Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria oria da Conquista/BA
Exerc´ Exerc´ıcios Resolvidos: Resolvid os: Integra¸ c˜ c˜ ao ao por po r Substit Sub stitui¸ ui¸ c˜ ao Contato: Contato:
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Atualizado em 30/03/2016 Como Funciona?
Os passos p assos que vocˆ vo cˆ e deve de ve seguir segui r para par a aplicar ap licar o m´etodo etod o da substitui¸ substit ui¸c˜ cao a˜o por u s˜ao: ao:
1 Procurar Procurar por uma parte da fun¸c˜ c˜ao ao cuja derivada tamb´em em apare¸ca ca na fun¸c˜ c˜ao; ao; 2 Colocar u igual `a parte escolhida da fun¸c˜ cao a˜o e em seguida determinar sua derivada; 3 Usar as expres express˜ s˜oes oes u e du d u para substituir partes da integral original.
Exemplo 1: Resolva a integral:
3
x2 e−4x dx
Solu¸ c˜ cao: ˜ 3
Se u =
−4x d d u = (−4x ) dx dx 3
d
2
−12x ⇒ du = −12x dx = x dx ⇒ − du 12 dx
u =
2
2
Fazendo a troca de vari´avel avel (x por u), ent˜ao: ao:
−
2
−4x3
x e
1 12
dx =
1 12
−
eu du
u
− e12 + c
eu du =
Retornado para a vari´avel avel x. 3
eu
− 12 + c = − Portanto,
e−4x
12
+ c 3
2
−4x3
x e
dx =
−
e−4x
12
Exemplo 2: Resolva a integral:
+ c
cos2 (x)sin(x)dx
1
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Solu¸ c˜ cao: ˜ Sendo u = cos (x) ent˜ aaoo du d u =
−sen(x)dx.
Substituindo a vari´avel avel (x por u)
2
cos (x)sin(x)dx =
−
−
u2 du
3
− u3
u2 du =
+ c
Retornado para a vari´avel avel x u3
−3
+ c =
Portanto,
−
cos3 (x)
3
+ c 3
cos2 (x)sin(x)dx =
− cos3(x) + c
Exemplo 3: Resolva a integral:
x2 7 x3
−
dx
Solu¸ c˜ cao: ˜ Sendo u = 7
3
ent˜aaoo du =
−x
2
−3x dx.
Fazendo a troca de vari´avel avel (x por u) x2
7−
dx = x3
− du 3u
ln|u| =− + c − du 3u 3
Retornando a vari´avel avel x 3
− 3| | + c = − ln|7 3− x | + c ln u
Assim,
x2
7
3
−x
3
ln 7
| − x | + c dx = − 3
Exemplo 4: Resolva a integral:
x3 cos(5x4 )dx
Solu¸ c˜ cao: ˜ Fazendo u = 5x4 ent˜ aaoo du = 20x3 dx que implica em Fazendo a troca de vari´avel avel (x por u)
2
du
20
= x 3 dx.
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1 x cos(5x )dx = 20
1 20
3
4
cos(u)du =
cos(u)du
1 ( sen(u) + c) 20
Retornando a vari´avel avel x. 1 1 ( sen(u) + c) = sen(5x4 ) + c 20 20
Que resulta em: 1 sen(5x4 ) + k 20 Onde k = c Assim,
· 201
x3 cos(5x4 )dx =
1 sen(5x4 ) + k 20
Exemplo 5: Resolva a integral:
sin(x)
2 + cos(x)
Solu¸ c˜ cao: ˜ Seja u = 2 + cos(x) ent˜ aaoo du =
−sen(x)dx.
Fazendo a troca de vari´avel avel (x por u) sin(x)
2+ −
cos (x)
du u
=
dx =
− duu
−ln|u| + c
Retornando a vari´avel avel x
−ln|u| + c = −ln|2 + cos(x)| + c logo
sin(x)
2 + cos(x)
dx =
−ln|2 + cos(x)| + c
Exemplo 6: Resolva a integral:
1 25 + x 2
Solu¸ c˜ cao: ˜ Tomando u =
x
5
ent˜ aaoo du d u =
dx
5
e u2 =
x2
25
Agora observamos o seguinte:
3
dx
dx
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dx
·
1 25
1 (25 + x2 ) 25
=
dx 25
dx 25
1 + = 1 + x2 25
· 5 x2 25
5
=
dx 5 x2 25
1 + 5
Substituindo o valor de du d u e u2
dx 5
1 + 5 = x2 25
1 du = 2 (1 + u ) 5 5
du (1 + u2 )
Essa ultima integral ´e igual i gual a arctg (x) + c (como mostrado mo strado no final deste exerc e xerc´´ıcio), portanto: porta nto: 1 5
du
(1 + u 2 )
=
1 1 arc tg (u) + c 5 5
Retornando a vari´avel avel x =
1 x arc tg + k 5 5
Onde k =
1 c. 5
(prova)
Para resolver
dx
(1 + x2 )
fazemos a substitui¸c˜ cao a˜o de x por p or tg t g (u). Assim,
x = tg (u) e dx = sec 2 (u)du
dx
1 + x2
=
sec2 (u)
1 + tg 2 (u)
du
Como tg t g 2 (u) + 1 = sec 2 (u)
sec2 (u)
1 + tg 2 (u)
du =
sec2 (u) sec2 (u)
du =
du
du = u + c
Como x = tg (u) ent˜ aaoo u = arctg (x) e portanto, u + c = arctg (x) + c finalizando a demonstra¸c˜ c˜ao ao de que
dx
(1 + x2 )
= arctg (x) + c
Exemplo 7: Resolva a integral:
(3x + 4)100 dx 4
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Solu¸ c˜ cao: ˜ Sendo u = 3x + 4 ent˜ aaoo du = 3dx
Assim: (3 + 4) x
u100
3
100
dx = u101
du =
303
u100
3
du
+ c
Retornando a vari´avel avel x u101
(3x + 4) 101 = = + c 303 303
Exemplo 8: Resolva a integral:
cos(x)
1 + sin2 (x)
dx
Solu¸ c˜ cao: ˜ Seja u = sen (x) ent˜ aaoo du = cos (x)dx ao: Ent˜ao: 1+
cos(x) 2
sin (x)
=
du
dx =
du
1 + u2
= arcyg (u) + c
1 + u2
Retornando a vari´avel avel arctg(u) + c = arctg (sen(x)) + c
Exemplo 9: Resolva a integral:
(2 − √ ) √ x x
Solu¸ c˜ cao: ˜ Seja u = 2
√ x − √ x ent˜aaoo du = − 2dx
√ ) Assim: (2 − √ x
x
5
dx =
5
−2u du
6
−2u du = − u3 5
+ c
Retornando a vari´avel avel x 5
5
dx
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√ x) − − 3 + c = − 3 u6
6
(2
+ c
Exemplo 10: Resolva a integral:
sec2 (2x
− 3)dx
Solu¸ c˜ cao: ˜ Seja u = 2x
− 3 ent˜aaoo du = 2dx
Trocando a vari´avel avel
2
sec (2x sec2 (u)
2
− 3)dx = du =
tg (u)
2
sec2 (u)
2
du
+ c
Retornando a vari´avel avel x tg (u)
2
+ c =
tg (2x
2
− 3) + c
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
[email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ ao. ao. Para encontrar encontra r esse e outros exerc´ exerc´ıcios resolvidos res olvidos de matem´ mate m´atica atica acesse: www.number.890m.com 6
