Exercícios Resolvidos
Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Integração por Parte Contato: Contato:
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Escrito por Diego Oliveira - Escrito em 30/03/2016 e Atualizado em 24/11/2017
Quando se usa? O objeti objetivo vo da integr integraçã ação o por partes partes é reso resolve lverr integr integrais ais do tipo: tipo: (quando h(x) pode ser escrita como produto de duas outras funções).
h( ) d
Como se usa? Devemos encontrar um valor e um d e aplicar a equação: d e
= − d =
d
Dica: Existe um método (não muito confiável), para escolher e d e e a memorização LIATE, que significa: Logarítmica, Inversa, Algébrica, Trigonométrica do acrônimo acrônimo LIATE, E xponencial o ajudará a lembra-lo. e Exponencial Nesse caso, costumamos ter sucesso tomando como a função mais à esquerda da lista acima e d como o resto do integrando. d como
Exemplo 1: Calcule
e 3 d
Solução:
Observando a dica dada, funções algébricas são melhores candidatos a do que funções exponenciais. exponenciais. = e 3 d então: Fazendo então = e d d =
d d
=
d
⇒ d = 1 d d
e também
1
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e3 d
= e 3 d ⇒ = = d =
e como
e
3
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1
d =
3
e
3
então =
e3 3
(sem constante mesmo).
Assim:
= − d =
⇒
⇒
e
3
e
3
d d
e3
d =
d =
−
3
e3
1 −
3
Exemplo 2: Calcule
9
1 3
e3 d
e3 + k , onde k ∈ R
· sn (5 ) d
Solução: = sn Fazendo = e d d = s n( 5 ) d então d d = d e = −
1 5
cos ( 5 ).
Assim,
d = −
⇒
d
=−
=−
· sn ( 5 )d =
5
5
cos (5 ) +
cos (5 ) +
1 5
1 25
−
5
cos ( 5 ) −
−
1 5
cos ( 5 ) d
cos ( 5 ) d
sn ( 5 ) + k onde k ∈ R.
Em alguns casos é necessário aplicar a integração por partes mais de uma vez além de utilizar de certa álgebra para chegarmos ao resultado.
2
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Exemplo 3: Encontre
e cos ( ) d
Solução: = cos ( ) d então: Fazendo = e e d d =
d d
d
=
d
e
⇒
d = e d
e também = sen ( ). Sendo assim:
e cos ( ) d = −
= e sen ( ) −
d
sen ( ) · e d
Para Para resolve resolverr esta segunda integral recorr recorremos emos,, novament novamente, e, a integraçã integração o por parte. = sen ( ) d, então d Fazendo = e e d d = d = e d e = − cos ( ) então:
e cos ( ) d = e sen ( ) −
e cos ( ) d = e sen ( ) −
⇒
sen ( ) e d
−
e cos ( ) +
e cos ( ) d = e sen ( ) + e cos ( ) −
⇒
e cos ( ) d
e cos ( ) d
Observe Observe que voltamos voltamos a integral integral inicial. Mas, Mas, agora podemos podemos operar algebricaalgebricamente com ela.
e cos ( ) d +
⇒ 2
⇒
e cos ( ) d = e sen ( ) + e cos ( )
e cos ( ) d = e sen ( ) + e cos ( )
e cos ( ) d =
e 2
( sen ( ) + cos ( ) )
3
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E por fim acrescentamos a contante k .
e cos ( ) d =
e 2
( sen ( ) + cos ( )) + k
OBS.: A constante de integração na integração por parte é inserida SEMPRE no final do processo, então nunca se esqueça disso.
Exemplo 4: Calcule
sn 5 ( )d
Solução:
Essa integral poderia ser calculada muito mais facilmente usando a técnica de substituição por . Mas, vamos usar a integração por partes. = sn ( )d então d = 4 sn 3 ( ) cos ( ) d e = = Fazendo = sn s n4 ( ) e d = Assim:
5
4
sn ( ) d = − sn ( )cos ( ) + 4
4
= − sn ( ) cos ( ) + 4
= 5
sen 5 ( ) d +
cos 2 ( ) sn 3 ( ) d
(sn 3 ( ) − sen 5 ( )) d
= − sn 4 ( ) cos ( ) + 4
= 4
3
sn ( )d − 4
sen 5 ( ) d
sn 5 ( ) d = − sn 4 ( ) cos ( ) + 4
sen 5 ( ) d = − sn 4 ( )cos ( ) + 4
Podemo Podemos s calcular calcular
cos ( ).
(1 − sen 2 ( )) sn 3 ( ) d
= − sn 4 ( ) cos ( ) + 4
−
sn 3 ( ) d
sn 3 ( ) d (1)
usando novame novamente nte a integr integraç ação ão por partes partes fazend fazendo o sn 3 ( )d usando
= sen ( ) d. Outra possibilidade é fazer a substituição por . Veja: = sen 2 ( ) e d d =
sn 2 ( ) sn ( ) d
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=
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(1 − cos 2 ( )) sn ( ) d
chamando de cos c os ( ) então:
(2 − 1 ) d =
1 3
3 − + c
sn 2 ( ) sn ( ) d =
=
1 3
cos 3 ( ) − cos ( ) + c (2)
Substituindo (2) em (1) chegamos a solução:
5
= 5
=
sen 5 ( )d =
−
sn 4 ( ) cos ( ) + 4
sen 5 ( ) d = − sn 4 ( )cos ( ) +
5
sen ( ) d = −
Onde k =
4 5
c e c
∈
sn 4 ( ) cos ( ) 5
+
1 3
4 3 4
15
cos 3 ( ) − cos ( ) + c
cos 3 ( ) − 4 cos ( ) + 4 c
cos 3 ( ) −
R.
5
4 5
cos ( ) + k
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