INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE MONCLOVA
INGENIERÍA INDUSTRIAL SIX SIGMA ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA MEDIAS
SEPTIEMBRE 2008
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ESTIMACION PUNTUAL Y POR INTERVALOS La esta estadí díst stic ica a infe infere renc ncial ial compr compren ende de bási básica came ment nte e dos dos área áreass prin princi cipa pale les: s: estimación y pruebas de hipótesis. La estimación consiste, como su nombre lo indica, en “estimar” los valores de los parámetros de la población bajo estudio, mien mientr tras as que que las las prueb pruebas as de hipó hipóte tesi siss const constitituye uyen n el proc proces eso o de acep acepta tarr o rech rechaz aza ar decl declar arac acio ione nes, s, gene genera ralm lme ente nte rela relaci cion onad adas as con con pará paráme mettros ros poblacionales. Pero, ¿cómo definimos un parámetro poblacional? Se denota en estadística con el nombre de parámetro poblacional, a una constante que aparece en la función de densidad (o probabilidad) de la población y que tiene cierto significado dentro de ésta. Ejemplo: En una población Poisson, λ es un parámetro poblacional que representa el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria X. En una población normal, µ y σ son parámetros poblacionales, donde µ representa el valor esperado de la variable X ( la media poblacional ) y σ la desviación estándar. En la vida real, se desconocen los valores de los parámetros de las poblaciones que se estiman. Por ejemplo a) La media media de las longitude longitudess de las varillas varillas produci producidas das por una máquina máquina b) La proporción proporción de votantes votantes que están a favor favor de un determin determinado ado candidato. candidato. Se pretende entonces estimar estos valores que son de interés en nuestro estudio. Para ello, pueden hacerse:
Estimaciones puntuales
Estimaciones por intervalo
Una estimación puntual es un valor único que pretende estimar el valor del parámetro poblacional estudiado. Ejemplo: a) La longitud promedio de una muestra de 50 varillas producidas por la máquina A es 40.5 metros. b) En una muestra de 200 votantes, se obtuvo que 75% están a favor del candidato demócrata Una estimación por intervalo , es un intervalo numérico en dónde se pretende se encuentre el valor del parámetro bajo estudio. Ejemplo: a) La longitud longitud promedio promedio de todas todas las las varillas varillas producidas producidas por la máquina máquina A, A, se encuentran entre 40.2 y 41.3 metros. b) La proporció proporción n de votante votantess que están están a favor del candidat candidato o demócr demócrata ata,, se encuentra entre 70% y 78% 2
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Una desventaja de los estimadores puntuales, es que no sabemos qué tan cerca se encuentran del valor del parámetro que estiman. Esto es, no tenemos ninguna medida que nos indique qué tan precisa es nuestra estimación ( que tan desviado puede estar el valor que tomó el estimador del verdadero valor del parámetro poblacional). Con el fin de obtener alguna medida de la precisión en nuestra estimación, se utiliza el procedimiento de estimación por intervalos. El objetivo es determinar un intervalo de valores, el cual incluirá el valor del parámetro con una probabilidad prefijada ( 1 - α ). Comúnmente, a este intervalo de estimación se le denomina intervalo de confianza del parámetro. El símbolo α representa la probabilidad de que el intervalo no contenga al verdadero valor del parámetro. De aquí concluimos que valores de α pequeños (0.1, 0.15, 0.01 ) son deseables. INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA MEDIA POBLACIONAL NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA. De una población normal, con media µ desconocida y varianza σ2 conocida, se extrae una muestra aleatoria de n observaciones independientes. Sabemos que
Z =
X /
n
Tiene una distribución normal estándar, por lo que
P ( -Zα/2 < Z < Zα/2 ) = 1 - α
α/2
α/2 1-
- zα/2
0
zα/2
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FORMULA
X - Zα/2 σ
n
X + Zα/2 σ
,
n
Se conoce como intervalo de 100(1 -
)% de confianza para
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON VARIANZA DESCONOCIDA.
X - tα/2,n-1 S
n
,
X + tα/2,n-1 S
n
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EJERCICIOS. 1.- Una compañía fabricante de cemento, utiliza bolsas de papel para empacarlo. Se desea estimar el verdadero peso medio de estas bolsas. Una muestra de 36 bolsas dio una media de 280 gramos. La desviación estándar de todos los pesos es de 20 gramos. Obtener un intervalo de 99% de confianza para µ, el verdadero peso promedio de dichas bolsas. 2.- Un antropólogo midió las alturas de una muestra de 100 hombres de cierta tribu. Obtuvo una media de 71 pulgadas. Si se sabe que la desviación estándar de dichas estaturas es de 3 pulgadas, determinar un intervalo de 95% de confianza para la altura media de la población de esa tribu. 3.- Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es de 0.3 4.- El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal. 5.- Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de las piezas y los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el diámetro medio de las piezas de esta máquina, suponga una distribución aproximadamente normal. 6.- Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de prueba de dureza por el método de Rockwell de la cabeza de las agujas. Se realizaron mediciones de la dureza de Rockwell para cada una de las 12, lo que dio un valor promedio de 48.50 con desviación estándar de 1.5. Suponga que las mediciones se distribuyen de forma normal, construya un intervalo de confianza de 90% para la dureza de Rockwell media.
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7.- Suponga que el administrador de una tienda de pinturas desea estimar la cantidad real de pintura contenida en las letras de 1 galón compradas a su fabricante con renombre en todo el país. Se sabe, de las especificaciones de fabricación que la desviación estándar de la cantidad de pintura promedio por galón es 0.995 de galón. a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 99%. b) Según estos resultados, ¿piensa que el dueño de la tienda tiene derecho a quejarse con el fabricante? ¿Por qué? c) Explique por que un valor observado de 0.98 de galón en una lata no es raro, aun cuando este fuera del intervalo de confianza que calculó. d) Suponga que uso un estimador de intervalo de confianza de 95% ¿Cuáles serían las respuestas de los inicios (a) y (b)? 8.- El gerente de control de calidad de una fábrica de focos necesita estimar la vida promedio de un envío grande. Se sabe que la desviación estándar del proceso es 100 horas. Una muestra aleatoria de 64 focos indica una vida media de la muestra de 350 horas. Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% de la vida promedio real de los focos de este envío. b) ¿Piensa que el fabricante tiene derecho a establecer que los focos durarán un promedio de 400 horas? Explique. c) Explique por qué un valor observado de 320 horas no es raro, aun cuando está fuera del intervalo de confianza calculado. d) Suponga que la desviación estándar del proceso cambio a 80 horas. ¿Cuáles serían las respuestas a los incisos (a) y (b)? a)
9.- La división de inspección de Lee Country Weights and Measures Department está interesada en la cantidad real del refresco que contienen las botellas de 2 litros en una embotelladora local de una compañía de refrescos conocida en todo el país. La embotelladora informa a la división de inspección que la desviación estándar en estas botellas es de 0.05 de litro. Una muestra aleatoria de 100 botellas de 2 litros obtenida en esta planta indica un promedio muestral de 1.99 litros. a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% de la cantidad promedio verdadera de refresco en cada botella. b) La población de refrescos, ¿debe tener una distribución normal? Explique. c) Explique por que un valor observado de 2.02 litros no es raro, aun cuando esta fuera del intervalo de confianza calculado. d) Suponga que el promedio muestral es 1.97 litros. ¿Cuál seria la respuesta del inciso (a)?
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10.- La dueña de una papelería desea estimar el promedio del valor de venta al menudeo de las tarjetas de felicitación que tiene en su inventario. Una muestra aleatoria de 20 tarjetas indica un valor promedio de 1.67 dólares y una desviación estándar de 0.32 de dólar. a) Suponga una distribución normal; establezca un inventario de 95% de confianza estimado del valor promedio de todas las tarjetas de felicitación en el inventario de la tienda. b) ¿En qué pueden ayudar los resultados obtenidos en (a) a la dueña de la tienda para estimar el valor total de su inventario. 11.- El departamento de personal de una corporación grande desea estimar los gastos dentales familiares de sus empleados para determinar la factibilidad de proporcionales un plan de seguro dental. Una muestra aleatoria de 10 empleados reveló esos gastos (en dólares) durante el año anterior. 110
362
246
85
510
208
173
425
316
179
a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 90% para el gasto dental promedio por familia para todos los empleados de esta corporación. b) ¿Qué suposiciones sobre la distribución de la población deben hacerse en (a)? c) Dé un ejemplo de un gasto familiar que esté fuera de intervalo de confianza pero que no sea raro para una familia individual y explique por qué esto no es una contradicción. d) Suponga que uso un intervalo de confianza de 95% en (a). ¿Cuál seria su respuesta ahora? e) Suponga que el cuarto valor era 585 dólares en lugar de 85. ¿Cuál sería su respuesta? 12.- El departamento de servicio a clientes de la compañía local de gas para vivienda desea estimar el periodo promedio entre la llegada de una solicitud de servicio y la conexión del mismo. Se seleccionó una muestra aleatoria de 15 casas a partir de los registros disponibles del año anterior. Los resultados registrados en número de días son: 114 126
78 86
96 99
137 114
78 72
103 104
117 73
86
a) Establezca una estimación del intervalo de confianza del tiempo de espera promedio de la población durante el año pasado. b) Si el departamento de servicio ha advertido a sus clientes que el tiempo de espera promedio es de 90 días, ¿puede decir que los resultados obtenidos en (a) son consistentes con la tal advertencia? Explique c) ¿Que suposición debe hacerse en (a) respecto a la distribución de la población? d) Suponga que el último valor era 286 días en lugar de 86. ¿Cuáles serían sus respuestas a (a) y (b)? ¿Qué efecto tiene este cambio en el intervalo de confianza? 7
13.- El director de servicio a pacientes de una organización de mantenimiento de la salud desea evaluar el tiempo de espera de los pacientes en una instalación local, se selecciona una muestra aleatoria de 25 pacientes de un libro de citas. El tiempo de espera se define como el tiempo desde que el paciente llega hasta que él o ella salen de ver al doctor. Los siguientes datos representan los tiempos que espera (en minutos). 19.5 24.4 26.1 10.7 41.3
30.5 21.8 31.1 12.1 13.8
45.6 28.6 43.1 1.9 17.4
39.8 52.0 4.9 45.9 39.0
29.6 25.4 12.7 42.5 36.6
a) Establezca una estimación del intervalo de confianza de 95% para el tiempo de espera de la población b) El director de servicio a pacientes de la organización desea informar a los clientes potenciales que el tiempo de espera promedio es 15 minutos. Según los resultados de (a),¿puede afirmar eso? Explique. c) ¿Qué suposición debe hacerse en (a) sobre la distribución de la población? d) Suponga que el valor registrado de 1.9 minutos en realidad era 101.9 minutos ¿Cuál seria su respuesta en (a) y (b) ¿Qué efecto tiene este cambio en el intervalo de una confianza.
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NOCIONES BASICAS DE PRUEBAS DE HIPOTESIS Muchos problemas en estadística se relacionan con decisiones acerca de declaraciones hechas referentes a parámetros poblaciones. A estas declaraciones se le llama hipótesis, y el procedimiento que se sigue para decidir acerca de la verdad o falsedad de una hipótesis se le conoce como prueba de hipótesis. Las pruebas de hipótesis son unas de las partes fundamentales del área de la estadística conocida como estadística inferencial o inferencia estadística.
Definición: Una hipótesis es una suposición acerca de la distribución probabilística a los parámetros de una variable aleatoria. Ejemplo H : µ = 12 ( la media población es igual a 12 ). Ejemplo H : σ 2 < 7 ( la varianza poblacional es menor que 7 ). Ejemplo H : la población tiene distribución normal. Definición: prueba de hipótesis es el procedimiento mediante el cual se acepta o rechaza una hipótesis, en base de la formación contenida en una muestra de la población. Los elementos de una prueba de hipótesis son los siguientes: 1) 2) 3) 4)
Hipótesis nula (H 0 ): La hipótesis que se desea probar. Hipótesis alternativa (H 1): Una hipótesis complementaria. Estadístico de prueba : El que recoge la información de la muestra. Región de rechazo: (o región crítica): forma parte de una regla de decisión.
Al establecer una hipótesis y probarla, tenemos posibilidad de cometer errores de aceptación o de rechazo. A estos errores se le conoce como error tipo I y error tipo II.
Definición: Error tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera. Con la letra α se designa a la probabilidad de cometer este error.
Definición: Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando esta es falsa. Con la letra β se designa a la probabilidad de cometer error tipo II. Lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla: 9
Decisión
Aceptar Rechazar
La hipótesis es: Verdadera Falsa No hay error Error tipo II Error tipo I No hay error.
Definición: La probabilidad máxima con la que al probar una hipótesis se puede cometer error tipo I (α), se llama nivel de significancia de la prueba. Cuando rechazamos una hipótesis, decimos que lo hacemos al nivel de significancia α. Al diseñar una regla de decisión para aceptar o rechazar una hipótesis, generamos una región de rechazo o región crítica. Cuando el estadístico de prueba que obtenemos a partir de la información muestral se encuentra en esta región, debemos rechazar la hipótesis nula.
RESUMEN
Hipótesis Nula. En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena (o sea, p es la probabilidad de cara). Análogamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea, que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por Ho.
Hipótesis Alternativa. Toda hipótesis que difiera de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es p = 0.5, hipótesis alternativas podrían ser p < 0.5, p ≠ 0.5 o p > 0.5. una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1.
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CONTRASTES DE HIPOTESIS Y SIGNIFICACION, O REGLAS DE DECISION
Si suponemos que una hipótesis particular es cierta pero vemos que los resultados hallados en una muestra aleatoria difieren notablemente de los esperados bajo tal hipótesis (o sea, esperados sobre la base del puro azar, por teoría de muestreo), entonces diremos que las diferencias observadas son significativas y no veríamos inclinarnos a rechazar la hipótesis (o al menos al no aceptarla ante la evidencia obtenida). Así, si en 20 tiradas de una moneda salen 16 caras, estaríamos inclinados a rechazar la hipótesis de que la moneda es buena, aunque cabe la posibilidad de equivocarnos. Los procedimientos que nos capacitan para determinar si la muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados, no ayudan a decidir si aceptamos o rechazamos hipótesis, y se llaman contrastes (o tests) de hipótesis o de significación o reglas de decisión.
ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II
Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha cometido un error de tipo I. Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera de ser rechazada, diríamos que se ha cometido un error de tipo II . En ambos casos, se ha producido un juicio erróneo. Para que las reglas de decisión (o contrastes de hipótesis) sean buenas, deben diseñarse de modo que minimicen los errores de decisión. Y no es una cuestión sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompañando de un crecimiento del otro tipo. En la practica, un tipo de error puede ser más grave. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra, que no siempre es posible.
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PRUEBA DE HIPOTESIS EN POBLACIONES NORMALES. Pruebas de hipótesis para medidas. Estudiaremos la metodología para llevar a cabo pruebas de hipótesis referentes al parámetros µ , la media de una población normal. Consideremos casos en donde las varianzas poblaciones sean o no conocidas, y también el estudio comparativo de dos medias poblaciones. En esta sección y en las siguientes, se manejara el estadístico de prueba en su forma estándar. Es decir, por ejemplo, sí el estadístico asociado a nuestro experimento es x (la media muestral), este será estandarizado, ya sea una variable normal estándar (Z) en caso de que se conozca la desviación estándar poblacional, o una variable t de Student, en caso contrario. La finalidad de esta estandarización es la de facilitar el procedimiento de decisión en la prueba. Las ideas anteriores se ilustran a continuación.
Prueba de hipótesis para la media de una población normal con varianza conocida. Consideremos una población normal, cuya media µ es desconocida y su varianza σ2 es conocida. ( si la población no es normal, supongamos que se cumplen las condiciones del Teorema Central del Limite). Deseamos probar la hipótesis nula. H0 : µ = µ 0 Contra la alterna H 1 : µ ≠ µ0 Donde µ 0 es una constante.. Para esto, tomamos una muestra aleatoria de n observaciones independientes de esta población X1, X2,…., Xn. formamos luego el estadístico de prueba.
Z=X - µo σ/n
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Que tiene distribución normal estándar, si la hipótesis nula es verdadera. Así la probabilidad de que Z tome un valor entre - Z α / 2 y Zα/2 es 1 - α ; esto se ilustra en la figura
1-
∝/
∝ ∝/
2
2 Z
-Z ∝ / 2
0
Z∝/2
Figura : región de rechazo de Ho :µ = µ o, en un ensayo bilateral. Esto es la probabilidad de que el valor de Z se encuentre en la región Z > Zα/2 ó Z < -Z α/2, cuando la hipótesis nula es verdadera, es α. Si seleccionamos un valor de α pequeño, sabemos que es poco probable que el valor de Z se encuentre en las colas de esta distribución, y si esto ocurre puede ser un indicio de falsedad de la hipótesis nula. Por todo esto, decimos que : Z > Zα/2 ó Z < -Z α/2. Forman la región de rechazo para esta prueba. Es decir, rechazamos la hipótesis nula si el valor del estadístico de prueba se encuentra en cualquiera de estas regiones. La probabilidad de estar equivocados (cometer errores tipo I ) es α. Las pruebas de este estilo, en donde la región de rechazo se encuentra en las colas de cierta distribución, se denominan pruebas de dos colas. Supongamos que deseamos probar la alternativa unilateral. H 1: µ > µ 0 Recordando que el estadístico de prueba es : Z=
X - µ0
σ/√n
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Concluimos que valores negativos de Z no llevarían al rechazo de Ho. Es decir, la región de rechazo en esta prueba está en la cola derecha de la distribución normal estándar.
α Z
Zα rechazo de Ho.
0
Figura :región de rechazo de Ho : µ = µo, en un ensayo unilateral. Debemos entonces rechazar Ho sí: Z > Zα En forma similar si deseamos probar H1 : µ < µo Debe calcular el estadístico de prueba Z, y rechazaremos la hipótesis nula si el valor de Z se encuentra en la cola izquierda de la distribución normal estándar, es decir, si. Z < - Zα.
α - Zα
Z 0
rechazo de Ho. Figura : región de rechazo de Ho. : µ = µo, en un ensayo bilateral. 14
1.- Un fabricante de cierto modelo de autos afirma que dicho modelo rinde un promedio de 13 kilómetros por litro de gasolina. Se selecciona un a muestra al azar de 36 automóviles de este modelo, y se obtiene un rendimiento promedio de 12.4 kms/lt. Si se sabe por experiencia que la desviación estándar de este rendimiento es α = 3 km/lt. ¿ que se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante? Utilizar un nivel de significación = 0.05. Solución: Podemos postular la hipótesis como: Ho : µ = 13 H1 : µ < 13 La información muestral en n = 36, x = 12.4, por lo que el estadístico de prueba es: Z = X - µo σ / √n Z = 12.4 - 13 = 1.2 3 / √ 36 La región de rechazo de Ho esta por Z < - Z.05. Utilizando la tabla de la distribución normal, encontramos que Z.05 = 1.645, para un ensayo unilateral.
0.05 Z Rechazo de Ho. - 1.645 -1.2 0 El valor de Z no se encuentra en la región de rechazo, por lo que concluimos que no existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula.
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2.- La administración de una línea aérea desea determinar si el peso promedio de las maletas de los pasajeros que van de México a los Ángeles es de 15 Kg. Suponiendo que la desviación típica de estos pesos es de 2.8kg. concluya con respecto a la afirmación anterior, si los datos de una muestra aleatoria de 49 pasajeros arrojaron una media de 16.2 Kg. Utilice un nivel de significancia de: 0.01 Solución. El planteamiento de las hipótesis es el siguiente: Ho : µ = 15 H1 : µ ≠ 15 El estadístico de prueba es de Z = X - µo σ/√n A partir de la información muestral, n = 49.X = 16.2, se obtiene. Z = 16.2 - 15 = 3
2.8/√49 la región de rechazo de la hipótesis nula es
Z > Z .005
0.005
0.005
Z -2.58 rechazo de Ho
0
2.58
3
rechazo de Ho.
De la grafica anterior, se concluye que la decisión es rechazar la hipótesis nula. Es decir, la información de la muestra si presenta evidencia estadística como para rechazar la hipótesis de que el peso promedio de las maletas de estos pasajeros es de 15 Kg. 16
EJERCICIO DE PRUEBAS DE HIPOTESIS 1. Suponga Que el director de una fábrica de telas necesita determinar si una máquina nueva produce cierto tipo de tela de acuerdo con las especificaciones del fabricante, que indican que la tela debe de tener una resistencia media de 70 libras y una desviación estándar de 3.5 libras. Una muestra de 49 piezas revela una medida muestral de 69.1 libras. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. b) ¿Existe evidencia de que la maquina no cumple con las especificaciones del fabricante respecto a la resistencia? (Use un nivel de significancia de 0.05) c) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la desviación estándar especificada es de 1.75 libras? d) ¿Cuál seria su respuesta en (b) su la medida muestral es 69 libras? 2. Un empresario potencial estudia la posibilidad de comprar una lavandería con máquinas operadas con monedas. El dueño actual asegura que los últimos 5 años el promedio de ingresos diarios ha sido 675 dólares con una desviación estándar de 75 dólares. Una muestra de 30 días selectos revela un ingreso promedio diario de 625 dólares. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. b) ¿Existe evidencia de que la aseveración del dueño actual no es válida? (Use un nivel de significancia de 0.01) c) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la desviación estándar fuera 100 dólares? d) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la medida muestral fuera 650 dólares? 3. Un fabricante de aderezos para ensalada usa unas máquinas para verter los ingredientes líquidos en las botellas que se mueven en una línea de llenado. La máquina que vierte los aderezos funciona bien cuando sirve 8 onzas. La desviación estándar del proceso es 0.15 onzas. De manera periódica, se colecciona una muestra de 50 botellas, y se detiene la línea si se obtiene evidencia de que la cantidad promedio vertida es diferente de 8 onzas. Suponga que la cantidad promedio servida en una muestra es particular es 7.983 onzas. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. b) ¿Existe evidencia de que el promedio poblacional es diferente a 8 onzas? c) ¿Cuál seria su respuesta en (b) si la desviación estándar es especificada como 0.05 onzas? d) ¿Cuál sería su respuesta en (b) si la medida muestral fuera 7.952 onzas?
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4. Debe suministrarse suficiente efectivo en un cajero automático para satisfacer los retiros de los clientes durante el fin de semana. Por otro lado, si se coloca demasiado, el dinero permanece en el cajero sin necesidad y el banco pierde la oportunidad de invertirlo y ganar interés. Suponga que una cierta sucursal, la cantidad promedio de retiro esperada (es decir, para la población) por transacción del cliente en el fin de semana es 160 dólares con una desviación estándar esperada (poblacional) de 30 dólares. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. b) Si se examina una muestra aleatoria de 36 clientes y se obtiene que el retiro medio de la muestra es 173 dólares ¿existe una evidencia para que el retiro promedio verdadero ya no es 160 dólares? (use un nivel de significancia de 0.05) c) ¿Cuál sería la respuesta en (b) si la desviación estándar es en realidad 24 dólares? d) ¿Cuál seria su respuesta en (b) si su nivel de significancia es de 0.01? 5. La compañía Glen Valley Steel fabrica barras de acero. Si el proceso de producción funciona bien, produce barras con longitud promedio de al menos 2.8 pies con una desviación estándar de 0.02 pies (según la determinación de especificaciones de ingeniería del equipo de producción). Las barras más largas se pueden usar o alternar, pero las más cortas se desperdician. Se selecciona una muestra de 25 barras de la línea de producción. La muestra indica una longitud promedio de 2.73 pies. La compañía desea determinar si debe ajustar el equipo de producción. a) Establezca la hipótesis nula y alternativa. b) Si la compañía desea probar la hipótesis a un nivel de significancia de 0.05, ¿Qué conclusiones obtendría? 6.
8.9 9.3 9.3 9.8
Un grupo para la defensa del consumidor desea evaluar la tasa de eficiencia de energía promedio (EER, energy eficiency rting) de una unidad de aire acondicionado de gran capacidad (más de 7,000 Btu) para instalar en una ventana. Se selecciona una muestra aleatoria de estas unidades y se prueba durante un período fijo. Los registros de la EER son los siguientes: 9.1 8.9 9.3 9.6
9.2 9.7 8.8 9.3
9.1 8.7 9.4 9.2
8.4 9.4 8.9 9.1
9.5 8.5 9.3 9.6
9.0 8.9 9.0 9.8
9.6 8.4 9.2 9.5
9.3 9.5 9.1 10.0
a) Con un nivel de significancia de 0.05, ¿existe evidencia de que el EER promedio difiere de 9.0?
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7. Un fabricante de plásticos debe evaluar la durabilidad de bloques moldeados rectangulares (de plástico) que se usan en muebles. Se examina una muestra aleatoria de bloques y las mediciones de dureza (en unidades Brinell) son las siguientes: 283.6 269.1 279.3 255.3 273.6
273.3 250.1 252.3 267.2 267.7
278.8 301.6 271.7 255.3 283.1
238.7 289.2 235.0 281.0 260.9
334.9 240.8 313.2 302.1 274.8
302.6 276.5 277.8 256.3 277.4
239.9 279.3 243.8 233.0 276.9
254.6 228.4 295.5 194.4 259.5
281.9 265.2 249.3 291.9 262.0
270.4 285.9 228.7 263.7 263.5
a) Con un nivel de significancia de 0.05, ¿existe evidencia de que la dureza promedio de los bloques de plástico excede 260 unidades (Brinell)?
8.- Una empresa que se especializa en publicidad por correo ideó un cuestionario nuevo que, en su concepto, va a obtener más respuestas que el cuestionario normal. El nuevo cuestionario se envía a una muestra de 200 posibles encuestados. El número de respuestas es de 120. Cuando se utilizo el cuestionario normal con 250 posibles encuestados, contestaron 115. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el nuevo cuestionario es mejor que el usual?. Sea ∝ = 0.05. 9.- Una muestra de 100 pacientes con una enfermedad A admitidos en un hospital para enfermos crónicos permaneció allí un promedio de 32 días. Otra muestra de 100 pacientes con una enfermedad B permaneció en promedio 35 días. Las varianzas de las muestras fueron de 50 y 60 respectivamente. ¿ Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir, en el nivel de significación 0.05, que las dos poblaciones son diferentes respecto del promedio de permanencia?. 10.- Una empresa procesadora de alimentos congelados dice que el precio promedio neto por paquete de un alimento es de 30 onzas. La experiencia a demostrado que los pesos están distribuidos en forma aproximadamente normal, con una desviación típica de 1.5 onzas. Una muestra aleatoria de 35 paquetes arroja un peso promedio de 29.4 onzas. ¿ Constituye esto suficiente evidencia como para concluir que el peso promedio verdadero de los paquetes a disminuido?. Sea∝ = 0.05.
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11.- Una prueba para medir el nivel de seguridad de una persona se administro a una muestra aleatoria de 25 alcohólicos y a una muestra independiente a 20 no alcohólicos. Los resultados fueron los siguiente:
Alcohólicos
X 60
S2 100
No Alcohólicos
72
100
¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir, en el nivel de significación 0.01, que los alcohólicos, en promedio, presentan puntajes más bajos en la prueba que los no alcohólicos. 12.- Se compararon 9 pares de camioneros expertos con base en la edad, años de experiencia y otras variables importantes. Uno de los miembros de cada par se asigna al azar a un curso de entrenamiento que se dicto según el método A. El otro miembro se asigno a un curso de entrenamiento que se dicto según el método B. Al término del curso, cada uno hizo un examen para comprobar la retención del material estudiado. La tabla 6.7 muestra los resultados. ¿Podríamos concluir con base en estos datos que el método A es superior al método B?. Sea ∝ = 0.05. Tabla 6.7 Puntajes obtenidos por nueve pares de camioneros, cada uno de los cuales a recibido entrenamiento con métodos diferentes. Par
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Método A
90
95
87
85
90
94
85
88
92
Método B
85
88
87
86
82
82
70
72
80
13.- Un agente de bienes raíces dice que el valor promedio de las casas es de $65,000 en determinado sector. Una muestra aleatoria de 36 casas de ese sector tubo un valor promedio de $65,000 y un desviación típica de $12,000. ¿Son suficientes estos datos para sustentar la idea del agente en el nivel de significación 0.05?
20
14.- Los siguientes datos se basan en muestras aleatorias tomadas de 2 poblaciones de niños. Los niños de la población 1 son retardados mentales educables. Los de la población 2 son normales. La variable de interés consiste en el tiempo (en minutos) que requieren para hacer una tarea.
Población 1
Población
N
10
8
X
26.1
17.6
S2
140
115
2
¿Proporcionan estos datos evidencias suficiente como para concluir que el tiempo promedio requerido por la población 2 es menor que el requerido por la población 1? Sea∝ = 0.05. 15.- Una junta de empleados de salud publica cree que el menos del 50% de los adultos de su jurisdicción se mandan a ser revisiones dentales 2 veces al año de los 300 adultos entrevistados en una encuesta, 125 dijeron que lo hacían 2 veces al año. ¿Son estos datos suficientes para sustentar la opinión de los empleados, en el nivel de significación 0.05.? 16.- En una encuesta realizada en 2 sectores de una ciudad, se obtuvieron los siguientes resultados respecto de los niveles de azúcar en la sangre: Sector
1 2
Numero de personas Examinadas
200 250
Número de personas con un nivel anormal de azúcar
20 40
¿Se podría concluir, con base en estos datos, que los 2 sectores son diferentes respecto de la proporción de recientes con niveles anormales de azúcar en la sangre? Sea∝ = 0.05. 17.- En una encuesta hecha a incapacitados, un equipo de investigación encontró que el 35% de ellos eran veteranos incapacitados a los 55 años de edad entre los que no eran veteranos, el porcentaje inhabilitado antes de los 55 años era 45. ¿Dan estos datos evidencia suficiente para concluir, que en el nivel de significación 0.05, que los veteranos y los no veteranos se diferencian en cuanto a la proporción de inhabilidad antes de los 55 años de edad?
(nv = nN = 100.)
21
18.- Se hicieron mediciones del nivel de una encima en muestras de sangre de 16 sujetos aparentemente normales. La muestra arroja una medida de 96 unidades/ml. y una desviación típica de 36 unidades/ 100ml. ¿Proporciona estos datos evidencia suficiente como para indicar que la media de la población es menor que 100 unidades/ml.? Sea ∝ = 0.05. 19.- Se vende una marca especial de cemento en sacos de 50 kg. Se eligen 11 de ellos al azar y se observa que su masa en kilogramos es: 49.2, 50.1, 49.8, 49.7, 50.1, 50.5, 49.6, 49.9, 50.4, 50.2, y 49.7. ¿Son tales resultados congruentes con el supuesto de que los sacos pertenecen a una población que tiene una media de 50Kg.? Emplee ∝ = 10%. 20.- Para revisar dos básculas, se pesaron 8 muestras en cada una de ellas. ¿Sugieren los resultados que existe una diferencia significativa entre ambas básculas?. Use ∝ = 5%.
Báscula A
10.063
8.051
9.036
9.067
3.056
5.076
5.074
2.006
Báscula B
10.063
8.050
9.033
9.062
3.060
5.070
5.070 2.000
21.- Para poner una prueba su laboratorio, un fabricante sacó 13 muestras de su producto, y las dividió a la mitad; a una de las mitades la puso a prueba en su laboratorio (A), en tanto que la otra la llevó a otro laboratorio (B). ¿Existe una diferencia significativa entre los resultados de la prueba de ambos laboratorios? Emplee ∝ = 5%.
Muestra núm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Laboratorio A 17.2 17.0 17.4 18.0 18.3 15.2 13.2 18.7 16.7 19.4 14.7 17.7 16.9 Laboratorio B 19.1 19.8 17.9 18.0 18.3 15.0 14.3 18.2 17.7 19.3 16.7 16.8 16.7
22.- Un fabricante afirma que la resistencia media de un resistor es de 250 Ω (ohms). Un comprador pone a prueba 10 y observa los valores siguientes: 246, 261, 249, 254, 235, 242, 235, 231, 266 y 239. ¿Llena los requisitos especificados la remesa si se toleran los valores dentro del nivel de significación de 10%?.
22
23.- Se sospecha que en un laboratorio las medidas de viscosidad obtenidas en la mañana eran menores que en la tarde. Por tanto, se dividieron a la mitad 10 muestras, una de las mitades se pone a prueba en la mañana y la otra en la tarde. ¿ Sugieren los datos que la “viscosidad vespertina” es mayor?. Use ∝ 1 % (ver tabla 13-1) Viscosidad (codificada) Muestra Número.
Mañana
Tarde
40 42 48 50 53
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
45 48 50 53 54 52 73 75 72 56
50 72 77 73 55
24.- Los resultados de los análisis químicos del contenido de A en los materiales producidos por distintas fábricas son las siguientes:
Contenido de A. % Fabrica 1
93.13
93.57
92.81
94.32
93.77
Fabrica 2
92.54
92.38
93.21
92.06
92.55
93.52
Ponga a prueba la hipótesis que no hay ninguna diferencia en el contenido de los dos productos. Use ∝= 1%. 25.- Se compró la resistencia de dos aleaciones y se puso a prueba 10 muestras de cada una de ellas. La elección A presentó una resistencia media de 31,400kN/m2 con un coeficiente de variación de 19%; los valores correspondientes para la aleación B fueron 27,100kN/m2 y 15%. ¿ Se puede concluir que las resistencias de ambas aleaciones no difieren al nivel de significación del 1%?. 23
26.- a fin de determinar si el uso de empaques de caucho entre las puertas de concreto y la platina de la máquina de pruebas afecta la resistencia observada, se hacen dos probetas a partir de seis lotes de concreto. (Ver tabla 13-15.) De cada par de probetas, una fue sometida a prueba con el empaque y otra sin él. ¿ Existe una diferencia significativa entre las resistencias obtenidas por ambos métodos de prueba?. Use ∝ = 1%.
Resistencia a la tensión, MN/m 2 Lote número 1 2 3 4 5 6
Con empaque 2.76 2.72 2.65 2.62 2.96 2.48
Sin empaque 2.48 2.00 2.28 2.10 2.38 2.18
27.- Para comparar la resistencia a la tensión de dos tipos de cemento, se hicieron seis briquetas de argamasa con cada uno de ellos, y se registraron las siguientes resistencias (kN/m2).
Cemento A: 4600, 4710, 4820, 4670, 4760, 4480 Cemento B: 4400, 4450, 4700, 4400, 4170, 4100 ¿ Existe una diferencia significativa entre las resistencias a la tensión de ambos cementos? Use ∝ = 5%.
28.- Se manufactura concreto mediante compactación a presión con visitas a incrementar su resistencia a la compresión. Para poner a prueba si esto es verdad, se hacen seis cilindros de muestra usando este nuevo método y otros seis con el método común. Los resultados en MN/m 2 son siguientes:
Método nuevo Método común
33.1 27.6
31.0 29.0
34.5 26.2
33.8 30.3
35.9 31.7
29.0 29.6
24
29.- Una muestra de 100 bombillas de la marca A da vida media de 1190 h y desviación típica de 90 h. Una muestra de 75 bombillas de la marca B da vida media de 1230 h y desviación típica de 120 h. ¿Hay diferencia entre las vidas medias de esas dos marcas de bombillas al nivel de significación (a) 0.05 y (b) 0.01?. 30.- En el problema 22, contrastar la hipótesis de que las bombillas de la marca B son de más calidad que las de la A, usando nivel de significación (a) 0.05 y (b) 0.01. Explicar las diferencias entre estos resultados y los citados en la última parte del Problema 22. ¿Contradicen estos resultados a los del problema 22?. 31.- En el examen de ortografía, la nota media de 32 niños ha sido 72 con una desviación típica de 8, mientras que la nota media de 36 niñas ha sido 75 con la desviación típica de 6. Contrastar la hipótesis de que al nivel de significación (a) 0.05 y (b) 0.01 las niñas superan a los niños en ortografía. 32.- Para comprobar los efectos del nuevo fertilizante en la producción del trigo, se escogieron 60 campos cuadrados de iguales áreas, calidades de tierra, horas del sol, etc. se utiliza en treinta de ellos en nuevo fertilizante y el antiguo a los demás. El número medio de bushels (bu) de trigo cosechados por cuadrado fueron 18.2 bu con una desviación típica de 0.63 bu, en los del nuevo fertilizante, y 17.8 bu con una desviación típica de 0.54 bu en los del antiguo. Usando nivel de significación de (a) 0.05 y (b) 0.01, contrastar la hipótesis de que el nuevo fertilizante es mejor que el antiguo. 33.- Muestras aleatorias de 200 piezas producidas por una máquina A y 100 fabricadas por otra B dieron 19 y 5 piezas defectuosas, respectivamente. Contrastar la hipótesis de que (a) las dos máquinas tienen distinta calidad de producción y (b) la B es mejor a la A. Usar el nivel de significación 0.05.
25
