Descripción: Método de Integración por Partes. Integrales Cíclicas.
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Problemas. Páginas 272, 273, 274 . “Integración por Partes” Para esta clase de problemas se aplica la siguiente fórmula: u . dv = u.v - v . du . 1.-
x sen x dx u =x dv = sen x dx Para obtener “v” , se integra dv = senx ,en ambos miembros. De igual modo se efectua en todos los problemas. u =x dv = sen x dx du = dx v = - cos x x(- cos x) - - cos x . dx = - x . cos x + cos x . dx = - x .cos x + sen x = sen x - x cos x + c .
2.-
ln x dx = x (ln x - 1) + c . u = ln x du = 1 dx x
dv = dx v= x
ln x . x -
dx = x ln x - x = x(ln x - 1) + c .
3.-
x . 1 dx = ln x . x x
x sen x dx = 4 sen x - 2x cos x d + c . 2 2 2
u =x du = dx
dv = 2 sen x .½ dx 2 v = - 2 cos x 2 .
x (- 2 cos x ) 2
2 .cos x . dx = - 2x cos x - 2 .2 cos x .(½) dx 2 2 2
- 2x cos x - 4 2
cos x .(½) dx = - 2x cos x - 4(- sen x ). 2 2 2
- 2x cos x + 4 sen x 2 2 4.-
x cos nx dx
=
=
4 sen x - 2x cos x + c . 2 2
cos nx + x sen nx + c . n2 n
u =x du = dx
dv = cos nx . dx dv = 1/n cos nx .(n) dx
du = dx
v = sen nx n
x . sen nx n
sen nx . dx = x .sen nx - 1 1 n n n n
x .sen nx - 1 n n2 5.-
- cos nx
=
sen nx .(n)dx
x .sen nx + cos nx + c . = n n2
u sec2 u du = u tg u + ln cos u + c . u =u dv = sec2 u du dv = sec2 u du du = du v = tg u
u .tg u 6.-
.
tg u du = u .tg u - (- ln cos u) = u .tg u + ln cos u + c .
v sen2 3v dv = ¼ v2 - 1/12 v sen 6v - 1/72 cos 6v u + c .
u =v du = dv Se aplica :
dv = sen2 3v dv dv = sen2 3v dv sen2 u du = ½ u - ¼ sen 2u ; donde u = 3v
v = 1/3 sen2 3v .(3) dv v =1/3 [½ 3v - ¼ sen 2(3v)] v = 1/6 3v - 1/12 sen 6v v = ½ v - 1/12 sen 6v v (½ v - 1/12 sen 6v) - (½ v - 1/12 sen 6v) dv = ½ v2 (- v . sen 6v) - ½ v dv + 1/12 .1/6 sen 6v .(6) dv =
=
12 7.-
y2 sen ny dy = 2 cos ny + 2 y sen ny - y2 cos ny + c . n2 n 2 u =y dv = sen ny dy du = 2y .dy dv = sen ny dy v = (1/n) sen ny .(n) dy v = (- cos ny) n
y2(- cos ny) - (- cos ny) 2ydy = n n - y2cos ny + ( 2 ) cos ny .y dy = - y2cos ny + ( 2 ) y cos ny . dy n n n n Integrando por partes :
y cos ny .dy .
u =y du = dy
y cos ny.dy = y (sen ny) n
dv = cos ny dy dv = cos ny dy v = (1/n) cos ny .(n) dy v = (sen ny) n (sen ny).dy = n
y cos ny.dy = y (sen ny) - 1 . 1 . (sen ny) .(n)dy n n n y cos ny.dy = y (sen ny) - 1 . (- cos ny) .(n)dy n n2 y cos ny.dy = y (sen ny) + ( cos ny) n n2 Enlazando y sustituyendo y cos ny.dy , en la integral original:
y2 sen ny dy = - y2 cos ny + ( 2 ) y cos ny . dy n n y2 sen ny dy = - y2 cos ny + ( 2 ) y (sen ny) + ( cos ny) n n n n2
=
y2 sen ny dy = - y2 cos ny + 2 y sen ny + 2 cos ny .Ordenando: n n2 n3 y2 sen ny dy = 2 cos ny + 2 y sen ny - y 2 cos ny + c . n3 n2 n 8.-
x ax dx = ax x - 1 ln a ln2 a
+c.
dv = ax dx dv = ax dx v = ax ln a
u =x du = dx
x . ax ax . dx = x . ax - 1 ln a ln a n ln a ln a
.
ax .dx = x . ax - 1 ax ln a ln a ln a
x . ax - ax = ax x - 1 + c . ln a ln2 a ln a ln2 a 9.-
xn ln x dx = xn+1 ln x - 1 n+1 n+1
x n ln x dx = u = ln x du = 1 dx x ln x . xn+1 -
+c.
dv = xn dx dv = xn dx v = xn+1 n+1 xn+1 . 1 dx = ln x . xn+1 - 1 .
ln x . xn+1 - 1 xn dx = ln x . xn+1 - 1 . xn+1 = n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 xn+1 ln x - 1 + c . n+1 n+1 10.-
arc sen x dx
=
x arc sen x + √1 - x2 + c .
u = arc sen x du = 1 dx √1 - x2 arc sen x . x - x .
dv = dx dv = dx v =x dx = x arc sen x -
1 x (1 - x2)-1/2 dx = √1 - x2 Ordenando: x (1 - x2)-1/2 dx y completando el diferencial. x arc sen x - (-½) (1- x2)-1/2.(-2)x dx = x arc sen x + ½(1- x2)-1/2+1 -1/2+1 x arc sen x + (1- x2)1/2 = x arc sen x + (1- x2)1/2 = 2(1/2) x arc sen x + √1- x2 + c . 11.-
arc tg x dx
=
x arc tg x - ½ ln (1 + x 2) + c .
u = arc tg x du = 1 dx 1 + x2 arc tg x . x - x . 1 1 + x2 arc tg x . x -
x
dv = dx dv = dx v =x dx .
dx . Completando el diferencial.
1 + x2 v = 1 + x2 dv = 2x dx
Falta (2) para completar el diferencial.Se aplica:
dv v arc tg x . x - (½)
=
ln v + c (2)x dx . Completando el diferencial y
ordenando.
1 + x2 x arc tg x - ½ ln (1 + x2) = x arc sen x - ½ ln (1 + x2) + c . 12.-
arc cot y dy
=
y arc cot y + ½ ln (1 + y 2) + c .
u = arc cot y du = 1 dx 1 + y2 arc cot y . y - y . 1 1 + x2 y .arc cot y + v = 1 + y2 dv = 2y dy
dv = dy dv = dy v =y dx .
y . dy. Completando el diferencial. 1 + y2
Falta (2) para completar el diferencial.Se aplica:
y .arc cot y +
dv v
=
ln v + c
y 1 + y2
. dy . Completando el diferencial
y arc cot y + ½ ln (1 + y2) + c . 13.-
arc cos 2x ax . dx = x arc cos 2x - ½ √1 - 4x2 + c .
u = arc cos 2x du = 2 .dx √1 - (2x)2 du = -
2 .dx 2 √1 - 4x
dv = dx dv = dx v =x
arc cos 2x . x -
x arc cos 2x +
x -
2 dx . 2 √1 - 4x
2x dx . √1 - 4x2
x arc cos 2x + (1 - 4x2)-1/2 . 2x dx .Completando el diferencial. v = 1 - 4x2 Falta (- 4) para completar el diferencial.Se aplica: dv = - 8x dx vn dv = vn+1 + c n+1 x arc cos 2x + (- ¼) (1 - 4x2)-1/2 .(- 4) 2x dx . x arc cos 2x + (- ¼)(1 - 4x2)-1/2+1 = x arc cos 2x - ¼ .(1 - 4x2)1/2 = -1/2+1 1/2 x arc cos 2x - ( ¼ )(2)(1 - 4x2)1/2 = x arc cos 2x - ½ (1 - 4x2)1/2
x arc cos 2x - ½ √1 - 4x2 + c . 14.-
arc sec y . dy
y arc sec y - ln (y + √y2 - 1 + c .
=
u = arc sec y du = 1 dx y √y2 - 1 1 y √y2 - 1
dv = dy dv = dy v =y
arc sec y . y -
y
arc sec y . y -
y y √y2 - 1
dy .
arc sec y . y -
y y √y2 - 1
dy .
y arc sec y -
dy .
dy . √y -1 Se aplica : dv = ln [v + √ v2 - 1 ] √v2 - 1 2
y arc sec y - ln [y + √y2 - 1 ] + c . 15.-
arc csc t . dt = t arc csc t + 2 ln (t + √t2 - 4 ) + c . 2 2 u = arc csc t . dv = dt 2 du = -½ dt . dv = dt v =t ½ t √(½ t )2 - 1
arc csc t . t - t -½ dt . 2 ½ t √ (½ t )2 - 1 arc csc t . t - t 2
-½ dt . ½ t √(½ t )2 - 1
arc csc t . t + dt 2 √¼ t2 - 1 v=½t dv = ½
Falta (½) para completar el diferencial.Se aplica: 2 dv = ln [v + √(½ t ) - 1 + c √ v2 - a 2
t arc csc t + 2 2
16.-
=
(½) dt t2 - 4 4
=
t arc csc t + 2 ln [v + √(½ t )2 - 1 ]+ c 2
u = arc csc x .
x2 + 1 arc tg x - x + c . 2 2 dv = dx .
du =
dx .
x arc csc x . dx
=
-1 x √x 2 - 1
arc csc x . x - x
-1 x √x 2 - 1
dv = dx v =x dt .
arc csc t . t - t 3
-½ dt . ½ t √(½ t )2 - 1
arc csc t . t + dt 2 √¼ t2 - 1 v=½t dv = ½ 2
18 .
x
x e u
x
du 2
u
dx
x
e
2
2
e
x
)
v
e
( x )(
x
xe 2
- x .e x
-e
x
e x 2
e cos e
e x
(2
2 2x
θ
u
)
.dθ θ
da
x
2 e
x
t arc csc t + 2 2
x
dx . (1
ra
2
sen
. x
( ) (e
2
-x . e
θ
θ
e sen
sen
x
)(
contacto
x
2 xe
x
) dx
. ra
con la 1 2e
x
solución.
.
θ
=
c.
θ θ
θ
e sen
θ
(½) dt t2 - 4 4
cos
cos
v
solución).
) dx
Tomando
dv
θ .dθ
.(
2 x.e
θ
e .dθ θ
x
x
c.
θ
e cos
x
-x e
e
θ
du
e
dx
x
2
-x . e
e
solución).
xe
(-) dx
)( 2 x ) dx
v x
e
x
c.
x
dv
dx
2
x
e
x
( e
2x
dv
x
du
19 .
Falta (½) para completar el diferencial.Se aplica: 2 dv = ln [v + √(½ t ) - 1 + c √ v2 - a 2
2 x.dx
( x )(
=
θdθ .
t arc csc t + 2 ln [v + √(½ t )2 - 1 ]+ c 2
u
e
θ
dv θ
du
e dθ
v
θ
e sen
θ
e sen
θ
e sen
e cos θ.dθ e cos θ.dθ e cos θ.dθ θ
θ
θ
e cos
θ
θ
e cos
θ
θ
θ
θ
e sen θ
e sen
θ
e cos θ.dθ
u
1)
x
du
x
1
ln x x
ln( x
v 1
θ
e cos
θ
θ
1
x
1
x
.dx
θ dθ .
θ dθ.
cos
θ.
c. c.
1 (x
θ
θ dθ.
θ.
1)
1) 1)
2 1
θ
e cos
θ
cos
(x
θ
e cos
e sen
cos
dv
dx
x
θ
θ
θ
ln x
ln x 1
θ
2
ln x dx (x
θ
e cos
θ
θ
θ
e cos θ.dθ
2 e cos θ.dθ
θ dθ
cos
θ
e cos θ.dθ
20 .
sen
dx
2
2 1
(x
1
1)
1
1
1
ln x x
1
(x dx
x(x
c.
1) ln x
1)
x
1
Solucionando: x2 + x , completando con cuadrados. x
2 sen t e t . cos t 1 .π1 ( cos 4x).(π4) dx 2π 4 2 π sen 4x 1 sen 14x x 81 2 8
π
t
π
1 cos 4x dx 2
2
π
x. cos 2 2x dx
x t.xsen πsen 4x sen 4πxsen. dx πt t e t . -cos πxt t e 2 8 2 8 2 2 π π π t 2 (e x)(cos xπsen t ) dt 4 x 1 x. dx 1 sen 4x. dx 2 1 2 1 π π 2 8 2 8 2 2 π2 π 2 x 1 x sen 4 x 1 1 x sen 4x . (4)dx - . -t . e 2 ( πsen 2 πt)8 4 2 8 (e t )(cos πt ) dt c. 2 1 - cos 4x x 2 x sen 4x - xπ2- 1 4 32 x 2 8 25 . x. sec 2 dx2. cos 4x x sen 4x x2 2 x 4 32 x 2 8 x u x dv sec 2 dx ; dv 2 sec 2 .(1 2) dx . cos 4x cos 4x x 2 x sen 24x x 2 2x sen 4x 2 x2 x 4 4 32 32 8 du 4 dx v 2 tg8 27 .
e
x 2 cos x dx x
xu 2 x tg2 2
2
c.
2 x
tg dv2
x
dx x tg ; cos x2dx 2
du x2x dx vx sen x 2 x tg 4 ln sec c. 2 22 x sen x - (sen x)( 2x ) dx
2dv ( 2)
x
tg cos2 dx1 2 dx
x 2 sen x - 2 x .sen x dx
integrando por partes la integral : x .sen x dx u
x ; du
dx ; dv
sen x dx ;
dv
sen x dx ; v
x 2 cos x dx
x 2 sen x - 2 x .sen x dx
x 2 cos x dx
x 2 sen x - 2 ( x )( - cos x) - (- cos x) dx
x 2 cos x dx
x 2 sen x
2x cos x - 2 cos x dx
- cos x.
x 2 cos x dx 28.
x 2 sen x 2 x cos x - 2sen x
c.
arc sen mx dx. u
arc sen mx
dv
m
du
v 2
1- m x
dx x
2
mx
x arc sen mx -
2
dx
1- m x
2
x arc sen mx - - 1 2m
1- m2 x 2
1 2m
1 - m2 x 2 12
x arc sen mx
2 1- m2 x 2 2m
x arc sen mx 29.
arc cot u
12
x arc sen mx
x 2
-1
-2
2
x2
x 4
2
1
.(-2m) mx.dx
1- m2 x 2 m
c.
dx
x 2
arc cot
du
-1 2
x arc cot
x
x arc cot
2 x
4
- 2x . dx x2 4 ln ( x 2 4)
-
dv
dx .
v
x.
x arc cot
(2x) dx x2 4
x 2
x arc cot
x
ln
2
c.
2
arc cos 1 dx .
30.
x
u
arc cos 1 . x
du
- 12 x 1-
1 x
2
dv
dx ;
v
x.
- 1 x2
- 1 x2
- 12 x
- 1 x2
1- 1 x2
x 2 -1 x2
x 2 -1
x 2 -1 x
x2
-
1 x x 2 -1
1 dx . x arc cos 1 x arc cos 1 - (x) x x x x 2 -1 x arc cos 1 ln x x 31. arc sec 1 dy y u
x 2 -1
arc sec 1 . y
du 1 y
1 -1 y2
y
v
1- y2 y2
1- y2
1- y2
y2
y
y arc sec 1 - 1 y 2
. dy 2
2
1- y 12
1 2 1
1
-
1- y2
1- y2
y arc sec 1 - 1 y 2
1
y arc sec 1 - 1 - y 2
12
x 2 -1
y
-1 y
y arc sec 1 - 2 1 - y 2 y 2 32.
;
-1 y
1- y
y arc sec 1 - 1 y 2
dy
-1 y
-y
y arc sec 1 -
1 2
1- y2 12
.(-2)y dy
1 2
c.
y
arc csc nt dt u
arc csc nt
dv
-n
du nt
2
. dt
v
dt . t.
2
n t -1
t arc csc nt - (t)
-n
. dt
t arc csc nt
ln n t n 2 t 2 -1
u
arc sen
x 2
1
du 2 x
c.
x dx 2
arc sen
33.
2-x
dt (nt) 2 - 12
n t n 2 t 2 -1 t arc csc nt
dx
c.
dv
- 12 y
1
dv
dx
v
x
x arc sen
x - (x) 1 2 2 x 2-x
x arc sen
x -1 2 2
x arc sen
x
dx
x (2 - x)
x -1 2 2 u
dx
x 2x - x
dx 2
x
1
dv
1 12 - (x - 1)
2x - x 2 du x arc sen x arc sen x arc sen
dx
v
arc sen (x - 1)
x - 1 x arc sen (x - 1) - arc sen (x - 1) dx 2 2 x - x arc sen (x - 1) 1 ( x 1) arcsen( x 1) 2 2 2 x x arc sen (x - 1) 2 2
