Kalkulus Asas
MTE 3018
PENGENALAN KALKULUS
Kursus ini memfokus kepada konsep utama dalam kalkulus , fungsi dan graf, kefahaman asas kepada had dan teorem had, terbitan dan integral serta pola dan perhubungan. Teknologi digunakan untuk melakar dan membuat interpretasi graf fungsi. Pengetahuan adalah maklumat yang diketahui atau disedari oleh seseorang. Pengetahuan tidak dibatasi pada deskripsi, hipotesis, konsep, teori, prinsip dan prosedur yang benar atau berguna. Pengetahuan terdiri atas kepercayaan tentang kenyataan juga mungkin diperoleh berdasarkan pengalaman. Cara lain untuk mendapat pengetahuan ialah dengan pengamatan dan eksperimen. Kalkulus adalah satu cabang matematik. Kalkulus telah diwujudkan di sebahagian besar oleh Newton dan Leibniz, walaupun beberapa idea-idea yang telah digunakan oleh Fermat dan juga Archimedes. Kalkulus dibahagikan kepada dua bahagian, yang berkait rapat. Satu bahagian dipanggil "kalkulus pembezaan" dan bahagian yang lain dipanggil "kalkulus kamiran". Kalkulus kamiran membayangkan satu bentuk matematik yang mengenal pasti isipadu, luas dan penyelesaian kepada persamaan. Kalkulus pembezaan adalah satu kajian terhadap fungsi dan kadar perubahan dalam fungsi apabila pembolehubah diubah. Kalkulus kamiran menumpukan kepada menentukan jawapan matematik seperti saiz jumlah atau nilai Kalkulus adalah cabang matematik yang dikembangkan dari algebra dan geometri. Kalkulus umumya mempelajari perubahan laju (dalam fungsi), seperti halaju,
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
2
Kalkulus Asas
MTE 3018
lengkung, dan isipadu. Perkembangan kalkulus awalnya didukung oleh Archimedes, Leibniz dan Newton juga Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens, dan Wallis. Dasar dari kalkulus adalah pengamiran, pembezaan dan had. Luas adalah kuantiti fizik yang menyatakan ukuran suatu permukaan. Unit luas utama menurut „Scale International‟ (SI) adalah meter persegi sedangkan menurut
sistem Imperial adalah kaki persegi. Pengukuran luas untuk bentuk-bentuk sederhana boleh dilakukan dengan menggunakan persamaan Matematik. Contohnya, untuk suatu segiempat, luas adalah lebar darab tinggi. Theorem Asas Kalkulus telah dikenali kerana ia menghubungkan dua cabang kalkulus, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus kamiran. Kalkulus pembezaan terhasil daripada masalah tangen manakala kalkulus kamiran terhasil daripada masalah mencari luas. Guru kepada Newton di Cambridge, Isaac Barrow (1630 – 1677), menemui dua masalah dalam kalkulus adalah sangat berkaitan bahkan menyedari pembezaan dan kamiran adalah proses songsangan. Theorem Asas Kalkulus menunjukan hubungan songsang yang jelas antara pembezaan dan kamiran. Newton dan Leibniz menggunakan hubungan antara pembezaan dan kamiran untuk membina kalkulus sebagai kaedah matematik yang sistematik. Secara khusus mereka melihat Theorem Asas Kalkulus membolehkan mereka mengira luas dengan kaedah kamiran adalah mudah tanpa perlu menggunakan limit bagi suatu jumlah. Cabang kalkulus dipenuhi teori dan aplikasi pengamiran. „Differential Calculus‟
memfokuskan pada kadar perubahan, seperti kecerunan garis tangen dan halaju.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
3
Kalkulus Asas
MTE 3018
„Integral Calculus‟ pula menekankan jumlah sesuatu nilai seperti panjang, luas kawasan
dan isipadu. Penguasaan pelajar dalam Kalkulus Permulaan di peringkat tinggi amat penting bagi melangkah ke peringkat kalkulus yang lebih tinggi. Kesukaran pelajar dalam penyelesaian masalah berkaitan kalkulus sering dikaitkan dengan pengetahuan asas yang mereka miliki. Pengamiran (integration) ialah songsangan bagi pembezaan (differentiation). Jadi, teknik yang diaplikasikan bagi menyelesaikan soalan yang menuntut penyelesaian berupa pengamiran adalah berbeza sedikit jika dibandingkan dengan proses pembezaan.
Kamiran
ialah satu konsep penting dalam matematik yang bersama
dengan pembezaan, membentuk antara operasi utama dalam kalkulus. Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil kerja pada waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas kalkulus, yang juga diterbitkan oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan dengan pembezaan, satu konsep yang diketahui umum ketika itu. Terdapat dua jenis pengamiran iaitu pengamiran tentu dan tidak tentu. Proses pengamiran boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai situasi iaitu menyelesaikan persamaan lengkung, mencari luas rantau berlorek dan juga isi padu janaan. Wikipedia menjelaskan secara lebih mendalam mengenai kamiran dan terbitan yang merupakan asas kalkulus. Kedua-duanya boleh diguna pakai dalam pelbagai bidang sains dan kejuruteraan. Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad ke-17 apabila kedua-dua Newton dan Leibniz menerbitkan teori asas kalkulus
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
4
Kalkulus Asas
MTE 3018
(fundamental theorem of calculus). Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan pembezaan. Perkaitan ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada kamiran, digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan sistematik dan saintifik. Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal diselesaikan dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa dengan tepat melalui kalkulus yang diberi nama infinitesimal calculus ini. Kerja-kerja Newton dan Leibniz ini akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk kamiran diambil secara langsung dari kerja Leibniz. Kalkulus telah wujud sejak zaman purba dan, dalam bentuk yang paling mudah dan digunakan untuk mengira. Kepentingannya dalam dunia matematik dalam mengisi kekosongan menyelesaikan masalah yang kompleks apabila matematik mudah tidak boleh memberi jawapan. Apa yang orang tidak sedar ialah kalkulus diajar kerana ia digunakan dalam kehidupan seharian di luar bilik darjah sekolah tinggi dan kolej. Kalkulus mempunyai banyak aplikasi dunia sebenar. Apabila ada masalah yang lebih kompleks untuk menyelesaikan atau ia melibatkan bentuk yang luar biasa atau saiz, kalkulus menjadi alat untuk tiba pada penyelesaian. Sebagai contoh, jika terdapat bumbung besar yang akan dibina seperti bumbung yang dibina melebihi stadium sukan, pereka akan menggunakan aplikasi kalkulus untuk merancang saiz dan kekuatan struktur. Bagi seorang profesional yang cuba untuk menentukan kerja, luas, kelantangan, kecerunan, atau luas permukaan, kalkulus akan banyak membantu.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
5
Kalkulus Asas
MTE 3018
Sebagai contoh, kalkulus adalah penting untuk mengenal pasti perjalanan jarak kereta dengan gerak balas pecutan. Hubungan antara kedudukan, halaju, dan pecutan membentuk salah satu tema penting dalam kalkulus pembeza. Kita akan mendapati bahawa hubungan ini juga merupakan aplikasi penting kamiran, terutama dalam keskes di mana salah satu kuantiti berubah dengan masa. Melalui idea asas kalkulus pembeza ini, keadaan yang paling mudah di mana anda boleh membaca bacaan speedometer apabila anda memandu pada kelajuan yang sama seluruh jarak. Kemudian, anda boleh menggunakan formula, kelajuan sama dengan jarak dibahagikan dengan masa. Kemudian kalkulus juga diperlukan dalam mencari sesuatu luas. Berdasarkan contoh, kalkulus adalah sangat penting dalam mengira luas padang atau ladang. Dengan menggunakan kalkulus, kita boleh menjimatkan masa dan tenaga untuk mengira luas itu. Tambahan pula, bagi rantau bentuk tidak teratur, kita tidak boleh menggunakan kaedah integrasi tetapi cara yang paling mudah adalah skala panjang, kemudian memecahkan ia ke dalam segiempat tepat yang sama lebar dan mengira jumlah kawasan tersebut. Dalam idea asas kalkulus kamiran ini, bentuk yang paling mudah untuk mengira luas ialah dengan menggunakan segi empat tepat. Luas tersebut merupakan panjang segi empat didarab dengan lebarnya. Sebagai contoh, "batu persegi" adalah ukuran untuk mengukur ukuran sebidang tanah. Untuk mengira luas rantau yang lebih rumit, kita bina rantau ini ke dalam bentuk segiempat tepat kecil yang banyak. Walaupun matematik kalkulus mungkin kelihatan tidak relevan dan tidak diperlukan,
jika kita fikir semula akan hal ini kita akan menyedari bahawa
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
6
Kalkulus Asas
MTE 3018
mempelajarinya adalah satu kepuasan. Kita akan mengetahui keindahan sebenarnya apabila kita memahami keupayaan alat ini sangat kuat untuk menggambarkan asal usul persekitaran kita. Bagi saya, tiada apa yang lebih seronok daripada pembelajaran matematik kalkulus. Istilah "Kalkulus" sering membuat pelajar matematik gementar dalam berada ketakutan kerana reputasinya sebagai kursus yang sukar untuk diajar di sekolah-sekolah hari ini. Kalkulus memainkan peranan yang besar di universiti-universiti dan juga mata pelajaran penting kepada pelajar kolej dalam bidang ekonomi, sains, perniagaan, kejuruteraan, sains komputer, dan sebagainya. Masyarakat perlu sedar bahawa jika kalkulus ini bukan sebahagian daripada subjek matematik, kita tidak akan menikmati semua teknologi yang popular hari ini seperti kereta, telefon bimbit, komputer, motosikal, dan lain-lain mata pelajaran Matematik boleh dianggap menjadi sumber dunia moden hari ini.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
7
Kalkulus Asas
MTE 3018
BINAAN FUNGSI GRAF
Dalam tugasan ini, saya telah membina fungsi mudah yang berbentuk linear ataupun bersifat garis lurus. Saya berkali-kali mencuba jaya pelbagai fungsi yang lain sebelumnya serta melukisnya menggunakan perisian Geometry Sketch Pad (GSP) tetapi setelah menimbang baik buruknya, saya bersetuju memilih garis lurus sebagai fungsi binaan memandangkan binaan janaan untuk bentuk 3D yang boleh dibentuk dengan menggunakan garis linear lebih pelbagai.
Fungsi yang telah saya pilih ialah :
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
8
Kalkulus Asas
MTE 3018
Fungsi Pertama
Rajah 1
Garis yang menjunam menunjukkan bahawa kecerunan bagi fungsi pertama (Rajah 1) dalah negatif.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
9
Kalkulus Asas
MTE 3018
Fungsi Kedua
Rajah 2
Sekiranya dilihat daripada fungsi, garis linear seolah-olah bergerak ke atas. Di sini, gambar ini menunjukkan bahawa garis linear dalam Rajah 2 mempunyai kecerunan positif.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
10
Kalkulus Asas
MTE 3018
Kedua-dua fungsi digabungkan dalam satu satah Cartesian
Rajah 3
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
11
Kalkulus Asas
MTE 3018
Proses Pengamiran
Untuk membentuk bentuk 3D, putaran sebanyak 360 darjah harus berlaku. Oleh yang demikian, proses yang bakal berlaku ialah pengamiran bagi mencari nilai isipadu bentuk 3D yang bakal terbentuk. Untuk gambaran yang lebih jelas, Rajah 4 akan menunjukkan proses putaran.
Rajah 4.1
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
12
Kalkulus Asas
MTE 3018
Rajah 4.2 a s u m i m j d a n d a m m a h u m
13
Kalkulus Asas
MTE 3018
Rajah 4.3 a s u m i m j d a n d a m m a h u m
14
Kalkulus Asas
MTE 3018
Proses pengiran isipadu model 3D yang telah dibina.
Rajah 5
Isipadu =
∫
Isipadu =
+
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
15
Kalkulus Asas
MTE 3018
∫
=
+
∫
=
0
=
+
+ -4
∫
∫
7
0
-
+
=
-
-
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
16
Kalkulus Asas
MTE 3018
isipadu =
-
+
=
(isipadu)
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
17
Kalkulus Asas
MTE 3018
Bentuk 3D yang terhasil
Rajah 6
Rajah menunjukkan bentuk siap 3 Dimensi yang telah terhasil.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
18
Kalkulus Asas
MTE 3018
Gambaran Kegunaan Bentuk 3D Yang Terhasil
=
(Kerusi Mini)
=
(Alat Muzik - Darbuka)
=
=
(Bekas Pensel)
(Pasu Bunga Hiasan)
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
19
Kalkulus Asas
MTE 3018
Penerangan Kegunaan Bentuk 3D Yang Terhasil
Seperti yang telah ditunjukkan di atas, beberapa kegunaan bagi objek 3D yang tehasil daripada fungsi yang telah dijanakan menggunakan pengapplikasian kamiran terhingga ini. Antara kegunaan yang telah digambarkan melalui objek 3D yang terhasil ialah seperti kerusi mini, alat muzik, bekas pensel dan juga pasu bunga hiasan. Kerusi mini merupakan gambaran pertama yang boleh dijanakan dengan objek 3D yang terhasil. Kerusi mini ini banyak kegunaannya kepada masyarakat sekarang yang memerlukan gadjet-gadjet modan sebahai aksesori perhiasan rumah. Kerusi ini boleh sahaja digunakan oleh kanak-kanak sebagai kerusi belajar dan dipadankan dengan meja mini. Selain itu kegunaan kerusi ini juga sesuai digayakan dengan meja Jepun bagi sudut-sudut kecil dalam rumah. Kegunaan kedua bagi objek 3D tersebut ialah bentuk alat muzik iaitu dikenali sebagai darbuka. Darbuka merupakan alat muzik ketukan yang boleh dihasilkan melalui bentuk 3D tersebu dimana kegunaan darbuka merupakan sangat meluas dalam kalangan pemuzik irama nasyid terutamanya sekolah-sekolah dan juga nasyid professional. Darbuka adalah pelengkap bagi sesuatu muzik irama nasyid bagi penghasilan muzik latar selain daripada conga. Ketiga, model bentuk 3D ini juga boleh digunakan oleh pelbagai golongan seperti golongan pelajar dan juga individu-individu
yang berkerja di pejabat bagi tujuan
menyimpan perkakasan alat tulis seperti pensel, pen dan pembaris. Tujuannya juga sama,iaitu supaya alatan-alatan ini tersimpan kemas didalam bekas yang berbentuk menarik di atas-atas meja kerja atau belajar. Ini
bakal menjimatkan ruang dimana
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
20
Kalkulus Asas
MTE 3018
ruang meja akan kurang digunakan. Mengikut kebiasaannya meja seorang murid sentiasa dipenuhi dengan alatan-alatan tulis yang berselerak. Akhir sekali, bentuk 3 Dimensi jannaan saya ini juga boleh dijadikan sebagai penambah seri. Model ini boleh dijadikan pasu untuk meletak dan menghias bungabunga kering sebagai barangan perhiasan dalam rumah serta di pejabat.
Model ini
boleh diletakkan di penjuru meja, Berdekatan dengan televisyen, ruang cabinet dan sebagainya. Ruang tapak yang lebih luas menjamin kestabilan bagi model ini.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
21
Kalkulus Asas
MTE 3018
KESIMPULAN
Setelah menyelesaikan kerja kursus ini, saya berpendapat bahawa ianya membantu saya mengingat kembali tentang apa itu pengamiran. Untuk beberapa minggu kebelakangan ini, saya begitu leka dengan topik pembezaan sehinggakan saya seolah-olah terlupa tentang pengamiran. Namun, dengan hadirnya kerja kursus ini, saya mengimbas kembali dengan bantuan rakan-rakan dan juga dengan melakukan serba sedikit rujukan daripada internet dan juga buku. Ini sekaligus membantu saya mempersiapkan diri saya serba sedikit untuk peperiksaan yang bakal menjelang kelak. Selain itu, tidak hanya tertumpu kepada tugasan individu, kesan daripada tugasan berkumpulan juga membuatkan saya celik mata dengan fakta-fakta graf. Sebagaimana yang ditugaskan kepada kami, proses perbandingan graf telah memberi ilmu baru kepada saya tentang konsep konsistensi sesebuah graf. Walaupun pada mulanya, kami saya dan rakan-rakan kumpulan seperti tidak tahu langsung tentang proses membanding graf. Sehingga pada satu saat, saya seolah-olah lupa cara atau teknik untuk mencari kecerunan bagi sesuatu fungsi. Namun, setelah melakukan kajian, rujukan serta perbincangan bersama rakan-rakan kemudian akhirnya menyelesaikan tugasan ini, kesemua itu ilmu-ilmu penting bagaikan kembali semula ke dalam fikiran saya. Akhir kata, kerja kursus ini sangat memenuhi keperluan kami, dari segi mental terutamanya memandangkan minggu peperiksaan semakin hampir. Selain itu, ianya turut berperanan sebagai latih tubi kepada kami demi memastikan ilmu yang telah dipelajari kekal lama di dalam minda.
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
22
Kalkulus Asas
MTE 3018
BIBLIOGRAFI 1) Buku
Abu Osman Md. Tap. (1988). Jilid II: Kalkulus dengan satu pemboleh ubah. Selangor: Dewan Bahasa dan Pustaka
Chew, Khoo,May,Ooi,Rohaiza. (2008). Additional Mathematics Form 5 : Selangor Nur Niaga Sdn. Bhd.
Mustapha Majid (1994), Kalkulus asas untuk pelajar kejuruteraan dan sains jilid 1 . Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.
Ong Beng Sim (2005), Mathematics for STPM Pure Mathematics . Selangor : Penerbitan Fajar Bakti Sdn Bhd
2) Internet
A Dendane . (2007). “Free Kalkulus Tutorial dan Masalah”. [web document]. Diperoleh pada 25 Julai, 2012, dari http://www.analyzemath.com/malay/calculus.html Wikipedia. (2012) “Calculus”.. [web document]. Diperoleh 20 Julai, 2012, dari http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
23
Kalkulus Asas
MTE 3018
Tutor Circle. (2012 ). “Comparison Between Integration And Differentiation ” . [web document]. Diperoleh pada 23 Julai, 2012, dari http://www.tutorcircle.com/comparison-between-integration-and-differentiationt1iip.html#
Chee Jun Wie . (2001 ). “ Anti kamiran pembezaan dan kamiran tak tentu”. [web document]. Diperoleh pada 25 Julai, 2012, dari http://www.analyzemath.com/malay/calculus.html
a s u m i m j d a n d a m m a h u m
24
