ROBABILIDADES (ITEL-30205) CÁLCULO VECTORIAL (0254) Tema1.1.Integrales Fundamentos de Estadística Descriptiva Tema de Línea y sus Aplicaciones de frecuencias y medidas Semana 01 –Distribución Clase 01 – Miércoles 11/12/13 – 2:00dea localización 5:00 pm
Objetivos a lograr: • • • •
Caracterizar los campos escalares y los campos vectoriales y establecer diferencias notables Estudiar los operadores diferenciales tales como el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano Destacar los campos escalares y vectoriales de acuerdo a la valoración numérica de los operadores aplicados Usar la herramienta MATLAB para visualizar campos vectoriales en R2 y en R3
1. CAMPO ESCALAR Y CAMPO VECTORIAL 1.1. Campo escalar. Es una función f : Rn → R que asigna a cada valor de r un único valor f(r).
Observaciones de interés: •
Geométricamente un campo escalar se representa mediante isoescalares las superficies (superficies en las que el valor f(r) se mantiene constante). De acuerdo a la magnitud, se llamarán isotermas, isobaras, etc
•
Una manera de representar un campo vectorial es mediante las líneas de fuerza, que son líneas tangentes en todo punto a la dirección del campo. Para lograr que las líneas hablen del módulo del campo se dibujan de tal manera que la densidad de líneas sea proporcional a dicho módulo
•
Un campo (escalar o vectorial) se dice estacionario , si no depende del tiempo, sino únicamente de las coordenadas espaciales y no estacionarios , cuando hay dependencia temporal
1.2. Ejemplo 1. Para describir matemáticamente un campo escalar se tiene, por ejemplo, M = f(x, y, y, z) z) . Si se quiere definir el campo escalar distancias al origen de coordenadas se tiene M = f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 . Dado un punto del espacio se tiene bien escrita una magnitud para ese punto. En el punto (1,1,1) la magnitud, en este caso, es 3 .
1.3. Campo vectorial. Es una función A : Rn → R n que asigna a cada valor de r un único valor A(r). 1.4. Ejemplo 2. Un ejemplo (que representa una fuerza cualquiera) de campo vectorial Note que M(x, y, z) = x2i + y2 j + xy k .
sería las
componentes de un campo vectorial son cada una campos escalares.
1.5. Ejemplo 3. En un día con mucho viento, la temperatura de cualquier parte de una ciudad será un campo escalar. Si para esta misma ciudad se toma la intensidad y dirección del viento como un vector se tendrá un campo vectorial.
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2. DIBUJO DE CAMPOS VECTORIALES Se usará la herramienta tecnológica MATLAB para dibujar campos vectoriales en R2 y en R3. Se muestra el conjunto de comandos y la figura generada en cada caso. Los campos dibujados en R2 vienen como sigue:
[x,y]=meshgrid(-1:.5:1); u=-y; v=x; quiver(u,v), axis square
F(x, y) = (−y, x) llamado campo circular (figura 1)
title('CAMPO CIRCULAR EN R^2')
F(x, y) = (x,sen(y)) llamado campo divergente (figura
[x,y]=meshgrid(-1:.5:1);
2).
u=x; v=sin(y); quiver(u,v), axis square title('CAMPO DIVERGENTE EN R^2')
El campo dibujado en R3 corresponde a
98x 98y 98z , , − − 2 2 2 3/2 (x 2 + y 2 + z2)3/2 (x 2 + y 2 + z 2)3/2 (x + y + z )
F(x,y,z) = −
[x,y,z]=meshgrid(0:.05:.1); u=-98*x./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2); v=-98*y./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2);
llamado campo gravitatorio (figura 3).
w=-98*z./(x.^2+y.^2+z.^2).^(3/2); quiver3(x,y,z,u,v,w), axis square title('CAMPO DE TIPO GRAVITATORIO' )
CAMPO CIRCULAR EN R
2
6
5
4
3
2
1
0 0
1
2
3
4
5
6
Figura 1. Campo circular
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2
2
CAMPO DIVERGENTE EN R 6
5
4
3
2
1
0 0
1
2
3
4
5
6
Figura 2. Campo divergente
CAMPO DE TIPO GRAVITATORIO
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 0.15 0.1
0.15 0.1
0.05 0.05 0
0 -0.05
-0.05
Figura 3. Campo gravitatorio
3. OPERADORES DIFERENCIALES Y CAMPOS ESPECIALES ˆ , es un objeto que transforma a una función g, en otra h, es 3.1. Operador. Un operador , O ˆ = h. decir, Og
3.2. Ejemplo 4. Al derivar una función f(x) , la función resultante, f '(x), generalmente es distinta. Por lo tanto, al procedimiento de derivación se le puede a signar un operador, df d ˆ f '(x) ≡ f(x) = Df(x) . = dx dx ˆ , se le llama operador diferencial . A este operador D
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3
3.3. Operador gradiente. Si f(x,y,z) es un campo escalar, se puede formar un vector con sus derivadas parciales, llamado gradiente de f, denotado como ∂f ∂f ∂f ∇f(x,y,z) = gradf(x,y,z) = i+ j+ k, ∂x ∂y ∂z en donde se reconoce el operador diferencial ∇ =
∂ ∂x
i+
∂ ∂y
j+
∂ ∂z
k
aplicado a la función f.
3.4. Gradiente de una función escalar. Es un vector que evaluado en un punto indica la dirección en la cual la función crece más rápidamente.
3.5. Campo gradiente. Un campo vectorial F es gradiente en una cierta región del espacio, si en todos sus puntos coincide con el vector gradiente de un campo escalar U, es decir, F = grad U .
3.6. Ejemplo 5. Si la función a la que se refiere es la temperatura, el gradiente de la temperatura indica la dirección en la que la temperatura crece más rápidamente.
3.7. Operador divergencia. Sea F(x,y,z) = (F1(x,y,z),F2(x,y,z),F3(x,y,z)) un campo vectorial en las variables x, y, z. La divergencia de F se define como ∂F3 ∂F1 ∂F2 , ∇ • F(x, y, z) = divF(x, y, z) = + + ∂x ∂y ∂z siendo F1 , F2 y F3 componentes escalares de F.
Observaciones de interés: •
La divergencia de F es un campo escalar (tal como se espera en un producto punto)
•
Para tener una idea de lo que significa la divergencia de F, considere que F es un campo de velocidad de un fluido y tome un pequeño elemento de volumen. Entonces la divergencia del campo de velocidad es una medida de como cambia F al volumen por unidad de tiempo y volumen (expansión y contracción). Es decir que la divergencia de un campo vectorial F es una medida relativa de lo que entra y sale en un elemento de volumen
•
El rotacional de F es un campo vectorial (tal como se espera en un producto cruz)
3.8. Campo solenoidal. Un campo vectorial F es solenoidal en una cierta región del espacio, si en todos sus puntos div(F) = 0 .
3.9. Operador rotacional. Sea F(x,y,z) = (F1(x,y,z),F2(x,y,z),F3(x,y,z)) un campo vectorial en las variables x, y, z. El rotacional del campo vectorial F se define como i j k ∇ × F(x, y, z) = rotF(x, y, z) = det ∂∂x ∂∂y ∂∂z F1 F2 F3 ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F = 3 − 2 i + 1 − 3 j + 2 − 1 k ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x
3.10. Campo irrotacional. Un campo vectorial F es irrotacional en una cierta región del espacio, si en todos los puntos de dicha región rot(F) = 0 .
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3.11. Campo armónico. Un campo vectorial F es
Observaciones de interés:
armónico en una cierta región del espacio, si en todos los puntos de dicha región es irrotacional y solenoidal, es decir, rot(F) = 0 y div(F) = 0 .
•
con segundas derivadas parciales continuas en un conjunto abierto D ⊆ R3 . Pruebe que a. div(rot(F)) = 0
Solución. Sea F(x, y, z) = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) .
rot(F) =
i
j
k
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
P
Q
R
•
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P , , − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
=
De modo que: ∂ ∂ ∂ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P div(rot(F)) = , , • , , − − − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y =
∂2R ∂x∂y
−
∂2Q ∂x ∂z
+
∂2P ∂y ∂z
−
∂2R ∂y ∂x
+
∂2Q ∂z ∂x
−
∂2P ∂z ∂y
=0
b. el campo vectorial
V(x, y, z) = (x, y, z)
no
Solución.
•
3.13. Ejemplo 7. Sea el campo vectorial dado por A(x,y,z) = (yz,xz,xy) . Demuestre que A es armónico.
Solución. rot(A) =
i
j
k
∂ ∂y
∂ ∂z
•
0
Por lo tanto, A es irrotacional. div(A) =
∂ ∂x
(yz) +
∂ ∂y
(xz) +
Si
F
= P(x, y)i + Q(x, y) j
es
un
y siempre apunta en la dirección k
= (x − x, −(y − y), z − z)
yz xz xy = (0,0,0) =
Para tener una idea de lo que significa el rotacional de F, considere que F es un campo de velocidad de un fluido y tome un pequeño elemento de volumen. Entonces el rotacional de F es una medida de la tendencia de giro en un elemento de volumen sobre sí mismo en cada punto del fluido; si ∇ × F = 0 , en el fluido no hay
campo vectorial en el plano, también se puede considerar como un campo vectorial en el espacio para el cual la componente k es cero y las otras dos componentes son independientes de z. Entonces, el rotacional de F se reduce a ∂Q ∂P ∇ ×F = − k ∂x ∂y
demostrado en el apartado anterior V no puede ser el rotacional de algún campo vectorial F.
∂ ∂x
un
"pequeños remolinos" o no hay desplazamiento relativo entre las capas vecinas de fluido
puede ser el rotacional de algún campo vectorial Suponga que Entonces V = rot(F) . div(V) = 3 ≠ 0 . Por tanto, de acuerdo a lo
F = P(x, y)i + Q(x, y) j es
campo vectorial en el plano, también se puede considerar como un campo vectorial en el espacio para el cual la componente k es cero y las otras dos componentes son independientes de z. Entonces, la divergencia de F se reduce a ∂F1 ∂F2 ∇ • F(x, y) = divF(x, y) = + ∂x ∂y
3.12. Ejemplo 6. Sea F un campo vectorial continuo y
Se tiene entonces que:
Si
∂ ∂z
Todo campo vectorial gradiente es irrotacional
(xy) = 0 + 0 + 0 = 0 .
Por lo tanto, A es solenoidal. En consecuencia, A es armónico.
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3.14. Operador laplaciano. El operador diferencial puede ser utilizado en más de una ocasión sobre una función de varias variables. Un ejemplo corresponde a la divergencia del gradiente de una función, conocida como el laplaciano de la función escalar f denotada como div(grad f) = ∇ • (∇f) = ∇2 f ,
Observaciones de interés: •
encontrar un campo escalar U tal que F = grad U
siendo el operador laplaciano en coordenadas cartesianas ∇
2
=
∂ 2
∂x
+
∂ 2
∂y
+
∂ 2
∂z
.
Todo campo irrotacional es un campo gradiente de un cierto campo escalar, es decir, dado un campo vectorial F tal que rot(F) = 0 , es siempre posible
•
Al campo escalar U se le llama potencial de F o función potencial de F o potencial
escalar de F 3.15. Identidades vectoriales. Existe un conjunto de identidades de uso frecuente en el cálculo diferencial vectorial como las mostradas en la tabla 1. ∇(f + g) = ∇f + ∇g 1. ∇(cf) = c∇f, c ctte 2. ∇(fg) = f∇g + g∇ f 3. 4. ∇(f / g) = (g∇f − f∇g) / g2 , g ≠ 0 5. div(F + G) = div(F) + div(G) 6. rot(F + G) = rot(F) + rot(G) 7. div(fF) = fdiv(F) + F • ∇f 8. div(F × G) = G • rot(F) − F • rot(G) 9. div(rot(F)) = 0 10. rot(fF) = f.rot(F) + ∇f × F 11. rot(∇f) = 0 12. ∇2 (fg) = f∇2g + g∇2 f + 2(∇f • ∇g) div(∇f × ∇g) = 0 13. 14. div(f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇ 2 f
•
Todo campo rotacional es solenoidal, es decir V = F ( rot( )) V = rot(F) ⇒ div(V) = 0
•
Al campo vectorial F se le llama
potencial vectorial de V •
La función potencial de todo campo vectorial armónico es un
campo escalar armónico •
El laplaciano de f es un campo escalar
•
Si f = f(x, y) , el laplaciano de f se reduce a 2
∇ f =
• Tabla 1. Identidades vectoriales, siendo f y g campos escalares y F y G campos vectoriales
∂2 f ∂x2
+
∂2 f ∂y2
Las funciones cuyo laplaciano es igual a 0 se denominan
funciones armónicas •
También se puede operador laplaciano
aplicar el 2 ∇ a un
campo vectorial de la forma F = (P,Q,R) . En tal sentido, se tiene que ∇2F = (∇2P, ∇2Q, ∇2R)
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4. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Diga si tiene sentido cada una de las siguientes expresiones. Si no, explique por qué. Si lo tiene, indique si el resultado es un campo escalar o un campo vectorial. a. rotacional f b. divergencia F c. gradiente F d. div(grad f) e. rotacional(rot F) f. (grad f) × (div F)
g. h. i. j. k. l.
gradiente f rotacional(grad f) grad(div F) grad(div f) div(div F) div(rotacional(grad f))
SOLUCIÓN. a. rotacional f. No tiene sentido. El rotacional se a plica a un campo vectorial b. divergencia F. Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar c. gradiente F. No tiene sentido. El gradiente se aplica a un campo escalar d. div(grad f). Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar e. rotacional(rot F). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial f. (grad f) × (div F) . No tiene sentido. El producto cruz se aplica entre campos vectoriales g. gradiente f. Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial h. rotacional(grad f). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial i. grad(div F). Si tiene sentido. Resultado. Campo vectorial j. grad(div f). No tiene sentido. La divergencia se aplica a un campo vectorial k. div(div F). No tiene sentido. La divergencia se aplica a un campo vectorial l. div(rotacional(grad f)). Si tiene sentido. Resultado. Campo escalar PROBLEMA 2. Coloque al lado de cada oración la letra V o F según sea verdadera o falsa respectivamente. a. F(x, y, z) = (f(x), g(y),h(z)) con f, g y h funciones diferenciables, es irrotacional b. V(x, y, z) = (x, y, z) puede ser el rotacional de algún campo vectorial c. div(rot F) = 0
d. Si r
= r(x, y, z) = (x, y, z) y r =
SOLUCIÓN. a. V b. F
c. V
r , entonces
∇•r = 2
d. F
PROBLEMA 3. Sea r(x, y, z) = (x, y, z) un campo vectorial no nulo y r Prof. José Luis Quintero
=
r . Demuestre que
∇2 (1 / r) = 0 .
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SOLUCIÓN. Se tiene ∇(1 r) = − r r 3 . Sabiendo que ∇(rn ) = nrn −2r , aplicando la identidad ∇ • (fF) = f(∇ • F) + F • ∇f se obtiene r 1 1 3 −3r (∇ • r) + r • ∇ 3 = 3 + r • 5 = 0 . = 3 3 r r r r r
∇•
PROBLEMA 4.
Sean el campo posición r(x, y, z) = (x, y, z) y el campo eléctrico
E = εQ
r 3 r
producido por una carga Q localizada en el origen, donde ε es una constante.
a. Demuestre que 1 r (∇ • E)r + ∇ × E + ∇ = − 3 . r r
b. ¿Qué características posee el campo eléctrico E?
SOLUCIÓN. a. Demuestre que 1 r (∇ • E)r + ∇ × E + ∇ = − 3 . r r
SOLUCIÓN. r r (∇ • E)r = (div(E))r = div εQ 3 r = εQ ∇ • 3 r r r ∂ ∂ ∂ x y z , , , , = εQ • r ∂x ∂y ∂z (x2 + y2 + z2 )3/2 (x2 + y2 + z2)3/2 (x 2 + y 2 + z 2)3/2 ∂ ∂ ∂ x y z + + r ∂x (x2 + y2 + z2 )3/2 ∂y (x2 + y 2 + z2)3/2 ∂z (x2 + y2 + z2 )3/2 (x2 + y2 + z2 )1/2(−2x 2 + y2 + z 2) (x 2 + y 2 + z 2)1/2(x 2 − 2y 2 + z 2) (x 2 + y 2 + z 2) 1/2(x 2 + y 2 − 2z 2) = εQ + + r (x2 + y2 + z2 )3 (x2 + y2 + z2)3 (x2 + y 2 + z2)3 2 2 2 1/2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2 (x + y + z ) (−2x + y + z + x − 2y + z + x + y − 2z ) (x + y + z ) .0 = εQ r = εQ r = 0 2 2 2 3 (x2 + y2 + z2)3 (x + y + z ) = εQ
∇ × E = rot(E) = rot εQ
r εQ εQ ∂(z) ∂(y) ∂(x) ∂(z) ∂(y) ∂(x) = rot( r ) = − , − , − =0 ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 3 r 3 r 3 ∂y
1 1 = ∇((x2 + y2 + z2 )−1/2 ) = ∇ r 2 2 2 x +y +z 2 2 2 − ∂((x + y + z ) 1/2 ) ∂((x 2 + y2 + z2 )−1/2 ) ∂((x 2 + y 2 + z 2) −1/2) , , = ∂x ∂y ∂z 2x(x2 + y2 + z2 )−3/2 2y(x2 + y2 + z2 )−3/2 2z(x2 + y2 + z2 )−3/2 ,− ,− = − 2 2 2 r x y z , , = − − − =− 2 2 2 3/2 2 2 2 3 /2 (x2 + y2 + z2 )3/2 (x + y + z ) (x + y + z ) r3
∇
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b. ¿Qué características posee el campo eléctrico E? SOLUCIÓN. El campo eléctrico E es irrotacional y solenoidal.
PROBLEMA 5. Las ecuaciones de Maxwell que relacionan la variación respecto al tiempo del campo eléctrico E, y el campo magnético H, en una región que no contiene carga ni corriente, se pueden expresar como sigue: 1 ∂H 1 ∂E , div(H) = 0 y rot(H) = , div(E) = 0 , rot(E) = − c ∂t c ∂t donde c es la velocidad de la luz. a. Utilice estas ecuaciones para demostrar que 1 ∂2E a.1. ∇ × (∇ × E) = − 2 2 c ∂t
a.2.
∇
1 ∂2E
2
E=
c2 ∂t2
b. ¿Qué nombre reciben los campos E y H? SOLUCIÓN. a. Utilice estas ecuaciones para demostrar que 1 ∂2E a.1. ∇ × (∇ × E) = − 2 2 c ∂t
SOLUCIÓN. 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂E 1 ∂2E 1 ∂H H (rot( )) . = − = − = − c ∂t c ∂t c ∂t c2 ∂t2 c ∂t
∇ × (∇ × E) = rot(rot(E)) = rot −
a.2.
∇
2
E=
1 ∂2E c2 ∂t2
SOLUCIÓN. ∇
2
E = grad(div(E)) − rot(rot(E)) = 0 +
1 ∂2E c2 ∂t2
=
1 ∂2E c2 ∂t2
.
b. ¿Qué nombre reciben los campos E y H? SOLUCIÓN. Como en cada uno de ellos su divergencia es nula e ntonces se llaman campos solenoidales.
PROBLEMA 6.
Sea el campo vectorial F(x, y,z) = (Ayz,Bxz,Cxy) . Determine las condiciones que deben cumplir los parámetros A, B y C para que F sea un campo a. solenoidal b. irrotacional c. armónico
SOLUCIÓN. a. solenoidal SOLUCIÓN. div(F) =
∂ ∂x
(Ayz) +
∂ ∂y
(Bxz) +
∂ ∂z
(Cxy) = 0 + 0 + 0 = 0
Por lo tanto, para cualquier terna de valores de A, B y C el campo F es solenoidal.
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b. irrotacional SOLUCIÓN.
rot(F) = ((C − B)x,(A − C)y,(B − A)z) = (0, 0, 0) = 0
Por lo tanto, para cualquier terna de valores de A, B y C donde los tres sean iguales, el campo F es irrotacional. c. armónico
SOLUCIÓN. Para toda terna de valores de A, B y C donde los tres sean iguales, el campo F es armónico.
PROBLEMA 7. Sean f una función real que admite primera y segunda derivada para cada número real, con f(1) = 1 , f '(1) = f ''(1) = 0 y g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 .f( x 2 + y2 + z2 ) . Calcule el laplaciano de g en cada punto P(x0 , y0 ,z 0 ) de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 1 .
SOLUCIÓN. Sea u = x2 + y2 + z2 . Se tiene entonces que x.f( x2 + y2 + z2 ) y.f( x2 + y2 + z2 ) z.f( x2 + y 2 + z2 ) + x.f '(u), + y.f '(u), + z.f '(u) x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
∇g(x, y, z) =
gxx (x, y, z) =
2 2 2 f( x + y + z ) +
x2 x2 + y2 + z2
x2 x2 + y2 + z2
.f( x2 + y2 + z2 ) + f '(u) + x.f ''(u)
x2 + y2 + z2
2 2 2 f( x + y + z ) + gyy(x, y, z) =
y2 x2 + y2 + z2
f( x2 + y2 + z2 ) +
z2 x2 + y2 + z2
gzz (x, y, z) =
.f '(u) x2 + y2 + z2 −
.f '(u) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + y2 + z2 .f '(u) x 2 + y 2 + z 2 −
y2 .f( x2 + y2 + z2
x 2 + y 2 + z 2)
z2 .f( x2 + y2 + z2
x 2 + y 2 + z 2)
+ f '(u) + y.f ''(u)
x2 + y2 + z2
+ f '(u) + z.f ''(u)
Sea P(x0 , y0 , z0 ) un punto de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 1 . Evaluando gxx(P) = f(1) + x 20.f '(1) − x 20.f(1) + f '(1) + x 0.f ''(1) = 1 − x 20 gyy (P) = f(1) + y20.f '(1) − y20 .f(1) + f '(1) + y0 .f ''(1) = 1 − y02
gzz (P) = f(1) + z20.f '(1) − z20.f(1) + f '(1) + z 0.f ''(1) = 1 − z 20
Calculando el laplaciano en P se tiene que 2 2 2 2 2 2 ∇ • ∇g(P) = gxx (P) + gyy(P) + gzz(P) = 1 − x 0 + 1 − y0 + 1 − z0 = 3 − (x 0 + y0 + z0 ) = 3 −1 = 2
PROBLEMA 8. Sean f(u) una función derivable de la variable u, el campo r(x, y, z) = (x, y, z) y r = r . Se define el campo vectorial F mediante F(x, y, z) = f(r).r .
a. Obtenga div(F) b. Pruebe que F es un campo irrotacional en todos los puntos de R3 excepto en r
=0
SOLUCIÓN. a. Obtenga div(F) SOLUCIÓN. Siendo F(x, y, z) = (x.f( x2 + y2 + z2 ), y.f( x 2 + y 2 + z2 ), z.f( x 2 + y 2 + z 2 )) se tiene que Prof. José Luis Quintero
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div(F) = =
∂ ∂x
(x.f( x 2 + y2 + z2 )) +
x2 2 x + y2 + z2 y2 x2 + y2 + z2 z2 x2 + y2 + z2
=
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
∂ ∂y
(y.f( x 2 + y 2 + z2 )) +
∂ ∂z
(z.f( x 2 + y 2 + z 2 ))
f '( x2 + y2 + z2 ) + f( x2 + y2 + z2 ) + f '( x2 + y2 + z2 ) + f( x2 + y2 + z2 ) + f '( x2 + y2 + z2 ) + f( x2 + y2 + z2 ) f '( x2 + y2 + z2 ) + 3f( x2 + y2 + z2 ) = r.f '(r) + 3f(r)
b. Pruebe que F es un campo irrotacional en todos los puntos de R3 excepto en r = 0 SOLUCIÓN. Siendo F(x, y, z) = (x.f( x2 + y2 + z2 ), y.f( x 2 + y 2 + z2 ), z.f( x 2 + y 2 + z 2 )) se tiene que rot(F) =
i
j
k
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
x.f( x2 + y2 + z2 ) y.f( x2 + y2 + z2 ) z.f( x2 + y 2 + z2 ) = ( ∂∂y (z.f( r)) − ∂∂z (y.f(r)), ∂∂z (x.f( r)) − ∂∂x (z.f( r)), ∂∂x (y.f( r)) − ∂∂y (x.f( r))) y y = (z.f '(r). r − y.f ' (r). zr , x.f ' (r). rz − z.f ' (r) xr , y.f '(r) xr − x.f '(r). r ) = (0, 0, 0)
Por lo tanto rot(F) = 0 , r ≠ 0 .
Prof. José Luis Quintero
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