INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y POR PARTES

Métodos de integración ¿Cómo reconocer cuál técnica emplear para integrar  ?

No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fór fórmul mulas as bás básic icas as de in inte tegr grac ació ión n Tabla de fórmulas de integración 1.

 x n

n

 x dx  x

1

n 1

3.

e dx

5.

s en xdx

 x

e

C

C  - c os x

( n

-1 )

2. 4.

C 

6.

1  x

dx

 x

a dx

ln  x a x

C  C 

ln a c os xdx s en x

C 

Tabla de fórmulas de integración

7.

sec2 xdx

9.

sec xtanxdx

8. csc2 xdx

tanx C  sec x

C 

11. sec xdx

ln secx

tanx

13.

ln secx

C 

tanxdx

15. senh xdx 17.

dx x

2

cosh C  1

a

2

a

tan

1

 x a

10.. C 

cot x

csc x cot xdx

csc x

12

csc xdx

ln cscx- cotx

14.

cot xdx

ln sen x

16. cosh xdx C 

C 

senh x

dx

18. a

2

 x

2

sen

1

C  C 

C  C   x a

C 

Análisis Matemático II Temas: • Integración por sustitución (cambio de variable) • Integración por partes  Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui 

Desarrollaremos técnicas que nos permitirán emplear las fórmulas básicas con objeto de llegar a integrales indefinidas de funciones más complicadas

Si tuviéramos que determinar la siguiente integral 2

2 x 3  x dx No podríamos hacerla directamente con las fórmulas de integración dadas anteriormente,……en este caso es conveniente conocer algunos métodos de integración, entre ellos el método de integración por sustitución o cambio de variable

La regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para diferenciar. Debemos tener presente que si U = g (x), entonces d u = g I (x) dx

Método de Integración por sustitución o cambio de variable Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I y la función f es contínua en el intervalo I, entonces: ∫f(g(x))g‘(x)dx = ∫f(u)du

Ejercicio: Determine las siguientes integrales

4  x

2

3 x 7 2 x 3 dx

3  x 4 3

 x e

ln( x )

dx

 x

2

dx

3 x 6 2 x

2

8 x 3

dx

EJEMPLOS Determine: 1) 2)

( x 8) 7 dx 6 x 3dx

3)  x 2 1  x 3 dx 4)

( x 2

2 x 4)3 ( x 1)dx

EJEMPLOS Determine: 5) 6) 7) 8)

( x

4) 2 x 3dx 3 z 

3

2

 z 

1

dz 

 x. cos(3 x 2 ) dx 6 cos x (2  senx )

3

dx

EJEMPLOS Determine: 9)

1  x

2

2

cos

1  x

1

dx ,  sug ,: hacer  u

10)

tgxdx

, sug , : hacer  u

11)

sec2 x.tgxdx , sug ,: hacer  u

 x

cos x tgx

INTEGRACION POR PARTES • ¿Será cierto que ……….

¿  f ( x) g ( x)dx

 f ( x)dx  g ( x)dx ?

La regla del producto establece que si f y g son funciones diferenciables,

d  dx

 f ( x) g ( x)

 f  ( x) g ( x)  f ( x) g  ( x)

 f  ( x) g ( x)dx

 f ( x) g ( x)dx  f ( x) g ( x)

Reordenando la expresión anterior se tiene la fórmula de integración por partes

Es decir:

 f  ( x) g  ( x)dx

 f  ( x) g ( x)

 f   ( x) g ( x)dx

Sean u = f (x) y v = g (x) entonces du = fI (x)dx y dv = gI(x)dx, así, según la regla de sustitución, la fórmula de integración por partes se transforma en:

udv

uv

vdu

Ejercicio: Determine las siguientes integrales

 x  x 5dx

2 x

 xe dx

 x cos( x)dx

ln( x)dx