MODUL KALKULUS I
Dosen Pembimbing Dra. Lusia Sugiyati
Tim Penyusun Fisca Nandya Agustina (08.5644) Frisca Ully Hapsari Saragih (08.5647) Gilang Alip Utama (08.5651) Hinca Gita Lestari Pardede (08.5665) I Gede Heprin Prayasta (08.5667) Jamiatul Mualifah (08.5686) Lidya Indah Aribi (08.5699) M. Aulia Rahman (08. 5709) Moh. Safiudin (08.5727) Muhamad Anwar (08. 5731) Nana Khaira (08.5737)
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK Tahun Akademik Akademik 2008 / 2009
KATA PENGANTAR
Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmat Beliau lah kami dapat merampungkan modul mata kuliah Kalkulus ini tepat pada waktunya. Adapun tujuan penyusunan modul mata kuliah kalkulus ini adalah untuk memenuhi tugas akhir semester genap ini. Selain itu kami berharap modul ini dapat digunakan sebagai panduan dalam satuan acara perkuliahan mata kuliah Kalkulus I. Pada modul ini kami berusaha menampilkan seluruh materi ang tercantum dalam silabus acara perkuliahan mata kuliah Kalkulus tahun akademik 2008 / 2009, serta didukung oleh beberapa latihan soal dilengkapi dengan pembahasannya. Akhir kata kami ucapkan terima kasih kepada Ibu Lusia Sugiyati selaku dosen pembimbing, rekan-rekan tim penyusun,beserta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu yang telah membantu kami dalam proses penyusunan modul ini. Kami menyadari bahwa karya kami masih sangat jauh dari sempurna, maka dari itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan demi kesempurnaan karya kami berikutnya. Terima Kasih.
Jakarta, 28 Juli 2009
Penulis
DAFTAR ISI Halaman Judul .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ .................................. ............ i Kata Pengantar ............................................... ..................................................................... ............................................ ............................................ .............................. ........ ii Daftar Isi ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ......................................... ................... iii Fungsi Invers Trigonometri Tr igonometri ........................................... ................................................................. ............................................ .................................... .............. 1 Integral Fungsi Trigonometri ......................................... ............................................................... ............................................ .................................... .............. 7 Integral Parsial ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................ ................................. ........... 7 Rumus Reduksi Trigonometri .......................................... ................................................................ ............................................ ................................. ........... 8 Integral Substitusi Trigonometri ................................................................. ........................................................................................ ........................... .... 14 Integral Fungsi Rasional ........................................... ................................................................. ................................................ ....................................... ............. 16 Integral Substitusi Lain .................................................................... ........................................................................................... ...................................... ............... 26 Improper Integral ............................................... ..................................................................... ............................................ ............................................... .........................29 29 Fungsi Gamma & Fungsi Beta........................................................... Beta.................................................................................. .................................... ............. 32 Barisan Tak Hingga, Kemonotonan Barisan, Konvergensi Barisan ......................................40 Deret Geometri, Deret Harmonis, Uji Konvergensi .............................................................. .............................................................. 42 Deret Kuasa, Deret Taylor, Deret Mac Laurin .................................................. ...................................................................... .................... 50 Radius Konvergensi dan Interval Konvergensi .................................................................... ...................................................................... 50 Fungsi dua Variabel, Domain, Range ............................................... ......................................................................... .................................... .......... 53 Turunan parsial, Aturan Rantai ............................................................. ................................................................................... ................................. ........... 55 Integral Rangkap dan Volume Benda Ruang ............................................................ ......................................................................... ............. 57
FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
I.
TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 1. Turunan Fungsi Invers Sinus Perhatikan grafik y = sin x, kita mencatat bahwa pada interval
/ 2 x / 2 -1
pembatasan sin x menjadikannya satu-satu. Kemudian kita mendefinisikan sin x sebagai fungsi inversnya. Domain dari fungsi ini [-1,1], yang merupakan range dari sin x. Jadi, -1
1. sin x = y jika dan hanya jika sin y = x. -1
2. Domain sin x adalah [-1,1]. 3. Range sin x adalah [-П/2, П/2]. -1
-1
Grafik sin x diperoleh dari grafik sin x dengan merefleksikan pada garis y= x.
d dx
1
[sin U ]
U ' 1 U
2
1.1
2. Turunan Fungsi Invers Cosinus
Jika kita membatasi domain cos x pada [0, П], kita mendapatkan fungsi satu-satu dengan range [-1,1]. Jadi kita mendefinisikan cos -1 x sebagai invers dari pembatasan tersebut. 1. cos-1 x = y jika dan hanya jika cos y = x. -1
2. Domain cos x adalah [-1,1]. 3. Range cos
-1
x adalah [0, П].
-1
Grafik cos x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cos x pada garis y= x.
d dx
1
[cos U ]
U ' 1 U
2
1.2 3. Turunan Fungsi Invers Tangen
Dengan membatasi domain tan x pada interval (-П /2, П /2) kita memperoleh fungsi satu-satu, -1
inversnya yang kita ambil adalah tan x. Maka : -1
1. tan x = y jika dan hanya jika tan y = x. 2. Domain tan x adalah (-∞,+∞). -1
3. Range tan x adalah (-П/2, П/2). -1
-1
Grafik tan x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = tan x pada garis y= x.
d dx
[tan
1
U ]
U ' 1 U
2
1.3
4. Turunan Fungsi Invers Cot
Dengan membatasi domain cot x pada interval (0, П) kita memperoleh fungsi satu-satu, -1
inversnya yang kita ambil adalah cot x. Maka : -1
1. cot x = y jika dan hanya jika cot y = x. 2. Domain cot x adalah (-∞,+∞). -1
3. Range cot
-1
x adalah (0, П).
-1
Grafik cot x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cot x pada garis y= x.
d dx
[cot
1
U ]
U ' 2 1 U
1.4
5. Turunan Fungsi Invers Sec Dengan membatasi domain sec x pada interval (0, П /2) dan (П, 3П /2) kita memperoleh fungsi -1
satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah sec x. Maka : -1
1. sec x = y jika dan hanya jika sec y = x. -1
2. Domain sec x adalah y
1.
3. Range sec x adalah (0, П /2) dan ( П, 3П /2). -1
d dx
1.5 [sec
1
U ]
U ' U U 1 2
6. Turunan Fungsi Invers Cosec Dengan membatasi domain cosec x pada interval (0, П /2) dan ( П, 3П /2) kita memperoleh -1
fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah cosec x. Maka : -1
1. cosec x = y jika dan hanya jika cosec y = x. -1
2. Domain cosec x adalah y -1
3. Range cosec
d dx
x adalah (0, П/2) dan (П, 3П/2). U '
1
[cos ec U ]
1.
U U 1 2
1.6
Sumber : Schaum Kalkulus hlmn. 105 dan 106.
II. INTEGRAL FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI TRIGONOMETRI Tiap rumus pendiferensialan menghasilkan rumus integral. 1. Integral Fungsi Invers Sin dan Cos
du 1 u
2
1 cos u C sin 1 u C cos
2.1
du a u 2
2
sin 1
u a
1 cos C cos
u a
C
a>0
2.2
2. Integral Fungsi Invers Tan dan Cot du
1 u
2
1 cot u C tan 1 u C cot
2.3
a
du 2
u
2
1
a
tan
1
u a
1
u
a
a
1 cot C cot
C
a>0
2.4
3. Integral Fungsi Invers Sec dan Cosec
u
u
du
1 cos ec u C sec1 u C cos
u 1 2
2.5
du u a 2
2
1
u
a
a
sec 1
1
u
a
a
1 cos ec C cos
C
a>0
2.6
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418 dan 433.
Contoh Soal : 1.
-1
2
Tentukan dy/dx dari y = (3x-1) cos (x ) Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Edisi Kelima hlmn. 419.
Jawab :
d (3 x 1) dx 1
3 2
d (cos ( x )) dx dy dx dy dx
2 x 1 x
4
(2 x)
3 cos1 ( x 2 ) (3 x 1)
1
1 x
(2 x 6 x ) 2
3 cos ( x ) 2
1 x
4
4
2.
Tentukan dy/dx dari y
1 x tan 1 1 x
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.
Jawab :
1 x x 1 (1)(1 x) (1 x) 1 x 1 x 2 x 2 2 2 dx (1 x) (1 x) (1 x)
d
dy dx
2 x 2 (1 x) 1 x 1 1 x
2
2 x 2 2 x 2 x x (1 x) 2 2 2 2 2 2 (1 x) (1 x) 1 2 x x 1 2 x x 2 x 2 x 1 2 (1 x) 3.
-1
Tentukan dy/dx dari y = 7 cos
2 x
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.
Jawab :
d 2 x dx
1 2 x
1 7 7 dy x 2 7 2 1 2 x dx 2 x (1 2 x) 2 x 4 x / 2
4.
Tentukan Integral dari
sin
1 cos 0
2
d
Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 420.
Jawab :
/ 2
/ 2
sin
1 cos cos 0
2
d
0
sin d 2 1 cos cos
sin d 2 1 cos / 2 0
tan
1
0
(cos )
/ 2
= tan (1) – tan (0) -1
5.
4
0
-1
4
Seorang berdiri di atas sebuah bukit vertical kira-kira 200 kaki di atas sebuah danau. Dia melihat sebuah perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki tiap detik.
Berapa laju perubahan sudut penglihatan θ apabila perahu berada pada jarak 150 kaki dari bukit itu? Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis A nalitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418.
Jawab :
Orang
θ
200 X
Perahu
Dari gambar tampak bahwa Sudut depresi θ memenuhi hubungan
200 tan 1 x
Maka
d dt
(200) dx
1 1 (200 / x)
2
x
2
dt
(200)
dx
2 x 40000 dt
ita substitusikan x = 150 dan Apabila k ita
dx/dt = 25, kita memperoleh dθ/dt=-0,08 radian tiap
detik.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI TRIGONOMETRI
Apabila pengintegralan dengan metode substitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan ganda, yang lebih dikenal edengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasi. Metode ini didasarkan pada penggunaan rumus turunan hasil kali dua fungsi. Andaikan u=u(x) dan v=v(x). Maka Dx[u(x)v(x)]= u(x)v’(x) + v(x)u’(x) dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita memperoleh u(x)v(x) =
+
atau = u(x)v(x) -
Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut. Pengintegralan parsial integral tak tentu adalah = uv – Sedangkan rumus untuk pengintegralan parsial tentu adalah = [uv
-
Setelah metode Integral parsial digunakan pertama kali, kita amsih harus menghitung integral yang kedua dengan metode yang sama tetapi pangkat dari x lebih kecil. Jadi di sini pangkat dari x direduksi agar samakin kecil, sehingga masalahnya dapat diselesaikan. Teknik semacam ini dikenal sebagai rumus reduksi, yang bentuk umumnya , dengan 0 < k < n. a.
Rumus reduksi untuk
Misalkan u=
dan dv =
,
maka du =
dx dan v =
.
Jadi kita mempunyai rumus reduksi b.
Rumus dan
reduksi
untuk
, n bilangan asli
Untuk n bilangan ganjil, n = 2k+1, k = 1,2,3,..., = =
=-
dan
=
=
=
.
Secara umum, rumus reduksinya dapat diperoleh dengan metode integral parsial. Untuk itu, = Misalkan u=
dan
dv =
dan
v=-
maka du = (n – 1) akibatnya,
pindahkan
ke ruas kiri, diperoleh
Jadi kita mempunyai rumus reduksi
Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk
c.
Rumus dan
, n bilangan asli
, yaitu
reduksi
untuk
Untuk n = 1,
= ln | sec x | + C dan
Untuk n = 2,
= ln | sin x |+ C
=
=
=
=
.
Untuk n =3,4,5,..., = = = = d.
Rumus dan
= ln | sec x + tan x| + C dan
Untuk n = 2,
;
= ln | csc x - cot x | + C
Khusus untuk n bilangan genap, n =2k, k=1, 2, ..., =
=
=
=
=
=-
Untuk n = 3,4,5,..., = Misalkan dan
dv =
maka du = (n – 2)
dan
= (n – 2) akibatnya,
pindahkan
untuk
, n bilangan asli
Untuk n = 1,
u=
reduksi
ke ruas kiri, diperoleh
v=
Jadi kita mempunyai rumus reduksi + Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk
, yaitu
+ e.
Rumus reduksi dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.
untuk
Tipe 1. Sekurang-kuarangnya salah satu dari sin x dan cos x berpangkat ganjil. Maka substitusi untuk lainnya berlaku. Tipe 2. Kedua pangkat sin x dan cos x adalah genap. Ini selalu melibatkan perhitungan dengan menggunakan identitas-identitas seperti :
f.
Rumus reduksi dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.
Tipe 1. n adalah genap; substitusikan u = tan x Tipe 2. n adalah ganjil dan m adalah ganjil. Substitusikan u = sec x g. Rumus reduksi untuk memerlukan
sin Ax sin Bx = cos Ax cos Bx =
Soal latihan 1. Misalkan : u = x, du= dx ,v= =x
-
]+C 2. Misalkan u = ln x,du = dv =
,v=
kita identitas-identitas:
sin Ax cos Bx =
dv =
untuk
= ln x .
-
= ln x =
3. = = Misalkan u = csc x du = - csc x.cot x dx -du = csc x.cot x dx =
(kemudian u diganti dengan csc x)
4. Misalkan u = x , du = dx dv = csc x dx , v = -tan x
5. Misalkan u = cos x du = - sin x dx
6.
+ 7. Misalkan u=
du =
dv = dx, v = x
Dimisalkan lagi: p = 1-4 dp = - 8xdx - dp = 2xdx
+ 8. Misalkan u= du = dv = cos x, v = - sin x
Dimisalkan lagi
u=
du =
dv = sin x, v = cos x
2
9. Misalkan u = cos x du = - sin x dx
u diganti kembali dengan cos x menjadi = =
Sumber buku : 1. 2. 3.
Schaum’s Outlines Kalkulus, bab 31 dan bab 32 Kalkulus karya Drs. Koko Martono, M.Si, bab 6 Kalkulus dan Geometri Analitis karya Edwin J. Purcell, bab 8.4
Sumber 1. Purcell hal. 457, no. 15 2. Purcell hal. 457, no. 2 3. Kalkulus hal. 236, no. 12 4. Purcell hal. 457, no. 15 5. Kalkulus hal. 236, no. 24 6. Kalkulus hal. 230 7. Schaum hal. 183, no. 16 8. Soal dari catatan 9. Soal dari Ibu Lusia 10. Purcell hal. 457, no. 14
Soal
:
INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Terkadang kita merasa kesulitan dan bingung ketika menemukan integral yang bentuknya tak wajar dan tidak bisa diselesaikan dengan satu atau dua langkah penyelesaian. Untuk itulah, kita mempelajari berbagai macam substitusi untuk menemukan solusi dari masalah yang akan kita pecahkan. Suatu Integral yang terdiri dari salah satu bentuk
,
, atau
tetapi
bukan faktor irrasional lain, dapat diubah ke dalam bentuk lain yang menyangkut fungsi trigonometrik peubah baru sebagai berikut :
Untuk
Gunakan
Guna Memperoleh
u=
sin z
a
= a cos z
u=
tan z
a
= a sec z
u=
sec z
a
= a tan z
Untuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yang bersangkutan dalam peubah semula dapat diperoleh dari segitiga siku – siku seperti yang ditunjukkan dalam penyelesaian soal – soal dibawah ini. Latihan Soal Carilah penyelesaian dari integral sebagai berikut : 1. Ambil x = 2 tan z; maka dx = 2
dan
= 2 sec z
Penyelesaian :
=
=
= =
+C z
=-
+C
2
2. Ambil x = 2 sec z ; maka dx = 2 sec z tan z dan Penyelesaian : x
=
= z
= 2 sec z tan z + 2 ln | sec z + tan z | + C =
+ 2 ln | x +
2
|+C
3. Ambil x =
maka dx =
dan
Penyelesaian :
=
( 3
=3
2x
=3 z
= 3 ln | cosec z – cot z | + 3 cos z + C = 3 ln |
+
+C
4. Ambil x =
=
; maka dx =
dan
= 3 sec z
= 2x
=
ln | z
=
ln |
| + C
3
5. Ambil x =
; maka dx =
dz dan
=
= 4cos z
= 4
=
= z
=
+C
=
+C
Sumber : Kalkulus Edisi Kedua Frank Ayres, JR. J.C. Ault, M.Sc. Dra. Lea Prasetio, M.Sc.
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua polinomial ( suku banyak ). Pada umumnya fungsi rasional sangat sulit untuk diintegralkan. Akan tetapi, ada beberapa metode yang dalam teori dapat digunakan untuk menyelesaikan fungsi rasional sebagai jumlahan fungsi rasional sederhana yang dapat diintegralkan dengan metode dari pelajaran sebelumnya. Sebuah fungsi berbentuk
disebut fungsi rasiona dimana N (x) adalah pembilang dan D (x) adalah
penyebut Ada dua macam fungsi rasional yaitu sebagai berikut : 1.
Fungsi rasional sejati Yaitu dimana derajat pembilang < derajat penyebut. Contoh 1 :
3x
2. Fungsi rasional tidak sejati Dimana derajat pembilang > derajat penyebut. Dapat disederhanakan sebagai penjumlahan dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contoh 2 : = hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian oleh penyebut.
Kasus I : Metode Pecahan Parsial Dalam hal ini diasumsikan bahwa kita ingin mengevaluasi mengevaluasi
, dimana
Adalah fungsi rasional yang wajar. D(x) ditulis sebagai hasil kali faktor kuadrat linier dan faktor kuadrat iredusibel. Dalam hal ini yang dimaksud dengan iredusibel yaitu hasil akar-akar tersebut tidak boleh negatif dimana .
Contoh 3 :
adalah iredusibel karena
adalah
0-4(1)(4)= −16 ≤ 0 redusibel
karena
Metode ini menjabarkan fungsi rasional menjadi faktor linier atau pecahan parsial dan yang kemudian ditentukan nilai integral tak tentunya. Kasus I : D (x) mempunyai koefisien utama 1 dan merupakan hasil kali faktor-faktor linier yang berbeda. Contoh 4 : Hitunglah ∫ Integran ini dapat ditulis sebagai
Diasumsikan A dan B adalah konstanta tertentu dan untuk mendapatkan konstantakonstantakonstanta ini kedua sisi dapat kalikan (x-1)(x+2) untuk memperoleh 1= A(x+2) + B(x−1) Pertama, substitusikan -2 untuk x pada
1= A(0) + B(−3)= −3B. jadi B= −
Kedua, substitusikan x=1 dan menghasilkan 1= A(3) + B(0)= 3A. jadi A= Jadi,
∫
=
∫ =
ln │x-1│−
=
ln │
ln│x+2│ + C
│+ C
Aturan kasus I . menyatakan integran sebagai jumlah dari suku-suku berbentuk
untuk
setiap factor linier x-a dari penyebut, dimana A adalah konstanta yang tidak diketahui. Lalu selesaikan konstanta tersebut dan integrasi menghasilkan jumlah suku-suku berbentuk A ln │x-a│. Perhatian: kita mengasumsikan tanpa bukti bahwa integran selalu mempunyai representasi yang dikehendaki. Untuk soal khusus, dapat diperiksa pada akhir perhitungan. Kasus II : Faktor-faktor Linier
Untuk setiap faktor dalam bentuk fakor linier berulang ( x−r ) yang muncul penyebut, gunakan
k kali pada
sebagai bagian dari representasi integran.
Tiap faktor linier yang muncul hanya sekali ditangani seperti dalam kasus I. dengan
konstanta yang ditentukan.
Contoh 5 : Tentukan ∫ Integran ini dapat ditulis kembali sebagai
Meskipun
adalah faktor kuadrat , itu tidak irredusibel sebab
aturan faktor linier,
. Jadi, dengan
memperkenalkan memperkenalkan dua suku (sebab m=2) berbentuk
Dan faktor (x-2) memperkenalkan memperkenalkan satu suku (sebab m=1) berbentuk
Sehingga pecahan parsialnya adalah
Kalikan dengan
menghasilkan
Menentukan nilai A, B, dan C dengan memisalkan x=0 dan x=2 untuk memperoleh
B= −2 dan C= 2 Lalu samakan koefisien yang bersesuaian
yang memberikan A+C =0 karena tidak ada
. Dan A= −C= −2
nilai yang memiliki nilai untuk Sehingga menjadi
∫ = −2 ln │x│+ + 2 ln │x-2│ +C = 2 ln │
│+
+
C
Kasus III : D(x) adalah hasil kali satu atau lebih factor-faktor kuadrat iredusibel yang berbeda dan mungkin juga beberapa faktor linier(yang mungkin muncul lebih dari sekali). Contoh 6: (faktor kuadrat yang berbeda). Jabarkan menjadi pecahan pecahan parsial bentuk
= Untuk menentukan konstanta A, B, dan C kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan (4x+1)(
. sehingga kita memperoleh 1) +
(4x+1)
Apabila kita ambil ambil x= , x= 0 dan dan x=1 x=1 , kita mendapat mendapat +
( ) jadi A = 2
jadi C = −1 jadi B = 1
Maka
∫
= =
+
=
ln │4x+1│+
ln│
1│−
+
C
Aturan umum kasus III : faktor-faktor linier ditangani seperti pada kasus I-II. Untuk tiap
faktor kuadrat iredusibel
, tempatkan suku
pada representasi
integran. Kasus IV : D (x) adalah hasil kali nol atau lebih faktor linier dengan satu atau lebih factorfaktor kuadratik iredusibel.
Aturan umum kasus IV : faktor linier ditangani seperti kasus I-II. Untuk tiap factor
kuadrat iredusibel dari representasi integran.
yang muncul pada pangkat ke – k , sisipkan sebagai bagian
Contoh 7 : (Faktor (Faktor kuadrat kuadrat berulang). Tentukan ∫
dx
Penjabaran disini adalah
Kita akan memperoleh A=1, B =−1, C =3, D=−5, E=0. Sehingga ,
= ln │
ln │
│+
( )+
+C
Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam sin x dan cos x
Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasil kali, dan hasil bagi berhingga dari sin x dan cos x disebut fungsi-fungsi rasional dari sin x dan cos x . sebagai contoh :
Metode untuk mengintegralkan fungsi-fungsi seperti ini dapat dilakukan berdasarkan pada kesamaan trigonometri sin x = 2sin cos x = jika dimisalkan
)cos )
)
(1) )
(2)
u
1 Maka dari gambar di atas diperoleh sin
)=
dan cos
)=
(3)
substitusi ke dalam persamaan (1) dan (2) diperoleh sin x = 2
=
−
cos x =
(4) =
(5)
kombinasidari persamaan (3), (4), dan (5) mengakibatkan rumus-rumus substitusi berikut, yang seringkali efektif untuk pengintegralan fungsi-fungsi rasional sin x dan cos x.
u = tan
( −π
sin x =
dan cos x =
dx =
du
rumus terakhir didapat dari pendiferensiasian x = 2
terhadap u.
Contoh 8: Hitung
=
=
Catatan : Metode dari contoh di atas dapat menimbulkan dekomposisi pecahan parsial yang tidak praktis dan akibatnya hanya akan digunakan jika tidak didapatkan metode yang lebih sederhana.
Soal- soal Latihan ( Sumber : soal – soal Tutorial tahun 2007) 1.
∫
2.
∫
3.
∫
4.
∫
5.
∫
6.
(Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell) (Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell)
(Sumber 6-10: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1 )
7. 8. 9. 10. Penyelesaian Penyelesaian soal ! 1.
∫
= 6x+4 = A(
x=3 jadi 22= 11A maka A = 2 x=0 jadi 4= 2A+3C maka C=0 x=1 jadi 10=3A+2B+2C maka B= 2
∫
=
∫ = −2∫
misal u= 3-x = ln │u│+
∫ =∫ Jadi, ∫ 2.
∫ =
ln│3-x│+ misal u=
= ln│u│+
du= −dx
du= 2x dx
= ln│ ln│3-x│+ ln│
dengan metode pecahan parsial
+
C
4 x=1 jadi 6=0+2C maka C= 3
x=0 jadi 1=−B+C =−B+3 maka B=2 x=−1 jadi 4=(−A+B)(−2)=2A−2(2) maka A=4 ∫ =∫ Untuk ∫ Misal u=
du= 2x dx maka 2du=4x dx
=∫
= 2 ln │u│ + 2
= 2 ln│ = 2 ln │
Untuk ∫
=3 ln │x-1│+ 3 ln │x-1│+C
Jadi, ∫
3.
∫
=
x−11= A(x−1)+ B(x+4) untuk x=1 maka B= −2 untuk x=−4 maka A=3 maka,
∫
4.
ln │x+4│−2 ln │x−1│+ C
∫ 2= A(x+2)+ Bx Untuk x= 0 maka 2= A(2), A = 1
Untuk x=−2 maka 2=B(−2), B= −1
Jadi,
∫
∫
= ln │x│ − ln │x+2│+ C = ln│
5.
∫
│+C
=
5
=
x= jadi jadi =
C maka maka C = 1
x= 0 jadi 1= B+C maka B=0 x=1 jadi 8=3 (A+B)+2C maka A=2 Jadi,
∫
= = ln │
ln │2x+1│+C
6. Missal x= dx= 2z dz x=0,z=0 x=9,z=3 maka = =2 =2 =2 7.
∫ Misal x= dx=5
dz
menjadi, =∫ Misal 2zdz=du
=∫
Zdz= ln │
│+C=
ln │
│+C
8. x= dx=2z dz maka, = Diselesaikan dengan melakukan pembagian pembilang dengan penyebut Sehingga menjadi,
=∫ (−2z−4)dz + ln │1−z│) + C
=− =−
ln │1−z│) + C sesuai ketentuan subs. di atas
=−
ln │1−
│) + C
9. Misal =
,
=
x= ln ( dx= maka,
=∫ =
Untuk u=1 , 2=2A maka A=1
Untuk u=−1,2=−2B maka B= −1 Sehingga, =
= ln │u-1│− ln │u+1│+ C = ln
C
= ln
C
x=
du
10.
=−
=
=−
3 6u du =dv u du =
=− =− =
=−
C C C +C
INTEGRAL SUBSTITUSI LAIN Bila integran adalah rasional kecuali bentuk akar maka agar lebih mudah menyelesaikannya dapat digunakan beberapa substitusi yaitu; , substitusi au + b =
1.
n
z
akan menggantikan bentuk itu dengan integran
rasional. 2.
2 2 , substitusi q + pu + u = (z - u) akan menggantikannya dengan
integran rasional. 3.
2
2 2
2
2 2
, substitusi q + pu - u = (α + u) z atau q + pu - u = (β – u ) z akan menggantikannya dengan integran rasional.
b
4.
substitusi dengan menggantikan p=z
dimana b adalah kelipatan
persekutuan terkecil terkecil dari m dan n. Contoh Soal dan Penyelesaiannya Penyelesaiannya
= .....
1.
Penyelesaian : 2
Misalkan 1-x = z sehingga -dx=2z dz
=
Maka integralnya menjadi
= -ln
Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh
= - ln
+C
(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi ,halaman 267)
= .....
2.
Penyelesaian : 2
2
Misalkan x + 2 = z maka x = z -2; dx = 2z dz;
=
Maka integralnya menjadi
=
+C =
Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh
ln
(Sumber : Kalkulus edisi kedua ,Frank Ayres,dkk 1998,halaman 157)
3.
Penyelesaian : Misalkan
x=
= (z-x)
; dx =
2
=
;
+C
dz = 2
=
=
z=
ln
jadi hasilnya adalah
+c
(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi ,halaman 267)
4.
= ......
Uraikan
2 2
= (5+x)(1-x) dan substitusi
= (5+x) z
Sehingga diperoleh x =
dx = = 5 – 4
Sedang
2
(
= =
Jadi integralnya menjadi
+c
Hasilnya yaitu :
(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi ,halaman 267)
5.
= ....... 4
3
Ambilah z = x maka dx = 4z dz dan 2
dz = 4(1/2 z + z + ln =2
+c
+c
(Sumber : Kalkulus edisi kedua seribuku Schaum ,halaman 157).
IMPROPER INTEGRAL Dalam definisi ,
diasumsikan bahwa interval [a,b] terbatas.
disebut
improper integral jika : 1. Paling sedikit, satu dari batas integralnya tak berhingga. Seperti
,
,
. 2.
mengandung titik discontinue pada [a,b]. Kemudian kita mendefinisikan improper integral tersebut dengan cara sebagai berikut :
a.
=
b.
=
c.
+ =
+
Dari limit itu, kita bisa menarik kesimpulan, yaitu Jika limitnya ada, maka improper integral dikatakan konvergen dan nilai dari limit adalah nilai dari integral. Jika limitnya tidak ada maka improper integral dikatakan divergen yang mana tidak mempunyai nilai.
Jika
adalah adalah fungsi fungsi tidak negative negative dan continue continue pada [a,+
defi defini nitt inte integr gral al
meru merupa paka kan n daer daerah ah diba dibawa wah h kurv kurvaa y=
), maka untuk setiap setiap b>a, b>a, deng dengan an bata batass [a,b [a,b]]
y
x
Selain itu, disebut improper intregal jika 1.
diskontinue pada titik
=a
= 2.
diskontinue pada titik
=b
mengandung titik diskontinu pada [a,b].
= 3.
diskontinue pada titik
=
=c
(a,b)
+
=
+
LATIHAN SOAL Tentukan nilai improper integral dibawah ini: 1. Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489
Penyelesaian: =
Misal :
= = = sec
= = = =
2. Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489
Penyelesaian Penyelesaian : =
Misal :
=
=
= =0 3. Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490
Penyelesaian Penyelesaian : Misal :
= =
d
= = = =
+1
= =1 4. Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490
Penyelesaian Penyelesaian : = = = = = =
dx
FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA
1. Fungsi gamma Notasi : (n) Definisi : (n)
Yang mana konvergen untuk n > 0
=
Sifat-sifat fungsi gamma : a.
(n+1)
= n (n) misal :
Bukti : (n+1)
= =
+
=
+
=
+ n (n)
Padahal :
=
dan seterusnya seterusn ya
= = = 0 Terbukti bahwa :
(n+1) = n (n)
b.
(n+1)
(n)
=
= n!
( n adalah bilangan bulat positif)
Bukti: (1)
= = = = =1
Jadi (1) = 1 n=1(n+1) = n (n) (2)
= 1 (1) =1
n=2
(3)
= 2 (2) = 2.1
n=3
(4)
= 3 (3) = 3.2.1
n=4
(5)
= 4 (4) = 4.3.2.1
Terbukti bahwa: (n)
= (n-1)! atau
(n+1)
= n!
c.
2. Fungsi Beta Notasi : B(m,n) Definisi :
B (m,n) = Sifat-sifat fungsi beta : a. B(m,n) = B(n,m) Misal : x = 1-y x=0
y=1
B (m,n) = =
x=1
y=0
= = B(n,m) Terbukti bahwa :
B(m,n) = B(n,m) b.
B (m,n) = Misal
Bukti: B(m,n) = = X=0
=
X=1
Terbukti bahwa :
B (m,n) =
c. Bukti : Misal,
= =
Dengan cara yang sama diperoleh :
=
= =
Dengan koordinat polar maka:
=4 = 2 =
=
LATIHAN SOAL
1. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : =
Misal : = = =
= =
2. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : =
Missal
= = = = = =
Misal: =
3. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian: Misal:
= = =
4. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : = =
Misal:
= =
=
5. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : =
Missal
= = = 4! = 24
6. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : = = = = =
7. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : Misal :
= = = = = = 12
8. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : = = = = = = = =
9. Diketahui Dengan menggunakan menggunakan subtitusi x = y/(1-y), tunjukkan bahwa : (p) (1-p)
=
Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 291
, Kemudian carilah nilai Penyelesaian
! Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 292
Misal :
=
=
= = B(p, 1- p) = = Terbukti bahwa : (p) (1-p)
=
= =
= = = = =
=
10. Advanced Calculus, Calculus, Murray R Spiegel, hal 295
Penyelesaian Penyelesaian : = = = = = =
BARISAN TAK TERHINGGA Suatu barisan tak terhingga (s n) adalah fungsi di mana domainnya adalah himpinan bilangpositif (0,1,2,3,..,..); a n adalah nilai fungsi tersebut untuk bilangan bulat positif n yang diberikan. Barisan tak terhingga biasanya hanya dituliskan beberapa suku pertama dari barisannya saja, contohnya : 1. an = a1 , a2 , a3 , . . , an , . .; a n adalah bilangreal. 2.
adal adalah ah baris aris 1, , , , . . , , . .
3.
adalah baris , , ,
,..,
,..
Konvergensi barisan Barisan disebut konvergen ke L jika tidak ada , maka barisan divergen.
Jika
Suatu barisan juga disebut divergen jika limit li mit pada suku genap dan suku ganjiilnya tidak t idak sama. Contoh : 1. an = n+1 konvergen ke 2. an =
divergen
2
3. an = n
– n
4. an =
divergen
konvergen ke
Sifat-sifat dari barisan yang konvergen : Theorema :: Andaikan barisan an dan bn masing-masing konvergen ke L dan M serta c suatu konstanta, maka barisan : 1. (c an ) konvergen ke cL 2. an + bn konvergen ke L+M 3. an - bn konvergen ke L-M 4. an x an konvergen ke L x M 5. an ÷ an konvergen ke L ÷ M ; M ≠ 0
Kemonotonan barisan an disebut . . 1. 2. 3. 4.
Naik jika a1 < a2 < a3 < . . . < a n < . . Tidak turun jika a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ a n ≤ . . Turun jika a1 > a2 > a3 > . . . > a n > . . Tidak naik a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ a n ≥ . .
Untuk menentukan kemonotonan suatu barisan, digunakan uji beda dan uji rasio.
Uji Beda Naik jika an+1 - an > 0 Turun jika an+1 - an < 0 Tidak turun an+1 - an ≥ 0 Tidak naik an+1 - an ≤ 0
Uji Rasio
Naik jika
Turun jika
Tidak turun jika
Tidak naik jika
Deret tak terhingga
disebut suku-suku deret. Barisa Barisan n tak terhi terhing ngga ga dapat dapat diben dibentuk tuk dari dari juml jumlah ah parsia parsial( l(
nya seba sebagai gai beri berikut kut :
:
S adalah jumlah dari deret. Jika
konvergen ke S, maka
divergen, maka deret
disebut juga deret konvergen ke S. Bila
divergen, dan tak ada jumlahnya.
Deret Geometrik Deret geometrik merupakan penjumlahan suku-suku barisan
, disebut deret geometrik dengan
rasio r dan suku pertama a. jumlah parsial ke-n, Sn , dinyataka oleh . .
Untuk
jumlah
, oleh karena itu . Jika
, deret konvergen dengan
, deret tersebut divergen ke ∞.
Theorema deret tak terhingga: 1.
konvergen jika dan hanya jika
konvergen.
2.
konvergen jika
adalah deret konvergen.
3.
konvergen jika
adalah deret konvergen.
4.
atau
Deret Harmonik
Jumlah parsial deretnya adalah . .
tidak ada, maka deret tersebut divergen.
Melanjutkan dengan cara ini kita akan mendapatkan bila n>1. Ini menunjukkan bahwa tersebut divergen. Namun, jika dilihat,
dan
dan secara umum
, dan karena itu deret harmonik . Ini tidak membuktikan bahwa eret
harmonik adalah konvergen.
Latihan Soal 1. Untuk tiap barisan berikut, tulislah rumus suku ke-n dan tentukan limitnya (jika ada). Diasumsikan bahwa n= 1, 2, 3, 4, . . a. b. c. 2. Tunjukkan bahwa barisan
adalah konvergen.
3. Tentukan kekonvergenan deret 4. Tentukan jumlah dari deret 5. Evaluasilah
Jawaban: 1.
a.
b.
c.
2. Karena
maka barisan konvergen.
3.
Jadi,
.
Maka deret ini konvergen dan jumlahnya
adalah 1. 4.
, maka jumlah deret tersebut adalah
.
5. deret geometrik dengan
dan suku pertama
dan jumlahnya adalah
. .
(Sumber : Kalkulus Edisi Schaum halaman 245s.d 263)
.
, maka deret konvergen
UJI KONVERGENSI 1. Teorema dan sifat-sifat deret
Ada beberapa teorema dalam uji konvergensi, konvergensi, untuk mengetahui apakah suatu deret konvergen ataukah divergen. Teorema 1: Diketahui deretnya adalah a) Jika
dan suku ke-n adalah
, maka:
0 , maka deret tersebut sudah pasti divergen.
b) Jika
= 0 , maka deret ini bisa jadi divegen, bisa juga konvergen.
Ex: deret Jaw:
, tentukan apakah deret ini konvergen atau divergen! = = 0, pangkat pembilang < pangkat penyebut
Jadi deret ini bisa jadi konvergen, bisa jadi divergen. Untuk mengetahui lebih lanjut kekonvergensiannnya, kekonvergensiannnya, akan dicari pada uji konvergensi.
Teorema 2: Jika diketahui deret
konvergen, konvergen, suku ke-n adalah
, maka:
Teorema ini tidak berlakku kebalikannya. kebalikannya. Maksudnya, Maksudnya, Jika
=0 = 0 , deret ini
bisa jadi divegen, bisa juga konvergen. Seperti halnya teorema di atas (teorema 1). Ada beberapa sifat dari deret yang berhubungan dengan uji konvergensi. konvergensi. 1) Jika
dan
adalah deret-deret konvergen, maka:
a)
=
+
b)
=
-
2) Jika c
0 (c konstanta), dan deret
atau divergen dua-duanya, maka: =c
2. Uji-uji konvergensi
Uji integral
dan
adalah deret konvergen dua-duanya
Misal deret
adalah deret dengan suku-suku positif, dan misalkan f(x) fungsi
dimana k diganti dengan x dalam dalam formula interval interval [a, + ), maka
. Jika f(x) turun turun dan kontiniu pada
dan
keduany keduanyaa konvergen konvergen atau keduany keduanyaa
divergen.
Konvergensi Konvergensi deret-P Jika diketahui deret
=1+
+
+
+…..+ +…..
a) Konvergen jika p>1 b) Divergen jika p<1
Uji banding Misalkan a) Jika
dan
konvergen, maka deret
b) Jika deret
deret-deret dengan suku-suku non negative, dan divergen, maka
.
juga konvergen. juga divergen.
Uji Rasio Misal deret
adalah deret dengan suku-suku positif, dan anggap
= r.
a) Jika r<1, deret-deret tersebut t ersebut konvergen. b) Jika r>1 r>1 atau atau p=+ p=+ , deret-de deret-deret ret tersebu tersebutt divergen divergen.. c) Jika r=1, deret-deret mungkin konvergen ataupun divergen (tes gagal)
Uji Akar Misal deret
adalah deret dengan suku-suku positif, dan anggap
r. a) Jika r<1, deret-deret tersebut t ersebut konvergen. b) Jika r>1 r>1 atau atau p=+ p=+ , deret-de deret-deret ret tersebu tersebutt divergen divergen.. c) Jika r=1, deret-deret mungkin konvergen ataupun divergen (tes gagal)
Uji Banding Limit Misalkan dan
deret-deret dengan suku-suku non negative, dan anggap
= r. Jika Jika r>0 r>0 dan dan r +
atau atau inte interva rvall (0, (0,+ +
konvergen atau keduanya divergen.
Uji Rasio Konvergensi Mutlak:
), maka maka dere derett ter terse sebu butt ked kedua uany nyaa ada adala lah h
=
Misal deret
adalah deret dengan suku-suku bukan 0, dan anggap
=r. a) Jika r<1, deret-deret tersebut konvergen mutlak, jadi deret konvergen. b) Jika r>1 r>1 atau atau p=+ p=+ , deret-de deret-deret ret tersebu tersebutt divergen divergen.. c) Jika r=1, tidak dapat ditentukan apakah konvergensi atau konvergen mutlaknya.
Uji Deret Ganti Tanda = =
Kedua deret ganti diatas dikatakan konvergen jika memenuhi dua kondisi sebagai berikut: a) an>an+1 , deret decreasing atau dengan uji kemonotonan rasio, b)
<1
=0 Kedua syarat harus terpenuhi. Jika salah satu tidak terpenuhi, maka deret t ersebut divergen.
Ada hal lain yang harus diperhatikan, yaitu kemutlakan konvergen konvergen dari deret tersebut. Untuk mengetahui apakah deret tersebut konvergen mutlak atau bersyarat. Setelah melakukan uji deret ganti tanda, dilakukan Uji rasio konvergensi mutlak. Jika setelah melakukan uji rasio konvergensi konvergensi mutlak, maka: a) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi mutlak juga konvergen, deret tersebut konvergensi mutlak. b) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi mutlak divergen, deret tersebut konvergensi bersyarat. Contoh soal: 1. Tentukan kekonvergensian kekonvergensian dari deret-deret berikut! a. Dengan menggunakan uji perbandingan, maka: Pembanding adalah <
=
dengan
=
…
Dengan menggunakan menggunakan uji konvergensi ke-P, terlihat disini bahwa konvergen karena p=2 atau p > 1. Menurut uji perbandingan, jika konvergen, konvergen, maka Jadi dengan begitu deret di atas konvergen juga. b.
juga konvergen.
Pembanding adalah <
=
dengan
…
Karena p =
atau p<1, maka
Oleh karena itu
divergen.
juga divergen.
Maka deret di atas adalah divergen.
2. Tentukan kekonvergensian kekonvergensian dari deret-deret berikut! a. Dengan menggunakan uji akar, didapatkan: =
= =
r=
> 1, maka deret ini divergen
b. =
= =
r=
< 1, maka deret ini konvergen
3. Tentukan kekonvergensian kekonvergensian dari deret-deret berikut! a.
+
+
+…….. =
+
=
;
=
= = r=
b.
=
< 1, maka deret ini konvergen.
+
+
+
=
+……… = ;
=
= =
=
=
r=
>1, maka deret ini divergen
4. Tentukan kekonvergensian kekonvergensian mutlak dari deret-deret berikut! a) Dengan uji deret ganti tanda, maka:
= r=
;
=
=
=
<1
deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi.
=
= 0; syarat 2 terpenuhi
Deret ini konvergen, tapi untuk mengetahui mutlak atau t idak harus dilakukan uji perbandingan. Denga ngan
=
=
, den dengan gan
=
(
<
divergen, karena merupakan deret harmonis. Jadi
) juga divergen.
Karena dengan uji perbandingan mutlak didapatkan hasil divergen, jadi
deret tersebut adalah “konvergen bersyarat”. b) Dengan uji deret ganti tanda, maka:
= r=
;
=
=
=
<1
deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi
=
=
= Syarat 2 tak terpenuhi, jadi deret ini divergen.
DERET PANGKAT (DERET KUASA), INTERVAL, DAN JARI-JARI KONVERGENSI
Deret tak hingga Σ a n(x-c)n dan Σ anxn secara berurutan disebut sebagai deret pangkat dalam x sekitar c dan deret pangkat dalam x sekitar 0. deret tersebut bisa konvergen maupun divergen. Sebagai catatan, deret tersebut pasti konvergen bila x=c.
Terdapat 3 kasus yang mungkin untuk deret pangkat Σa n(x-c)n: (a) deret tersebut konvergen untuk semua x; atau (b) deret tersebut konvergen untuk semua x dalam interval terbuka (c-R1,c+R1) sekitar c,
tida tidak k di di luar luar inte interv rval al tert tertut utup up [c-R [c-R1, 1,c+ c+R1 R1]; ]; ata atau u
(c) deret tersebut hanya konvergen untuk x=c. Kasus-kasus Kasus-kasus di atas masing-masing mempunyai jari-jari dan interval sendiri-sendiri. (a) pada kasus (a), interval konvergensinya konvergensinya (-~,+~) dan jari-jarinya jari-jarin ya ~. (b) pada kasus (b), interval konvergensinya konvergensinya (c-R1,c+R1) dan jari-jarinya R1. (c) pada kasus (c), interval konvergensinya konvergensinya {c} dan jari-jarinya jari-jarin ya 0. Untuk mengetahui interval konvergensi, digunakan rumus sebagai berikut:
di mana Σak adalah deret deret pangkat yang ingin dicari dicari interval konvergensinya. konvergensinya. INTEGRASI DERET PANGKAT Rumus:
Interval konvergensi dari deret pangkat hasil integrasi adalah sama dengan interval konvergensi konvergensi deret asalnya.
DIFERENSIASI DERET PANGKAT
f’(n)=
untuk
Deret Taylor dan Deret MacLaurin A) Deret Taylor untuk f sekitar c sadalah deret pangkat 2 a0+a1(x-c)+a2(x-c) +… Di mana an=
untuk semua n.
B) Deret MacLaurin untuk f adalah deret Taylor untuk f sekitar 0, yaitu deret pangkat 2 a0+a1x+a2x +… Di mana an=
untuk semua n.
Beberapa deret MacLaurin yang penting: 1) 2) 3) Sin x = 4) Cos x = 5) Ln (1+x) = 6)
CONTOH SOAL 1) Cari interval konvergensi dari deret
!
Jawab:
Konvergen bila <1 -1<2x+2<1
Untuk x=-3/2, deret menjadi
=
yang merupakan deret
konvergen bersyarat. Untuk x=-1/2, deret menjadi dengan deret
yang divergen menurut perbandingan perbandingan limit
.
Jadi interval konvergensinya [-3/2, -1/2). 2) Cari radius konvergensi dari deret
!
Jawab: =
Konvergen bila -9
e =1+4x+
+…
=1+4x+ =
4) Tentukan Tentukan deret deret Taylor Taylor dari dari f(x)=sin f(x)=sin x di di sekitar sekitar x= ! Jawab: f(x)=sin x
f( )=0
f(x) f(x)= =cos cos x
f( )=-1 )=-1
f(x) f(x)= =-sin -sin x
f( )=0 )=0
f(x) f(x)= =-cos -cos x
f( )=1 )=1
sin (x- )=
5) Ekspansikan cos 4x ! Jawab: Berdasarkan deret Maclaurin cos 4x, maka:
+
+…
Cos 4x= 1Cos 4x=
FUNGSI DUA VARIABEL Definisi:
Fungsi didefinisikan sebagai dua pemadanan antara dua himpunan bilangan, yakni himpunan daerah asal (domain) dan himpunan daerah hasil (range) sedemikian sehingga untuk setiap pasangan terurut bilangan dalam domain ada padanannya satu dan hanya satu bilangan dalam range merupakan padanan. Contoh 1:
(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)
Jawab:
Fungsi ini terdefinisi untuk bilangan real sedemikian untuk semua pasangan terurut bilangan real (u,y) yang memenuhi Untuk (x,y) = (1,0)
f(1,0) =
Untuk (x,y) = (4,1)
f(4,1) =
=2 =
Contoh 2:
(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)
Jawab:
X
0 dan (1-y)
0 sehingga x
0 dan y
1
atau x
0 dan (1-y)
jadi Df : { (x,y) x
0 sehingga x 0 dan y
0 dan y 1 atau x
1 0 dan y
1}
LIMIT DUA VARIABEL Definisi:
Untuk variabel L|
bila 0
didefinisikan sebagai |x-c|
bila 0
|(x,y) - (a,b)|
,
sanga ngat terg tergaantu ntung dari ari bagai agaima mana na (x,y (x,y))
tergantung dari kurva (lintasan) menuju ke (a,b). limit dari semua lintasan atau kurva menuju (a,b) sama. Contoh Soal:
(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)
Jawab:
i). Linta Lintasa san n sumbu sumbu x (y=0, (y=0, x =
0)
=0
ii). Lintasan y = =
=
Nilai kedua limit tersebut tidak sama jadi limitnya tidak ada.
KONTINUITAS Definisi:
Suatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik (x 0, y0) jika:
2.
berlaku
.
Dala Dalam m peng pengh hitu itunga ngan
1.
berlaku |f(x) -
. Jadi untuk fungsi dua variabel didefinisikan oleh
|f(x,y) - L|
,
f (x0, y0) terdefinisi ada
atau tau
dikatakan ada bila nilai
3.
Teorema:
Jika g dan h adalah suatu fungsi variabel yang kontinu maka f(x,y) = g(x).h(y) adalah suatu fungsi kontinu dari x dan y. Contoh:
Fungsi f(x,y) = g(x)=
kontinu karena f(x,y) merupakan perkalian dua fungsi kontinu
dan h(x)=
TURUNAN PARSIAL Definisi:
Misalkan z = f(x,y) adalah fungsi dua variabel. Jika x bervariasi sementara y dipertahankan tetap, z menjadi fungsi dari x, maka turunannya terhadap x:
Disebut turunan parsial (pertama) dari f terhadap x dan dilambangkan dilambangkan dengan atau
. Demikian pula jika y bervariasi sementara x dipertahankan dipertahankan tetap.
Jadi
Contoh 1:
Tentukan turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari f(x,y) =
(Sumber: Buku Kalkulus Shaum’s Outlines hlm. 288) Jawab:
atau
Berdasarkan teori tersebut kita dapat mendapatkan hasil bahwa: 2
f x(x,y) = 2x sin y dan f y(x,y) = x cos y.
Turunan Parsial dari Orde yang Lebih Tinggi Kita dapat mengambil turunan parsial terhadap x dan y, dari = f xx xx (x,y) =
)
Demikian pula, dari
= f yy yy (x,y) =
dan
= f yx yx (x,y) =
, menghasilkan: menghasilkan:
)
kita memperoleh:
)
dan
= f yx yx (x,y) =
)
Contoh 2: 2
2
Tentukan turunan turunan parsial kedua kedua dari dari z = x + 3xy + y terhadap x saja! (Sumber: Buku Kalkulus Schaum’s Outlines hlm. 291 dengan perubahan se perlunya)
Jawab:
=2
ATURAN RANTAI
Misalnya z= f(x,y) dimana f diferensiabel, dan dimisalkan x = g(t) dan y = h(t), di mana g dan h adalah fungsi-fungsi diferensiabel dengan satu variabel. Maka z=f(g(t),h(t)) adalah fungsi diferensiabel dengan satu variabel, dan
Contoh 3: 2
Misalkan z = xy + sin x, dan misalkan x=t dan y = cos t. Jawab:
(Sumber: Buku Kalkulus Schaum’s Outlines hlm. 295 dengan perubahan seperlunya)
Catat bahwa
= y + cos x, dan
= x, selanjutnya selanjut nya 2
= 2t dan
= -sin t
2
Sekarang, sebagai sebagai fungsi dari t, z = t cos t + sin(t ) Berdasarkan rumus yang disebutkan sebelumnya,
REFERENSI
Buku Schaum’s Outlines Catatan Perkuliahan Kalkulus Semester 2 oleh Dra. Lusia Sugiyati
INTEGRAL RANGKAP 2 DAN VOLUME INTEGRAL RANGKAP 2
Perhatikan sebuah fungsi
yang kontinu pada daerah terbatas R dari bidang
xy. Definisikan partisi P dari R dengan menggambarkan satu kisi dari garis horizontal dan
vertikal yang membagi daerah R menjadi subdaerah R1, R2 ,…,Rn dengan luas masing-masing . Pada tiap subdaerah, Rk , pilih sebuah titik
dan bentuklah
penjumlahan
Definisikan diameter subdaerah sebagai sebagai jarak terbesar antara sebarang dua titik di dalam atau pada batasnya dan lambangkan diameter maksimum dari subdaerah tersebut dengan d P . Andaikan bahwa kita memilih partisi sedemikian rupa sehingga
dan
(Dengan kata lainnya kita membuat lebih banyak subdaerah dan membuat dimeternya semakin kecil). Maka Integral Rangkap dari
atas R didefinisikan sebagai
Yang menyatakan bahwa untuk sebarang sebarang
adalah suatu bilangan sedemikian rupa sehingga
terdapat bilangan bulat positif n0 sedemikian rupa sehingga, untuk dan sebarang partisi dengan
yang bersesuaian
, dan sebarang aproksimasi jumlah
kita mempunyai
Teorema / Sifat-Sifat Integral Rangkap 2 1. 2. 3.
4.
Contoh Soal dan Penyelesaian Penyelesaian : (1)
(Schaum’s Outlines 339) Jawab :
Kalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson hal.
(2)
(Schaum’s Outlines 339)
Kalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson hal.
Jawab :
VOLUME INTEGRAL RANGKAP 2
Bila
adalah nonnegatif pada daerah R, dapat diinterpretasikan sebagai volume.
Jika sebarang suku
menyatakan volume suatu kolom vertikal yang alasnya
adalah luas
dan tingginya adalah jarak
yang dipilih
ke permukaan
yang diukur vertikal dari titik . Kemudian , ini dapat dianggap sebagai
aproksimasi volume kolom vertikal yang alas bawahnya adalah subdaerah Rk dan alas atasnya adalah proyeksi Rk pada permukaan.
Yang berarti bahwa integral rangkap 2 tersebut merupakan volume benda ruang yang dibatasi oleh daerah R pada bagian alas dan permukaan
pada bagian alas atasnya.
Contoh Soal dan Penyelesaian Penyelesaian : adalah nonnegatif dan kontinu di atas daerah R dari bidang xy
(3) Misalkan
yang batasnya terdiri dari busur dua kurva
dan
yang
berpotongan pada titik-titik K dan L. Tentukan rumus untuk volume V dibawah permukaan
!
Jawab : Misalkan bagian volume tersebut dipotong oleh bidang , bertemu dengan batas R di titik-titik misalkan juga bertemu dengan permukaan
dan
dimana dan
pada busur UV sepanjang
. Luas dari bagian STUV terebut diberikan oleh
Jadi, luas bagian irisan melintang dari volume yang dipotong oleh bidang-bidang yang paralel dengan bidang yz diketahui sebagai fungsi
dari x,
dimana x adalah jarak bidang pembagi dari titik ti tik asal. Sehingga
(4) Tentukan volume yang dibatasi oleh silinder dan
dan bidang-bidang
!
Jawab : dimana diintegrasikan atas lingkaran bidang xy. Jika,
pada
Maka,
