Integral Tentu

INTEGRAL TENTU

A. PENGERTIAN INTEGRAL

Integral adalah anti turunan atau anti diferensial. Misalkan diketahui:

      Maka turunannya adalah:

        ke    merupakan operasi pendiferensial atau operari Proses pengerjaan dari   turunan, sedangkan proses pengerjaan dari      ke     merupakan operasi kebalikan dari turunan, yang dinamakan  Integral atau anti turunan.

 disebut sebagai anti diferensial atau anti turunan dari suatu fungsi    jika berlaku     . Suatu fungsi

B. NOTASI INTEGRAL

  suatu turunan dari , maka notasinya adalah     atau dapat juga dituliskan sebagai ( )   . Sebaliknya,  adalah anti turunan dari   maka notasi atau symbol untuk operasi anti turunan atau integral adalah ∫ kita tuliskan: ∫    Jika

Dengan: 





 adalah fungsi integral umum yang bersifat      ;   disebut fungsi integral;  adalah konstata dan   .

 Makdar Anwar

Integral Tentu

1

C. MACAM  – MACAM INTEGRAL 1. Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu adalah integral yang batas bawah dan batas atasnya tidak  diketahui. Contoh:

∫  2. Integral Tentu

Integral Tentu adalah kebalikan dari integral tak tentu. Maksudnya, integral tentu adalah integral yang batas bawah dan batas atasnya diketahui. Contoh:

∫  Tapi dalam makalah ini yang akan dibahas adalah Integral Tentu.

D. RUMUS DASAR INTEGRAL

Integral merupakan operasi invers atau kebalikan dari operasi turunan. Karena itu, rumus-rumus integral dapat diturunkan dari rumus-rumus turunan. Karena turunan bernotasi

    sedangkan integral bernotasi kebalikan    . Mari kita perhatikan ilustrasi berikut:

    maka    Berarti, ∫       Jika suatu

 Makdar Anwar

Integral Tentu

2

Dari ilustrasi diatas kita dapat mengambil kesimpulan bahwa rumus dasar integral adalah:

∫       Karena pada turunan belaku:

     Dari cari yang sama seperti di atas, kita juga akan memperoleh aturan berikut:

∫        Dengan  konstanta sembarangan E. TEOREMA DASAR INTEGRAL KALKULUS

Melalui proses yang panjang, teorema dasar integral kalkulus dapat ditulis dalam bentuk:

∫    Dengan  adalah anti turunan dari   yang bersifat      . Penulisan   dapat juga dituliskan dengan notasi kurung siku berikut: . Dengan demikian teorema dasar integral kalkulus dapat dituliskan:

∫    Dengan: 



 adalah anti diferensial dari  , dan    .  dan  dinamakan sebagai batas bawah dan batas atas pengintegralan.

 Makdar Anwar

Integral Tentu

3

F. MENGHITUNG INTEGRAL TENTU DENGAN MENGUNAKAN TEOREMA DASAR INTEGRAL KALKULUS

Untuk lebih memahami cara menghitung integral tentu dengan teorema dasar integral kalkulus, coba kita selesaikan bebarapa contoh berikut: Contoh: Hitunglah nilai integral tentu dari fungsi-fungsi aljabar berikut! 1. 2.

∫   ∫  

∫    4. ∫        3.

Penyelesaian: 1.

2.

∫              * +                         ∫                        

 Makdar Anwar

Integral Tentu

4

3.

4.

∫                 ()()  ∫                           *    +                               

G. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU

1.

∫  Bukti:

∫      Contoh:

∫                     

 Makdar Anwar

Integral Tentu

5

2.

∫  ∫  Bukti:

∫           ∫  Contoh:

∫                            Maka: ∫                   Jika:

3.

∫   ∫   Bukti:

∫           ∫   Contoh:

∫   ∫     ∫       ∫      * +  *    +  *  +   *+     Bandingkan dengan:

∫    ∫               Makdar Anwar

Integral Tentu

6

4.

∫      ∫    ∫   Bukti:

∫    [(  )(  )]  ∫    ∫   Contoh:

∫       ∫    ∫  *   +        *        +[(  )(  )]  *  +  +    *       *  +        *+         5.

∫    ∫    ∫   Bukti:

∫    ∫    ∫             ∫  

 Makdar Anwar

Integral Tentu

7

Contoh:

∫    ∫    ∫    * +   * +   *    +*    +  *  +*  +  *+  *+      Bandingkan dengan:

∫  * +                 Sumber Buku: Purwanto, Heri, Gina Indriani, Erlina Dayanti, Kalkulus, Jakarta: Encorta Rajawali, 2005.

 Makdar Anwar

Integral Tentu

8