Intervalos y Entorno

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Escuela Técnica "Remedios E. de San Martín" Prof. Sergio Saravia

TEMA 1: INTERVALOS. ENTORNO. PUNTO DE ACUMULACIÓN. ACTIVIDADES DE REPASO

Hallar , analítica y gráficamente, los puntos de intersección en los siguientes sistemas de ecuaciones: 1.

Y= 2X + 1

2.-

Y= - X2 - X + 5

4.-

Y= 3 X + 1 Y= - X2 + 2 x + 7

3.-

Y= - X2 + 4 X +8 Y= X2 - 2 X

Y= 4 X2 + 5 X - 7 Y= - 6 X2 - 2 X + 5

APLICACIONES Una librería mayorista ha comprobado que la ganancia (en miles de pesos) por " X cientos" de cajas de lápices está dada por la función I(X ) = - X2 + 7X -8, y la ganancia (también en miles de pesos) por "X cientos" de cajas de cuadernos viene dada por C(X) = 2 x -4 1.- Plantear analítica y gráficamente la situación. s ituación. 2.-Calcular: el número de cajas de ambos útiles para el cual se obtiene la misma ganancia; ¡cuándo comienza a dar pérdidas la venta de lápices?; ¡ y la de los cuadernos?

INTERVALOS Y ENTORNO Intervalo Cerrado [a ; b] es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los números comprendidos entre a y b, siendo s iendo a  b. En símbolos:

a;b  x / x  R  a  x  b Se representa en la recta real así:

a

b

Intervalo Abierto (a ; b)

a; b   x / x  R  a  x  b

a

b

Intervalo Semiabierto a izquierda o Semicerrado a derecha]a ; b]

a;b  x / x  R  a  x  b

a

b

Intervalo Semicerrado a izquierda o Semiabierto a derecha [a ; b[

a;b  x / x  R  a  x  b Análisis Matemático - Profesor Sergio Saravia

a

b 1



TEMA 1: INTERVALOS. ENTORNO. PUNTO DE ACUMULACIÓN.

Podemos definir además otros subconjuntos de R, considerando las semirrectas:

a;   x / x  R  x  a a;   x / x  R  x  a

a

 ; a  x / x  R  x  a

a

 ; a  x / x  R  x  a

a

a

Recordemos que los símbolos   y   se utilizan por conveniencia de notación, no son números reales.

Entorno (a ; h) Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número positivo, llamamos entorno de centro a y radio o amplitud h al intervalo abierto a  h; a  h . En símbolos: (a ; h) = x / x  R  a  h  x  a  h , o bien (a ; h) = x / x  R  x  a  h

h a-h

Entorno Reducido

'(a

h a

; h) de centro

a+h

a y radio h es el conjunto de puntos del

intervalo abierto a  h; a  h , del cual se excluye el punto a. En símbolos:

'(a ; h) = (a ; h) - {a} '(a ; h) = x / x  R  0  h a-h

x  a  h

h a

a+h

Observemos que la condición 0  x  a equivale a decir que x  a, ya que

x  a  0  x  a. Podemos considerar al entorno reducido como la unión de dos intervalos abiertos:

 a  h ;a    a ;a  h 

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TEMA 1: INTERVALOS. ENTORNO. PUNTO DE ACUMULACIÓN. COTAS Y EXTREMOS DE UN CONJUNTO

Cota Superior: k es una cota superior de un conjunto C si y sólo si x : x  C  x  k  Se dice que C está acotado superiormente.

Extremo superior o Supremo: es la mínima cota superior. Máximo: Un conjunto C posee máximo si tiene supremo y éste pertenece al mismo. Ejemplo: A =

   ; 5 y B =    ; 5 están acotados superiormente. Para ambos el

supremo es 5. Pero A tiene máximo, pues 5  A, mientras que B no posee máximo, ya que 5  B. Análogas definiciones se establecen para cota inferior, ínfimo (o extremo inferior) y

mínimo de un conjunto. Diremos que un conjunto C es acotado, si está acotado superior e inferiormente.

PUNTO DE ACUMULACIÓN a es un punto de acumulación de C  '(a) :


'(a)  C  

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TEMA 1: INTERVALOS. ENTORNO. PUNTO DE ACUMULACIÓN.

1) Escribe como intervalo y, si es posible, como entorno los siguientes conjuntos. Represéntalos en la recta real.

a) A = {x/x  lR  –1  x} b) B = {x/x  lR  –2 < x  4} c) C = x / x  R  3  x  1   1 d) E = {x/x  lR  x < 3} – {0} e) F = {x/x  lR  x  2} f) H = x / x  R  4x  2  6 g) J = x / x  R  0  21  3x  9 h) L = {x/x  lR  3x + 2 > 11}

2) Expresa como intervalo los siguientes entornos. Represéntalos. a) (-3;3)

b) '(1/2;2)

c) (1/3 ; 4/3)

d) '(2;5/2)

3) Halla el conjunto de los puntos de acumulación de los siguientes conjuntos. (Notación:

A’ es

el conjunto de los puntos de acumulación de A)

a) A = ]-1 ; 4[

e) E = x / x  Z  x  2  5

b) B = [1 ; 3]

f ) G = x / x  R  x  2  5

c) C = [-2 ; 2[

g) H = x / x 

d) D = '(-1;3)

2n    n  N h) I = x / x  2n  1  

 

1   n  N 3n 

4) Para cada uno de los siguientes conjuntos indica, si existen, máximo, supremo, mínimo y/o ínfimo. (Notación: Max(A); Sup(A); Mín(A); Inf(A) )

a) [-3 ; 4]

b) ]2 ; 5[

d) [5 ; [

e) ]-  ; 2[


c) ]–4 ;3]

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