92014-8-461414576020-1
KALKULUS 2 MODUL-8 Bab 11. Integrasi Luas Bidang Datar
b 1.
∫ f(x) dx adalah Luas bidang datar yang dibatasi a
oleh y = f(x), y = 0, x = a, dan x = b.
y
y = f(x)
b Luas = ∫ f(x) dx a a
dx
b
sumbu x
d 2.
∫ f(y) dy adalah Luas bidang datar yang dibatasi c
oleh x = f(y), x = 0, y = c, dan y = d.
y d
x = f(y)
dy
d Luas = ∫ f(y) dy
c
c sumbu x
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
b 3.
∫ (y1 – y2) dx adalah adalah Luas Luas bidang bidang datar datar yang yang dibatasi dibatasi a
oleh y1 = f1(x), y2 = f2(x), x = a, dan x = b. y
y1 = f1(x)
b Luas = ∫ (y1 – y2) dx
y2 = f2(x)
a sumbu x a
dx dx
b
d 4.
∫ (f 1 – f2) dy adalah adalah Luas Luas bidang bidang datar datar yang yang dibatasi dibatasi c
oleh x1 = f1(y), x2 = f2(y), y = c, dan y = d. y
x2 = f2(y)
d
x1 = f1(y)
dy
d Luas = ∫ (x1 – x2) dy
c
c sumbu x
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
5. Bentu Bentu lain lain dari dari 3). 3). Bila Bila y1 dan y2 berpotongan adalah Luas bidang datar yang dibatasi oleh y1 = f1(x), y2 = f2(x), x = a, dan x = b.
y
y1 = f1(x)
y2 = f2(x)
Luas =
c
b
= ∫(y1 –y2)dx + a
a
dx
c
dx
b
∫(y2 –y1)dx c
sumbu x
6. Bentu Bentu lain lain dari dari 4). 4). Bila Bila x1 dan x2 berpotongan adalah Luas bidang datar yang dibatasi oleh x1 = f1(y), x2 = f2(y), y = c, dan y = d.
y
x2 = f2(y)
d dy
e
d
Luas = ∫(x1 –x2)dy + e
c
∫ (x2 –x1)dy e
dy
c
x1 = f1(y) sumbu x
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
Contoh-Contoh Soal-Jawab:
1). Hitung Hitung luas daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh sumbu sumbu x dan dan parabola y = 4 x – x 2 ! Jawab: Parabola y = 4 x – x 2, berpotongan dengan sumbu x, maka y = 0 4 x – x2 = 0 x1 = 0, x2 = 4. Karena y”=-2, maka parabola membuka ke bawah.
y
4 y=4x–x2
4
Luas = ∫ f(x) dx = ∫ (4x –x2) dx 0
0
= (2x2- ⅓ x3)|4 0
O
dx
4
x
= 2(16)- ⅓(64) = 32/3
2). Hitung Hitung luas daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh sumbu sumbu x dan parabola parabola x = 8 + 2 y - y 2 , dari y = -1 sampai dengan y = 3 !
Jawab:
Karen Ka rena a d2x/dy2 = x”=-2, maka parabola membuka ke kiri.
y
3
3
Luas = ∫ f(y) dy = ∫ (8 + 2 y - y2) dy
3
-1
-1
= (8y + y2 - ⅓y3)|3
dy
-1
x
= {8(3)+9-⅓(27)}-{-8+1+1/3} =
-1 =
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
24 - ( - 20/3 ) = 92/3
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
3). Hitung Hitung luas daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh parabol parabola a y1 = 6 x – x2 (P1) dan y2 = x2 – 2x (P2). Jawab: P1 : y” = -2 (ymax), P2 : y” = 2 (ymin). Perpotongan P1 dan P2 : 6 x – x2 = x2 – 2x
2x2 – 8x = 0 x1 = 0, x2 = 4
y=6x–x2
y
4
4
Luas = ∫ (y1-y2) dx = ∫ (8x –x2) dx 0
y =x2
0
2 = (4 -x⅔ x3)|4
–2x
0
O
dx
4
x
= 4(16)- ⅔(64) = 64/3
4). Hitung Hitung luas daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh parabol parabola a (P) x = 3 – y2 dan dan gari garis s g: g: x = y + 1. 1. Parab Pa rabola ola P : d 2x/dy2 = x” = -2 -2 (Jadi (Jadi xmax).
Jawab:
Perpoton Perpotongan gan P dan g : 3 – y2 = y + 1
y2 + y - 2 = (y+2)(y-1) = 0 y1 = -2, y2 = 1
y
1
1
Luas = ∫ (x1-x2)dy = - ∫(y2+y-2) dy 1
x2=y+1
-2
-2
= - ( ⅓y3 + ½ y2 – 2y) |1 -2
x x1 = 3 – y2
dy
=-{(1/3+ 1/2–2)-(⅓.(-8)+2+4)}=
-2 = - {( - 7/6 ) – ( 10/3)} = 27/6
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
Soal-Soal :
1.
Hitung Hitung luas luas daerah daerah yang yang dibatas dibatasii oleh oleh pa parabo rabola la y = x2 – 7x + 6, sumbu x, x = 2 dan x = 6. (jwb.= 56/3)
2. Hitung Hitung luas luas daerah daerah yang dibatas dibatasii oleh kurva kurva y = x3 - 6x2 + 8x dan dan sumbu sumbu x. x. (jwb.= (jwb.= 8) 8) 3. Hitun Hitung g luas luas dae daerah rah yang yang diba dibatas tasii oleh oleh kurv kurva a x = 4 - y2 dan sumbu sumbu x. (jwb.= (jwb.= 32/3) 32/3) 4. Hitung Hitung luas dae daerah rah yang dibatasi dibatasi oleh parabol parabola a y2 = 4x dan garis garis y = 2x – 4. (jwb.= (jwb.= 9)
5. Hitung Hitung luas luas daerah daerah yang dibatasi dibatasi oleh oleh kurva kurva (tertutup) (tertutup) y2 = x2 – x4.
(jwb.= 4/3)
6. Hitung Hitung luas luas daerah daerah yang dibatasi dibatasi oleh oleh perpoton perpotongan gan dua lingkaran: L1: x2 + y2 = 4 dan L2: x2 + y2 = 4x. 4x. (jwb.= (jwb.=8 8π /3 - 2√3) 7. Hitung Hitung luas luas daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh: oleh: a). y = x2, y = 0, x = 2, x = 5
b). y = x2, y = 0, x = 1, x = 3
c). y =4x-x2, y = 0, x = 1, x = 3
d). x = 1 + y2, x = 10
e). x =3y2-9, x = 0, y = 0, y = 1
f). x = y2+4y, x = 0
g). y =9-x2, y = x + 3
h). y = 2-x2, y=-x
i). y =x2-4, y = 8 - 2x2
j). y = x4 - 4x2, y = 4x2
k). y =ex, y = e-x, x = 0, x = 2
l). xy = 12, y=0, x=1, x = e2
Jawaban: a). 39, b). 20, c). 22/3, d). 36, e). 8, f). 32/3, g). 125/6, h). 9/2, i). 32, j). 512√2/15, k). (e2 +1/e2 –2), l). 24
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
Bab 12. Integrasi Volume Benda Putaran
Jika suatu bidang datar diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka akan diperoleh suatu benda yang alas dan tutupnya akan berupa sebuah lingkaran.
Untuk menghitung volume benda tersebut akan didekati oleh jumlahan volume tabung-tabung kecil berupa lempengan-lempengan. lempengan-lempengan.
Integrasi Volume Benda Putaran adalah jumlahan volume lempeng-lempeng kecil berupa tabung pendek, yang volumenya adalah luas alas kali tinggi ( π r2 δt ), r = jari-jari alas, δt = tinggi. δt
V = ∑ π r2 δt
Misal suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu x, seperti di bawah ini. Maka volume (V) dari benda yang terjadi adalah
y=f(x) y
b V = ∫ π y2 δx a a
b
x
δx
Contoh-Contoh Soal-Jawab :
1).
Hitung Hitung volume volume bend benda a putara putaran, n, bila bila bidan bidang g yang yang dibatas dibatasii oleh parabola y2 = 8 x, sumbu sumbu x dan x = 2 diputa diputarr mengelilingi sumbu x satu kali. 2
Jawab:
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
V = ∫ π y2 dx
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
y
y2=8x
0
2
= π ∫ 8 x dx = 8 π ( ½ x2)|2 2
0
x
0
= 8 π ( ½ . 4 ) = 16 π dx
2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y2 = 8 x, sumbu sumbu x dan x = 2 diputa diputarr mengelil meng elilingi ingi garis garis x = 2 satu kali. kali. Perpotongan antara y2 = 8 x dan x = 2
Jawab:
diperoleh y2=16
y 4
y2=8x
y1 = - 4, y2 = 4
dy
4
2
x
V = ∫ π (2-x)2 dy = -4
4
= 2 π ∫ (2-y2)2 dy -4
x=2
0
8
= ………… ………….= .= 256 π /15
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS II
92014-8-461414576020-1
Soal-Soal (Buktikan):
1). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y2 = 8 x dan x = 2 diputar diputar mengeli mengeliling lingii sumbu y. ( Jwb: Jwb: 128 π /5 )
2). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y = 4 x – x 2 dan x = 2 diputar diputar mengeli mengeliling lingii garis garis y = 6. ( Jwb: Jwb: 1408 1408 π /15 )
3). Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y = – x 2 - 3 x + 6 dan garis garis x + y = 3 diput diputar ar mengel men gelililing ingii (a). (a). gari garis s x = 3, 3, (b). (b). gari garis s y = 0. 0. ( Jwb: Jwb: (a). (a). 256 π /3, (b). 1792 π /15 )
4). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang yang diberikan dan mengelilingi suatu garis yang diketahui: a). y=2x2, y=0, x=0, x=5; sb-x
b). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-x
c). y=4x2, x=0, y=16; sb-y
d). y=4x2, x=0, y=16; y=16
e). y2=x3, y=0, x=2; sb-x
f). y=x3, x=2, y=0; x=2
(Jwb: a). 2500 π, b). 256 π/3, c). 32 π, d). 4096 π/15, e). 4 π, f). 16π/5)
5). Hitung volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang yang diberikan dan mengelilingi suatu garis yang diketahui: a). y=2x2, y=0, x=0, x=5; sb-y
b). x2-y2=16,y=0,x=8; sb-y
c). y=4x2, x=0, y=16; sb-x
d). y=x3, x=0, y=8;x=2
e). y=x2, y = 4x-x2; sb-x
f). y=x2, y = 4x-x2; y=6
(Jwb: a). 625 π, b). 128 π√3, c). 2048 2048 π/5, d). 144 π/5, e). 32 π/3, f). 64π/3)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
SUMARDI H.S KALKULUS II