CAPÍTULO 5 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA CONTENIDO DEL CAPÍTULO • • • • •
Repaso de vectores Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones cartesianas de la recta Rectas paralelas Rectas perpendiculares
RESULTADOS DE APRENDIZAJE • • • •
Dado un punto y un vector director, halla la ecuación de la recta Halla la ecuación de la rfecta que pasa por dos puntos Identifica rectas paralelas Identifica rectas perpendiculares
EL ESPACIO VECTORIAL
2
Recordemos que el conjunto 2 está formado por los pares ordenados de la forma ( a, b ) , 2 donde a y b son números reales; es decir que: = {( a, b ) : a, b ∈ }. Además, a los elementos
de dicho conjunto se los representa como puntos del plano cartesiano.
203
Igualdad de pares ordenados Dos pares ordenados ( a, b ) y ( c, d ) elementos de 2 , son iguales si y solo si a = c y b = d .
( a, b ) = ( c, d ) ⇔ a = c Nota.A cada punto
y b = d.
P de coordenadas ( a, b ) , en el plano cartesiano, se puede asociar el vector
geométrico OP el cual diremos tiene por coordenadas (a, b); es decir que OP = ( a, b). Los elementos de 2 se denominan vectores.
Operaciones. Propiedades Definición de suma. Sean
( a, b) y (c, d ) dos elementos cualesquiera de
R
2
. Definimos la
suma de dichos vectores por (a, b) + (c, d ) = ( a + c , b + d ) .
EJEMPLOS a) (2; 3) + (4; 8) = (2 + 4; 3 + 8) = (6;11).
2⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎛ 1 2 5⎞ ⎛ 1 7⎞ ⎛ b) ⎜ −1, ⎟ + ⎜ , − ⎟ = ⎜ −1 + , − ⎟ = ⎜ − , − ⎟ . 3⎠ ⎝ 2 4⎠ ⎝ 2 3 4 ⎠ ⎝ 2 12 ⎠ ⎝ c) (a, b) + (− a, − b) = (0, 0).
El vector (0,0) se denomina el vector nulo y lo notaremos por 0 . Si P = ( a, b) , el vector (−a, −b) se denomina el opuesto de P y lo notaremos por − P .
204
Geométricamente, la suma definida corresponde a la suma usual entre vectores, es decir, si P = ( a, b) , Q = (c, d ) , el vector OP + OQ , representado por la diagonal del paralelogramo determinado por los vectores OP y OQ , corresponde al punto (a + c, b + d ) .
Producto por un número real Definición. Sea α un número real y (a, b) un elemento de R2 . Definimos
α (a , b ) = (α a, α b).
EJEMPLOS •
⎞ ⎛ 5 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 1⎞ ⎞ 5 ⎜ − , 4 ⎟ = ⎜ 5 ⎜ − ⎟ ,5(4) ⎟ = ⎜ − , 20 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎠ ⎠ ⎝ 2
•
0( a, b) = (0, 0)
•
(−3) ⎜ 2,
⎛ ⎝
1 ⎞
3 ⎞ ⎛ ⎟ = ⎜ −3 2, − ⎟ = −3 2, − 3 3⎠ ⎝ 3⎠
(
)
Al multiplicar un vector por un número real α , desde el punto de vista geométrico se obtiene un vector cuya longitud es α veces la longitud del vector dado y cuyo sentido es el mismo si α > 0 y opuesto si α < 0 .
205
En resumen: Si ( a, b) y (c, d ) son vectores de
R
2
y α es un número real,
(a, b) + ( c, d ) = ( a + c , b + d ) y α (a, b) = (α a,α b) . Los números reales se llaman también escalares y el producto de un número real por un vector, producto por escalar.
Propiedades. Las operaciones suma y producto por escalar definidas anteriormente satisfacen las siguientes propiedades básicas, las mismas que se conocen como las propiedades de espacio vectorial.
Teorema.Sean
P , Q y R vectores en
R
2
y α , β escalares cualesquiera, entonces
Conmutativa
P + Q= Q+ P
Asociativa
P + (Q + R) = ( P + Q) + R
Neutro
P+0= P
Opuesto
P + ( − P) = 0
Asociativa
(αβ ) P = α ( β P )
Distributiva
(α + β ) P = α P + β P α ( P + Q) = α P + α Q
Modulativa
1P = P
206
Observar que aunque se usan los mismos signos para operaciones entre escalares, entre vectores y entre escalares y vectores, se trata de operaciones distintas. Así, en la propiedad asociativa del producto por escalar (αβ ) P = α ( β P), αβ es el producto de dos números reales, ( αβ ) P , β P y α ( β P) son productos de un escalar por un vector. En las propiedades distributivas α + β es la suma de dos números reales mientras que α P + β P , P + Q y α P + α Q , son sumas de vectores.
Diferencia. Se define la diferencia de dos vectores
P y Q en
R
2
por
P − Q = P + (− Q).
P − Q es el único vector que sumado con Q es igual a P . R + Q = P ⇔ R = P − Q
Observe que de la equivalencia anterior se sigue que en una igualdad, se puede pasar un vector que aparece como sumando al otro miembro con signo cambiado.
EJEMPLOS. 1
(2,3) − (4,5) = (2,3) + ( −4, −5) = ( −2, −2) .
2
(
3 4 5 6
P−P=0 0 − P = −P P−0= P Sean P = (2,1/3) y Q = (5, π ) , entonces
)
2, − 3 − (− 1,2 3) =
(
) (
) (
2, − 3 + 1, −2 3 =
3P − 2Q
)
2 + 1, − 3 3 .
3(2,1/3) − 2(5,π )
=
(
) 2π ) .
=
(6,1) − 5 2, 2π
=
(6 − 5
2,1 − 207
EJERCICIOS 1. Localizar en un sistema de coordenadas rectangulares, los puntos que representan los siguientes vectores. a. (1,3) b. (0,0)
c. ( −2,1) d. (−3, −1) e. (0, 4) f. (π , π ) .
2. En R2 , simplificar: a. 2(3, 5) + 3(5, 7) b. 10(5, −4) − 20(2, 2) + 5( −2,8) . 3. Dados los vectores A = (1,3) , B = (− 4, π ) , C = (1/3, 2/5) . Calcular: a.
⎛ ⎛1⎞ ⎞ A − ( B + C ) d. π ⎜ A − 2 B + ⎜ ⎟ C ⎟ ⎝5⎠ ⎠ ⎝
A − B + 2C b. A − B − C c.
e. ( A − B) − C f.
⎛ 3⎞ ⎛5 ⎞ A − ⎜ ⎟ ( A − B) g. 3 ⎜ ( A − C ) ⎟ h. 4 A − 3B . ⎝ 4⎠ ⎝3 ⎠
4. Dados los puntos A = (3,2) y B = ( −2,1) . Calcular las coordenadas de los vectores 5. Simplifique las siguientes expresiones, donde A, B y a. 3 A − 2( B + A − C ) . b.
1 2
AB y
2 ( AB) . 5
C son vectores:
( A − B) + C − 2( B − 3C + A) − 6 B . c. A + B − ( A − B) + ( B − A) .
6. Represente gráficamente la adición de los siguientes pares de vectores en a. A = (2,3) , B = (1,4) b. A = ( −1, 2) , B = (3,3) c. A = (1, −2) ,
R
2
. B = ( −3,1)
d. A = (1,1) ,
B = (−2, −2)
Vectores colineales y no colineales. Definición. Dos vectores
P y Q , Q ≠ 0 , en
2
se dicen colineales si existe un escalar α tal que P = α Q.
R
Si consideramos un sistema de coordenadas con origen O, es claro que P y Q son colineales si y
solamente si los vectores geométricos OP y OQ lo son.
208
Observe que de acuerdo a la definición, el vector nulo es colineal con todo vector, pues
0 = 0Q.
Convendremos además en que el vector nulo es colineal consigo mismo.
EJEMPLOS. • Todo vector es colineal consigo mismo. • Un vector y su opuesto son colineales.
⎛ 1 3⎞ • ⎜ , ⎟ ⎝ 2 4⎠
⎛ 7 21 ⎞ , − ⎟ son colineales pues ⎝ 10 20 ⎠
y⎜−
Teorema. Dado un vector no nulo
7⎛ 1 3⎞ ⎛ 7 21 ⎞ ⎜ − 10 , − 20 ⎟ = − 5 ⎜ 2 , 4 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
P = ( a, b) en R , siempre existe un vector Q que no es colineal con
P.
En efecto, basta tomar Q = (−b, a) .
Demostración Veamos que efectivamente no existe un escalar α tal que P = α Q . Si existiera un tal α se tendría que (a, b) = α (−b , a) ⇔ a = −α b y b = α a. Si por ejemplo b ≠ 0 se sigue que α = − a/b , lo que junto con b = α a nos da
⎛ a⎞ b = ⎜ − ⎟ a ⇔ b2 = − a 2 , ⎝ b⎠ lo cual es absurdo pues a 2 ≥ 0 y b 2 > 0 .
Teorema. Dos vectores A = ( a, b) y B = (c, d ) en
R
2
son no colineales si y solamente si ad − bc ≠ 0
El resultado anterior es equivalente a:
Teorema. A y B son colineales si y solamente si ad − bc = 0 . Teorema. Dados dos vectores no colineales A y
B ; todo vector X de
forma 209
R
2
se puede expresar en la
X = α A + β B,
donde α y β son escalares. Se dice entonces que X es combinación lineal de A y B . Una interpretación gráfica de este resultado se presenta en la figura siguiente.
EJEMPLOS •
1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ 3, 4, 3 − − y son colinealespues ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 3⎟ −⎜− 2⎟4 = 0 . 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
•
Los
vectores
(
2, − 3
)
y
(
3, − 5
)
no
son
colinealespues
(
) (
)
2 − 5 − − 3 .
3 = − 10 + 3 ≠ 0 . 2
Probemos ahora nuestro resultado: Dados dos vectores no colineales A y B en R , todo vector
X ∈ R 2 se puede expresar como combinación lineal de A y B. 2 Dado X = ( x, y) en se trata de probar que existen números reales α y β tales que ( x, y) = α ( a, b) + β ( c, d ). Pero esto es equivalente al sistema de ecuaciones en α y β :
⎧aα + cβ = x . ⎨ ⎩bα + d β = y Resolvamos entonces el sistema. Multiplicando por d la primera ecuación y por − c la segunda se obtiene ⎧adα + cd β = dx
⎨ ⎩−bcα − dcβ = − cy
Sumando las dos ecuaciones nos queda, (ad − bc)α = dx − cy, de donde α =
dx − cy ad − bc
, pues ad − bc ≠ 0 por ser
los vectores A y B no colineales. Reemplazando en una de las ecuaciones del sistema se obtiene β =
ay − bx ad − bc
solución y por tanto que existen los escalares α y β buscados.
EJEMPLO. Expresar el vector
(
)
2, π como combinación lineal de (1, 2) y ( −3,1) .
210
. Esto prueba que el sistema tiene
(
Solución. Encontremos α y β tales que
)
2, π = α (1, 2) + β (−3,1) .
Resolviendo el sistema
⎪⎧α − 3β = 2 ⎨ ⎪⎩ 2α + β = π se obtiene α =
2 + 3π 7
y β =
π − 2 2 7
..
El resultado anterior se expresa también diciendo que: “Dos vectores no colineales R
2
”.
Hemos demostrado que un vector no genera R R
2
generan el espacio
2
y que bastan dos vectores no colineales para generar 2
. Un conjunto de dos vectores no colineales se denomina una base del espacio R .
Puesto que existen infinitas bases, es conveniente elegir una de referencia que sea lo más sencilla posible. Indudablemente la base {(1,0), (0,1)} satisface esta condición pues todo vector ( x, y) se expresa en términos de esta base por
( x, y) = ( x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0,1). Se acostumbra a notar
estos vectores por i = (1,0) y j = (0,1). Se tiene entonces que ( x, y ) = xi + yj . Esta base se la conoce como la
base canónica de R 2 .
EJERCICIOS
1. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son colineales? Represente gráficamente dichos vectores. A = (1,3) , B = (2,5) b. A = (3,3) , B = ( −1, −1) c. A = (1,3) , B = (3,1) . Determinar x de manera que los siguientes pares de vectores sean colineales: a. A = (4, −1) y B = ( x − 1, 2 x + 1) .
a. 2.
b.
A = (4 x + 3, x + 1) y B = (2 x + 1, 2 x + 1) .
3. Demostrar que los puntos A = (1,2) , B = ( −3, 4) , C = ( −5,5) están alineados. 4. Dados los puntos A = (2,3) , B = (5,0) , C = (0, −1) . Calcular las coordenadas del punto fin de que ABCD sea un paralelogramo.
5. Calcular las coordenadas del punto M , tal que MB = k MA , en los siguientes casos: a.
A = ( −1, 4) , B = (5,3) ; k =
2 .
b. A = (2, −1) , B = (2,4) ;
211
k = −
1 3
.
D a
6. Dados los puntos A, B,C y
D . Demuestre que AB = DC . Deduzca entonces que ABCD es
un paralelogramo. a. A = (0,1) , B = (2,3) , C = (1,3) , D = ( −1,1) .
b.
A = (2, −1) , B = ( −1,1) , C = (1,4) , D = (4,2) .
7. Determine a para que se tenga CD = k AB . Precise el valor de k . a. A = (1, −3) , B = (3,0) , C = (5,2) , D = (−9, a + 2) . b. A = ( a + 2, 2 a) , B = ( a − 1, 2 a + 2) , C = (a, 2a) , D = (3a + 2, − a + 7) .
Distancia 2 Sea P un punto de R de coordenadas x , y , en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.
Su distancia d al origen O del sistema es la longitud de la hipotenusa en el triángulo rectángulo OxP. Se tiene entonces que
d=
2 2 x + y . A esta distancia la llamamos la norma o longitud del vector P
y la notaremos por P . Es decir
x +y . 2
P = ( x, y) =
2
EJEMPLOS •
(0, 0) = 02 + 02 = 0 .
•
(3, 2) = 32 + 22 = 13 .
•
(−5, 4) = ( −5) 2 + 42 =
25 + 16 =
41 .
. La norma de un vector posee algunas propiedades características que se indican a continuación: •
La norma de un vector es mayor o igual que cero y es igual a cero únicamente si es el vector nulo, pues x + y = 0 2
2
⇔
x + y =0 2
2
⇔ x = y = 0 Para todo P ∈ R 2 , P ≥ 0 y P = 0 ⇔ P = 0. •
2 Si α es un número real y P es un vector en R , entonces α P = α P .
Distancia entre dos puntos 212
Dados dos puntos P y Q en , la norma del vector P − Q se denomina la distancia entre P y Q. 2
Si P = ( x1 , y1 ) y Q = ( x2 , y2 ) , entonces la distancia d ( P, Q) entre P y Q es P−Q
= =
=
( x1 , y1 ) − ( x2 , y2 )
( x1 − x2 , y1 − y2 ) ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 ) 2 .
d ( P, Q) =
( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2
Observe que d ( P, Q) = d (Q, P) y d ( P, Q ) = 0 ⇔ P = Q.
EJEMPLOS 1. Si P = (1,2) y
Q = ( −3,5) , entonces d ( P, Q )
2.
=
(1 − ( −3)) 2 + (2 − 5) 2
=
42 + ( −3) 2
=
25 = 5.
Sea el triángulo cuyos vértices son los puntos A = (0,4) , B = (6, −1) y C = (−3, −2) . Su perímetro p es
=
p
3.
d ( A, B) + d ( B, C ) + d ( C, A)
=
(0 − 6)2 + (4 + 1)2 + (6 + 3)2 + (− 1+ 2)2 +
=
61 + 82 + 45
(− 3)2 + (− 2 − 4)2
2 Dado un punto fijo A = ( a, b) en R , el conjunto de los puntos X = ( x, y) tales que su distancia a A es una constante positiva r se denomina el círculo de centro A y radio r . Se tiene entonces que X es un punto de este círculo si y solo si d ( X , A) = r ; o lo que es lo mismo
X − A = r
⇔
2 2 ( x − a) + ( y − b) = r
⇔ ( x − a) 2 + ( y − b)2 = r 2 . La última igualdad se conoce como la ecuación cartesiana del círculo con centro ( a, b) y radio r
213
EJERCICIOS 1. Hallar la norma de cada uno de los siguientes vectores a. (2,3) b. ( 2,π ) . c. (−3, 0) d. ( a, a + 1)
2. Sea A = −3i + 4 j . Calcular
A .
3. Si A ≠ 0 , muestre que (1/ A ) A es un vector unitario. 4. Hallar la distancia d ( A, B) en cada uno de los siguientes casos : a. A = (1,3) , B = (2,1) b. A = ( −1, −3) , B = ( −1,3) c. A = ( x, 0) ,
B = (0, y) d. A = (1, 2) ,
B = (π ,1 − 3) .
5. Dados los puntos
A = (2,3) , B = (1,1) , C = (3,1) . Calcular d ( A, B) y d ( A, C ) . ¿Cuál es la naturaleza del triángulo ABC ? Lo mismo que en el ejercicio anterior para los puntos A = (−2, −1) , B = (8,4) y C = (4,7) . Dar una ecuación del círculo de centro O (origen de coordenadas) y de radio 2 . Dar la ecuación del círculo de centro A = ( −1, 2) y radio 5 .
6. 7. 8. 9. ¿Cuál es el conjunto de puntos M = ( x, y) tales que ( x − 3)2 + y 2 = 16?
Vectores ortogonales Definición. Sean
P = ( x1 , y1 ) y Q = ( x2 , y2 ) vectores en R 2 . Se dice que los vectores P y Q , son
ortogonales si y solo si x1 x2
+ y1 y2 = 0.
EJEMPLOS •
Los vectores P = (1;1) y Q = (1; − 1) son ortogonales, pues 1×1 + 1 × ( −1) = 0.
•
Los vectores P = (3;4) y Q = (4; − 3) son ortogonales, pues 3 × 4 + 4 × ( −3)
= 0.
•
Los vectores i = (1; 0) y j = (0;1) son ortogonales, pues 1× 0 + 0 ×1 = 0.
•
Los vectores P = (a; b ) y Q = (−b; a ) son ortogonales, pues a × ( −b ) + b × a = 0.
LA LÍNEA RECTA
Sea A un punto, L una recta que pasa por A yV un vector paralelo a la recta L . Es claro que si X es un punto cualquiera de la recta L , el vector AX es paralelo al vector V y en
consecuencia se puede expresar en la forma AX = tV , donde t es un escalar.
214
Lo expresado anteriormente justifica la siguiente definición:
Definición de recta. Sea A un punto del plano y V un vector no nulo de 2 . El conjunto
{
}
L = A + tV , con t ∈
se denomina la recta que pasa por el punto A y es paralela al vector V . El vector V se denomina un vector director de la recta L.
Ecuación vectorial de la recta De acuerdo con la definición de recta, cualquier punto X = ( x; y ) de L es de la forma
X = A + tV , para algún escalar (número real) t . La ecuación X = A + tV , se denomina la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto A y tiene como vector director al
vector V .
EJEMPLOS 1. La recta que pasa por el punto A = (−3; 2) y es paralela o tiene como vector director al
vector V = (2; − 5) tiene como ecuación vectorial ( x, y ) = (−3; 2) + t (2; − 5).
2. La recta que pasa por los puntos A = (−3; −4) y B = (2;5) tiene como vector director al
vector AB = ( 2;5 ) − (−3; −4) = ( 5;9 ). Por tanto su ecuación vectorial podemos escribirla
como X = A + tV , es decir, ( x; y ) = ( −3; −4) + t ( 5;9 ) , o también como X = B + tV , con lo cual la ecuación vectorial sería: ( x; y ) = (2;5) + t ( 5;9 ) , t ∈ . Este ejemplo nos hace ver que la ecuación vectorial de una recta no es única, pues podemos variar tanto el punto por el cual pasa como el vector director o vector paralelo a la recta. En general se tiene que la recta L que pasa por dos puntos A y B, tiene como un vector
director al vector V = B − A. La ecuación vectorial de la recta toma entonces la forma X = A + t ( B − A) , con t ∈ .
215
Ecuaciones paramétricas de la recta
Sean A = ( x0 , y0 ) y V
= ( a, b) ≠ ( 0; 0 ) puntos o vectores de
R
2
. Si X = ( x, y) es un punto cualquiera
de la recta L que pasa por A y es paralela al vector V , de la ecuación X = A + tP se sigue que ( x, y ) = ( x0 , y0 ) + t ( a, b), de donde,
⎧ x = x0 + at , t ∈ . ⎨ = + y y bt 0 ⎩ El par de ecuaciones
⎧ x = x0 + at , t ∈ , ⎨ = + y y bt 0 ⎩ se llaman llaman ecuaciones paramétricas de la recta L . Dichas ecuaciones dependen del "parámetro" t , y los diferentes puntos ( x, y ) de L se obtienen a medida que t recorre todos los números reales.
EJEMPLOS 1. Hemos visto que la recta que pasa por el punto
A = (−3; 2) y y es paralela al vector
director V = (2; − 5) tiene como ecuación vectorial
( x, y ) = (−3; 2) + t (2; − 5). De
dicha
ecuación se sigue que: ( x, y ) = (−3; 2) + t (2; − 5) ⇔ ( x, y ) = ( −3 + 2t; 2 − 5t ) , t ∈ . De donde, por la igualdad de pares ordenados se concluye que ⎧ x = −3 + 2t , con t ∈ , ⎨ ⎩ y = 2 − 5t son las ecuaciones paramétricas de la recta. Es claro que si damos valores al parámetro t , obtendremos en cada caso un punto de la recta. Así por ejemplo, si: • t = 1, obtenemos en la recta el punto P1 = ( −1; − 3).
•
t = 2, obtenemos en la recta el punto P2 = (1; − 8).
• •
t = 0, obtenemos evidentemente el punto A. t = − 1, obtenemos en la recta el punto P3 = ( −5; 7) .
2. Para la recta que pasa por los puntos A = (−3; −4) y B = (2;5), su ecuación vectorial está dada por ( x; y ) = (−3; −4) + t ( 5;9 ) , de donde se deduce que sus ecuaciones paramétricas son
⎧ x = −3 + 5t , con t ∈ . ⎨ y 4 9 t = − + ⎩
216
Ecuación cart siana de l a recta De las ecuaciones paramétricas e la recta
⎧ x = x0 + at , t ⎨ = + y y bt 0 ⎩ elimi ando el pa ámetro t se sigue qu Hacie do A = b, B = − a y
,
b( x − x0 ) = a ( y − y0 ) ,
e donde b − ay = bx0
ay0 .
= ay0 − bx0 , se sigue ue bx − ay = bx0 − ay0 , se puede escribir
como: Ax + By + C = 0. La ec ación Ax + By + C = 0, se denomina la ecuación cartesiana de la recta L. Si la ecta L es aralela al je X , el vector ( a, b) es paralelo al vector (1 0 ) . Usand este últim como vect r director s tiene ⎧ x = x0 + at
⎧ x x0 + t , , t ∈ t ∈ ⇔ ⎨ ⎨ y = y + bt y y 0 0 ⎩ ⎩
Se dice entonces ue la ecuac ón cartesia a de dicha ecta es y = y0 . De m nera simila , la ecuació de una recta paralela al eje Y es d e la forma
EJE 1.
PLOS
= c
L recta que pasa por el punto A = (1;1) y tie e como ve tor directo V = ( 2;3 ) tiene
c mo ecuaci n vectorial X = A + t ⇔ ( x, y ) = (1;1) + t ( 2;
),
con t ∈ . Por tanto sus
⎧ x = 1 2t e uaciones p ramétricas son ⎨ , t ∈ . Eliminand el paráme ro t , se obtiene: y 1 3 t = + ⎩ x − 1
2.
y − 1
, o lo que es lo mismo 3 x − 2 y − 1 = 0, que es la ecuació cartesiana de la 2 3 recta. Hallar las e uaciones c rtesianas d e los lado del triángulo de vértices A = ( 2;1) ,
=
= (1;5) y
= ( 5; −2 ) .
S lución: 217
Debemos encontrar las ecuaciones cartesianas de los lados AB, BC y AC . Dichos lados tienen
como
vectores
AB = ( 3; 4 ) , BC = ( 4; −7 )
directores
AC = ( 7; −3 ) .
y
Consecuentemente, las ecuaciones vectoriales de dichos lados son:
Lado AB : X = A + t AB ⇔ ( x, y ) = (1;1) + t ( 3; 4 ) , con t ∈ .
Lado BC : X = B + t BC ⇔ ( x, y ) = (1;5 ) + t ( 4; −7 ) , con t ∈ .
Lado AC : X = A + t AC ⇔ ( x, y ) = ( 3; 4 ) + t ( 7; −3) , con t ∈ . Se sigue entonces que las ecuaciones paramétricas y cartesianas son las siguientes: Lado AB Lado BC Lado AC
⎧ x = 1 + 3t , t ∈ . ⎨ y 1 4 t = + ⎩ x − 1
3
=
⎧ x = 1 + 4t , t ∈ . ⎨ y 5 7 t = − ⎩
y −1
x − 1
4
4
=
⎧ x = 3 + 7t , t ∈ . ⎨ y 4 3 t = − ⎩
y −5
x − 3
−7
7
4 x − 3 y − 1 = 0
7 x + 4 y − 27 = 0
=
y−4
−3
3 x + 7 y − 37 = 0
Pendiente de la recta. Si en la ecuación cartesiana Ax + By + C = 0 de la recta, B ≠ 0, entonces despejando y se obtiene: A C y = − x − . B B A El coeficiente de x, − , se denomina la pendiente de la recta. B Si consideranos la recta que pasa por los puntos A = ( x1 , y1 ) y B = ( x2 , y2 ) , tenemos que:
X = A + t AB ⇔ ( x, y ) = ( x1 , y1 ) + t ( x2 − x1 , y2 − y1 )
⎧⎪ x = x1 + t ( x2 − x1 ) ⇔ ⎨ ⎪⎩ y = y1 + t ( y2 − y1 ) y − y1 x − x1 ⇔ = y2 − y1 x2 − x1 y − y ⇔ y − y1 = 2 1 ( x − x1 ) x2 − x1 y − y ⇔ y = 2 1 ( x − x1 ) + y1 x2 − x1 El número
y2 − y1 x2 − x1
es la pendiente de la recta y lo notaremos m, es decir, la pendiente de la
218
recta que pasa por los puntos A = ( x1 , y1 ) y B = ( x2 , y2 ) , está dada por: m =
Observación. Si el vector director de la recta, es el vector m=
está dada por:
b a
y2 − y1 x2 − x1
.
V = ( a; b ) , la pendiente de la recta
.
Además, si dicha recta pasa por el punto A = ( x1 , y1 ) , la ecuación cartesiana de la recta está dada
por: y − y1 = m ( x − x1 ) .
EJEMPLOS 1. Sean A = (2,1) y V = ( 3;5) , la ecuación cartesiana de la recta que pasa por A y es paralela al 5 vector V es y − 1 = ( x − 2), o lo que es lo mismo 5 x − 3 y − 7 = 0. La pendiente de dicha recta 3
es m =
2.
5 3
.
Sean los puntos A = ( −1,3) y B = ( −2,5) , como la recta que pasa por los puntos A y B tiene
como vector director el vector AB = B − A = ( −1; 2) , entonces su pendiente es igual a
m =
2
−1
= − 2. La ecuación cartesiana de dicha recta es: y − 3 = −2( x + 1) o 2 x + y = 1 .
Rectas paralelas y rectas perpendiculares Es natural decir que: dos rectas son paralelas si sus respectivos vectores directores son paralelos y son perpendiculares si sus respectivos vectores directores son perpendiculares.
Observación. Si una recta
L tiene como vector director el vector V = ( a; b ) , la recta
perpendicular tiene como vector director al vector N = ( −b; a ) . Por tanto, la pendiente de la recta L es m1 =
b a
219
. La pendiente de la recta perpendicular es
m2 =
a b ⎛ a⎞ = − . Note además que m1 × m2 = × ⎜ − ⎟ = −1. −b b a ⎝ b⎠ a
Es decir que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a −1. 1 . m1 × m2 = −1 ⇔ m2 = − m1
EJEMPLOS
1. Hallar la ecuación cartesiana de la recta L1 que pasa por el punto P ( 2; −3) y es paralela a la recta L de ecuación cartesiana 2 x + 3 y + 5 = 0. Encontrar además la ecuación de la recta L2 perpendicular a la recta L que pasa por el punto P.
Solución: De la ecuación 2 x + 3 y + 5 = 0, se sigue que y = − recta L es igual a y − ( −3) = −
2 3
2
5 x − , por lo tanto la pendiente de la 3 3
2
− . La ecuación de la recta paralela L1 está dada por: 3
( x − 2 ) , o lo que es lo mismo: y = −
2
5 x− . 3 3
La pendiente de la recta L2 perpendicular a L es igual a m2 = −
ecuación cartesiana es: y − ( −3) =
2.
3
( x − 2 ) , o también, y =
3
2 2 Sea L la recta que pasa por los puntos A ( 3; 2 ) y B ( 6; −1) .
1 3 = . Luego su 2 2 − 3
x − 6.
a. Hallar la ecuación cartesiana de la recta L1 paralela a la recta L y que pasa por el punto P ( 2;5) .
b. Hallar la ecuación cartesiana de la recta L2 perpendicular a la recta L y que pasa por el punto B ( 6; −1) .
c. Hallar la ecuación cartesiana de la recta L3 perpendicular a la recta L y que pasa por el punto P ( 2;5 ) .
Solución: La recta L que pasa por los puntos A ( 3; 2 ) y B ( 6; −1) , tiene como vector director el
vector V = AB, es decir, el vector V = ( 3; − 3) , luego su pendiente es m =
a.
−3
= − 1. 3 La ecuación cartesiana de la recta L1 paralela a la recta L y que pasa por el punto P ( 2;5) , está dada por y − 5 = − ( x − 2 ) , o también por y = − x + 7.
b. Un vector director de la recta L2 perpendicular a la recta L y que pasa por el punto B ( 6; −1) , es el vector N = ( 3;3) , luego su pendiente es m2 = 1. La ecuación
cartesiana de dicha recta es y − ( −1) = ( x − 6 ) , o también, y = x − 7. 220
c. La recta
L3 también es de pendiente 1, por tanto su ecuación cartesiana es:
y − 5 = ( x − 2 ) , o también, y = x + 3.
3. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta de ecuación cartesiana y = − 2 x + 5. Solución: Para determinar las ecuaciones paramétricas necesitamos un punto por donde pasa la recta así como un vector director. Si determinamos dos puntos de la recta, tendremos todos los elementos necesarios. Así, si x = 0, entonces y = 5. Luego el punto A ( 0;5 ) pertenece a la recta. Otro punto obtenemos por ejemplo si hacemos x = 2; se obtiene y = 1; con lo cual el punto B ( 2;1) pertenece a la recta. Un vector director es entonces el vector
V = AB = ( 2; −4 ) . La ecuación vectorial de la recta es entonces X = A + tV , es decir,
( x, y ) = ( 0;5 ) + t ( 2; −4 ) . De la ecuación vectorial, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:
⎧ x = 2t , con t ∈ . ⎨ ⎩ y = 5 − 4t
EJERCICIOS 1.
Sea la recta en
R
2
con ecuación cartesiana x − 2 y = 3 . Halle una ecuación cartesiana de la recta
que pasa por (1,1) y es:
a. b. 2.
paralela a la recta dada. perpendicular a la recta dada. 2 Sean las rectas L1 y L2 en R con ecuaciones cartesianas a1 x + b1 y = c1 y a2 x + b2 y = c2 , encuentre condiciones sobre a1 , b1 , a2 y b2 para que las rectas sean:
a. b.
paralelas, perpendiculares. Si m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2 respectivamente, concluya que L1 y L2 son paralelas si y solo si m1 = m2 , y perpendiculares si y solo si m1 = −
3.
m2
.
Sea L una recta que pasa por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) con x1 ≠ x2 . Pruebe que su ecuación cartesiana es y − y1 =
4.
1
y2 − y1 x2 − x1
( x − x1 ).
En cada uno de los siguientes casos halle una ecuación cartesiana y las ecuaciones paramétricas de la recta L , donde L es la recta que pasa por
a. el punto (0,1) y es paralela al vector V = ( 2;5) . b. los puntos A ( −1;0 ) y B ( 4; −2 ) . c. los puntos P ( 0;0 ) y Q ( 3; 0) . d.
4 ⎛ 1 1⎞ el punto ⎜ − , − ⎟ y tiene pendiente . 5 ⎝ 2 3⎠
221
Distancia de un punto a una recta Teorema. La distancia de un punto P ( x0 , y0 ) a una recta L de ecuación cartesiana ax + by + c = 0, está dada por:
d ( P, L) =
ax0 + by0 + c a +b 2
2
.
EJEMPLOS 1.
Hallar la distancia del punto P ( −5; 3) a la recta L de ecuación cartesiana y
Solución:
=−
2 3
x + 2.
ax + by + c = 0, es decir,
En primer lugar, debemos expresar la ecuación de la recta en la forma
2 x + 3 y − 6 = 0, lo que nos permite identificar los valores de a y b; en este caso a = 2 y b = 3. Consecuentemente, la distancia del punto P a la recta L está dada por: 2 ( −5 ) + 3 ( 3 ) − 6 −7 7 7 13 = = = d ( P, L) = . 2 2 13 13 13 2 +3
2.
Hallar la distancia del punto P (2; 5) a la recta L que pasa por los puntos A ( −2; −3) y B ( 3; 0) .
Solución: 3.
Debemos encontrar la ecuación cartesiana de la recta. Como el vector V vector director de la recta L, la pendiente m de dicha recta es m =
3 5
= AB = ( 5;3 ) es un
. Utilizando el punto
B ( 3;0 ) , y la pendiente, se sigue que la ecuación cartesiana de la recta es: y − 0 =
3 5
( x − 3) , que
se escribe como 3 x − 5 y − 9 = 0. Consecuentemente, la distancia buscada está dada por
d ( P, L ) =
3 ( 2 ) − 5 ( 5) − 9 3 + ( −5) 2
=
28
2
34
=
14 34 17
.
EJERCICIOS 1.
Hallar la distancia del punto A ( 3; 2 ) a la recta de ecuación cartesiana x + y − 2 = 0.
2.
Hallar la distancia del punto P ( −2;1) a la recta L que pasa por el punto A ( 2;3 ) y que es
perpendicular a la recta de ecuación cartesiana x + y − 2 = 0. 3. Hallar la distancia entre las rectas de ecuaciones cartesianas x − 2 y + 4 = 0 1 y = x + 10. 2 4. Calcular el área del triángulo de vértices A (1;1) , B ( 3; 7 ) y C ( 6; − 2 ) . 5.
Hallar la distancia del punto P ( 3; − 2 ) a la recta que pasa por los puntos A ( 2; − 1)
y
y
B ( 4;3) .
6.
¿Para qué valor de m, la distancia del punto B ( −2;3 ) a la recta y = mx − 2 es igual a 2 ?
222
