KALKULUS 2 (Part (Part 1) Supama; Indrati, Ch. Rini; Salmah; Surodjo, Budi; Tari, M.; Zullijanto, Atok. 2003. Kalkulus II. Yogyakarta: FMIPA UGM.
KALKULUS 2 (Part 1)
INTEGRAL TAK TENTU PENGUNAAN INTERGRAL
KALKULUS 2 INTEGRAL TAK TENTU
INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu atau antiderivatif
adalah operasi kebalikan mencari fungsi derivatif. Jika fungsi derivatif biasanya ditulis: dF ( x) = f ( x) dx Maka fungsi integral ditulis sebagai:
∫ f ( x)dx = F ( x)
INTEGRAL TAK TENTU CONTOH 1: a.
∫
e dx = e x
x
+
5; karena
d (e x
b.
∫ u du =
5)
dx
1
2
+
=
ex
u
2
3
d ( u ) 1 3 u ; karena 3 3 du
=
d (− x cos x + sin x) c. x sin xdx = − x cos x + sin x; karena = x sin x dx
∫
INTEGRAL TAK TENTU Apabila diketahui ∫f(x)dx = F(x) maka dapat ditulis pula ∫f(x)dx = F(x)+C, dengan C sembarang konstanta real, sebab: d ( F ( x ) + C ) dx
=
d ( F ( x )) dx
+
dC dx
=
d ( F ( x)) dx
+ 0 = f ( x)
INTEGRAL TAK TENTU CONTOH 2: a. ∫cos x dx = sin x + C b. ∫ex dx = ex + C c. ∫x sin x dx = -x cos x + sin x + C
INTEGRAL TAK TENTU SIFAT 1: jika f dan g masing-masing terintegral pada [a,b] dan k Є R maka f + g dan kf keduanya terintegral pada [a,b] dan: a. ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx b. ∫k f(x) dx = k ∫f(x) dx
INTEGRAL TAK TENTU Dari hasil studi tentang derivatif, beberapa fungsi integral mudah ditemukan fungsi dasarnya, yaitu: 1. ∫ dx = x + C 1 2. n n+ 1 x dx = x + C ; untuk _ x ≠ − 1 n+ 1 dx = ln | x | + C x
∫ ∫
INTEGRAL TAK TENTU 3. 4. 5. 6. 7. 8.
∫sin x dx = -cos x +C ∫cos x dx = sin x + C ∫sec2 x dx = tan x + C ∫cosec2 x dx = -cotan x +C ∫sec x tan x dx = sec x + C ∫cosec x cotan x dx = -cosec x + C
INTEGRAL TAK TENTU x
9.
x
a
x
x
∫ a dx = ln a + C ; a > 0; a ≠ 1 ∫ e dx = e + C arctan x + C = 2 ∫ 1 + x − arctan x + C dx
10.
INTEGRAL TAK TENTU 11.
12.
∫ ∫ x
dx 1 − x
2
arcsin x + C = − arccos x + C
arc sec x + C = − arccos ecx + C 2 x − 1 dx
INTEGRAL TAK TENTU 13. 14.
∫sinh x dx = cosh x+ C ∫cosh x dx = sinh x + C
INTEGRAL TAK TENTU CONTOH 3: a.
b.
∫
2 x 2 − 3 x + 5 x − 10 3
x
∫u(√u+1)2 du
dx
INTEGRAL TAK TENTU SOAL-SOAL 1: tentukan ∫f(x) dx jika: 1. f(x) = 3x2 – 2x + 10 2. f(x) = (√x + 2x) 2 3. f(x) = e2 – 2x + 1 4. f(x) = 2x + sec x tan x 5. f(x) = sin x sec 2 x + 3 sec3 x + 1 6. f(x) = √2x + 2 x – 5 7. f(x) = cos2 x
TEKNIK PENGINTEGRALAN
METODE SUBTITUSI METODE INTEGRAL PARSIAL METODE INTEGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL METODE INTEGRAL FUNGSI IRASIONAL METODE INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
METODE SUBTITUSI Diberikan fungsi f terdefinisikan pada [a,b] dan fungsi g:[α,β][a,b] mempunyai invers g-1. Jika g dan g-1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu masing-masing pada interval [α,β] dan [a,b] serta f kontinu maka: ∫f(x) dx = ∫f(g(t))g’(t) dt.
METODE SUBTITUSI CONTOH 4: 1. ∫cox ax dx 2. ∫(2x-7)7 dx 3. ∫21-3u du 4.
dx
∫ x ln x
5.
6.
∫(2+5x)4 dx
∫ x
dx x
2
−
a
2
METODE SUBTITUSI Dengan cara yang sama dengan contoh 4 no. 6 dapat diperoleh rumus-rumus berikut: 1.
∫
dx a
2
− x
2
arcsin x + C a = x − arccos + C a
METODE SUBTITUSI 2.
3.
∫ a
∫ x
dx 2
+ x 2
1 arctan x + C a a = 1 x − arc cot + C a a
dx x 2 − a 2
= −
1
a 1 a
arc sec
x a
arccos ec
+
C
x
+
a
C
METODE SUBTITUSI CONTOH 5: a. Tentukan ∫ tan x dx b. Tentukan ∫ sec x dx
METODE SUBTITUSI Dengan cara yang sama dengan CONTOH 5 akan didapatkan rumus-rumus berikut: 1. ∫ tan x dx = ln |sec x| + C 2. ∫ cotan x dx = ln |sin x| + C 3. ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C 4. ∫ cosec x dx = ln |cosec x – cotan x| + C
METODE SUBTITUSI SOAL-SOAL 2: Tentukan ∫ f(x) dx jika diketahui: 1. f(x) = x3 √(x2+1) 2. f(x) = esin xcos x 3. f(x) = √(5-2x) 4. f(x) = x√(4+x) 5. f(x) = √x√(4+x√x) 6. f(x) = sin 2x cos x
INTEGRAL PARSIAL TEOREMA 1: jika U dan V adalah dua fungsi yang didefinisikan pada selang yang sama dan mempunyai derivatif yang kontinu, maka: ∫ U dV = UV - ∫V dU
INTEGRAL PARSIAL CONTOH 6: a. Selesaikan ∫ ln x dx b. Tentukan ∫ s2e-s ds c. Tentukan ∫ e2zsin z dz
INTEGRAL PARSIAL SOAL-SOAL 3: selesaikan integral tak tentu berikut 1. ∫ (x+1)2 e3x dx 2. ∫ e-x cos 3x dx 3. ∫ u arc sin u du 4. ∫ x3 cos 4x dx 5. ∫ cos (ln x) dx 6. ∫ x3 ln x dx
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL Integral fungsi pecah rasional dapat diformulasikan sebagai: P ( x)
S ( x)
∫ Q( x) dx = ∫ H ( x)dx + ∫ Q( x) dx i.
Akar-akar Q(x) = 0 semua real dan berbeda: P ( x) A1 A2 An ∫ Q( x) dx = ∫ x − x1 dx + ∫ x − x2 dx + ... + ∫ x − xn dx
INTRGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL CONTOH 7:Selesaikan Integral berikut 3 1 x − 1. f ( x ) = 2 x − x − 6 u+ 2 2. f ( x ) = 2 u (u + 2u − 8) x 3. f ( x ) = 2 x − 2 x − 4
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL ii.
Akar-akar Q(x) = 0 semua real dan ada yang sama: P ( x) Q ( x)
=
A1 x − x1
+
A2
Ar
+ ... +
( x − x1 ) ∫ ( x − x1 ) ( x + 1)( x − 1) 2
dx
CONTOH 8: tentukan
2
r
+
Ar + 1 x − xr + 1
dx
∫ ( x + 1)( x − 1)
2
+ ... +
An x − xn
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL iii.
Q(x) = 0 mempunyai akar-akar tidak real yang berbeda: P ( x) Q ( x)
=
A1 x + B1
( x − a )
2
+
b
2
+
A3 x − x3
CONTOH 9: Selesaikan
+ ... +
An x − xn
xdx
∫ x
3
+1
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL Rumus dasar integral yang akan sering dipakai dimateri selanjutnya: dx
∫ (1 + x )
2 n
=
x
1
2 n− 1
2n 2 − 2 (1 + x )
+
2n − 3
2n − 1 ∫ (1 + x )
CONTOH 10: selesaikan du 2 2 (1 + u )
∫
dx
2 n− 1
,n ≠ 1
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL iv.
P ( x) Q( x)
=
Akar-akar tidak real dari Q(x) = 0 ada yang sama A1 x + B1
( x − a) + b 2
2
+
A2 x + B2
{( x − a)
2
+b
}
2 2
Ar x + Br
+ ... +
{( x − a)
2
+b
}
2 r
+
CONTOH 11: tentukan
∫
− 2 x + 5 x − 1 dx 2 2 ( x − 2)( x + 1)
3 x
3
2
A2r + 1 x − x1
+ ... +
An x − xn
INTERGRAL FUNGSI PECAH RASIONAL KASUS DERAJAT P(x) ≥ DERAJAT Q(x): CONTOH 12:
x
4
3
+
∫ x
dx 1
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL 1.
SATU-SATUNYA BENTUK IRASIONAL √(ax2+bx+c) digunakan subtitusi: jika a > 0; √(ax2+bx+c) = x√a + y c≥0 √(ax2+bx+c) = xy + √c
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL CONTOH 13: selesaikan
∫ ( x − 2)
dx x
2
−
4 x + 1
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL 2.
SATU-SATUNYA BENTUK IRASIONAL x
+
a
x
+
b
diselesaikan dengan subtitusi:
y =
x + a x + b
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL CONTOH 14: tentukan
∫
x + 4 x + 1
dx
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL INTEGRAND HANYA MEMUAT BENTUK IRASIONAL SATU SUKU n diselesaikan dengan subtitusi y = x dengan n adalah kelipatan persekutusn terkecil dari pangkatpangkat akar. CONTOH 15: selesaikan 3 6 3.
∫ (
3 x + 2 x
x +
3
x − 2)
2
dx
INTEGRASI FUNGSI IRASIONAL SOAL-SOAL 4: tentukan ∫ f(x) dx jika: 1. f ( x) = 2. f ( x) = 3. f ( x) = 4. f ( x) =
2 x + 1
x
3
− 3 x + 2
4 x − 2
1
x 4 − 16 5 x
2
−
6 x
x 2 − 2 x − 3 2 x + 1 x 3 1
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI A.
BENTUK-BENTUK INTEGRASI ∫sin(nx) cos(mx)dx, ∫sin(nx) sin(mx)dx DAN ∫cos(nx) cox(mx) dx Berikut rumus identitas yang digunakan untuk menyelesaikan bentuk integral seperti di atas
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI cos a cos b = ½{cos(a+b)+cos(ab)} sin a sin b = ½{cos(a-b)-cos(a+b)} sin a cos b = ½{sin(a+b)+sin(a-b)} CONTOH 16: 1. ∫ sin 3x cos x dx 2. ∫ cos2 4x dx 3. ∫ sin 2x sin 5x dx
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI B.
BENTUK ∫f(cos x) sin x dx atau ∫f(sin x) cos x dx, DENGAN f PECAH RASIONAL integrand dapat diubah ke dalam bentuk pecah rasional biasa dengan subtitusi t = sin x atau t = cos x.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 17: carilah
cos x
∫ 1 + sin x
a.
dx
2 cos x sin x
∫ 1 + cos x c.∫ (sin x + 1) cos xdx
b.
2
dx
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI C.
BENTUK ∫sinn x dx, ∫cosn x dx, ∫tann x dx, ∫cotn x dx, ∫secn x dx, ∫cosecn x dx DAN ∫sinn x cosm x dx bentuk-bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan rumus berikut, yang didapat dengan rumus deduksi dan integral parsial.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫
n− 1
1. s i n xdx= −
∫
n
+
n
n
n− 1
2. c o s xdx=
∫
s i n x c o s x n − 1
n
c o s x s i n x n − 1
+
n
n
n+ 1
3. s i n x c o s xdx= n
m
∫ s i n
∫ c o s
n−
m− 1
s i n x c o s x n+ m
n−
+
2
2
m−
xdx, n ≥
xdx, n ≥
1
∫ n+ m
1 1 m−
s i n x c o s d x, n ≠ − 1 n
2
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
∫
4. tan xdx =
∫
n
5. cot xdx =
∫
n
6. sec xdx =
∫
n
7. csc xdx = n
tan
n− 1
x
n− 1
−
−
cot n − 1 x
n− 1
∫ tan −
∫ cot
sec n − 2 x tan x
n− 1
−
csc
n− 2
+
x cot x
n− 1
n− 2
xdx, n > 1
n− 2
xdx, n > 1
n− 2
∫ n− 1
+
n− 2 n− 1
sec n − 2 xdx, n > 1
∫
csc n − 2 xdx, n > 1
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 18: a. ∫sin2 3x dx b. ∫tan5 x dx c. ∫cosec4 (2x+3)dx
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI D.
SUBTITUSI y = tan ½x Jika y = ½x, maka x = 2 arc tan y, maka: i.dx = 2 dy 1 + y 2
1
2 y
1
ii. sin x = 2 sin( x ) cos( x ) = 2 2 1 + y 2 1
1
1 − y 2
iii. cos x = cos 2 ( x ) − sin( x ) = 2 2 1 + y 2 iv. tan x =
2 y 2
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 19:
dx
∫ 1 + sin x + cos x
a.
dx
∫ 1 + sin x
b.
dx
∫ 1 + tan x
c.
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI 1.
2.
3.
Jika integrand memuat bentuk irasional √(a2 -x2), maka digunakan subtitusi: x= a sin y atau x= a cos y Jika integrand memuat bentuk irasional √(a2 +x2), maka digunakan subtitusi: x= a tan y atau x= a cot y Jika integrand memuat bentuk irasional √(x2 - a2), maka digunakan subtitusi: x= a sec y atau x= a csc y
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 20: dx 1. 2 ( x − 2) − x + 4 x − 3
∫
∫
2.
∫
3.
x +
x
x a
2
2
2
+1
+1
− x
2
dx
dx
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-SOAL 5: 1. ∫ cosec (3πx) dx 2. ∫ √(cos x) sin x dx 3. ∫ cos9 x sin3 x dx 4. ∫ sin6 x cos3 x dx 5. ∫ cos 10x sin 6x dx 6. ∫ sin5 x dx 7. ∫ cos5 x dx
KALKULUS 2 PENGGUNAAN INTEGRAL
LUAS AREA DATAR Luas area datar di bawah kurva f(x), di atas sumbu x, dibatasi garis x =a dan x = b adalah: b
A = lim S ( P , f ) = | P |→ 0
∫ f ( x)dx a
LUAS AREA DATAR Luas area antara 2 kurva seperti gambar 1 adalah: A = A1 – A2
y=g(x)
A1
y=f(x)
Gambar 1
b
a
a
= ∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx
A2 a
b
b
A1: luas wilayah dibawah y=g(x) A2: luas wilayah dibawah y=f(x)
b
= ∫ [ g ( x) − f ( x)]dx
LUAS AREA DATAR b
a
Untuk menghitung luas area di bawah sumbu x, di atas y=f(x) antara x=a dan x=b adalah:
y=f(x)
b
A =
− ∫ f ( x)dx a
Gambar 2
LUAS AREA DATAR CONTOH 21: dib atasi 1. Hitung luas area datar yang dibatasi kurva y=x2 dan sumbu x dari x=-1 sampai dengan x=3. 2. Hitung luas area datatr yang dibatasi kurva y=x3 dan sumbu x dari x=-4 sampai x=3. 3. Carilah luas area datar yang dibatasi y=x2+2 dan y=x antara x=0 sampai dengan x=1.
LUAS AREA DATAR LUAS AREA DATAR DALAM SISTEM KOORDINAT KUTUB: A = lim
| P |→ 0
n
∑
i= 1
1 2
β
*
2
[ f (θ i )]
∆ iθ =
1
1
β
∫ 2 [ f (θ )] d θ = 2 ∫ r d θ
α
2
2
α
LUAS AREA DATAR Luas D adalah:
θ=β
A =
r=g(θ) D r=f(θ)
Gambar 3
θ=α
1
β
∫
2 α
{[ g (θ )]2 − [ f (θ )]2 }d θ
LUAS AREA DATAR CONTOH 22: 1. Tentukan luas area yang berada di dalam kurva r=2 cos 3θ, θЄ[0,2π]. 2. Tentukan luas area datar di dalam lingkaran r=3 cos θ dan di luar kardioda r=1+cos θ. 3. Tentukan luas area di dalam kurva r=3 cos θ dan di dalam kurva r=1+cos θ.
LUAS AREA DATAR SOAL-SOAL 7: tentukan luas area datar 1. Di dalam r = 3 sin 4θ 2. Di dalam r = 4 sin θ 3. Di dalam r = 2 cos 3θ 4. Di dalam r2 = 3 cos 2θ 5. Di dalam r = sin θ dan di luar r=1 6. Di dalam r = sin θ dan di luar r=1-cos θ 7. Di dalam r = cos θ dan di luar r=1-cos θ
VOLUME BENDA PUTAR CARA CAKRAM Volume benda putar dari fungsi f(x) dari x=a sampai x=b yang diputar terhadap sumbu x adalah: b
V ox
=
∫
b
∫
π [ f ( x )] dx = π y dx a
2
a
2
VOLUME BENDA PUTAR Volume benda putar dari fungsi g(y) dari y=c sampai y=d yang diputar terhadap sumbu y adalah: d
V oy
=
∫
2
π [ g ( y )] dy c
VOLUME BENDA PUTAR Volume benda putar dari luas bidang D yang diputar terhadap sumbu x adalah:
y=f 2(x) D
b
V ox
y=f 1(x) a
∫
π {[ f 2 ( x)] a
b Gambar 4
=
2
− [ f 1 ( x)] }dx 2
VOLUME BENDA PUTAR CONTOH 23: a. Tentukan colume benda putar yang terjadi jika daerah yang berada di bawah kurva y=√x dan di atas sumbu x dari x=0 sampai x=4 diputas sekeliling sumbu x. b. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerak di kuadran 1 yang berada di bawah garis y=2 di atas kurva y=√x diputar sekeliling sumbu y.
VOLUME BENDA PUTAR CARA KULIT TABUNG:
b
V oy
=
∫
2π xf ( x ) dx
a CONTOH 24: a. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang berada di bawah kurva y=√x dan di atas sumbu x dari x=0 sampai x=4 diputar sekeliling sumbu y.
VOLUME BENDA PUTAR VOLUME BENDA PUTAR DALAM SISTEM KOORDINAT KUTUB
V ox
=
2 3
β
∫
π r 3 sin ϕ d ϕ α
CONTOH 25: diketahui G daerah di dalam cardioda r=1+cos θ dari θ=0 sampai θ=π/2. Hitung volume benda putar jika G diputar sekeliling sumbu x dan sumbu y.
VOLUME BENDA PUTAR SOAL-SOAL 8: 1. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah di bawah kurva y=4-x2 dan di atas sumbu x sekeliling sumbu x. 2. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika area yang dibatasi y=e x, sumbu x dan garis x=1 diputar sekeliling sumbu x
PANJANG BUSUR b
s =
∫ a d
s =
∫ c
β
s =
∫ α
2
dy 1+ dx
dx
2
dx 1 + dy 2
dx dt
dy 2
dy + dt
dt
PANJANG BUSUR PANJANG BUSUR DALAM KOORDINAT KUTUB β
s =
∫ α
2
dr + d θ
2
r d θ
PANJANG BUSUR CONTOH 26: a. Tentukan panjang busur parabola y=x2-4 di antara ttitik (-1,-3) dan (3,5). b. Tentukan panjang busur cardioda r=1+cos θ; 0≤θ≤2π. c. Tentukan panjang busur astroida x2/3+y2/3=a2/3 dengan a≥0
PANJANG BUSUR SOAL-SOAL 9: Tentukan panjang kurva berikut! 1. y=e-x dari x=0 sampai x=1 2. y=e-x dari x=0 sampai x=∞ 3. x=1/4y2 dari x=0 samapai x=1 4. r=3 sin 4θ 5. r=2 cos 3θ 6. r=1-cos θ 7. r2=3 cos 2θ
