INTERVALOS DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA MEDIA 1. En la secre secretar taría ía de tercer tercer ciclo de cierta cierta univers universid idad ad se ha compr comproba obado do que que la nota nota media media de licenciatura de los candidatos para la admisión a un master en Administración de Empresas sigue una distribución normal normal con una desviación típica de 0.45. Se toma una muestra aleatoria de 25 solicitudes solicitudes correspondientes al presente ao ! se obtiene una media muestral de las cali"icaciones medias igual a 2.1. a# $alcular e interpretar un intervalo de con"ian%a del &5' para estimar la cali"icación promedio de todos los aspirantes. b# A partir de los resultados muestrales( un estadístico calcula para la media poblacional un intervalo de con"ian%a que va de 1.)& a 2.*1. $alcular el contenido probabilístico probabilístico asociado a dicho intervalo. 2. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada determinada "+brica "+brica sigue una distribución distribución normal con una desviación típica de *(5) ,ilos. En el día de ho! se e-trae una muestra aleatoria de treinta ! seis ladrillos cu!o peso medio es de (0/ ,ilos. a# $alcular e interpretar interpretar un intervalo intervalo de con"ian%a con"ian%a del &&' para estimar el peso medio de los ladrillos producidos ho!. c# Se decide que maana se tomar+ una muestra de 20 ladrillos. eterminar si un intervalo de con"ian%a del &&' para estimar el peso medio de los ladrillos producidos maana tendría ma!or( ma!or( menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a#. *. n director de producción sabe que la cantidad de impure%as contenida en los envases de cierta sustancia química sigue una distribución normal con una desviación típica de *.S gramos. Se e-trae muestra aleatoria de de nueve envases cu!os contenidos contenidos de impure%as impure%as son los siguientes3 15(& 1)(2 1( 1*(/ 12(* 1/(4 1(2 1)() 21() $alcular e interpretar interpretar un intervalo de con"ian%a del &0' para estimar el peso medio medio de todas las latas de impure%as. 4. n directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados obtenidos en los tests de aptitud por los solicitantes solicitantes de un determi determinado nado puesto puesto de trabao sigue una distribuci distribución ón normal normal con una desviación típica de *2.4 puntos. a media de las cali"icaciones de una muestra aleatoria de nueve tests es de 1)/(& puntos. a# $alcular e interpretar un intervalo de con"ian%a del )0' para estimar la cali"icación media del grupo actual de solicitantes. b# A partir partir de estos resultados resultados muestral muestrales( es( un estadístico estadístico calcula calcula para la media poblaciona poblacionall un intervalo de con"ian%a que va desde desde 15() a 210(0 puntos. puntos. $alcular el contenido contenido probabilístico probabilístico de dicho intervalo. 5. Se tomó una muestra aleatoria de de 152 estudiantes de mar,eting mar,eting en cierta universidad universidad ! se les pidió que cali"icasen cali"icasen en en una escala de uno totalmente totalmente en en desacuerdo# desacuerdo# a siete totalmente totalmente de acuerdo# acuerdo# la siguiente a"irmación3 6a ma!oría ma!oría de los anuncios publicitarios publicitarios insultan la inteligencia del consumidor consumidor medio7. a media ! la desviación desviación típica de de las respuestas respuestas "ue de *(&2 *(&2 ! 1(5/( respectivamente. respectivamente. $alcular e interpretar un intervalo de con"ian%a del &5' para estimar la cali"icación media . . a irección 8eneral de 9r+"ico quiere quiere conocer la velocidad a la que circulan los automóviles automóviles en un un tramo determinado de una carretera. :ara una muestra de siete automóviles( el radar sealó las siguientes velocidades en ,ilómetros por hora3 /& /* ) // ) /1 & a# $alcular e interpretar estimaciones puntuales para la media ! la varian%a . b# Asumiendo que la distribución distribución poblacional es normal( hallar e interpretar interpretar un intervalo de con"ian%a del &5' para estimar la velocidad media de los automóviles que circulan por dicho tramo(
2
/. na clínica o"erta un programa de adelga%amiento. na muestra aleatoria de 10 de sus antiguos pacientes recogió las siguientes p;rdidas de peso en ,ilos al completar el programa3 1)(2 20(* 25(& 1() (* 1&(5 11() 12(* 15(4 1/(2 Asumiendo que la distribución de la población es normal. a# $alcular e interpretar un intervalo de con"ian%a del &&' para estimar la p;rdida de peso promedio. b# eterminar si un intervalo de con"ian%a del &0' para estimar la p;rdida de peso promedio tendría una longitud ma!or( menor o igual a la obtenida en el apartado a#. ). as notas que obtienen los alumnos de una determinada asignatura en el e-amen "inal se sabe siguen una distribución normal. Se e-trae una muestra de 25 cali"icaciones que dan lugar a los siguientes estadísticos3 2 ∑ X # = 5.1)4 a# $alcular e interpretar una estimación puntual para el bene"icio promedio semanal ! para la desviación est+ndar del bene"icio b# $alcular e interpretar un intervalo de con"ian%a del )0' para estimar los bene"icios medios semanales. 10. na empresa de alquiler de coches est+ interesada en conocer el tiempo que sus vehículos permanecen en el taller de reparaciones. na muestra aleatoria de nueve coches indicó que el pasado ao el n?mero de días que cada uno de estos coches había permanecido "uera de servicio era 1 10 21 22 ) 1/ 1& 14 1& $alcular e interpretar un intervalo de con"ian%a del &0' para estimar el n?mero promedio de días que la totalidad de los vehículos de la empresa se encuentra "uera de servicio.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN 11. El a!untamiento de eón esta considerando la posibilidad de levantar una estatua en memoria de un "amoso "il+ntropo de la ciudad( lo cual conduciría a una subida de la contribución urbana. na muestra aleatoria de 10 contribu!entes leoneses revela que el 50(/' de los encuestados est+ en contra de dicha medida. @allar e interpretar un intervalo de con"ian%a del &&' para estimar la proporción de la población que desaprueba el levantamiento de la estatua. 12. Se e-trae una muestra aleatoria de 1)& partidos de la BA en los cuales el primer cuarto no conclu!ó con resultado de empate. En 1*2 de estos partidos( el equipo con ventaa en el marcador al "inal del primer cuarto ganó el partido. a# @allar e interpretar un intervalo de con"ian%a del &0' para estimar la proporción de ocasiones en las cuales el equipo con ventaa al "inal del primer cuarto gana "inalmente el partido. b# eterminar si un intervalo de con"ian%a del &5' para estimar la proporción poblacional tendría una amplitud ma!or o menor que la obtenida en a#. 1*. El 4/(&' de una muestra aleatoria de *2* trabaadores a"iliados a alg?n sindicato estaban de acuerdo o mu! de acuerdo con la siguiente a"irmación3 6os trabaadores sindicali%ados deberían negarse a trabaar cuando se contrata para el trabao a un trabaador no a"iliado6. tili%ando esta
3
in"ormación( un e-perto en estadística calculó un intervalo de con"ian%a entre 45()' ! 50(0' para el porcentae poblacional de trabaadores a"iliados a sindicatos que compartían esta opinión. $alcular el nivel de con"ian%a asociado a este intervalo. 14. e una muestra aleatoria de 1*4 auditores empleados en grandes empresas de auditoria( )2 de ellos declararon que siempre que recibían un nuevo encargo de auditoria preguntaban al auditor cu+l había sido la ra%ón del cambio de auditor. $alcular e interpretar un intervalo de con"ian%a del &5' para estimar la proporción . 15. e una muestra aleatoria de &5 pequeas empresas "abricantes( 2& sealaron las meoras en la calidad como las m+s importantes iniciativas para incrementar la competitividad de sus productos. a# calcular e interpretar una estimación puntual para estimar la proporción de empresas que sealaron las meoras en la calidad b# $alcular un intervalo de con"ian%a del &&' para estimar la proporción de todas las empresas que sealaron las meoras en la calidad
TAMAÑOS DE MUESTRA 16. Se desea estimar e !"st" #r"medi" de matri!$as de "s est$dia%tes $%i&ersitari"s de $%a !i$dad. P"r est$di"s a%teri"res ' a #re!i"s a!t$aes se sa(e )$e a des&ia!i*% est+%dar es de ,US 1-. a/ De )$e tama0" de(e ser a m$estra si% se admite $% err"r m+im" e% a estima!i*% de ,US 2 !"% $%a !"%3ia%4a de 557 (/ Si a #"(a!i*% est$dia%ti )$e se desea i%&esti8ar es de 19: !$+ ser;a e tama0" de a m$estra7 1<. U% i%&esti8ad"r de $% i%stit$t" )$e tie%e 1= em#ead"s desea >a!er $%a estima!i*% de tiem#" #r"medi" )$e 8asta% "s 3$%!i"%ari"s e% tra%s#"rtarse de s$ !asa a i%stit$t". E i%&esti8ad"r desea $% i%ter&a" de !"%3ia%4a de 5= ' $% err"r m+im" de = mi%$t"s. U%a #e)$e0a m$estra #reimi%ar #r"#"r!i"%* $%a &aria%4a de tres >"ras ' 1= mi%$t"s. De )$e tama0" de(e ser a m$estra7 1-. Se re)$iere e tama0" de a m$estra #ara e est$di" de 8ast" sema%a e% #r"d$!t"s de t"!ad"r. Para estimar a des&ia!i*% t;#i!a de a #"(a!i*%: e i%&esti8ad"r reai4a $%a e%!$esta #reimi%ar e% - 3amiias de a !i$dad ' e%!"%tr* )$e a des&ia!i*% t;#i!a es de ,US 12. De )$e tama0" de(e ser a m$estra si se desea )$e e err"r e% a estima!i*% %" e!eda de ,US 9? !"% $%a !"%3ia%4a de 597 1&. n gabinete de investigación quiere estimar la proporción de consumidores que( siempre que las dem+s condiciones "uesen las mismas( adquirirían antes un producto de "abricación nacional que uno elaborado por un competidor e-tranero. Su intención es construir un intervalo de con"ian%a para la proporción poblacional con una amplitud m+-ima a cada lado de la media muestral de 0(04. C$u+ntas observaciones son necesarias para alcan%ar este obetivoD 20. El portavo% en el $ongreso de un partido político quiere estimar la proporción de diputados que estarían a "avor de una pol;mica proposición de le!. Su intención es construir un intervalo de con"ian%a del &&' cu!a amplitud m+-ima a cada lado de la media muestral sea de 0(05. C$u+ntas observaciones muestrales son necesariasD 21. n investigador quiere comparar dos proporciones poblacionales ! se propone tomar muestras aleatorias independientes con el mismo tamao muestral de cada una de las dos poblaciones. El investigador quiere tener la garantía de que un intervalo de con"ian%a del &0' para la di"erencia entre las dos proporciones poblacionales no tendr+ una amplitud superior a 0(05 a cada lado de la media muestral. C$u+l es el n?mero de observaciones muestrales que debe e-traer de cada poblaciónD
4
PRUE@A DE IPÓTESIS 1> $omo gerente de compras para una gran empresa de seguros usted debe decidir si actuali%ar o no los computadores de la o"icina. A usted se le ha dicho que el costo promedio de los computadores es de S 2100. na muestra de 4 minoristas revela un precio promedio de S 2251( con una desviación est+ndar de S )12. A un nivel de signi"icancia del 5' parece que su in"ormación es correctaD 2> Seducido por los comerciales( usted ha sido persuadido para comprar un nuevo automóvil. sted piensa que tendr+ que pagar S 25000 por el auto que usted desea. $omo comprador cuidadoso( averigua el precio de 40 posibles vehículos ! encuentra un costo promedio de S 2/*12( con una desviación est+ndar de S )012. eseando evitar cometer un error tipo FF( usted prueba la hipótesis que el precio promedio es de S 25000( con un nivel de signi"icancia del 10'. C$u+l es su conclusiónD *> ebido al tiempo e-cesivo que se gasta hacia el sitio de trabao( la o"icina en donde usted trabaa en el centro de $hicago est+ considerando espaciar las horas de trabao para sus empleados. El gerente considera que los empleados gastan un promedio de 50 minutos para llegar al trabao. Setenta empleados se toman en promedio 4/(2 minutos con una desviación est+ndar de 1)(& minutos. Gie H = 1' ! pruebe la hipótesis. 4> En 2001 la empresa de inversiones de 8oldman Sachs in"ormó que los norteamericanos invierten un promedio de S 1)( millones cada mes en el mercado de títulos. CEsta in"ormación est+ apo!ada a un nivel de signi"icación del 5' si una muestra de * media proporciona un promedio de S 1/(1 millones ! una desviación est+ndar de S 2(4 millonesD 5> $uando venían de regreso a casa los siete enanitos le dicen a Blanca ieves que e-cavaron un promedio semanal de 12 toneladas de oro. :ero sin estar dispuesta a creer esta a"irmación sin prueba alguna( la seorita ieves recolecta datos durante 4& semanas ! encuentra una producción promedio de 10(5 toneladas con una desviación est+ndar de 1(1 toneladas. C A un nivel del 4' estar+n en lo cierto los enanitosD . n supermercado local gastó en remodelación miles de dólares durante muchas semanas. Aunque la interrupción espantó a los clientes temporalmente( el gerente espera que los clientes vuelvan a dis"rutar de las nuevas comodidades. Antes de remodelar( los recibos de la tienda promediaban S *25** por semana. Ahora que se ha terminado la remodelación( el gerente toma una muestra de * semanas para ver si la construcción a"ectó de alguna manera el negocio. Se reportó un promedio de S *41 ! una desviación est+ndar de S 12&55. CIu; puede decidir el gerente a un nivel de signi"icancia del 1'D /> urante los ?ltimos meses Ja!nor K Sons ha publicitado ampliamente su negocio de suministros el;ctricos. El seor Ja!nor espera que el resultado ha!a sido incrementar las ventas semanales por encima de S /))0 que la compaía e-perimentó en el pasado. na muestra de * semanas proporciona un promedio de S )02* con una desviación est+ndar de S 1/**. A un nivel de signi"icancia del 1'( Cparece que la publicidad ha producido e"ectoD )> En otoo de 200*( @ardeeLs( el gigante en comidas r+pidas( "ue adquirido por una compaía de $ali"ornia que planea eliminar del men? la línea de pollo "rito. a a"irmación era que los ingresos recientes habían descendido por debao del promedio de S 4500 que habían presentado en el pasado. C:arece esta una sabia decisión si 144 observaciones revelan un promedio de de S 44// ! una desviación est+ndar de S 122)D a gerencia est+ dispuesta a aceptar una probabilidad del 2' si comete un error tipo F. &> Seg?n 9he Mall Street Nournal muchas compaías de ropa deportiva est+n tratando de comerciali%ar sus productos entre los m+s óvenes. El artículo sugirió que la edad promedio de los consumidores había caído por debao del grupo de edad de *4(4 aos que caracteri%ó los comien%os de
5
la d;cada. Si una muestra de 1000 clientes reporta una media de **(2 aos ! una desviación est+ndar de &(4. CIu; se conclu!e a un nivel de signi"icación del 4'D 10> n a emisión de la revista Gorbes in"ormó sobre los Oescondites7 e-clusivos en la parte norte de eP Qor, State ! sus alrededores utili%ados por los eecutivos ricos para escapar del tedio de sus estresantes vidas diarias. El costo es mu! ra%onable( in"ormó el artículo. sted puede contratar aloamientos de "in de semana por menos de S *500. CSe con"irma esta ci"ra Ora%onable7 a un nivel de signi"icancia del 5' si una muestra de 0 centros turísticos tienen un costo promedio de S *200 ! desviación de S &50D 11> A comien%os del ao 2004( @!undai( el "abricante coreano de automóviles( su"rió una severa caída en las ventas( por debao de su pico mensual de 25000 unidades de ma!o de 2000. @!undai Rotor America verano de 1&&)# reportó que las ventas habían baado a menos de 10000 unidades. urante un periodo de 4) meses que comen%ó en enero de 2002( las ventas promedio "ueron de &204 unidades. Se asume una desviación est+ndar de &44 unidades. CA un nivel del 1' de signi"icancia( parece que el n?mero promedio de unidades ha caído por debao de la marca de 10000 unidadesD 12. n distribuidor de bebidas plantea la hipótesis que las ventas por mes promedian S 12000. ie% meses seleccionados como muestra reportan una media de S 112// ! una desviación est+ndar de S *//2. Si se anali%a un valor H del 5'( CIu; puede concluir acerca de la impresión que tiene el distribuidor sobre las condiciones del negocioD 1*> os registros llevados por una gran tienda por departamentos indican que en el pasado las ventas semanales tenían un promedio de S 5//5. :ara incrementar las ventas( la tienda comen%ó recientemente una campaa agresiva de publicidad. espu;s de 15 semanas( las ventas promediaron S 012 con desviación de S &//. Ca tienda debería seguir con el programa publicitarioD Gie un nivel de signi"icación del 1'. 14> Stan and llie venden helado en un carrito móvil en el $entral :ar, de eP Qor, ( Stan le dice a llie que venden un promedio de por lo menos 15 libras de helado de vainilla cuando la temperatura supera los 2)T$ . llie no est+ de acuerdo( si 20 días de 2)T$ o m+s revelan un promedio de 1*(& libras ! varian%a de 5.2& libras2( CIui;n est+ en lo correcto( llie o StanD Gie un nivel del 5'. 15> n nuevo bombillo producido por Sun S!stems est+ diseado para incrementar la vida ?til de los bombillos a m+s de 5000 horas que es el promedio de los que actualmente e-isten. CEl nuevo producto de Sun S!stems proporciona una meora si 25 bombillos se "unden en promedio a las 511/ horas con desviación de 1)) horasD Gie un nivel del 1'. 1. na encuesta reali%ada hace cinco aos reveló que el /)' de quienes respondieron consideraron que estaban meor "inancieramente que sus padres. na encuesta m+s reciente encontró que */0 de las 500 personas quienes respondieron pensaron que sus "ortunas "inancieras eran meores que las de sus padres. CEsto sugiere un descenso en la proporción de personas que consideran que est+n "inancieramente m+s estables de lo que estaban sus padresD :ruebe la hipótesis a un nivel de signi"icancia del 1' ! calcule p. 1/> 9radicionalmente el *5' de todos los cr;ditos otorgados por Nesse Names nacional Ban, han sido para miembros de grupos minoritarios. urante el ao pasado( el banco ha hecho es"uer%os por incrementar esta proporción. e 150 cr;ditos actualmente en curso( 5 est+n identi"icados claramente por haber sido otorgados a las minorías. CEl banco ha tenido ;-ito en sus es"uer%os por atraer m+s clientes de las minoríasD :rueba la hipótesis a un nivel del 5'. $alcule el valor de p. 1). RidPest :roductions planea comerciali%ar un nuevo producto solo si por lo menos al 40' del p?blico le gusta. El departamento de investigación selecciona 500 personas ! encuentra que 225 lo pre"ieren al de la competencia m+s cercana. CA un nivel de signi"icancia del 2'( RisPest debería comerciali%ar el productoD
6
1&> Jadio Shac,( el minorista de electrodom;sticos( anunció que vende el 21' de todos los computadores caseros. CEsta a"irmación se con"irma si 120 de los /00 propietarios de computadores se los compraron a Jadio Shac,D 9ome H = 5'( ! calcule e interprete el valor de p. 20> El director Steven Spielberg ( el segundo en su medio meor pago en el ao 1&&/ S *0 millones#( apareció en el programa de prah Min"re!( Min"re! es la animadora meor paga S &/ millones#. Spielberg a"irmó que apro-imadamente O/5' del p?blico en general7 había visto su película Nurassic :ar,. prah tomó una encuesta de 200 personas en la audiencia ese día ! encontró que 15/ habían visto la película. a a"irmación de Spielberg est+ con"irmada a un nivel de signi"icación del 1'D 21> 9he Mall Street Nournal in"ormó que la insatis"acción laboral estaba alcan%ando proporciones de Oepidemia7. n estimado del /0' de los trabaadores de Estados nidos cambiaría su trabao si pudieran. Si esto es cierto en los trabaadores de su empresa( usted planea instituir un programa para meorar la moral de los empleados. sted descubre que 1020 trabaadores de una muestra de 1500 e-presaron insatis"acción con su trabao. CA un nivel de signi"icancia del 2' ( debería usted implementar el programaD
@I@LIOBRAFIAC BEJES Rar, . EUFE avid R. Estadística B+sica en Administración. $onceptos ! Aplicaciones. Se-ta Edición. RAJ9FEV B. $iro. Estadística ! Ruestreo. nceava Edición. EMB :aul. Estadística para los egocios ! la Economía. $uarta edición. MEBS9EJ Allen . Ed. Rc>8raP @ill. Estadística Aplicada a los egocios ! la Economía. 9ercera edición.
