KALKULUS 2 (Part (Part 1) Supama; Indrati, Ch. Rini; Salmah; Surodjo, Budi; Tari, M.; Zullijanto, Atok. 2003. Kalkulus II. Yogyakarta: FMIPA UGM.
create by nova elin03
1
KALKULUS 2 (Part 1)
INTEGRAL TAK TENTU PENGUNAAN INTERGRAL
create by nova elin03
2
KALKULUS 2 INTEGRAL TAK TENTU
create by nova elin03
3
INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu atau antiderivatif
adalah operasi kebalikan mencari fungsi derivatif. Jika fungsi derivatif biasanya ditulis: dF ( x) = f ( x) dx Maka fungsi integral ditulis sebagai:
∫ f ( x)dx = F ( x)
create by nova elin03
4
INTEGRAL TAK TENTU CONTOH 1: a.
∫
e dx = e x
x
+
5; karena
d (e x
+
5)
dx
=
ex
u
2
1
b.
∫ u du = 2
d ( u 3 ) 1 3 u ; karena 3 3 du
=
d (− x cos x + sin x) c. x sin xdx = − x cos x + sin x; karena = x sin x dx
∫
create by nova elin03
5
INTEGRAL TAK TENTU Apabila diketahui ∫f(x)dx = F(x) maka dapat ditulis pula ∫f(x)dx = F(x)+C, dengan C sembarang konstanta real, sebab: d ( F ( x ) + C ) dx
create by nova elin03
=
d ( F ( x )) dx
+
dC dx
=
d ( F ( x)) dx
+ 0 = f ( x)
6
INTEGRAL TAK TENTU CONTOH 2: a. ∫cos x dx = sin x + C b. ∫ex dx = ex + C c. ∫x sin x dx = -x cos x + sin x + C
create by nova elin03
7
INTEGRAL TAK TENTU SIFAT 1: jika f dan g masing-masing terintegral pada [a,b] dan k Є R maka f + g dan kf keduanya terintegral pada [a,b] dan: a. ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx b. ∫k f(x) dx = k ∫f(x) dx
create by nova elin03
8
INTEGRAL TAK TENTU Dari hasil studi tentang derivatif, beberapa fungsi integral mudah ditemukan fungsi dasarnya, yaitu: 1. ∫ dx = x + C 1 2. n n+ 1 x dx = x + C ; untuk _ x ≠ − 1 n+ 1 dx = ln | x | + C x
∫ ∫
create by nova elin03
9
INTEGRAL TAK TENTU 3. 4. 5. 6. 7. 8.
∫sin x dx = -cos x +C ∫cos x dx = sin x + C ∫sec2 x dx = tan x + C ∫cosec2 x dx = -cotan x +C ∫sec x tan x dx = sec x + C ∫cosec x cotan x dx = -cosec x + C
create by nova elin03
10
INTEGRAL TAK TENTU 9.
x
x
a
x
x
∫ ln a ∫ e dx = e + C a dx =
+
C ; a > 0; a ≠ 1
arctan x + C ∫ 1 + x 2 = − arctan x + C dx
10.
create by nova elin03
11
INTEGRAL TAK TENTU 11.
12.
∫ ∫ x
dx 1 − x
2
arcsin x + C = − arccos x + C
arc sec x + C = − arccos ecx + C 2 x − 1
create by nova elin03
dx
12
INTEGRAL TAK TENTU 13. 14.
∫sinh x dx = cosh x+ C ∫cosh x dx = sinh x + C
create by nova elin03
13
INTEGRAL TAK TENTU CONTOH 3: a.
b.
∫
2 x
2
− 3 x + 3
5 x − 10
x
dx
∫u(√u+1)2 du
create by nova elin03
14
INTEGRAL TAK TENTU SOAL-SOAL 1: tentukan ∫f(x) dx jika: 1. f(x) = 3x2 – 2x + 10 2. f(x) = (√x + 2x) 2 3. f(x) = e2 – 2x + 1 4. f(x) = 2x + sec x tan x 5. f(x) = sin x sec 2 x + 3 sec3 x + 1 6. f(x) = √2x + 2 x – 5 7. f(x) = cos2 x create by nova elin03
15
TEKNIK PENGINTEGRALAN
METODE SUBTITUSI METODE INTEGRAL PARSIAL METODE INTEGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL METODE INTEGRAL FUNGSI IRASIONAL METODE INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
create by nova elin03
16
METODE SUBTITUSI Diberikan fungsi f terdefinisikan pada [a,b] dan fungsi g:[α,β][a,b] mempunyai invers g-1. Jika g dan g-1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu masing-masing pada interval [α,β] dan [a,b] serta f kontinu maka: ∫f(x) dx = ∫f(g(t))g’(t) dt.
create by nova elin03
17
METODE SUBTITUSI CONTOH 4: 1. ∫cox ax dx 2. ∫(2x-7)7 dx 3. ∫21-3u du 4.
dx
∫ x ln x
create by nova elin03
5.
6.
∫(2+5x)4 dx
∫ x
dx x
2
−
a
2
18
METODE SUBTITUSI Dengan cara yang sama dengan contoh 4 no. 6 dapat diperoleh rumus-rumus berikut: 1.
∫
dx a 2 − x 2
create by nova elin03
arcsin x + C a = x − arccos + C a
19
METODE SUBTITUSI 2.
3.
∫ a
∫ x
dx 2
+ x 2
1 arctan x + C a a = 1 x − arc cot + C a a
dx x 2 − a 2
create by nova elin03
= −
1
a 1 a
arc sec
x a
arccos ec
+
C
x
+
a
C
20
METODE SUBTITUSI CONTOH 5: a. Tentukan ∫ tan x dx b. Tentukan ∫ sec x dx
create by nova elin03
21
METODE SUBTITUSI Dengan cara yang sama dengan CONTOH 5 akan didapatkan rumus-rumus berikut: 1. ∫ tan x dx = ln |sec x| + C 2. ∫ cotan x dx = ln |sin x| + C 3. ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C 4. ∫ cosec x dx = ln |cosec x – cotan x| + C
create by nova elin03
22
METODE SUBTITUSI SOAL-SOAL 2: Tentukan ∫ f(x) dx jika diketahui: 1. f(x) = x3 √(x2+1) 2. f(x) = esin xcos x 3. f(x) = √(5-2x) 4. f(x) = x√(4+x) 5. f(x) = √x√(4+x√x) 6. f(x) = sin 2x cos x create by nova elin03
23
INTEGRAL PARSIAL TEOREMA 1: jika U dan V adalah dua fungsi yang didefinisikan pada selang yang sama dan mempunyai derivatif yang kontinu, maka: ∫ U dV = UV - ∫V dU
create by nova elin03
24
INTEGRAL PARSIAL CONTOH 6: a. Selesaikan ∫ ln x dx b. Tentukan ∫ s2e-s ds c. Tentukan ∫ e2zsin z dz
create by nova elin03
25
INTEGRAL PARSIAL SOAL-SOAL 3: selesaikan integral tak tentu berikut 1. ∫ (x+1)2 e3x dx 2. ∫ e-x cos 3x dx 3. ∫ u arc sin u du 4. ∫ x3 cos 4x dx 5. ∫ cos (ln x) dx 6. ∫ x3 ln x dx create by nova elin03
26
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL Integral fungsi pecah rasional dapat diformulasikan sebagai: P ( x)
S ( x)
∫ Q( x) dx = ∫ H ( x)dx + ∫ Q( x) dx i.
Akar-akar Q(x) = 0 semua real dan berbeda: P ( x) A1 A2 An ∫ Q( x) dx = ∫ x − x1 dx + ∫ x − x2 dx + ... + ∫ x − xn dx
create by nova elin03
27
INTRGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL CONTOH 7:Selesaikan Integral berikut 3 1 x − 1. f ( x ) = 2 x − x − 6 u+ 2 2. f ( x ) = 2 u (u + 2u − 8) x 3. f ( x ) = 2 x − 2 x − 4 create by nova elin03
28
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL ii.
Akar-akar Q(x) = 0 semua real dan ada yang sama: P ( x) Q ( x)
=
A1 x − x1
+
A2
+ ... +
( x − x1 ) ∫ dx ( x − x1 ) ( x + 1)( x − 1) 2
CONTOH 8: tentukan
create by nova elin03
Ar 2
r
+
Ar + 1 x − xr + 1
+ ... +
An x − xn
dx
∫ ( x + 1)( x − 1)
2
29
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL iii.
Q(x) = 0 mempunyai akar-akar tidak real yang berbeda: P ( x) Q ( x)
=
A1 x + B1
( x − a )
2
+
b
2
+
A3 x − x3
CONTOH 9: Selesaikan
create by nova elin03
+ ... +
An x − xn
xdx
∫ x
3
+1 30
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL Rumus dasar integral yang akan sering dipakai dimateri selanjutnya: dx
∫ (1 + x )
2 n
=
x
1
2 n− 1
2n 2 − 2 (1 + x )
+
2n − 3
dx
2n − 1 ∫ (1 + x )
2 n− 1
,n ≠ 1
CONTOH 10: selesaikan du (1 + u 2 ) 2
∫
create by nova elin03
31
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL iv.
P ( x) Q( x)
=
Akar-akar tidak real dari Q(x) = 0 ada yang sama A1 x + B1
( x − a) + b 2
2
+
A2 x + B2
{( x − a)
2
+b
}
2 2
+ ... +
Ar x + Br
{( x − a)
2
+b
}
2 r
+
A2r + 1 x − x1
+ ... +
An x − xn
CONTOH 11: tentukan
∫ create by nova elin03
3 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 ( x − 2)( x
2
+ 1)
2
dx 32
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL KASUS DERAJAT P(x) ≥ DERAJAT Q(x): CONTOH 12:
x
4
3
+
∫ x
dx 1
create by nova elin03
33
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL 1.
SATU-SATUNYA BENTUK IRASIONAL √(ax2+bx+c) digunakan subtitusi: jika a > 0; √(ax2+bx+c) = x√a + y c≥0 √(ax2+bx+c) = xy + √c
create by nova elin03
34
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL CONTOH 13: selesaikan
∫ ( x − 2)
create by nova elin03
dx x
2
−
4 x + 1
35
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL 2.
SATU-SATUNYA BENTUK IRASIONAL x
+
a
x
+
b
diselesaikan dengan subtitusi:
y = create by nova elin03
x + a x + b 36
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL CONTOH 14: tentukan
∫
create by nova elin03
x + 4 x + 1
dx
37
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL INTEGRAND HANYA MEMUAT BENTUK IRASIONAL SATU SUKU n diselesaikan dengan subtitusi y = x dengan n adalah kelipatan persekutusn terkecil dari pangkatpangkat akar. CONTOH 15: selesaikan 3 6 3.
∫ (
create by nova elin03
3 x + 2 x
x +
3
x − 2)
2
dx 38
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL SOAL-SOAL 4: tentukan ∫ f(x) dx jika: 1. f ( x) = 2. f ( x) = 3. f ( x) = 4. f ( x) =
2 x + 1
x 3 − 3 x 2 + 4 x − 2 1 x 4 − 16 5 x
2
−
6 x
x 2 − 2 x − 3 2 x + 1 x
3
create by nova elin03
−1 39
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI A.
BENTUK-BENTUK INTEGRASI ∫sin(nx) cos(mx)dx, ∫sin(nx) sin(mx)dx DAN ∫cos(nx) cox(mx) dx Berikut rumus identitas yang digunakan untuk menyelesaikan bentuk integral seperti di atas
create by nova elin03
40
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI cos a cos b = ½{cos(a+b)+cos(ab)} sin a sin b = ½{cos(a-b)-cos(a+b)} sin a cos b = ½{sin(a+b)+sin(a-b)} CONTOH 16: 1. ∫ sin 3x cos x dx 2. ∫ cos2 4x dx 3. ∫ sin 2x sin 5x dx
create by nova elin03
41
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI B.
BENTUK ∫f(cos x) sin x dx atau ∫f(sin x) cos x dx, DENGAN f PECAH RASIONAL integrand dapat diubah ke dalam bentuk pecah rasional biasa dengan subtitusi t = sin x atau t = cos x.
create by nova elin03
42
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 17: carilah
cos x
∫ 1 + sin x
a.
dx
2 cos x sin x
∫ 1 + cos x c.∫ (sin x + 1) cos xdx
b.
create by nova elin03
2
dx
43
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI C.
BENTUK ∫sinn x dx, ∫cosn x dx, ∫tann x dx, ∫cotn x dx, ∫secn x dx, ∫cosecn x dx DAN ∫sinn x cosm x dx bentuk-bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan rumus berikut, yang didapat dengan rumus deduksi dan integral parsial.
create by nova elin03
44
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫
n− 1
1. s i n xdx= −
∫
n
+
n
n
n− 1
2. c o s xdx=
∫
s i n x c o s x n − 1
n
c o s x s i n x n − 1
+
n
n
n+ 1
3. s i n x c o s xdx= n
m
create by nova elin03
∫ s i n
∫ c o s
n−
m− 1
s i n x c o s x n+ m
n−
+
2
2
m−
xdx, n ≥
xdx, n ≥
1
1 1
s i n x c o s ∫ n+ m n
m−
2
d x, n ≠
45
−1
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫
4. tan xdx = n
∫
5. cot n xdx =
∫
6. sec xdx =
∫
n
7. csc xdx = n
create by nova elin03
tan n − 1 x
n− 1
−
−
cot n − 1 x
n− 1
sec
n− 2
∫ tan −
−
csc
n− 2
cot n − 2 xdx, n > 1
+
x cot x
n− 1
xdx, n > 1
∫
x tan x
n− 1
n− 2
n− 2 n− 1
+
∫
n− 2
sec n − 2 xdx, n > 1
csc ∫ n− 1
n− 2
xdx, n > 1 46
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 18: a. ∫sin2 3x dx b. ∫tan5 x dx c. ∫cosec4 (2x+3)dx
create by nova elin03
47
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI D.
SUBTITUSI y = tan ½x Jika y = ½x, maka x = 2 arc tan y, maka: i.dx = 2 dy 1 + y 2
1
2 y
1
ii. sin x = 2 sin( x ) cos( x ) = 2 2 1 + y 2 1
1
1 − y 2
iii. cos x = cos 2 ( x ) − sin( x ) = 2 2 1 + y 2 iv. tan x = create by nova elin03
2 y 1 − y 2 48
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 19:
dx
∫ 1 + sin x + cos x
a.
dx
∫ 1 + sin x
b.
dx
∫ 1 + tan x
c.
create by nova elin03
49
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI 1.
2.
3.
Jika integrand memuat bentuk irasional √(a2 -x2), maka digunakan subtitusi: x= a sin y atau x= a cos y Jika integrand memuat bentuk irasional √(a2 +x2), maka digunakan subtitusi: x= a tan y atau x= a cot y Jika integrand memuat bentuk irasional √(x2 - a2), maka digunakan subtitusi: x= a sec y atau x= a csc y
create by nova elin03
50
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 20: dx 1. ( x − 2) − x 2 + 4 x − 3
∫
∫
2.
∫
3.
x +
x
x a
2
2
+1
+1
− x
create by nova elin03
2
2
dx
dx 51
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-SOAL 5: 1. ∫ cosec (3πx) dx 2. ∫ √(cos x) sin x dx 3. ∫ cos9 x sin3 x dx 4. ∫ sin6 x cos3 x dx 5. ∫ cos 10x sin 6x dx 6. ∫ sin5 x dx 7. ∫ cos5 x dx create by nova elin03
52
KALKULUS 2 PENGGUNAAN INTEGRAL
create by nova elin03
53
LUAS AREA DATAR Luas area datar di bawah kurva f(x), di atas sumbu x, dibatasi garis x =a dan x = b adalah: b
A = lim S ( P , f ) = | P |→ 0
create by nova elin03
∫ f ( x)dx a
54
LUAS AREA DATAR Luas area antara 2 kurva seperti gambar 1 adalah: A = A1 – A2
y=g(x)
A1
y=f(x)
Gambar 1
b
A1: luas wilayah dibawah y=g(x) A2: luas wilayah dibawah y=f(x) create by nova elin03
b
a
a
= ∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx
A2 a
b
b
= ∫ [ g ( x) − f ( x)]dx a
55
LUAS AREA DATAR b
a
Untuk menghitung luas area di bawah sumbu x, di atas y=f(x) antara x=a dan x=b adalah:
y=f(x)
b
A =
− ∫ f ( x)dx a
Gambar 2
create by nova elin03
56
LUAS AREA DATAR CONTOH 21: dib atasi 1. Hitung luas area datar yang dibatasi kurva y=x2 dan sumbu x dari x=-1 sampai dengan x=3. 2. Hitung luas area datatr yang dibatasi kurva y=x3 dan sumbu x dari x=-4 sampai x=3. 3. Carilah luas area datar yang dibatasi y=x2+2 dan y=x antara x=0 sampai dengan x=1. create by nova elin03
57
LUAS AREA DATAR LUAS AREA DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KUTUB: A = lim
| P |→ 0
n
∑
i= 1
1 2
create by nova elin03
β
*
2
[ f (θ i )]
∆ iθ =
1
∫ 2
α
2
[ f (θ )] d θ
=
1
β
∫ 2
r 2 d θ
α
58
LUAS AREA DATAR Luas D adalah:
θ=β
A =
r=g(θ)
1
β
{[ g (θ )] ∫ 2
2
− [ f (θ )] }d θ 2
α
D r=f(θ)
θ=α
Gambar 3
create by nova elin03
59
LUAS AREA DATAR CONTOH 22: 1. Tentukan luas area yang berada di dalam kurva r=2 cos 3θ, θЄ[0,2π]. 2. Tentukan luas area datar di dalam lingkaran r=3 cos θ dan di luar kardioda r=1+cos θ. 3. Tentukan luas area di dalam kurva r=3 cos θ dan di dalam kurva r=1+cos θ. create by nova elin03
60
LUAS AREA DATAR SOAL-SOAL 7: tentukan luas area datar 1. Di dalam r = 3 sin 4θ 2. Di dalam r = 4 sin θ 3. Di dalam r = 2 cos 3θ 4. Di dalam r2 = 3 cos 2θ 5. Di dalam r = sin θ dan di luar r=1 6. Di dalam r = sin θ dan di luar r=1-cos θ 7. Di dalam r = cos θ dan di luar r=1-cos θ create by nova elin03
61
VOLUME BENDA PUTAR CARA CAKRAM Volume benda putar dari fungsi f(x) dari x=a sampai x=b yang diputar terhadap sumbu x adalah: b
V ox
=
∫
b
∫
π [ f ( x )] dx = π y dx a
create by nova elin03
2
2
a
62
VOLUME BENDA PUTAR Volume benda putar dari fungsi g(y) dari y=c sampai y=d yang diputar terhadap sumbu y adalah: d
V oy
=
∫
2
π [ g ( y )] dy c
create by nova elin03
63
VOLUME BENDA PUTAR Volume benda putar dari luas bidang D yang diputar terhadap sumbu x adalah:
y=f 2(x) D
b
V ox
y=f 1(x) a
=
∫
2
π {[ f 2 ( x)]
− [ f 1 ( x)] }dx 2
a
b Gambar 4
create by nova elin03
64
VOLUME BENDA PUTAR CONTOH 23: a. Tentukan colume benda putar yang terjadi jika daerah yang berada di bawah kurva y=√x dan di atas sumbu x dari x=0 sampai x=4 diputas sekeliling sumbu x. b. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerak di kuadran 1 yang berada di bawah garis y=2 di atas kurva y=√x diputar sekeliling sumbu y. create by nova elin03
65
VOLUME BENDA PUTAR CARA KULIT TABUNG:
b
V oy
=
∫
2π xf ( x ) dx
a CONTOH 24: a. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang berada di bawah kurva y=√x dan di atas sumbu x dari x=0 sampai x=4 diputar sekeliling sumbu y. create by nova elin03
66
VOLUME BENDA PUTAR VOLUME BENDA PUTAR DALAM SISTEM KOORDINAT KUTUB
V ox
=
2 3
β
∫
3
π r sin ϕ d ϕ α
CONTOH 25: diketahui G daerah di dalam cardioda r=1+cos θ dari θ=0 sampai θ=π/2. Hitung volume benda putar jika G diputar sekeliling sumbu x dan sumbu y. create by nova elin03
67
VOLUME BENDA PUTAR SOAL-SOAL 8: 1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah di bawah kurva y=4-x2 dan di atas sumbu x sekeliling sumbu x. 2. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika area yang dibatasi y=e x, sumbu x dan garis x=1 diputar sekeliling sumbu x create by nova elin03
68
PANJANG BUSUR b
s =
∫ a d
s =
∫ c
β
s =
∫ α
create by nova elin03
2
dy 1+ dx
dx
2
dx 1 + dy 2
dx dt
dy 2
dy + dt
dt 69
PANJANG BUSUR PANJANG BUSUR DALAM KOORDINAT KUTUB β
s =
∫ α
2
dr + d θ
create by nova elin03
2
r d θ
70
PANJANG BUSUR CONTOH 26: a. Tentukan panjang busur parabola y=x2-4 di antara ttitik (-1,-3) dan (3,5). b. Tentukan panjang busur cardioda r=1+cos θ; 0≤θ≤2π. c. Tentukan panjang busur astroida x2/3+y2/3=a2/3 dengan a≥0 create by nova elin03
71
PANJANG BUSUR SOAL-SOAL 9: Tentukan panjang kurva berikut! 1. y=e-x dari x=0 sampai x=1 2. y=e-x dari x=0 sampai x=∞ 3. x=1/4y2 dari x=0 samapai x=1 4. r=3 sin 4θ 5. r=2 cos 3θ 6. r=1-cos θ 7. r2=3 cos 2θ create by nova elin03
72