8.2 Integración por partes • •
Encontrar una antiderivada o primitiva usando la integración por partes. Usar un método tabular para realizar la integración por partes.
Integración por partes En esta sección se estudiará una técnica importante de integración llamada integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que contengan productos de funciones algebraicas y trascendentes. Por ejemplo la integración por partes funciona bien con integrales como
.lnxd x ,∫ x e x dx y ∫ e x senx senxdx dx . ∫ x .lnxdx 2
!a integración por partes está basada en la fórmula para la derivada de un producto d [ uv ]=u dv + v du =u v ' + vu ' dx dx dx
donde u y v son funciones derivables de
x . "i
u ' y
v ' son continuas se pueden integrar
ambos lados de esta ecuación para obtener
uv =∫ uv' dx +∫ v u' dx=∫ udv +∫ vdu. #olviendo a escribir esta ecuación se obtiene el teorema siguiente.
TEOREMA 8.1 INTEGRACIÓN POR PARTES "i
u
y
v
son funciones de x
y tienen derivadas continuas entonces
∫ udv =uv −∫ vdu. Esta fórmula e$presa la integral original en términos de otra integral. %ependiendo %ependiendo de la elección de u y dv puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la original. Porque la elección de u
y
dv es importante en la integración por el proceso de partes se proporcionan las pautas
siguientes.
Estrategia para integrar por partes 1. &ntentar tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como
u
el factor restante del integrando.
2. &ntentar tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u y como
dv
el factor restante del integrando.
dv siempre incluye dx del integrando original.
'bserve que
EXPLORACIÓN Demostración sin palabras He aquí una vía diferente para demostrar la fórmula de inte integr grac ació ión n por por part partes es,, toma tomada da con con per permiso miso del del auto autorr de “Pr “Proof oof With Withou outt Words ords:: Integ Integrat ratio ion n by Parts, arts, por por !oger oger "# $else $elsen, n, Mathematics Magazine, %&, n'm# (, abril )**), p# )+#
rea
rea
-
s
p
r
q
¿ qs − pr
q , s) ∫ udv +∫ vdu= [ uv ]|(( p, p , r ) s
∫ ud v = [ uv ]| r
(q , s ) p
( p, p , r )−∫ vdu q
E$plicar E$plicar cómo esta gráfica demuestra el teorema. ()ué notación usada en esta demostración no es familiar* (+uál se cree que es su significado*
EJEMPLO 1 Integración por partes
∫ x e dx . x
Encontrar
Solción Para aplicar la integración por partes es necesario escribir la integral en la forma . ,ay varias maneras de -acer esto.
∫ u dv
!as estrategias de la página anterior -acen pensar en la elección de la primera opción porque la derivada de
u= x es más simple que x y dv = e x dx es la porción más complicada del integrando
que se adapta a una fórmula básica de la integración.
dv = e x dx
⇒
v =∫ dv =∫ e x dx = e x
u= x ⇒ du =dx
-ora la integración integración por por partes produce
∫ udv =uv −∫ v du
/órmula de integración por partes.
∫ x e dx = x e −∫ e dx x
x
x
"ustituir.
¿ x e x −e x + C
&ntegrar.
Para verificar esto derivar
e x − e x +C para ver que se obtiene el integrando original.
0'122 El ejemplo 3 muestra que no es necesario incluir una constante de integración al resolver 0'1
v =∫ e x dx =e x + c 1
Para ilustrar esto reemplazar
v =e x
por
v =e x +C 1 y aplicar la integración por partes para ver
que se obtiene el mismo resultado.
EJEMPLO2 Integración por partes lnxdx . ∫ x lnxdx 2
Encontrar
2
Solción En este caso x se integra más fácil que 2 más simple que ln x . s4 se debe -acer dv = x dx .
∫
2
2
x
dv = x dx ⇒ v = x dx =
u=lnx
⇒
3
3
1
du= dx x
!a integración por partes produce
ln x
. demás la derivada de
ln x
es
Fórmulade ade integrac integración ión por partes partes.. ∫ udv =uv −∫ v du Fórmul x
3
∫ x lnxdx= 3 lnx−∫ 2
x
¿
3
3
lnx −
1 3
( )( ) 3
x
1
3
x
dx Sust Sustit itui uirr .
∫ x dx Simplificar . 2
x 3 x 3 ¿ lnx − + C.Integrar. 3
9
#erificar este resultado derivando.
[
3
3
d x x lnx − dx 3 9
] () x
=
3
1
3 x
2
x
2 x ) − = x lnx + ( lnx ) ( x 2
3
TECNO!OG"A &ntentar -acer la gráfica de x 3 x3 2 ∫ x lnxdx y ln x− 3
9
en la -erramienta de graficación. ("e obtiene la misma gráfica* 5Este ejercicio requiere algo de tiempo as4 que se debe tener paciencia.6 Una aplicación sorprendente de la integración por partes involucra integrandos que constan de un solo factor tales como
∫ ln x dx
o
∫ arcsenxdx
. En estos casos -ay que tomar
dv = dx como
se muestra en el pró$imo ejemplo.
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para ver cómo se utili.a la integración por partes para comprobar la apro/imación de 0tirling ln ( n ! ) =n ln ( n )− n
ver el artículo “1he 2alidity of 0tirling3s 4ppro/imation: 4 Physical 5hemistry Pro6ect de 4# 0# Wallner y 7# 4# "randt en Journal of Chemical Education.
EJEMPLO 3 #n integran$o con n solo %actor Evaluar 1
arcsen en xdx xdx . ∫ arcs 0
Solción "ea dv = dx .
∫ dx= x
dv = dx ⟹ v =
u= arcsen arcsen x ⟹ du=
1
√ 1− x
2
dx
!a integración por partes produce a-ora
Fórmulade ade integrac integración ión por partes partes.. ∫ udv =uv −∫ v du Fórmul arcsen en x dx= x arcsenx arcsen x−∫ ∫ arcs
xarcsen x + ¿ xarcsenx
1 2
∫ ( 1− x ) 2
−1 /2
x dx Susti Sustitui tuirr . 2 √ 1− x
( 2 x ) dx Reescr Reescrii iirr .
¿ x arcsen x +√ 1− x 2+C Integrar. 8sando esta antiderivada, evaluar la integral de9nida como sigue 1
arcsen n xdx=[ x x arcsen x + √ 1− x ] 1 ∫ arcse 0 2
0
¿ −1 2
" 0.571
l ;rea representada por esta integral de9nida se muestra en la 9gura <#(#
El área de la región es apro$imadamente 7.893
&igra 8.2 TECNO!OG"A :ecordar que -ay dos maneras de usar la tecnolog4a para evaluar una integral definida2 36 usar una apro$imación numérica como la regla de los trapecios o la regla de "impson o ;6 usar un sistema algebraico por computadora para encontrar la antiderivada y entonces aplicar el teorema fundamental de cálculo. mbos métodos tienen limitaciones. Para encontrar el posible error al usar un método numérico los integrandos deben tener una segunda derivada 5la regla de los trapecios6 o una cuarta derivada 5la regla de "impson6 en el intervalo de integración2 el integrando en el ejemplo < no tiene estos requisitos. Para aplicar el teorema fundamental de cálculo la -erramienta de integración simbólica debe poder encontrar la antiderivada. ()ué método se usar4a para evaluar 1
∫ arctan xdx # 0
()ué método se usar4a para evaluar 1
∫ arctan x
2
dx #
0
lgunas integrales requieren integrarse por partes más de una vez.
EJEMPLO 4 Integraciones scesi'as por partes Encontrar
∫ x
2
senxdx
2 Solción !os factores x y sen x son igualmente fáciles para integrar. "in embargo la derivada
de x
2
se vuelve más simple considerando que la derivada de
sen x
no lo es. s4 que se debe
2 u x = elegir la opción .
∫
dv = sen xdx ⟹ v = senxdx =−cosx
u= x 2
⟹
du=2 xdx
-ora la integración por partes produce
∫ x
2
2
∫ 2 x cos x dx $rimer uso de laintegración por partes .
senx dx =− x cos x +
Este primer uso de la integración por partes -a tenido é$ito simplificando la integral original pero la integral de la derec-a todav4a no se adapta a una regla básica de integración. Para evaluar esa integral aplicar de nuevo la integración por partes. Esta vez sea u=2 x .
∫
dv = cos xdx ⟹ v = cos x dx =senx u=2 x ⟹ du =2 dx
-ora la integración por partes produce
∫ 2 x cos x dx =2 xsen x−∫ 2 sen x dx Segundousode laintegración por partes . ¿ 2 xsen x + 2cos x + C . +ombinando estos dos resultados se puede escribir
∫ x
2
2
senxdx =− x cos x + 2 xsen x + 2cos x + C
l -acer aplicaciones repetidas de la integración por partes tener cuidado de no intercambiar las sustituciones en las aplicaciones sucesivas. s4 en el ejemplo = la primera sustitución era dv = sen x dx . "i en la segunda aplicación se -ubiera cambiado la sustitución a dv =2 x
∫ x
2
u= x 2 y u= cos x
y
se -abr4a obtenido
∫ 2 x cos x dx
2
senxdx =− x cos x +
¿− x 2 cos x + x 2 cos x +∫ x 2 senxdx =∫ x 2 senxdx des-aciendo como consecuencia la integración anterior y volviendo a la integral original . l -acer aplicaciones repetidas de integración por partes también debe percatarse de la aparición de un múltiplo constante de la integral original. Por ejemplo esto ocurre cuando se usa la integración por x e cos2 x dx partes para evaluar y también ocurre en el ejemplo 8.
∫
!a integral en el ejemplo 8 es muy importante. En la sección >.= 5ejemplo 86 se utiliza para -allar la longitud de arco de un segmento parabólico.
E(P!ORACIÓN &ntentar encontrar
∫ e x cos2 x dx
-aciendo u= sen 2 x
u= cos2 x
y
y
dv = e x dx
dv = e x dx .
EJEMPLO 5 Integración por partes Encontrar
en la primera sustitución. Para la segunda sustitución sea
∫ sec x dx 3
Solción !a porción más complicada del integrando que puede integrarse fácilmente es 2 para -acer dv = sec x dx y u= sec x . 2
∫ sec x dx= tan x
dv = sec xdx ⟹ v =
u= sec x
⟹
sec 2 x
3
du= sec x tan x dx
!a integración por partes produce
∫ udv =uv −∫ v du Fórmulade integración por partes . ∫ sec x dx = secx tan x−∫ secx tan xdx Sustituir . 3
2
sec (¿¿ 2 x −1) dx Identidad trigonom%trica . ∫ sec3 x dx = sec x tan x −∫ sec x ¿
∫ sec x dx = secx tan x−∫ sec x dx +∫ secx dx Reescriir . 3
3
∫ sec x dx= secx tan x +ln|secx +tanx|+C Integrar . 3
2
∫ sec x dx = 12 sec x tan x+ 12 ln|secx +tanx|+ C Integrar y dividir entre2. 3
A)#*A *E EST#*IO !as identidades trigonométricas sen 2 x =
2
cos x =
1− cosx 2 1+ cosx 2
juegan un papel importante en este cap4tulo.
EJEMPLO 6 !ocali+ación $e n centroi$e Una parte de la máquina es modelada por la región acotada por la gráfica de
y = senx y el eje
x , 0 & x& ! / 2 como se muestra en la figura >.<. Encontrar el centroide de esta región.
&igra 8., Solción Empezar encontrando el área de la región # ! / 2
=
∫ senxdx =[−cos x ] ! 0/ 2=1 0
-ora encontrar las coordenadas del centroide como sigue. 1
/ 2
y´ = ∫ 0
senx 2
/2
[
∫ (1−cos2 x ) d x = 14 x − sen22 x
1 ( senx ) dx = 4
0
]
/ 2= 0
8
!
Evaluar la integral para x´
2
( )∫ 1
xsen x dx , con la integración por partes. Para -acer esto sea
0
dv = senxdx y u= x . Esto produce v =−cos x y du =dx y escribir
∫ x sen xdx=− xcos x +∫ cosx dx ¿− xcos x+ senx + C . Por último determinar x´ para ser !
1
x´ =
2
∫ xsen x dx=[ ¿− xcos x+ sen x ] ! 0/ 2=1 0
( ) . 1,
s4 el centroide de la región es
8
l obtener e$periencia usando la integración por partes la -abilidad para determinar
u
y
dv
aumentará. El resumen siguiente recoge varias integrales comunes con las sugerencias para la elección de u y dv .
A)#*A *E EST#*IO Puede usarse el acrónimo !&1E como una pauta para escoger u en la integración por partes. En orden verificar el integrando para lo siguiente. (,ay una parte !ogar4tmica* (,ay una parte trigonométrica &nversa* (,ay una parte lgebraica* (,ay una parte 1rigonométrica* (,ay una parte E$ponencial*
Res-en $e integrales co-nes tili+an$o integración por partes 1. Para integrales de la forma
∫ x
n
ax
∫
∫
n
n
e dx , x senax dx, x cos axdx
u= x n
"ea
dv = eax dx,senaxdx o
y sea
cos axdx.
2. Para integrales de la forma
∫ x lnx dx ,∫ x ar csen axdx ,∫ x arctan ax dx n
n
n
u= ln x , arcsen ax ,o arctan ax
"ea
y sea
dv = x n dx .
,. Para integrales de la forma
∫e
"ea
ax
senx dxo
∫e
ax
cos xdx
u= senxo cos x
y sea
dv = eax dx
Mto$o ta/lar En problemas que contienen aplicaciones repetidas de la integración por partes un método tabular ilustrado en el ejemplo 9 puede ayudar para organizar el trabajo. Este método funciona bien para las n n n ax x senax dx , x cos ax dx y x e dx integrales del tipo .
∫
∫
EJEMPLO 7 #so $el -to$o ta/lar Encontrar
∫
∫ x
2
sen 4 xdx
Solción Empezar como de costumbre -aciendo
u= x 2 y dv = v ' dx = sen 4 xdx . !uego crear una
tabla de tres columnas como se muestra.
∫ x
2
sen 4 xdx =
−1 x 2 4
cos4 x +
1 1 xsen 4 x + cos4 x + C . 8 32
!a solución se obtiene sumando los productos con signo de las entradas diagonales2
8.2 Ejercicios En los e0ercicios 1 a i$enti%icar u 3 dv para encontrar la integral san$o la integración por partes. 4No e'alar la integral.5
∫
2 x
1. x e dx
"olución2
:?
∫
2
2 x
2. x e dx
"olución2
:?
∫ ( ln x ) dx 2
3.
"olución2
:?
∫ ln 5 x dx
4.
"olución2
:?
∫ x sec xdx 2
5.
"olución2
:?
∫
2
6. x cos x dx
"olución2
:?
En los e0ercicios 6 a 17 e'alar la integral tili+an$o integración por partes con las elecciones $a$as para u 3 dv .
∫ x
7.
3
ln xdx (u= ln x , dv = x
3
dx
"olución2 :?
∫ ( 4 x +7 ) e x dx(u=4 x +7, dv= e x dx
8.
"olución2 :?
∫
9. xsen 3 x dx (u = x , dv =sen 3 xdx
"olución2 :?
∫
10. xcos 4 x dx (u = x , dv =cos4 xdx
"olución2 :?
En los e0ercicios 11 a ,8 encontrar la integral. 4 Nota Resol'er por el -to$o -9s si-ple no to$as re:ieren la integración por partes.5
∫
− 2 x
11. x e
dx
"olución2
:?
∫ 2e x x dx
12.
"olución2
:?
∫ x
13.
3
e x dx
"olución2
:?
e 1/ t 14.∫ 2 dx t "olución2
:?
∫ x
15.
2
3
e x dx
"olución2
:?
∫
4
16. x ln x dx
"olución2
:?
∫ t ln (t +1) dt
17.
"olución2
:?
∫ x ( ln1 x ) dx
18.
"olución2
:?
3
x ln ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ ¿
∫¿
19.
"olución2
:?
∫ ln x x dx
20.
2
"olución2
:? 2 x
xe
∫ ( 2 x +1 ) dx
21.
"olución2
2
:?
∫(
22.
3 x
2
x e
x + 1 ) 2
2
dx
"olución2
:?
∫ ( x −1 ) e x dx
23.
2
"olución2
:?
∫ ln x2 x dx
24.
2
"olución2
:?
∫ x √ x −5 dx
25.
"olución2
:?
∫ √ 5 +x 4 x dx
26.
"olución2
:?
∫
27. xcos xdx
"olución2
:?
∫
28. xsen xdx
"olución2
:?
∫
3
29. x sen xdx
"olución2
:?
∫
2
30. x cos xdx
"olución2
:?
∫ tcsct cot t dt
31.
"olución2
:?
∫ )sec) tan ) d)
32.
"olución2
:?
∫ arctan x dx
33.
"olución2
:?
∫ 4arccos xdx
34.
"olución2
:?
∫e
35.
2 x
sen xdx
"olución2
:?
∫ e− x sen 5 xdx
36.
3
"olución2 :?
∫ e− cos2 xdx
37.
x
"olución2
:?
∫e
3 x
38.
cos 4 xdx
"olución2 :?
En los e0ercicios ,; a << resol'er la ecación $i%erencial. '
x 2
39. y = x e
"olución2
:? 40. y
'
=ln x
"olución2
:?
2
dy t 41. = dx √ 2 + 3 t
"olución2
:?
dy 2 = x √ x −3 dx
42.
"olución2
:? '
43. ( cos y ) y =2 x
"olución2
:? 44. y
'
=arctan
x 2
"olución2
:?
Campos de pendientes En los e0ercicios <= 3 < se $a na ecación $i%erencial n pnto 3 n ca-po $e pen$ientes. a5 *i/0ar $os solciones apro>i-a$as $e la ecación $i%erencial en el ca-po $e $irecciones o pen$ientes na $e las cales pase a tra's $el pnto $a$o. b5 #sar la integración para encontrar la solción particlar $e la ecación $i%erencial 3 sar na
?erra-ienta $e gra%icación para ?acer la gr9%ica $e la solción. Co-parar el reslta$o con los $i/0os $el inciso a5. dy = x √ y cos x , ( 0, 4 ) dx
45.
"olución2
:?
dy − x / 3 =e sen 2 x , (0, −18 / 37 ) dx
46.
"olución2
:?
Campos de pendientes En los e0ercicios <6 3 <8 sar na ?erra-ienta $e gra%icación para representar la gr9%ica $el ca-po $e pen$ientes para la ecación $i%erencial 3 ?acer la gr9%ica $e la solción a tra's $e na ?erra-ienta $e gra%icación. dy x x / 8 = e , y ( 0 )=2 dx y
47.
"olución2
:?
dy x = sen x , y ( 0 ) =4 dx y
48.
"olución2
:?
En los e0ercicios <; a 7 e'alar la integral $e%ini$a. #sar na ?erra-ienta $e gra%icación para con%ir-ar el reslta$o. 3
∫ x e x/ dx 2
49.
0
"olución2
:? 2
∫ x
50.
0
2
e−2 x dx
"olución2
:? / 4
51.
∫ xcos 2 x dx 0
"olución2
:?
∫ xsen 2 x d x
52.
0
"olución2
:? 1 /2
53.
∫ arccos x dx 0
"olución2
:?
1
∫
2
54. xarcsen x dx 0
"olución2
:? 1
∫e
x
55.
senxdx
0
"olución2
:? 2
∫ e− x cos x dx
56.
0
"olución2
:? 2
∫ √ x ln x dx
57.
1
"olución2 :?
1
∫ ln ( 4 + x )dx 2
58.
0
"olución2
:? 4
∫ x arcsen x dx
59.
2
"olución2
:? / 8
60.
∫ xsec 0
"olución2
2
2 x dx
:?
En los e0ercicios 1 a sar el -to$o ta/lar para encontrar la integral.
∫
2
2 x
61. x e dx
"olución2
:?
∫
− 2 x
3
62. x e
dx
"olución2
:?
∫ x
63.
3
sen xdx
"olución2
:?
∫
3
64. x cos2 xdx
"olución2
:?
∫
2
65. xse c xdx
"olución2
:?
∫
2
66. x ( x −2 )
"olución2
3/ 2
dx
:?
En los e0ercicios 6 a 6< encontrar o e'alar la integral san$o pri-ero sstitción 3 $esps la integración por partes.
∫ sen √ x dx
67.
"olución2 :?
∫ cos √ x dx
68.
"olución2 :?
∫
69. x √ 4 − x dx
"olución2 :?
∫ 2 x cos x 3
70.
"olución2 :?
∫
5 x
2
71. x e dx
"olución2 :? 2
∫ e√ x dx 2
72.
0
"olución2 :?
2
dx
x ln ¿
¿
cos ¿
∫¿
73.
"olución2 :?
∫ ln ( x +1) dx
74.
2
"olución2 :?
*esarrollo $e conceptos 6=. (En qué regla de derivación está basada la integración por partes* E$plicar. "olución2
:?
6. En sus propias palabras establecer la manera de determinar qué partes del integrando deber4an ser u y dv . "olución2
:?
66. l evaluar
∫ x sen x dx
e$plicar por qué dejar
u= senx
y
dv = x dx
-ace que la solución
sea más dif4cil de encontrar. "olución2 :?
Para discusión 68. &ndicar si se usar4a la integración por partes para evaluar cada integral. "i es as4 identificar qué se usar4a para u y dv . E$plicar el razonamiento.
∫ ln x x dx ¿ ∫ x ln x dx c ¿ ∫ x e− 2
a¿
d ¿∫ 2 x e x dx e ¿ ∫ 2
3 x
dx
x x dx f ¿ ∫ 2 dx √ x +1 √ x + 1
"olución2 :?
En los e0ercicios 6; a 82 sar n siste-a alge/raico por co-pta$ora para a5 encontrar o e'alar la integral 3 b5 ?acer la gr9%ica $e $os anti$eri'a$as. c 5 *escri/ir la relación entre las gr9%icas $e la anti$eri'a$a.
∫ t e− t dt 3
79.
4
"olución2
:?
∫ + sen!+d+ 4
80.
"olución2
:? / 2
81.
∫ e− x sen 3 x dx 2
0
"olución2
:?
25− x
2
¿ x 4 ¿
¿3 /2
5
82.
∫¿ 0
"olución2
:? 83. Integrar
∫ 2 x √ 2 x − 3 dx
a6 por partes con
dv = √ 2 x −3 dx .
b6 por sustitución con
u=2 x −3.
"olución2
:?
∫
84. Integrar x √ 9 + x dx
a6 por partes con
dv = √ 9 + x dx .
b6 por sustitución con
u= 9 + x .
"olución2
:?
x3 85. Integrar ∫ dx √ 4 + x 2 a6 por partes con
dv =( x / √ 4 + x ) dx .
b6 por sustitución con "olución2
2
u= 4 + x 2 .
:?
∫
86. Integrar x √ 4− x dx
a6 por partes con
dv = √ 4− x dx .
b6 por sustitución con "olución2
u= 4 − x .
:?
En los e0ercicios 86 3 88 sar na ?erra-ienta $e gra%icación para encontrar la integral para n = 0,1,2 y 3. #sar el reslta$o para o/tener na regla general para la integral para cal:ier entero n positi'o 3 pro/ar ss reslta$os para n =4 .
∫
n
87. x ln x dx
"olución2
:?
∫
n x
88. x e d x
"olución2
:?
En los e0ercicios 8; a ;< sar la integración por partes para 'eri%icar la %ór-la. 4Para los e0ercicios 8; a ;2 as-ir :e n es n entero positi'o.5
∫
n
n
∫
89. x senxdx =− x cos x + n x
"olución2
n−1
cos x dx
:?
∫ xn cos x dx = xn senx + n∫ xn − senxdx 1
90.
"olución2
:?
x n+1 91.∫ x ln x dx = [−1 + ( n + 1 ) ln x ] +C ( n+ 1 )2 n
"olución2
:? n
ax
x e 92. x e dx = a
∫
n
"olución2
ax
−
n n−1 ax x e dx a
∫
:?
∫e
93.
ax
sen x dx=
e
ax
( asen x− cos x ) + C 2 2 a +
"olución2
:?
eax ( a cos x + senx ) 94.∫ e cos xdx = + C a 2+ 2 ax
"olución2
:?
En los e0ercicios ;= a ;8 encontrar la integral san$o la %ór-la apropia$a $e entre las -ostra$as en los e0ercicios 8; a ;<.
∫
5
95. x ln x dx
"olución2
:?
∫ x cos x dx 2
96.
"olución2
:?
∫e
97.
2 x
"olución2
cos3 x dx
:?
∫
3
98. x e
2 x
dx
"olución2
:?
Áea En los e0ercicios ;; a 172 sar na ?erra-ienta $e gra%icación para representar la gr9%ica $e la región acota$a por las gr9%icas $e las ecaciones 3 encontrar s 9rea. − x
99. y =2 x e
"olución2
:?
, y =0, x =3
100. y =
1 x e− x / 4 , y =0, x =0, x = 4 16
"olución2
:? 101. y =e
"olución2
− x
sen x, y= 0, x =
:?
102. y = x sen x , y = 0, x =
"olución2
:?
17,. Áea! vo"umen # centoide %ada la región acotada por las gráficas de x = e , encontrar a6 el área de la región. b6 el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje x .
y = ln x , y =0
y
c 6 el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje y . d 6 el centroide de la región. "olución2
:?
17<. $o"umen # centoide %ada la región acotada por las gráficas de x = , encontrar
y = x sen x , y =0, x =0
y
a6 el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje x . b6 el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje y . c 6 el centroide de la región. "olución2
:?
17=. Centoide Encontrar el centroide de la región acotada por las gráficas de y = arcsenx , x =0 y y = / 2 . (+ómo se relaciona este problema con el ejemplo @ de esta sección* "olución2
:?
17. Centoide Encontrar el centroide de 2 x f ( x )= x , g ( x )=2 , x =2 y x =4 .
la
región
acotada
por
las
gráficas
de
"olución2 :?
176. %esp"a&amiento medio Una fuerza amortiguadora afecta la vibración de un muelle de manera −4 t que su desplazamiento se dé por y = e ( cos2 t + 5 sen 2 t ) . Encontrar el valor medio de y en el intervalo de
t =0 a
t = .
"olución2
:?
178. Mode"o paa "a memoia El modelo para la capacidad M de un niAo para memorizar medido en una escala de 7 a 37 está dado por =1 + 1.6 t ln t ,0 < t & 4, donde t es la edad del niAo en aAos. Encontrar el valor medio de esa función a6 entre el primero y segundo cumpleaAos del niAo. b6 entre el tercer y cuarto cumpleaAos del niAo. "olución2
:?
$a"o actua" En los e0ercicios 17; 3 117 encontrar el 'alor presente P $e n %l0o $e ingreso contino $e $ólares por a@o c ( t ) si t 1
$=∫ c (t )e−rt dt 0
$on$e t 1 es el tie-po en a@os 3 r es la tasa $e inters anal co-pesto contino. "olución2 :? 109. c ( t )=100000 + 4 000 t , r =5 ,t 1=10
"olución2
:? 110. c ( t )=30000 + 500 t ,r =7 , t 1=5
"olución2
:?
'nte(a"es usadas paa enconta "os coe)icientes de *ouie En los e0ercicios 111 3 112 'eri%icar el 'alor $e la integral $e%ini$a $on$e n es n entero positi'o.
{
2
,nesimpar n 111. ∫ x sen nx dx = −2 , n es par − n
"olución2
:? !
112.
∫ x cos nxdx= 2
−!
"olución2
(−1 )n 4 ! 2
n
:?
11,. Cueda vibante Una cuerda tensada entre los dos puntos
(0, 0 )
y
(2, 0 )
se tensa
desplazando su punto medio h unidades. El movimiento de la cuerda es modelado por una serie senoi$al $e &orier para la cual se dan los coeficientes por 1
n =-∫ x sen
nx
0
Encontrar "olución2
n .
2
2
nx dx + -∫ (− x + 2 ) sen dx 1
2
:?
11<. Encontrar la falacia en la siguiente demostración de que
∫ dx= x
dv = dx ⟹ v =
1
u= x
⟹
du=
−1 dx x 2
1 =( ) ( x )−∫ ∫ dx x x
0+
s4
0 =1.
"olución2 :?
( )
−1 x dx ( ) =1 +∫ dx 2 x x
0 =1
.
11=. "ea y = ( x )
0 < a& x&
positiva y estrictamente creciente en el intervalo
región R acotada por las gráficas de
y = ( x ) , y =0, x = a
. +onsiderar la
y x = . "i R se gira alrededor del eje
y , demostrar que el método de los discos y el método de las capas dan el mismo volumen. "olución2
:?
11. E" m+todo de Eu"e +onsiderar la ecuación diferencial f ( 0 )=0 .
− x
f ( x )= x e '
con la condición inicial
a6 Usar la integración para resolver la ecuación diferencial. b6 Usar una -erramienta de graficación para -acer la gráfica de la solución de la ecuación diferencial.
c 6 Usar el método de Euler con
- =0.05 y una -erramienta de graficación para generar los
primeros >7 puntos de la gráfica de la solución apro$imada. Usar una -erramienta de graficación para trazar los puntos. +omparar el resultado con la gráfica en el inciso b6. d 6 :epetir el inciso c 6 usando - =0.1 y generar los primeros =7 puntos. e6 (Por qué el resultado es en el apartado c 6 una mejor apro$imación de la solución que el resultado en el apartado d 6* "olución2
:?
M+todo de Eu"e En los e0ercicios 116 3 118 consi$erar la ecación $i%erencial 3 repetir los aparta$os a5 a d 5 $el e0ercicio 11. 117. f ( x )= 3 x sen ( 2 x ) , f ( 0 )= 0 '
"olución2 :?
118. f ( x )=cos √ x , f ( 0 )=1 '
"olución2
:?
11;. Paa pensa %ar una e$plicación geométrica para e$plicar / 2
/ 2
0
0
∫ x sen x dx & ∫ x dx . #erificar la desigualdad evaluando las integrales. "olución2
:?
127. Encontando un mode"o Encontrar el área acotada por las gráficas de
y = x sen x
y y =0
sobre cada intervalo. a ¿ [ 0, ! ] ¿ [ ! , 2 ! ] c ¿ [ 2 ! , 3 ! ] %escribir cualquier patrón que se note. (+uál es el área entre las gráficas de en el intervalo "olución2 :?
y = x sen x y y = 0
[ n ! , ( n + 1 ) ! ] donde n es cualquier entero no negativo* E$plicar la respuesta.
