BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH
fungsi bernilai riil dari peubah riil ,
fungsi bernilai vektor dari peubah riil
Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi ,
pasangan terurut
yang memadankan setiap
dalam rangka D pada bidang dengan bilangan riil
,
,
.
– ,
Himpunan D disebut daerah asal (domain) fungsi. Jika daerah asal fungsi tidak diperinci , maka D berupa daerah asal mulanya ,
(natural domain), yakni himpunan semua titik
pada bidang dimana aturan
fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan riil. Contoh : ,
daerah mulanya adalah seluruh bidang
,
daerah asal mulanya adalah
,
:
,
Daerah nilai suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilainya ,
dan
peubah bebas peubah tak bebas
Contoh : Buatlah grafik daerah asal mula untuk , ,
Solusi : Keluarkan
:
dan titik
,
31
KURVA KETINGGIAN Setiap bidang mendatar memotong permukaan dalam sebuah kurva. Proyeksi kurva pada bidang disebut kurva ketinggian , dan kumpulan lengkungannya disebut peta kontur.
Permukaan ,
Bidang
Kurva ketinggian
,
5000 ft 7000 ft
Peta kontur dengan kurva ketinggian
Permukaan
2. TURUNAN PARSIAL Turunan parsial f terhadap x di ,
,
∆ ,
dan dinyatakan sebagai
,
, ∆
∆
Sebaliknya :
,
, ∆
∆ ∆
, 32
Contoh : ,
Carilah
,
dan
,
,
,
,
, , ,
, ,
,
; ;
,
, ,
,
Contoh : Jika
, cari
dan
Solusi :
TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI
; 33
Cari keempat turunan parsial dari ⁄
,
⁄
,
Solusi :
⁄
, ⁄
,
⁄
,
⁄
,
⁄
⁄
,
⁄
⁄
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
,
,
,
Nilai ,
,
semakin dekat ke bilangan
pada waktu
,
mendekati
caranya tak terhingga
Untuk mengatakan bahwa
,
,
,
0 (betapapun kecilnya) terdapat
setiap hingga |
|
,
berarti bahwa untuk 0 yang berpadanan sedemikian
dengan syarat bahwa
| ,
Contoh : Perlihatkan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh
|
,
,
tidak mempunyai limit di titik asal. ,
Solusi : Jadi, limit
,
,
,
Limit
,
untuk
untuk
,
,
mendekati ,
,
,
sepanjang sumbu x adalah
,
mendekati
,
sepanjang sumbu y adalah 34
,
,
,
,
,
Jadi kita mendapat jawaban yang berbeda tergantung bagaimana ,
,
.
Kekontinuan pada suatu titik ,
kontinu di titik (a,b), dengan syarat
. mempunyai nilai di (a,b) . mempunyai limit di (a,b), dan . nilai f di (a,b) sama dengan limitnya
,
,
,
,
Berarti f tidak mempunyai loncatan atau fruktuasi liar di (a,b)
Teorema : komposisi tunggal jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di a,b dan f suatu fungsi satu peubah kontinu di didefinisikan oleh
,
, maka fungsi komposisi
,
,
Contoh : Perlihatkan bahwa
yang
, adalah kontinu di a,b .
,
adalah kontinu di
setiap titik dari bidang Solusi : Fungsi
,
polinom, adalah kontinu dimana‐mana, juga kontinu disetiap bilangan t di R.
,
,
kontinu di
semua x,y di bidang. 4. KETERDIFERENSIALAN dapat dideferensialkan di . Vektor
jika terdapat suatu vektor | |
dengan
sedemikian hingga :
pada
gradient di .
| |
Catatan : •
Turunan
adalah bilangan. Gradient
adalah vector 35
•
Titik dalam
.
menunjukkan hasil kali titik dari dua vector
Jika fungsi dua peubah yang dapat dideferensialkan di parsial pertama dari ada di
dan
Contoh : Perlihatkan bahwa
,
,
, maka turunan
dapat dideferensialkan dimana‐
mana dan hitung gradient‐gradientnya. Cari persamaan bidang singgung ,
di 2,0 ,
Solusi :
Fungsi ini kontinu dimana‐mana , ,
,
Persamaan bidang singgungnya : ,
, ,
Contoh :
,
,
, ,
, cari ,
, ,
,
, , , , Aturan‐aturan untuk gradient : Teorema : adalah operator linier, yakni
36
5. TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Andaikan
,
dan dan adalah vector‐vektor satuan arah dan
Maka turunan parsial di
positif.
dapat dituliskan sebagai berikut :
Untuk tiap vector satuan , andaikan
Jika limit ini ada, ia disebut turunan berarah f di P pada arah u. Jadi di
dan
karena
,
,
,
Kemiringan: ,
,
Kaitan dengan gradient : Andaikan dapat dideferensialkan di P. Maka f mempunyai turunan berarah di P pada arah vector satuan dan .
,
,
,
37
Contoh : jika , vektor
, tentukan turunan berarah di (2,‐1) pada arah
Solusi : Vektor satuan pada arah a adalah ,
,
,
,
,
, ,
Contoh : Cari turunan berarah dari fungsi arah vector
di titik
, ,
pada
.
Solusi : Vektor satuan u pada arah a adalah
, ,
, ,
, ,
, ,
, , Maka
, ,
, ,
LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Untuk suatu fungsi f di titik p , fungsi berubah paling cepat pada arah mana
yang terbesar .
| ||
sudut antara dan
|
|
maksimum pada minimum pada
|
Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradient (dengan laju |
|) dan berkurang secara paling cepat pada arah berlawanan (dengan laju |
|) 38
6. ATURAN RANTAI (Chain Rule) Andaikan ,
dan
dapat didiferensialkan di dan andaikan
dapat didiferensialkan di
didiferensialkan di
, maka fungsi
akan dapat
dan karenanya,
Contoh : Misalkan
dengan
dan
. Tentukan
Solusi :
⁄
Contoh : Misalkan sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi radiusnya bertambah pada laju ,
dan tingginya bertambah pada laju ,
. Tentukan laju
pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan dan tinggi sama dengan
Luas permukaan tabung
. , Pada
dan .
.
⁄
. ,
. ,
.
. ,
Contoh : Andaikan ⁄
, dengan
dan hitung nilainya di
,
, dan
. Tentukan
⁄ . 39
Solusi : √
. √
Misalkan
,
dan
misalkan
,
dapat didiferensialkan di
,
,
,
, mempunyai turunan pertama di , , ,
,
dan
, maka
mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh :
Contoh : dengan
Jika
dan
. Tentukan dalam bentuk s
dan t. Solusi :
Contoh : ,
, dengan
,
. Tentukan
⁄
Solusi : ⁄ ⁄
,
⁄
jika
⁄ ⁄
⁄ ⁄
,
Contoh : Tentukan
Solusi : Misalkan
,
40
⁄ ⁄
7. BIDANG SINGGUNG, APROKSIMASI , ,
Suatu permukaan yang ditentukan oleh permukaan tersebut yang melalui titik
,
dan sebuah kurva pada . Jika
,
,
,
adalah persamaan parameter untuk kurva ini, maka untuk semua t ,
,
Dengan aturan rantai : Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk gradient dari dan tururnan dari vektor untuk kurva
sebagai ,
.
, Bidang singgung
,
,
, ,
, , menentukan suatu permukaan dan misalkan F dapat dideferensialkan di sebuah titik dari permukaan dengan , , , , , maka bidang yang melalui P tegak lurus dinamakan bidang singgung , , permukaan itu di P. Andaikan
Teorema : Untuk permukaan , ,
, ,
, persamaan bidang singgung di , , , ,
Dalam hal khusus, untuk permukaan adalah , , ,
,
,
,
adalah
, persamaan bidang singgung di 41
,
,
Contoh: Cari persamaan bidang singgung terhadap
di titik (1,1,2).
Solusi : Misalkan
,
,
,
Contoh : Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap , , Solusi :
, ,
di
, ,
, ,
, ,
Maka persamaan bidang singgung Persamaan simetri dari normal yang melalui
, ,
adalah :
8. MAKSIMUM DAN MINIMUM Bila
suatu titik di s, yaitu daerah asal dari f
adalah nilai maksimum (global) dari pada jika p di s.
untuk semua
adalah nilai minimum (global) dari f pada s jika
untuk semua
p di s. 42
adalah nilai ekstreem (global) dari f pada s jika jika ia adalah nilai maksimum (global) atau nilai minimum (global). Maksimum global
Maksimum lokal
Maksimum lokal
Maksimum global Titik‐titik kritis (ekstrem) dari f pada s ada tiga jenis : 1) Titik‐titik batas 2) Titik‐titik stasioner jika adalah suatu titik dalam dari s dimana f dapat didiferensialkan dan bidang singgung mendatar. 3) Titik‐titik singular jika adalah suatu titik dalam dari s dimana f tidak dapat didiferensialkan. TEOREMA : Andaikan f dideferensikan pada suatu himpunan S yang mengandung . jika adalah suatu ekstrem, maka haruslah berupa suatu titik kritis, berupa salah satu dari : i. ii. iii.
Suatu titik batas dari S, atau Suatu titik stasioner dari f ; atau Suatu titik singular dari f. ⁄
,
Contoh : cari nilai maksimum dan minimum local dari Solusi :
,
,
,
,
,
43
⁄
,
⁄
⁄ jadi
,
adalah minimum global untuk f
SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM Andaikan bahwa , mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari , dan bahwa . Ambil , = , , , , Maka : 0, maka adalah nilai maksimum lokal. jika 0 dan , , jika 0 dan 0, maka adalah nilai minimum lokal. , , jika 0, bukan suatu nilai ekstrem , adalah titik pelana. , jika , pengujian tidak member kesimpulan Contoh : Tentukan ekstrem; jika ada, untuk fungsi F yang didefinisikan oleh , Solusi : , Titik kritis , ,
; ,
, ,
Titik kritis , dan , , ; , ; , Jadi pada titik , , . , , . , 0 Sehingga menurut , , adalah nilai minimum local dari Sedangkan pada titik , : , . , , . 0 Maka menurut , adalah titik pelana. 44
9. METODE LAGRANGE Untuk mencari nilai minimum dari : adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas. Tapi, bila diminta mencari nilai minimum dari Nilai ektrem terbatasi / terkendala Batasan : Untuk menyelesaikan nilai ektrem terkendala dapat digunakan pengali lagrange Tafsiran Geometri Metode Lagrange , Maksimumkan atau minimum , terhadap batasan ,
Untuk memaksimumkan f terhadap batasan , adalah mencari kurva. Ketinggian , dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva batasan yaitu pada titik , dan . ,
Pada titik dan , kurva ketinggian dan kurva batasan memiliki suatu garis singgung bersama, kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama.
, Vektor gradient adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dan adalah tegak lurus terhadap kurva batasan, jadi dan sejajar di titik dan , maka : dan dan
adalah bilangan tak nol.
Teorema : Metode Lagrange Untuk memaksimumkan atau meminimumkan , seesaikan sistem persamaan : dan
terhadap batasan/kendala
Tiap titik yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan yang berpadanan disebut pengali lagrange. 45
Contoh : Gunakan Metode Lagrange untuk mencari nilai‐nilai maksimum dan minimum dari : ,
;pada ellips
Solusi : ,
,
;
Persamaan Lagrange :
Jadi
dan tidak dapat sama dengan nol
Pers
,
Pers
,
Jadi titik‐titik kritis Bila
, maka dari persamaan ketiga
Dari persamaan pertama, bila Maka
,
,
,
,
juga titik‐titik kritis
,
,
maka nilai minimum dari
,
adalah
dan nilai maksimum adalah 1.
46
Contoh : , ,
Tentukan minimum
, terhadap batasan
, ,
Solusi : , ,
, ,
Titik kritis, bila , , Untuk , , ,
, ,
, ,
dan
dengan λ pengali lagrange
Dari
substitusi ke
dan
dan
, didapat
,
Dari persamaan
, ,
Sehinga penyelesaian sistem persamaan simultan tersebut adalah – , Satu‐satunya titik kritis adalah – , Maka minimum
, ,
,
terhadap kendala adalah
– ,
,
Bagaimana bila batasannya lebih dari Satu Misalkan terdapat dua batasan menjadi , , , ,
, , ;
, ,
, ,
dan , , , ,
, maka persamaannya
47
Dimana dan adalah pengali lagrange Sehingga sistem lima persamaan simultan adalah
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
Contoh : Tentukan nilai‐nilai maksimum dan minimum dari , , yang merupakan perpotongan tabung dan
pada ellips
Solusi : Persamaan‐persamaan Lagrange yang berpaduan
Dari
&
,
,
Untuk
titik kritis
Untuk
titik kritis – , ,
,
,
– , ,
Nilai Maksimum Nilai Minimum 48
