C. Inte Integral gral Terte ertentu ntu C. 1. 1. Mem Memaha ahami mi Luas Luas Seb Sebaga agaii Limit Limit Suatu Suatu Jum Jumlah lah Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut.
A
ktivitas di
K
elas
x2 pada interval >0, 3@ .
1.
Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f (x)
2.
Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing 'x
9
3 , memakai titikn
titik x0 0 x1 x2 … xn 1 xn 3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya 'x dan tingginya f (xi). Tentukan pula luas setiap persegi panjang tersebut! Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut! Dengan memilih 'x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi kurva f (x) 9 x2, sumbu-x sumbu-x, garis x 0, dan x 3. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!
3. 4. 5.
6.
Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya.
y 9
f (x) 9 x2
Setelah membagi interval >0, 3@ menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing 'x
3 , kalian memperoleh: n
x0 0 x1 'x x2 x3 #
xi
2'x 3'x
3 n
6 n
9 n
# i'x
'x
x0 O
#
x1
x3 3
x
Gambar 1.2 Daerah yang dibagi menjadi n selang bagian
3i n
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah: 2 3i · 3 § 3i · · 3 § 27 27 27 § § (f ix) ' x f¨ ¸ u ¨¨ 9 ¨ ¸ ¸¸ u ¨ 3 n ©n¹ n © ©n¹ ¹ n © n
2
· ¹
i¸
Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut. L f (x1)'x f (x2)'x . . . f (xn)'x
§¨ 27 ©n
27 12 · ¸ n3 ¹
……(*)
§¨ 27 273 2 2 ·¸ " §¨ 27 273 n2 ·¸ n n ©n ¹ ©n ¹
Dengan memilih 'x o 0 maka n of, sehingga akan diperoleh luas daerah yang dibatasi kurva f (x) 9 x2, sumbu-x sumbu-x, garis x 0, dan x 3 sebagai berikut. L(R) lim §¨ 18 §¨ 2 ·¸ ·¸ 18 n f 2©n n ¹ 9 3
o
1
©
¹
Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut. L(Rn)
f (x1)'x f (x2)'x … f (xn)'x
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut. n
L(Rn )
Jika 'x
o
¦ f ( xi )'x i 1
0, maka akan diperoleh n
L(Rn )
'lixm0 ¦ f ( xi )'x o
i 1
Dengan mengambil batas daerah x1 a dan x2 b, maka bentuk di atas merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai L
b
³ f( x) d x a
3
3
1 º Sehingga diperoleh (9 x ) dx 9 x x3 » 3 ¼0 0
³
2
27 9 18. b
Jika fungsi f fungsi f terdefinisi pada interval [a [a, b], maka
³ f ( x) dx adalah integral a
tertentu terhadap fungsi f fungsi f dari dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut. b
b
³ f ( x) dx > f x@
a
F b F a
a
dengan: f (x) fungsi integran a batas bawah b batas atas b
Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu ³ f ( x) dx a
adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya adalah fungsi.
C. 2.
Teor Te orem ema a Dasa Dasar r Kalk Kalkul ulus us
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.
Jika f kontinu pada interval >a, b@ dan andaikan F sembarang b
antiturunan dari f pada interval tersebut, maka ³ f ( x) dx F (b) F (a). a
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut. Teorema 1
Kelinearan Jika f dan g terintegralkan pada interval [a [a, b] dan k suatu konstanta, maka a. b. c.
b
b
a
a
³ k f ( x) d x k ³ f( x) dx b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
³ ( f ( x) g( x)))) dx ³ f( x) dx ³ g( x) dx ³ ( f ( x) g( x)))) dx ³ f( x) dx ³ g( x) dx
Teorema 2
Perubahan batas Jika f terintegralkan pada interval [a, [a, b] maka: a
a.
³ f( x) dx 0
b.
a
a
b
b
a
³ f( x) dx ³ f( x) dx
Teorema 3
Teorema penambahan interval
Jika f f terintegralkan terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka c
b
a
a
³ f( x) dx ³ Teorema 4 Kesimetrian
c
f ( x) dx dx ³ f ( x) dx b
Akan dibuktikan teorema 1a 1a dan 1c 1c, teorema 2b 2b, dan teorema 3. Pembuktian Teorema 1a
1a . Jika
F (x) sembarang antiturunan dari f (x), maka
b
b
³ kf (x ) dx >kF( x )@a a
kF (b) kF (a) k(F (b) F (a)) b
k ³ f ( x) dx a b
b
a
a
d x k ³ f ( x ) dx dx Jadi, ³ kf ( x ) dx
Pembuktian
Teorema 1b dan 1c
1b.. Jika 1b
F (x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan dari f (x) dan g g((x), maka b
b
³ ( f ( x) r g( x)))) dx >F(x) r G( x)@a a
(F (b) r G(b)) (F (a) r G(a)) (F (b) r F (a)) (G(b) r G(a)) b
b
a
a
dx r ³ g( x) dx dx ³ f ( x) dx b
Jadi,
³
b
b
a
a
( f ( x) g( x)) dx ³ f ( x) dx ³ g( x) dx .
a
Pembuktian Teorema 2b 1
2b.. Jika 2b
F (x) sembarang antiturunan dari f (x), maka
b
b
³ f ( x) dx ª¬ F xº¼ a a
F (b) F (a) (F (a) F (b)) a
³ f( x) dx b b
a
a
b
Jadi, ³ f ( x) dx ³ f ( x) dx .
Pembuktian Teorema 3 1
Jika F (x) sembarang antiturunan dari f (x), maka c
dx [ F( x)]ca ³ f ( x) dx a
F (c) F (a) (F (c) F (b)) (F (b) F (a)) c
³
b
f ( x) ddxx
b
a
c
³
Jadi,
³ f( x) ddxx
c
b
b
c
b
a
a
b
³ f ( x) dx ³ f( x) dx ³ f( x) dx ³ f( x) dx .
f ( x) dx
a
Contoh S
6
1.
Hitunglah
³ (sin 3x cos x) dx . 0
Jawab: S
S
S
6
6
6
0
0
0
1b) ³ sin 3x cos x dx ³ sin 3x dx ³ cos x dx (Teorema S
6 1 ª« cos 3x º» >sin x @06 ¬ 3 ¼0 1 §¨ cos S cos 0 ·¸ §¨ sin S sin 0 ·¸ 3© 2 6 ¹ © ¹ S
1 1
5 6
3
1 2
S
6
Jadi,
5
³ (sin 3x cos x) dx 6. 0
1
2.
Tentukan
³ x
2
dx .
1
Jawab:
Oleh karena untuk f (x) x2, berlaku f (x) f (x), maka f (x) x2 merupakan fungsi genap. Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh: 1
³ x 1
1
2
³
dx 2 x 2 dx 0
1
2 ª« 1 x 3 º» ¬ 3 ¼0
2 3 (1 03) 3
2 3
1
Jadi,
2 . 3
2 ³ x dx
1 4
3.
Tentukanlah
³ f ( x) dx
jika fungsi f didefinisikan sebagai
0
f (x) ® ¯
x 2 , jika 0 d x 2 1 , jika x t 2
Jawab: 4
2
4
0
0
2
dx ³ f ( x) dx dx ³ f ( x) dx ³ f ( x) dx 2
4
2) dx ³ 1 dx ³ ( x 2) 0
2 2
1 2 4 x 2x x 2 2 0 1 1 ª«( 2 2 2 2 ) ( 02 2 0)º» >4 2 @ 2 ¬ 2 ¼
242 8 4
Jadi, ³ f ( x) dx 8. 0
(Teorema 3)
