V(t1) = L i m f(t1 + h) - f(t1)
h 0 h
V(1) = L i m f(1 + h) - f(1)
h 0 h
= L i m 3(1 + h)2 - 2(1 + h) + 1 -
{3(1)2 - 2(1) + 1}
h 0
h
= L i m 3h2 + 4h = L i m (3h
+ 4)
h 0 h
h 0
= 4
Latihan 1:
1. Carilah gradien dan persamaan garis singgung pada kurva:
a. y = x2 di titik P(2, 4)
b. y = di titik P(, 1)
c. y = -x2 + 2x + 2 di titik P(-2, -6)
2. Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = 2t2 + 2,
hitunglah:
a. Kecepatan rata-rata pada selang waktu 2 t 3
b. Kecepatan pada t = 2
3. Turunan Fungsi
Proses pencarian gradien garis singgung g pada suatu kurva y =
f(x) memberi gagasan pembentukan konsep turunan fungsi. Turunan fungsi
y = f(x) pada x = a yang ditulis f '(a) didefinisikan dalam bentuk:
f '(a) = L i m
Turunan fungsi y = f(x) pada titik sebarang x dapat dinyatakan
dalam bentuk :
f '(x) = L i m
Turunan fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan dengan notasi : y
' , f '(x), , (y), f(x), atau Dx y
Contoh :
Diketahui fungsi f(x) = 3x2 + 12, carilah :
a. Turunannya
b. Hitunglah f '(2)
Jawab:
a. f '(x) = L i m f(x + h) - f(x)
h 0 h
= L i m 3(x + h)2 - f(x)
h 0 h
= L i m 3 x2 + 6hx + 3h2 + 12 -
(3x2 + 12)
h 0 h
= L i m 6hx + 3h2
h 0 h
= L i m (6x + 3h) = 6x
h 0
b. f '(x) = 6x, maka :
f '(2) = 6(2) = 12
Latihan 2:
1. Carilah turunan dari fungsi :
a. f(x) = ½ x2 + 3 x - 2
b. f(x) =
c. f(x) =
2. Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = 3t2 - 6t +
2, tentukanlah:
a. V(t) b. V(0) c. V(2) d. t sehingga V(t) = 0
3. Aturan Pencarian Turunan Fungsi
Proses pencarian turunan suatu fungsi dari konsep turunan, yakni :
f '(x) = L i m f(x + h) - f(x)
h 0 h
membutuhkan banyak waktu, membosankan dan cukup rumit. Pada bagian ini akan
disajikan beberapa teorema yang sangat bermanfaat pada penurunan fungsi.
Sebagaimana yang telah dikemukakan, turunan fungsi y = f(x) terhadap
x dinyatakan dengan notasi : y ' , f '(x), , (y),
f(x), atau Dx y
Teorema 1: Aturan pangkat.
Jika y = xn dan n bilangan real, maka y' = n xn-
1
Bukti:
y' = L i m f(x + h) - f(x)
h 0 h
= L i m (x + h)n - xn
h 0 h
xn + n xn-1 h + n(n – 1) xn-2 h2 + . . .
+ n x hn-1 + hn - xn
2!
= L i m
h 0 h
n xn-1 h + n(n – 1) xn-2 h2 + . . . +
n x hn-1 + hn
2!
= L i m
h 0 h
= L i m n xn-1 + n(n – 1) xn-2 h + . . . + n x
hn-2 + hn-1
h 0 2!
y' = n xn-1
Contoh :
Carilah turunan dari fungsi:
1. y = -5 x3
2. y = 4x2 - 3x + 2
Jawab:
1. y' = -5 (3) x2 = -15 x2
2. y' = 8 x - 3
Teorema 2: Aturan hasil kali
Jika y = U . V dan U dan V fungsi dalam x, maka y' = U
V' + V U'
Bukti:
y' = L i m f(x + h) - f(x)
h 0 h
= L i m (U + h)(V + h) - U V
h 0 h
= L i m (U + h)(V + h) - U V + (U + h) V - (U +
h) V
h 0 h
= L i m (U + h) (V + h) - V + V (U + h) - U
h 0 h
h
= L i m (U + h) L i m (V + h) - V + V L i m
(U + h) - U
h 0 h 0 h
h 0 h
y' = U V' + V U'
Contoh :
Tentukan y' jika y = (x2 + 1) (3x - 5)
Jawab: Misalkan U = x2 + 1, maka U' = 2 x
V = 3x - 5, maka V' = 3
y = U V maka y' = U V' + V U'
= (x2 + 1) (3) + (3x -
5) (2x)
= 9x2 - 10x + 3
Teorema 3: Aturan hasil bagi
U
V U' - U V'
Jika y = dan U dan V fungsi dalam x, maka y' =
V
V2
Bukti:
Kita gunakan teorema 2, dengan menuliskan U = y V
U' = y V' + V y'
y' = = =
y' =
Contoh:
Hitunglah turunan f(x) = di x = -1
Jawab:
Misalkan U = 2x - 3, maka U' = 2
V = 3x + 4, maka V' = 3
y = maka y' = f '(x) =
=
f '(-1) = = =
17
Teorema 4: Aturan rantai
Jika y = f(u) dan u = g(x) maka = .
Jika y = f(u), u = g(z), dan z = h(x) maka =
. .
Bukti:
Fungsi y = f(u) dan u = g(x). Kalau x diberi penambahan x, maka y
dan u sebagai fungsi dari x juga mendapat penambahan y dan u, dan
= .
Bila x mendekati 0, maka y dan u juga mendekati 0. Jika diambil
limitnya, diperoleh:
= .
= .
Dengan cara yang sama, untuk fungsi y = f(u), u = f(z), dan z = f(x),
diperoleh:
= . .
Contoh: Carilah turunan dari fungsi:
1. y = (2x3 + 4x - 5)6
2. y =
Jawab:
1. Misalkan u = 2x3 + 4x - 5, maka y = u6
= 6x2 + 4, dan = 6u5 = 6(2x3
+ 4x - 5)5
Aturan rantai: = .
y' = = 6(2x3 + 4x - 5)5 (6x2 +
4)
2. Misalkan u = x2 + 2, maka y = = u½
= 2x, dan = ½ u-½ = ½ (x2 +
2)-½
Aturan rantai: = .
y' = = ½ (x2 + 2)-½ 2x
= =
Berdasarkan teorema 1 aturan pangkat, dan teorema 4 aturan rantai, dapat
disimpulankan teorema 5 sebagai berikut:
Teorema 5:
Fungsi y = Un , U = f(x), dan n bilangan rasional maka: y'
= n Un-1 . U'
Contoh 1:
Tentukan turunan dari fungsi y = (3x2 - 4x + 2)5
Jawab:
U = 3x2 - 4x + 2 maka U' = 6x - 4
y = (U)5 maka :
y' = 5 U4 U'
= 5 (3x2 - 4x + 2)4 (6x - 4)
Contoh 2:
Hitunglah f '(0) dari fungsi f(x) = ( )2
Jawab :
Misalkan W = =
W' = = =
f(x) = W2
f '(x) = 2 W W' = 2 .
f '(0) = - 60
4. Turunan fungsi Trigonometri
Teorema 1:
Fungsi y = Sin x maka y' = Cos x
Fungsi y = Cos x maka y' = - Sin x
Bukti:
y = sin x maka :
y' = =
= = . Cos (2x + h)
y' = Cos x
Dengan Cara pembuktian yang sama untuk y = Cos x adalah y' = -Sin x
Contoh: Tentukan turunan dari funsi :
1. y = 3 Sin x - 2 Cos x 2.
y = Sin2 x.
3. y = Tan x
4. y = Cot x
5. y = Sec x
6. y = Csc x
Jawab:
1. y = 3 Sin x - 2 Cos x
y' = 3 Cos x - 2 (- Sin x) = 3 Cos x +
2 Sin x
2. y = Sin2 x (Gunakan teorema 5)
y' = 2 Sin x Cos x
3. y = Tan x = (gunakan teorema 3)
y' = =
= = Sec2x
4. y = Cot x =
y' = = - = -
y' = - Csc2 x
5. y = Sec x = (Cos x )-1
y' = - (Cos x)-2 (- Sin x) =
6. y = Csc x = (Sin x)-1
y' = - (Sin x)-2 Cos x = -
Teorema 2:
Fungsi y = Sin U, dan U = f(x) maka y' = Cos U . U'
Fungsi y = Cos U, dan U = f(x) maka y' = - Sin U . U'
Bukti : Gunakan aturan rantai
y = Sin U dan U = f(x)
= .
y' = Cos U . U'
Dengan Cara pembuktian yang sama untuk y = Cos U adalah y' = -Sin U
. U'
Contoh 1: Carilah turunan dari fungsi :
a. y = Sin 3x b. y = Cos (2x3 + 5)
Jawab: a. y = Sin 3x
y' = Cos 3x . 3 = 3 Cos 3x
b. y = Cos (2x3 + 5)
y' = - Sin (2x3 + 5) . 6x2 = - 6x2 Sin (2x3
+ 5)
Contoh 2: Hitunglah f '() dari fungsi:
a. f (x) = Cos 2x b. f (x) =
Sin3x
Jawab:
a. f (x) = Cos 2x
f '(x) = -2 Sin 2x
f '() = -2 Sin = -2 . 1 = -2
b. f (x) = Sin3x
f '(x) = 3 Sin2x . Cos x
f '() = 3 Sin2 Cos =
3 (½ 2)2 (½ 2) = ¾ 2
Contoh 3:
Tentukaan persamaan garis singgung di titik () pada
grafik y = 2 Sin x
Jawab:
y = f(x) = 2 Sin x
f '(x) = 2 . Cos x = 3 Cos
x
Gradien garis singgung di () adalah mg = f '
() = 3 Cos () =
Persamaan garis singgung g di () dan mg =
adalah:
g: y - y1 = mg (x - x1)
y - = (x - )
y = x - +
Latihan 2:
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi di bawah ini :
1. y = (x3 + 1)3 2.
y =
3. y = 4. y =
5. y = 6. y =
7. y = 8. y =
9. y = x2 10. y =
Sin (ax + b)
11. y = Cos2 (ax + b12 12. y =
Tan
13. y = x2 Sin2 x 14. y
=
15. y = 16. y =
Sec2x
17. y = (Sin x + Cos x)3 18.
y =
19. y = 20. y =
5. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial
Bilangan e = = (1 +
k)1/k
= = 2,718281828459045…
Jika a > 0 dan a 1, dan jika ay = x, maka y = a Log
x bilangan pokoknya a
Jika bilangan pokok a = e, dan jika ey = x, maka y = e Log x
= Ln x , disebut fungsi logaritma natural (asli atau alam)
Sifat logaritma asli:
Apabila a dan b bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka:
(1) Ln 1 = 0
(2) Ln ab = Ln a + Ln b
(3) Ln = Ln a - Ln b
(4) Ln ar = r Ln a
Teorema : Turunan fungsi logaritma
Jika y = Ln x maka y' =
Jika y = Ln U, dan U = f(x), maka y' = U'
Jika y = f(x) = Ln x maka y' =
Bukti:
y' = f '(x) =
= =
= Ln (1 + ) = Ln
= Ln = Ln e
= Ln e = Ln e
= . 1 =
Jika y = f(x) = Ln U, dan U = f(x) maka y' =
Bukti: Gunakan aturan rantai.
y' = f '(x) = = .
= . U'
Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut:
1. y = Ln (x2 - 3x + 1) 2.
y = Ln2 Cos x
3. y = Ln 4. y
=
Jawab:
1. y = Ln (x2 - 3x + 1)
y' = (2x - 3) =
2. y = Ln2 Cos x
y' = 2 Ln Cos x . (- Sin x) = 2
Ln Cos x . (- Tan x)
= - 2 Tan x Ln Cos x
3. y = Ln = Ln (3x - 5) =
Ln (3x - 5)
y' = 3 =
4. y = =
Ln y = Ln (1 - x2 ) - Ln ( x +
1)
=
y' = .
=
Teorema 1: Turunan fungsi eksponensial
a bilangan real
Jika y = ax, maka y' = ax . Ln a
Jika y = aU, maka y' = aU . Ln a . U'
y = ax maka y' = ax Ln a
Bukti:
y = ax maka x = a Log y =
Ln y = x Ln a
y' = Ln a
y' = y Ln a = ax Ln a
y = aU maka y' = aU . Ln a . U'
Bukti: Gunakan aturan rantai
y = aU dan U = f(x)
= .
y' = aU . Ln a . U'
Contoh:
Carilah turunan dari fungsi: y = 4
Jawab: y = 4 misalkan U = x2 + 3
y' = 4 . Ln 4 . 2x
= 2x 4 Ln 4
Teorema 2: Turunan fungsi eksponensial
Jika y = ex maka y' = ex
Jika y = eU dan U = f(x), maka y' = eU . U'
Bukti:
1. Jika y = ex, e bilangan real
y' = ex . Ln e = ex
2. Jika y = eU dan U = f(x), sedangkan e
bilangan real
= .
y' = eU . U'
Contoh: Carilah turunan dari y = e
Jawab: y = e misalkan U =
y' = e =
=
Latihan : Tentukan turunan dari fungsi :
1. y = Ln (x2 + 2)(x2 - 3) 2.
y = Ln
3. y = x2 3x
4. y = ex Ln (2x + 3)
5. y = x2 Ln Sin (3x2 + 5) 6. y
= 5Sin 3x
6. Turunan kedua dan turunan yang lebih tinggi
Fungsi y = f(x), maka :
1. Turunan pertamanya ditulis: y' , f '(x) , , atau Dxy
2. Turunan kedua didefinisikan sebagai turunan dari turunan pertama,
ditulis:
y'' , f ''(x), , atau Dy
3. Turunan ketiga didefinisikan sebagai turunan dari turunan kedua,
ditulis:
y''', f '''(x), , atau Dy
4. Turunan keempat didefinisikan sebagai turunan dari turunan ketiga,
ditulis:
y(4) , f(4)(x), , atau Dy
5. Turunan ke n didefinisikan sebagai turunan dari turunan ke (n-1),
ditulis:
y(n) , f (n)(x) , , atau Dy
Contoh 1: Carilah turunan ketiga dari fungsi y = Cos 2x
Jawab: y' = -2 Sin 2x
y'' = -4 Cos 2x
y''' = 8 Sin 2x
Contoh 2: Hitunglah f ''(-1) dari fungsi f(x) = (4x2 - 5)3
Jawab : f '(x) = 3 (4x2 - 5)2 8x = 24 x (4x2 - 5)2
f ''(x) = 24 [(4x2 - 5)2 .1 + x . 2(4x2 - 5). 8x]
f ''(-1) = 24 [(4 – 5)2 - 2 (4 – 5) (-8)] = -360
Latihan:
1. Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi :
a. y = ¼ x4 - x3 + ½ x2 - 5 x + 3
b. y = x
c. y = x Sin 2x
d. y = x (x2 + 1)3
e. y =
f. y = ( )2
2. Hitunglah f ''(¼ π) dari fungsi:
a. f(x) = Cos 2x
b. f(x) = Sin3x
3. Hitunglah f ''(1) dari fungsi f(x) = ()2
4. Tentukan turunan kedua dari fungsi:
a. y = Ln (x - 5)4 b.
y = ln
c. y = (2x - 3) Ln (4x2 - 5)2 d. y
= e(2x – 1)
e. y = 5(x – 2) e (x + Ln 2x)
f. y = (3x + 1) 10(3 – 2x)
7. Pendiferensialan Implisit
Suatu persamaan f(x, y) = 0, dikatakan mendefinisikan y sebagai
fungsi dalam x secara implisit. Tidak semua fungsi dapat didefinisikan
secara eksplisit, yaitu y = f(x).
Contoh:
a. y3 + 7 y = x3
b. xy + x - 2y - 1 = 0
c. 3 x4 y2 - 7x y3 = 4 - 8 y
Dengan memikirkan y sebagai fungsi x, diferensialkan kedua ruas
pesamaan terhadap x , maka turunannya dapat ditentukan dari hubungan yang
diperoleh. Proses deferensialan sedemikian ini dikenal dengan
Pendiferensialan Implisit
Contoh 1: Carilah y' dari fungsi y3 + 7 y = x3
Jawab: Fungsi: y3 + 7 y = x3
(y3) + (7 y) = (x3) (atau)
3y2 y' + 7 y' = 3 x2
3y2 + 7 = 3 x2
(3y2 + 7) y' = 3 x2
(3y2 + 7) = 3 x2
y' =
y' = =
Contoh 2: Carilah y' dari fungsi xy + x - 2y - 1 = 0
Jawab: Fungsi: xy + x - 2y - 1 = 0
(xy) + (x) - (2y) - (1) = (0)
(atau) x y' + y + 1 - 2 y' = 0
[x (y) + y (x)] + 1 - 2 - 0 = 0
(x - 2) y' + y + 1 = 0
x + y + 1 - 2 = 0
(x - 2) y' = - (y + 1)
(x - 2) = -(y + 1)
y' = -
y' = = -
Contoh 3: Carilah y' dari fungsi 3 x4 y2 - 7x y3 = 4 -
8 y
Jawab: Fungsi: 3 x4 y2 - 7x y3 = 4 - 8 y
(3 x4 y2) - (7x y3) = (4) - (8
y)
[3 x4 (y2) + y2 (3 x4)] - [7x (y3)
+ y3 (7x)] = 0 - 8 (y)
[6 x4y (y) + 12 x3y2] - [21 xy2(y) + 7
y3] = -8 (y)
[6 x4y y' + 12 x3y2] - [21 xy2 y' + 7 y3] =
-8 y'
(6 x4y - 21 xy2 + 8) y' + (12 x3y2 - 7 y3) =
0
y' = -
Contoh 4: Carilah y' dan y'' jika diketahui x2y + 3y - 4 = 0
pada titik (-1, 1)
Jawab: Fungsi : x2 y + 3y - 4 = 0
( x2 y) + ( 3y) - (4) = (0)
[x2 y' + 2xy ] + 3 y' = 0 . . . (1)
( x2 y' ) + (2xy) + ( 3 y' ) = 0
[x2 y'' + 2x y'] + [2x y' + 2y] + 3 y'' = 0 . . .
(2)
Subsitusi x = -1 dan y = 1 pada hubungan (1), maka y' = ½
Subsitusi x = -1, y = 1, dan y' = ½ pada hubungan (2), maka
y'' = 0
Latihan A: Carilah turunan dari fungsi implisit berikut :
1. 4x2 + 9y2 = 9 2. xy2 - x +16 = 0
3. x3 – 3x2y + 19xy = 0 4. + 3y = 10x
5. 6x - + xy3 = y2 6. - 1 =
y3/2
7. xy + Sin y = x2 8. Cos (xy) = y2
+ 2x
9. x2y - xy2 + x2 + y2 = 0 10. x2 - xy +
y2 = 3
Latihan B: Carilah turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi implisit
berikut:
1. xy + y3 = 2 2. x2 - xy +
y2 = 3
3. x3y + xy3 = 2 di titik (1, 1) 4. 2x2 y - 4y3
= 4
5. x2 + y2 = 25 di titik (3, 4) 5. x3 + 3x2y -
6xy2 + 2y3 = 0 di titik (1,1)
8. Penggunaan Turunan
A. Fungsi naik, fungsi turun dan titik Stasioner
Perhatikan kurva y = f(x), lihat gambar 2 di bawah ini
Y M
B
y y = f(x)
A S
x
P
y Q
x N
X
0 x1 x2 a
x3 x4 b
Gambar 2
Titik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2) pada kurva y = f(x), x2
> x1, dan f(x2) > f(x1), maka kurva pada kedua titik tersebut naik.
Dengan memperhatikan x = h = x2 - x1 > 0 dan f(x2) -
f(x1) = f(x1 + h) – f(x1) > 0, maka > 0
Tentu turunan fungsi pada x = x1 adalah : f '(x1) =
> 0
Dengan demikian, untuk sebarang x, fungsi y = f(x) naik, jika f '(x)
> 0 (Positif)
Titik P(x3, y3) dan titik Q(x4, y4) pada kurva y = f(x), x4
> x3, dan f(x4) < f(x3), maka kurva pada kedua titik tersebut turun.
Dengan memperhatikan x = h = x4 - x3 > 0 dan f(x4) -
f(x3) = f(x3 + h) – f(x3) < 0, maka < 0
Tentu turunan fungsi pada x = x3 adalah : f '(x3) =
< 0
Dengan demikian, untuk sebarang x, fungsi y = f(x) Turun, jika f
'(x) < 0 (Negatif)
Perhatikan titik M dan titik N. Garis singgung pada kedua titik
tersebut sejajar dengan sumbu X+. Berarti gradien masing-masing garis
singgung tersebut sama dengan nol, yaitu gradien garis singgung di titik M
untuk x = a adalah f '(a) = 0, dan gradien garis singgung di titik N
untuk x = b adalah f '(b) = 0. Maka titik M maupun N disebut titik
stasioner
Untuk sebarang x, maka titik stasioner kurva y = f(x) tercapai saat f
'(x) = 0
Berdasarkan uraian fungsi naik, fungsi turun,dan stasioner pada kurva
y = f(x), dapat disimpulkan sebuah teorema, sebagai berikut:
Teorema: Fungsi naik, fungsi turun, dan stasioner
Fungsi y = f(x) naik di P(x, y) jika f '(x) > 0 dan turun di
P(x, y) jika f '(x) < 0
Jika f '(x) = 0 di titik P(x, y), maka titik P dinamakan titik
stasioner (kritis)
Contoh 1: Fungsi y = x3 - 3x2 - 9x + 11, tentukan:
a. Titik stasioner (kritis)
b. Daerah naik dan turunnya fungsi tersebut
Jawab: Fungsi y = x3 - 3x2 - 9x + 11
a. Titik stasioner ( y' = 0 ) :
y' = 3 x2 - 6 x - 9
y' = 0 maka
3 x2 - 6 x - 9 = 0
x2 - 2 x - 3 = 0
(x + 1) (x - 3) = 0
x1 = -1 maka y1 = 16, diperoleh titik
stasioner M(-1, 16)
x2 = 3 maka y2 = -16, diperoleh titik
stasioner N(3, -16)
b. Daerah naik (y' > 0) dan turunn(y' < 0) fungsi :
y' = 3 x2 - 6 x - 9 = (3x + 3) (3x - 9)
= 3 (x + 1) (x - 3) diperoleh nilai kritis (nolnya)
x1 = -1 dan x2 = 3
Perhatikan tanda y' = 3 (x + 1) (x - 3) disekitar x1 =
-1 dan x2 = 3
+ + + - -
- + + +
-1
3
Pada daerah x < -1 atau x > 3 fungsi naik, dan pada daerah
-1 < x < 3 fungsi turun.
Atau cara lain:
Fungsi naik jika y' > 0
Fungsi turun jika y' < 0
3 x2 - 6 x - 9 > 0
3 x2 - 6 x - 9 < 0
3 (x + 1) (x - 3) > 0
3 (x + 1) (x - 3) < 0
(x + 1) (x - 3) > 0
(x + 1) (x - 3) < 0
Pada daerah x < -1 atau x > 3 fungsi naik Pada
daerah -1 < x < 3 fungsi turun
Kurva fungsi y = x3 - 3x2 - 9x + 11, lihat gamabar
3 berikut ini.
Y
M 16
-1 0
3 X
-16
N
Gambar 3
Latihan: Tentukan titik stasioner,daerah naik dan turun, dan buat kurva
dari fungsi:
1. y = x2 - 2x + 7 2. y = 2 + 3x
- x3
3. y = 5 + 12 x - x3 4. y = x3
- 3x2 + 6
5. y = x3 - 6x2 + 9x + 5 6. y = x4
+ 2x3 - 3x2 - 4x - 3
B. Titik Ekstrim
Perhatikan gambar 2, titik M dan titik N pada kurva y = f(x).
Disekitar titik M, pada
x < a kurva naik, berarti f '(x) > 0 (positif) untuk x < a. Sebaliknya,
pada x > a kurva turun, berarti f '(x) < 0 (negatif) untuk x > a.
Sedangkan pada x = a, garis singgung kurva di titik M mendatar (sejajar
dengan sumbu X+), berarti f '(a) = 0. Disekitar titik M pada x = a,
maka
f '(x) berganti tanda, dari positif ( + ) ke negatif ( - ). Dengan
demikian, titik M disebut titik maksimum.
Disekitar titik N, pada x < b kurva turun, berarti f '(x) < 0
(negatif) untuk x < a. Sebaliknya, pada x > a kurva naik, berarti f '(x)
> 0 (positif) untuk x > a. Sedangkan pada
x = b, garis singgung kurva di titik N mendatar (sejajar dengan sumbu X+),
berarti f '(b) = 0. Disekitar titik N pada x = b, maka f '(x) berganti
tanda, dari negatif ( - ) ke positif ( + ). Dengan demikian, titik N
disebut titik minimum.
Teorema: Penyelidikan ekstrim relatif
Fungsi y = f(x) mempunyai turunan pada setiap x, dan f '(a) = 0, maka
fungsi
y = f(x) mencapai ekstrim pada x = a, jika f '(x) berganti tanda
pada x = a.
Jika f '(x) berganti tanda dari positif (+) ke negatif (-) di x = a,
maka f(a) maksimum
Jika f '(x) berganti tanda dari negatif (-) ke positif (+) di x = a,
maka f(a) minimum
Contoh 2: Tentukan titik ekstrim dari fungsi y = x3 - 3x2 -
9x + 11
Jawab: Fungsi mencapai ekstrim ( y' = 0 ) :
y' = 3 x2 - 6 x - 9
y' = 0 maka
3 x2 - 6 x - 9 = 0
x2 - 2 x - 3 = 0
(x + 1) (x - 3) = 0
x1 = -1 maka y1 = 16, diperoleh titik
stasioner M(-1, 16)
x2 = 3 maka y2 = -16, diperoleh titik
stasioner N(3, -16)
Tanda y' = 3 x2 - 6 x - 9 di sekitar x = -1
dan x = 3, adalah:
+ + + - -
- + + +
-1
3
Dengan demikian, titik M(-1, 16) titik maksimum, dan titik N(3, 16)
titik minimun, kurvanya lihat gamabar 3.
Latihan: Tentukan titik ekstrim dan buat kurva dari fungsi:
1. y = 3x2 -6x + 7 2. y = (x – 1)4
3. y = 2x3 + 3x2 + 36x + 2 4. y = x4
+ 2x3 - 3x2 - 4x - 3
C. Kecekungan dan titik lentur
Perhatikan gambar 4 berikut ini:
g1 g
M g2 g1 S
P Q
g2 P N
xo
xo xo
(a) (b)
(c)
Gambar 4
Pada gambar 4 (a), semua titik pada kurva y = f(x) berada di bawah
garis singgung g1 dan g2, kurva sedemikian disebut cekung ke bawah.
Perhatikan daerah kurva pada x < xo kelengkungan kurvanya naik, f '(x) >
0, sedangkan pada x > xo kelengkungan kurvanya turun, f '(x) < 0.
Setiap penambahan x ( x = h) di sekitar x = xo maka f '(x + h) < f '(x)
sehingga f '(x + h) - f '(x) < 0.
Kecekungan kurva disekitar x = xo adalah: f ''( x) = < 0
Dengan demikian, suatu kurva y = f(x) cekung ke bawah jika f ''( x) <
0. Sedangkan titik M (xo , f(xo)) disebut titik maksimum.
Pada gambar 4 (b), semua titik pada kurva y = f(x) berada di atas
garis singgung g1 dan g2, kurva sedemikian disebut cekung ke atas.
Perhatikan daerah kurva pada x < xo kelengkungan kurvanya turun, f '(x) <
0, sedangkan pada x > xo kelengkungan kurvanya naik,
f '(x) > 0. Setiap penambahan x ( x = h) di sekitar x = xo maka f
'(x + h) > f '(x) sehingga f '(x + h) - f '(x) > 0.
Kecekungan kurva disekitar x = xo adalah: f ''( x) = > 0
Dengan demikian, suatu kurva y = f(x) cekung ke atas jika f ''( x) >
0. Sedangkan titik N (xo , f(xo)) disebut titik minimum .
Pada gambar 4 (c), di titik S terjadi peralihan kecekungan, yaitu dari
cekung ke bawah
( f ''( x) < 0) menjadi cekung ke atas (f ''( x) > 0), atau sebaliknya.
Maka titik S(xo, f(xo)) disebut titik balik atau titik lentur. Titik
balik atau titik lentur tersubut terjadi saat f ''( x) = 0
Dengan demikian, peralihan kecekungan pada kurva y = f(x), terjadi saat f
''( x) = 0, dan titik S(xo, f(xo)) disebut titik balik atau titik lentur
Teorema: Kecekungan
Kurva y = f(x) di sekitar x = xo
(1) Cekung ke bawah jika f ''( x) < 0, dan (xo, f(xo)) disebut
titik maksimum
(2) Cekung ke atas jika f ''( x) > 0, dan (xo, f(xo))
disebut titik minimum
(3) Peralihan kecekungan jika f ''( x) = 0, dan (xo, f(xo))
disebut titik belok
Contoh: Tentukan titik ekstrim dan kecekungan dari kurva y = x3 - 3x
- 2
Jawab: y = f(x) = x3 - 3x - 2
f '( x) = 3x2 - 3 = 3(x + 1)(x – 1)
f '( x) = 0 3(x + 1)(x – 1) = 0 nilai kritis
x1 = -1 dan x2 = 1
f ''( x) = 6x
Pada x = -1 f ''( -1) = -6 < 0, memberikan nilai maksimum
pada x = -1
Nilai maksimumnya y = f(-1) = 0. Titik maksimum M(-1, 0)
Pada x = 1 f ''( 1) = 6 > 0, memberikan nilai minimum
pada x = 1
Nilai minimumnya y = f(1) = -4. Titik minimumnya N(1, -4)
Titik balik terjadi saat f ''( x) = 0 6x = 0 x =
0, maka y = f(0) = -2
Titik balik dimaksud S(0, -2)
Kecekungan kurva, perhatikan tanda f ''( x) = 6x disekitar x =
0
_ _ _
+ + +
/
Cekung ke bawah 0 Cekung
ke atas
Kurva cekung ke bawah pada x < 0, dan cekung ke atas pada x >
0, lihat gamabar 5
-1 0 1
S
-2
-4
Gambar 5
Latihan : Tentukan titik ekstrim, titik belok, kecekungan, dan buat kurva
dari fungsi:
1. y = x3 – 6x2 + 9x + 5 2. y = x3 -
3x2 + 3
3. y = x3 - 3x2 + 9x +7 4. y = x3
- 3x2 + 6
9. Penerapan nilai ektrim
Uraian titik stasioner (kritis) dan kecekungan suatu kurva y =
f(x), digunakan pada perhitungan nilai ekstrim. Uraian tersebut dapat
disimpulkan pada teorema, sebagai berikut:
Teorema: Penerapan nilai Ekstrim
Pecahkan f '(x) = 0 untuk mendapatkan nilai-nilai kritis, yaitu x =
xo
1) jika f ''(xo) < 0 maka f(x) mempunyai nilai maksimum, yaitu
f(xo)
2) jika f ''(xo) > 0 maka f(x) mempunyai nilai minimum, yaitu
f(xo)
Contoh 1: Dua buah bilangan berjumlah 120. Jika hasil kali bilangan pertama
dan kuadrat bilangan kedua, maksimum. Tentukan kedua bilangan itu
Jawab: Misalkan bilangan pertama x dan bilangan kedua y
x + y = 120 x = 120 – y
h = hasil kali bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua
h = x y2 h = (120 – y) y 2 = 120 y2 - y3
h' = 240 y - 3 y2
h' = 0 240 y - 3 y2 = 0 y ( 80 - y ) =
0, nilai kritis y1 = 0 dan y2 = 80
h'' = 240 - 6 y
y = y1 = 0 h'' = 240 > 0, tidak memenuhi karena
mempunyai nilai minimum
y = y2 = 80 h'' = - 240 < 0, mempunyai nilai
maksimum pada y = 80
Bilangan x = 120 – y = 120 – 80 = 40.
Jadi bilangan pertama x = 40 dan bilangan kedua y = 80
Contoh 2: Selembar karton berbentuk persegi panjang ukurannya 40 cm x 25
cm, hendak dijadikan kotak tanpa tutup. Tentukan ukuran kotak
supaya isinya maksimum
Jawab: Lihat gambar 6 di bawah ini
Misalkan tinggi kotak = x, maka panjangnya = 40 – 2x dan
lebarnya = 25 – 2x
Isi kotak V(x) = (40 – 2x) (25 – 2x) x = 4x3 -
130x2 + 1000 x
V '(x) = 12x2 - 260x + 1000
x V '(x) = 0 12x2 - 260x + 1000 = 0
x (3x – 50) (x – 5) = 0 x1 = 16 dan
x2 = 5
V ''(x) = 24 x - 260
40 x= x1 = 16 V ''(16)
= 400 > 0, tidak memenuhi
x = x2 = 5 V ''(5) = - 140 < 0, maksimum pada
x = 5
25 Untuk x = 5, maka ukuran kotak:
Gambar 6 Panjang = 40 – 2x = 30, lebar = 25 – 2x = 15
dan tinggi = x = 5
Isi kotak = panjang x lebar x tinggi x = 5 Isi kotak =
V(x) = (40 - 2x) (25 – 2x) x
= (30 x 15 x 5) cm3 Isi kotak = V(5) =
(30) (15) (5) cm3
= 2250 cm3 = 2250 cm3
Contoh 3: Selembar Seng luasnya 432 cm2 akan dijadikan sebuah kaleng
berbentuk balok tanpa tutup. Alas kaleng tersebut berbentuk bujur
sangkar. Agar isi kaleng maksimum, tentukan ukuran kaleng tersebut
Jawab: Misalkan sisi bidang alas = x, dan tingginya = y, lihat gambar 7.
Luas bidang alas = x . x = x2
Luas bidang tegak = 4.x.y = 4xy
Luas kaleng tanpa tutup = x2 + 4xy =
432
y y =
Isi kaleng V(x) = x2y = 108 x -
x V '(x) = 108 - ¾ x2
Gambar 7 V '(x) = 0 108 - ¾ x2 = 0
144 – x2 = 0
(12 + x) (12 – x) = 0 x1 =
-12 dan x2 = 12
V ''(x) = -x
x = -12 V ''(-12) = 18 > 0, minimum, tidak memenuhi
x = 12 V ''(12) = -18 < 0, maksimum pada x = 12
(sisi alas)
x = 12 y = y = 6 (tinggi)
Isi maksimum (V) = x2y = 122 . 6 = 864 cm3
Contoh 4: Sebuah kerucut, jari-jari alasnya = r, dan tingginya = t.
Didalam kerucut dibuat berbagai tabung yang alasnya terletak pada
dasar kerucut dan atasnya pada bidang lengkung kerucut. Kerucut
dan tabung mempunyai poros yang sama. Tentukan ukuran tabung agar
isinya maksimum.
Jawab: Lihat gambar 8
Misalkan tinggi tabung = x, dan jari-jarinya = p, maka isi tabung V
= π p2 x
x t
r-p p
Gambar 8
x = t p = = (t – x) Jari-jari tabung (p) =
r
Isi maksimum tabung (V) = π ( r)2 . t = r2 t
Latihan:
1. Dua bilangan berjumlah 20. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil
kalinya maksimum
2. Sebuah kawat panjangnya 20 cm, dibentuk menjadi persegi panjang.
Tentukan ukuran persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum.
3. Sebuah segitiga, alasnya = 12 cm dan tingginya = 6 cm. Dalam segitiga
itu dibuat persegi panjang. Tentukan ukuran pesegi panjang tersebut
agar luasnya maksimum.
4. Sebuah silender volumenya 64 satuan. Tentukan ukuran silender agar
luas bahan sekecil mungkin, bila:
a. Silender tanpa tutup atas
b. Silender tertutup di atas dan di bawah
5. Sebuah kotak berbentuk balok yang alasnya bujur sangkar tanpa tutup
dibuat dari berbagai logam dengan berbagai harga. Daya tampung
(volume) kotak tersebut satu liter. Harga bagian alas Rp.5,- tiap cm2,
bagian muka dan belakang masing-masingnya Rp.6,- tiap cm2 dan bagian
samping masing-masingnya Rp.4,- tiap cm2. Tentukan ukuran kotak
tersebut agar biaya pembuatan minimum, dan tentukan biaya minimum
tersebut.
6. Sepotong kawat panjangnya 100 m, dipotong menjadi dua bagian. Satu
potong dijadikan bujur sangkar, dan potongan lainnya dijadikan
segitiga sama sisi. Berapa panjang potongan kawat dibutuhkan, jika:
a. Jumlah luas-luasnya minimum
b. Jumlah luas-luasnya maksimum
7. Selembar baja panjang, lebarnya = 16 satuan.Kedua sisi panjangnya
harus dilipat ke tas untuk membuat talang air. Berapa lebar lipatan
pada tiap sisi agar kapasitas maksimum.
8. Halaman sebuah buku harus memuat 27 inci persegi cetakan. Jika pingir
atas, bawah, salah satu sisi adalah 2 inci, dan pinggir satu sisi
lain adalah 1 inci. Berapa ukuran halaman agar memakai kertas sedikit
mungkin.
10. Derivatif sebagai kelajuan
A. Gerak garis lurus
Gerak sebuah benda sepanjang suatu garis dinyatakan dalam bentuk
persamaan lintasan S = f(t), dimana t 0 adalah waktu dan S adalah jarak
benda terhadap titik asal.
Kecepatan benda pada saat t adalah: V =
Jika V > 0, benda bergerak dalam arah bertambahnya S (bergerak ke kanan
atau maju)
Jika V < 0, benda bergerak dalam arah berkurangnya S (bergerak ke kiri
atau mundur)
Jika V = 0, benda diam sesaat.
Percepatan benda pada saat t adalah: a = =
Jika a > 0, keccepatan (V) bertambah, dan jika a < 0, kecepatan (V)
berkurang
Jika V dan a mempunyai tanda sama, kelajuan benda bertambah
Jika V dan a mempunyai tanda berlawanan, kelajuan berkurang
Contoh 1: Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = t3 - 6t2 + 9t +
4, tentukan:
a. Kapan kecepatannya nol
b. Kapan kecepatan positif (bergerak ke kanan), dan kapan kecepatan
negatif (benda bergerak mundur atau ke kiri)
c. Kapan percepatannya positif
d. Perlihatkan skematis gerakan benda tersebut.
Jawab: Persamaan lintasan S(t) = t3 - 6t2 + 9t + 4
Kecepatan V(t) = S'(t) = 3t2 - 12 t + 9
Percepatan a(t) = V'(t) = 6t - 12
a. Kecepatan V(t) = 0 3t2 - 12 t + 9 = 0 (t – 1) (t
– 3) = 0
t1 = 1 maka jarak
yang telah ditempuh S(1) = 8
t2 = 3 maka jarak yang telah ditempuh
S(3) = 4
b. Kecepatan positif, V(t) > 0 (t – 1) (t – 3) > 0
t1 < 1 atau t2 > 3
Kecepatan negatif, V(t) < 0 (t – 1) (t – 3) <
0 1 < t < 2
c. Percepatan positif, a(t) > 0 6(t - 2) > 0
t > 2
d. Skematis lintasan gerak benda
t = 0
t = 1
t = 3
0 4 8
Contoh 2: Sebuah bola dilempar ke atas dari puncak sebuah gedung yang
tingginya 160 m, kecepatan awal 64 m/detik, dan lintasannya S(t) =
-16 t2 + 64 t + 160 , tentukan:
a. Kapan bola mencapai ketinggian maksimum dan berapa tinggi
maksimumnya
b. Kapan bola membentur tanah, dan berapa kelajuan bola membentur
tanah
c. Percepatan bola pada t = 2
Jawab: So = 160 m dan Vo = 64 m/detik.
Sebuah benda dilempar ke atas (atau ke bawah) dari ketinggian awal So
dan
kecepatan awal Vo, maka persamaan lintasan benda S(t) = -16 t2 +
Vo t + So
(Purcell EJ, 1990;144)
Dalam contoh ini, persamaan lintasan benda adalah S(t) = -16 t2 +
64 t + 160, maka kecepatan V(t) = S'(t) = - 32 t + 64, dan
percepatannya a(t) = V'(t) = - 32
a. Bola mencapai ketinggian maksimum, V(t) = 0
- 32 t + 64 = 0 t = 2
Pada t = 2 maka tinggi maksimum adalah S(2) = 224
meter
b. Bola membentur tanah, S(t) = 0 -16 t2 + 64
t + 160 = 0
t2 - 4t - 10 = 0, menggunakan rumus
abc, diperoleh
t = = 2
Untuk t 0, maka bola membentur tanah pada saat t
= 2 +
Kelajuan bola membentur tanah adalah
V(2 +) = -32 m/det
c. Percepatan selalu -32 m/det, ini percepatan gravitasi
dekat
Gambar 9 permukaan bumi.
Latihan:
1. Sebuah benda bergerak dengan lintasan S(t) = t3 - 9t2 + 24t,
tentukan:
a. Kapan kecepatannya nol
b. Kapan kecepatan positif (bergerak ke kanan), dan kapan kecepatan
negatif (benda bergerak mundur atau ke kiri)
c. Kapan percepatannya positif
d. Berapa jarak total yang dilalui dalam gerakan 5 (lima) detik pertama.
e. Perlihatkan skematis gerakan benda tersebut.
2. Sebuah batu dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan awal 34,3 m/det
bergerak dengan
Lintasan S(t) = 34,3 t - 4,9 t2 dimana S adalah jarak dari titik
awal.
Hitunglah:
a. Kecepatan dan percepatan, jika t = 3 dan t = 4
b. Ketinggian maksimum yang dapat dicapai
c. Kapan ketinggiannya 29,4 m
3. Sebuah benda bergerak dengan lintasan, seperti pada (3.1) s.d (3.5)
di bawah ini, carilah:
a. Kapan benda bergerak ke kanan maupun ke kiri
b. Kapan percepatannya negatif
c. Perlihatkan skematis gerakan benda tersebut
(3.1). S(t) = 12 t - 2 t2
(3.2). S(t) = t3 - 6 t2
(3.3). S(t) = 2 t3 - 6 t + 5
(3.4). S(t) = t2 + , t > 0
(3.5). S(t) = t + , t > 0
4. Dua buah benda bergerak, masing-msing lintasannya S1(t) = – 3 t2 + 4
t dan
S2(t) = t2 – 2 t. Carilah: a. Kapan kecepatan kedua benda
tersebut sama, dan
b. Kapan posisi kedua
benda tersebut sama
5. Sebuah benda dilempar ke atas yang persamaan lintasannya S(t) = - 16
t2 + 48 t + 256
Tentukan: a. Kecepatan awalnya
b. Kapan mencapai ketinggian maksimum dan berapa
tinggi maksimumnya
c. Kapan, dan berapa kelajuan benda saat membentur
tanah
B. Hubungan kelajuan
Jika suatu variabel x adalah fungsi dari waktu t, laju perubahan x
terhadap waktu dinyatakan . Jika dua atau lebih variabel, semuanya
fungsi dari t, dihubungkan lewat suatu persamaan. Hubungan antara laju
perubahan diperoleh dengan mendiferensiasi persamaan itu terhadap waktu t.
Contoh 1: Tangga, panjangnya 10 meter disandarkan pada dinding tembok.
Ujung tangga yang terletak di lantai bergerak dengan kecepatan 3
m/det menjauhi dinding.
Tentukan kecepatan meluncur ke bawah dari ujung tangga
yang menempel di tembok, jika diketahui pada saat itu jarak ujung
tangga yang di lantai berjarak 6 meter dari tembok.
Jawab: Perhatikan gambar 10. Misalkan OA = x, dan OB = y
adalah kecepatan gerak ujung tangga
yang terletak di lantai. Kecepatan ini ()
akan bertanda positif jika ujung tangga
bergerak menjauhi tembok, dan akan bertanda
negatif jika ujung tangga bergerak mendekati
tembok. Berarti = + 3
adalah kecepatan gerak ujung tangga yang menempel ditembok. Kecepatan
ini () akan bertanda positif jika ujung tangga bergerak ke atas, dan
akan bertanda negatif jika ujung tangga bergerak mendekati lantai (ke
bawah). Berarti yang cari, berapa
Hubungan variabel x dan y adalah: x2 + y2 = 100
Pada x = 6 x2 + y2 = 100 62 + y2 = 100 y
= 8 y = 8 (panjang)
Dari persamaan: x2 + y2 = 100 2x + 2y = 0
= -
= - ( 3 ) = - = - 2,25. Tanda negatif
menunjukkan arah ke bawah dari gerakan ujung tangga yang menempel di
tembok. Jadi ujung tangga tersebut meluncur dengan kecepatan 2,25 m/det
ke bawah.
Contoh 2: Air dituangkan ke dalam bak berbentuk kerucut dengan laju 8
dm/menit.
Jika tinggi bak 12 dm, dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm.
Berapa kecepatan permukaan air naik, pada ketinggian permukaan air
4 dm.
Jawab: Bak (kerucut) yang tingginya = 12 dm dan jari-jarinya = 6 dm
Misalkan tinggi permukaan air = h dm, dan jari-jari
permukaan air = r dm, lihat gambar 11 berikut ini
r
12
h
Gambar 11
Contoh 3: Sebuah pesawat, terbang ke utara dengan kecepatan 640 km/jam,
melintasi sebuah kota tertentu pada tengah hari. Sebuah pesawat
kedua terbang ke timur dengan kecepatan 600 km/jam, melalui kota
yang sama, 15 menit kemudian. Jika kedua pesawat itu terbang pada
ketinggian yang sama, berapa kecepatan kedua pesawat berpisah pada
pukul 13.15.
Jawab: Lihat gambar 12
Kecepatan pesawat ke utara = 640 km/jam dan Kecepatan pesawat ke
timur = 600 km/jam. Misalkan t menyatakan waktu setelah pukul
12.15. Jarak yang telah ditempuh pesawat ke utara selama 15 menit (¼
jam) pada saat t = 0 (pukul 12.15) adalah 640 x ¼ = 160 km.
y
S
160
x
Gambar 12
Persamaan: S2 = x2 + (y + 160)2 didiferensialkan secara implisit
terhadap t, diperoleh:
2 S = 2 x + 2 (y + 160) S = x
+ (y + 160)
(1000) = (600) + (640 + 160) (640) = 872
Pada pukul 13.15, kedua pesawat itu berpisah dengan kecepatan 872
km/jam.
Latihan:
1. Sebuah cairan di curahkan ke dalam tabung lingkaran tegak yang jari-
jarinya 6 dm. Berapa kecepatan naiknya permukaan cairan jika
kecepatan curah cairan 8 dm3/menit.
2. Rusuk kubus yang berubah bertambah panjang dengan laju 3 cm/detik.
Berapa kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk 10
cm.
3. Air mengalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 5 dm3/detik.
Jika jari-jari corong kerucut 10 cm dan tingginya 20 cm. Tentukan
kelajuan saat ketinggian air turun ketika ketinggiannya 5 cm dari
puncaknya.
4. Seorang mahasiswa memakai sebuah sedotan untuk minum dari gelas
berbentuk kerucut, yang sumbunya tegak, dengan laju 3 cm/detik. Jika
tinggi gelas 10 cm dan garis tengah mulut gelas 6 cm. Berapa cepat
menurunnya permukaan cairan pada saat kedalaman cairan 5 cm.
5. Seorang di dermaga menarik tali yang diikatkan pada sebuah sampan.
Jika tangan orang tersebut 12 dm lebih tinggi dari pada titik tempat
tali diikatkan pada sampan dan jika ia menarik tali dengan kecepatan
3 dm/detik. Berapa cepat perahu mendekati dermaga pada waktu panjang
tali masih 20 dm.
6. Sebuah tangga panjang 20 dm bersandar di dinding. Jika ujung bawah
tangga ditarik sepanjang lantai menjauhi dinding dengan kecepatan 2
dm/detik. Berapa cepat ujung atas tangga bergeser menuruni dinding
pada waktu ujung bawah tangga sejauh 4 dm dari dinding.
7. Sebuah pesawat udara, terbang ke barat dengan kecepatan 400 km/jam,
melintasi sebuah kota tertentu pada pukul 11.30, dan sebuah pesawat
kedua, pada ketinggian yang sama, terbang ke selatan dengan kecepatan
500 km/jam, melintasi kota itu pada tengah hari. Seberapa cepat mereka
berpisah pada pukul 13.00.
8. Sebuah pesawat udara, terbang mendatar pada ketinggian 1 km,
melintasi seorang pengamat. Jika laju pesawat itu tetap sebesar 240
km/jam. Berapa cepat jarak dari pengamat bertambah 30 detik kemudian.
DAFTAR RUJUKAN
Ayres Frank Jr. 1985. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-soal Diferensial dan
Integral Kalkulus, Edisi kedua (Versi S1/Metrik. Jakarta: Penerbit
Erlangga
Edy Soewono. 1983. Pemantapan dasar Matematika IPA. Bandung: Science of
study club
Jero Wacik, dkk. 1984. Ringkasan Matematika IPA. Bandung: Ganesa Exacta
Bandung
Purcell Edwin J dan Varberg Dale. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis,
jilid 1, edisi keempat. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Soemoenar. 1986. Buku Materi Pokok Pengantar Kalkulus PMAT 2235/3sks/Modul
6-9. Jakarta: Penerbit Universitas Terbuka
Yusuf Yahya, dkk. 1986. Matematika dasar untuk Perguruan Tinggi. Jakarta:
Ghalia Indonesia.
-----------------------
x 0
x 0
x 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
h 0
x : t = (r – p) : r x r = t (r – p)
x r = t r - t p p = = (t – x)
Isi tabung (V) = π p2 x
V = π (t – x)2 . x
V' = π [(t – x)2 - 2x (t – x)]
V' = 0 (t – x)2 - 2x (t – x) = 0
(t – x) (t – 3x) = 0
x1 = t (tidak mungkin)
x2 = t
Tinggi tabung (x) = t
160
A
O
B
Gambar 10
Volume (V) air dalam bak naik dengan laju 8 dm/menit, berarti = 8
dm/menit. Kita ingin mengetahui, berapa kecepatan air naik, yakni
, pada saat h = 4 dm
Hubungan V, h, dan r adalah: r : 6 = h : 12 r = ½ h
Volume air dalam bak V = π r2 h V = π h3
Karena h tergantung pada t, maka = ¼ π h2
Pada h = 4, dan = 8 = ¼ π h2
8 = ¼ π (4)2 = 0,637
Bilamana ketinggian air 4 dm, maka permukaan air naik dengan laju 0,637
dm/menit.
6
Jika S jarak kedua pesawat. Kita ingin mengetahui kecepatan kedua
pesawat berpisah, yaitu
pada saat t = 1 (pukul 13.15).
Pada saat t = 1, maka y = . t = 640 . 1 = 640
Pada saat t = 1, maka x = . t = 600 . 1 = 600
Hubungan S, x, dan y adalah:
S2 = x2 + (y + 160)2 S2 = 6002 + (640 + 160)2
S = 1000