Cálculo II
Semana 3
Tema : Integración por Partes – Integral Integral Indefinida SOLUCIONARIO
Usando el método de integración por partes calcula las siguientes integrales a)
xe dx x
Solución:
Según ILATE, identificamos a Sea
u
x
, su diferencial es
dx. Además,
sea
dv
como Exponencial. x
e
, integrando sería
v
x
e
.
xe x e x dx
x
x
xe x
e
b)
du
x
e
udv uv duv , se obtiene
Ahora aplicando
xe dx
como Algebraica y
x
e
x
c
( x 1) c
x ln( x)dt Solución:
Según ILATE, identificamos a Sea
u
ln x ,
su diferencial es
x
como Algebraica y ln x como Logarítmica.
du
1
dx.
x
Además, sea
dv
x,
integrando sería
x v
2
.
2
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
c)
x ln x dx
x
2
2 x 2 x 1 2 2 x
ln x
2
x ln x 2
2
x
x ln x
2
2
c
x
2
4
c
sen( x) dx
Solución: 2
Según ILA ILATE, identificamos a x como Algebraica y sen( x) como Trigonométrica. 2 Sea u x , su diferencial es
Ahora aplicando
2xdx ,
Además, sea
udv uv duv , se obtiene
x sen( x) dx 2
du
x2 ( co cos( x)) cos( x)(2 x) c
x 2 cos( x ) 2 x cos( x ) c x
Se considera
A
2
cos( x) 2( A) ….. (I)
(cos(( x))( ))( x)dx (cos
dv
senx ,
integrando sería
v
cos( cos(x).
Cálculo II Sea
u
x , su diferencial es
du
Además, sea
dx.
dv cos(x) dx ,
integrando sería
v
( ).
sen x
udv uv duv , se obtiene
Ahora aplicando
x cos(x)dx xsen( x) sen( x)dx c ( ) ( cos( x) c
xsen x
xsen
(x) cos(x) c ….. (II)
(II) en (I): 2
cos( x) 2(sen(x ) cos(x )) c
2
cos( x) 2sen( x) 2cos(x )
x x
d)
cos(2 x2 ) 2xsenx
ln( x)dx Solución:
La integral se puede escribir 1. ln( x ) dx, según ILATE, identificamos a 1 ln x
Sea
u
ln x ,
0
como Algebraica y
su diferencial es
x
2
du
1
dx.
x
Además, sea
0
dv x dx ,
integrando sería
v
x
.
udv uv duv , se obtiene
1 x ln x x x x ln( x) 1 c
x ln xdx
ln
x
como Logarítmica.
Ahora aplicando
e)
ln(x) x c
( x) dx
Solución:
Según ILATE, identificamos a Sea
u
ln
2
x
, su diferencial es
Ahora aplicando
x ln xdx
x
( x 1)e
0
como Algebraica y ln
du
2ln x
x
x2
ln 2 ( x) 2( x ln( x) x) c
ln 2 (x) 2 x ln( x) 2 x c
dx
2
x
como Logarítmica. 0
dx.
Además, sea
udv uv duv , se obtiene
2ln( x) x ln2 x x x x ln 2 ( x) 2ln( x) c x
f)
x
dv
x dx
, integrando sería
v
x
.
Cálculo II Solución:
Según ILATE, identificamos a
x 1
como Algebraica y
Sea
du
dx.
u x 1
, su diferencial es
Además, sea
como Logarítmica.
x 2
dv e
, integrando sería
x 2
v e
.
udv uv duv , se obtiene
Ahora aplicando
x ln xdx
x 2
e
( x 1)e x 2 e x 2 ( x 1)e x 2 e x 2 c
( x 1)e x
(
x
1 1)e
2
e
x
x 2
c
2
x 2
= xe g)
e
x
sin(x) dx
Solución:
Según ILATE, identificamos a Sea
u
x
e
( ) , su diferencial es
sen x
x
du
( ) como Trigonométrica.
I
sen x
cos( x)dx. Además, sea dv
x
e
, integrando sería
v
x
e
.
v
udv uv duv , se obtiene
Ahora aplicando
e sen(x ) dx
como Exponencial y
e
x
( )
sen x
e
x
cos( x)
x
e sen( x ) A …..
(I)
Aplicando nuevamente integración por partes Se considera Sea
u
A
e
x
cos(x)
cos(x) , su diferencial es
du
( x) dx. Además, sea dv
sen
Ahora aplicando
udv uv duv , se obtiene
e
cos( x) e sen( x)dx …..(II)
x
e dx ,
x x cos(x) e cos( x) e sen( x)dx
x
e x
x
Sustituyendo (II) en (I):
e sen(x ) dx e sen( x) (e cos( x) e sen( x)dx) e sen(x ) dx e sen( x) e cos( x) e sen( x)dx x
x
x
x
x
x
x
Despejando la expresión
x
e sen(x ) dx de la igualdad anterior, tenemos x
e sen( x) dx e ( sen( x) cos( x)) x
2
x
e sen( x) dx
x
ex(
sen( x )
2
cos( x ) 2
)
integrando sería
x
e
.
Cálculo II h)
e
ax
cos(bx)dx
Solución:
Según ILATE, identificamos a Sea
u e
v
e
ax
como Exponencial y cos(bx) como Trigonométrica.
cos(bx) , su diferencial es
du
bsen(bx)dx.
Además, sea
dv
e
ax
, integrando sería
ax
. a
udv uv duv , se obtiene
Ahora aplicando
e
ax
e
cos(bx) dx
ax
cos(bx)
a e
ax
cos(bx) a
e
ax
a
ax
(bsen(bx ))
a
b
e a
cos(bx)
e
b
a
ax
sen (bx )
( A) ….. (I)
Aplicando nuevamente integración por partes Se considera Sea
u
e
A
sen(bx) ,
ax
sen(bx)
su diferencial es
du
cos( x)dx. Además, sea dv
e
ax
dx ,
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
ax
e
sen( bx)
e
ax
sen(bx) a
e
ax
sen(bx) a
e
ax
cos(bx)bdx a
b
e a
ax
cos(bx)dx …..(II)
Sustituyendo (II) en (I):
e
ax
e
ax
e
ax
cos(bx) dx
e
ax
cos(bx) dx
cos(bx) dx
a
e
ax
e
cos(bx) dx
e
ax
b2
cos(bx) a
eax cos(bx) a
Despejando la expresión
ax
cos(bx)
e a2
e
ax
ax
b
a
( A)
be
ax
a
sen (bx ) a
beax sen(bx) a
2
b a
b2 a
2
e
e
ax
cos(bx)dx
ax
cos(bx) dx
cos(bx) dx de la igualdad anterior, tenemos
cos(bx) dx
eax
cos(bx) a
bsen(bx)
b2 e ax bsen(bx ) cos(bx) dx 1 2 a a cos(bx) a
a
integrando sería
v
e
ax
a
.
Cálculo II
e
ax
e
ax
e
ax
a2 b2 cos(bx) dx a 2
ax
a
bsen(bx ) cos(bx) a
aeax
b sen(bx) cos( bx ) a a 2 b2
cos(bx) dx
e
ax
a cos (bx) bsen (bx) b2 ax ax a cos(bx) bsen(bx) cos( ) e bx dx e 2 2 a b i)
( x
2
cos(bx) dx
e
a
2
3x 1) sin( x) dx
Solución: 2
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a ( x x 1) como Algebraica y como Logarítmica. ILATE u x v
2
3x 1
, su diferencial es
du
(2 x 3) dx.
Además, sea
dv
senxdx ,
senx
integrando sería
cos x.
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
( x
3x 1) sin( x )dx ( x 2 3x 1)( cos x) cos x(2 x 3)
2
( x 2 3x 1)( cos x) cos x(2 x 3)
Se considera Sea v
u
A
( x2 3x 1)( cos x ) A ….. (I)
cos x(2x 3)dx
2x 3 ,
su diferencial es
du
2dx.
Además, sea
dv
cos(x)dx , integrando sería
sen( x).
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
x cos(x)dx (2 x 3)sen( x) 2sen( x)dx
(2 x 3)sen( x) 2( cos x) c
(2 x 3)sen( x) 2cos x c ….. (II) (II) en (I):
(
x
j)
(2 x
2
2
3x 1)( cos x) (2 x 3)sen( x) 2cos x c
(2 x 3)sen( x) (x2 3x 3)cos x c
5x 2)e x dx
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a (2 x como Exponencial. 2
Sea u 2 x 5x 2 , su diferencial es v
du
e
.
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
(2 x
2
5x 2)e
x
dx
(2 x 5 x 2)e e x (4 x 5) 2
x
5x 2) como Algebraica y
(4 x 5)dx. Además, sea dv
x
2
x
e dx ,
x
e
integrando sería
Cálculo II
A
Se considera Sea
u
4x 5 ,
e
x
(2 x
2
5x 2)e
x
A
(4 x 5)
su diferencial es
du
Además, sea
4dx.
dv
x
e dx ,
integrando sería
v
x
e
.
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
e
x
x
(4 x 5) (4 x 5)e 4e
x
(4 x 5)e
4e
x
x
dx
c
…..(II)
(II) en (I):
k)
(2 x
2
(2 x2 5 x 2)ex
A
(2 x2 5x 2)e
((4x 5)e
(2 x2
x
x
1)e
x
x
x
4e ) c
c
1) ln( x) dx
Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a (2 x como Logarítmica. Sea
u
ln x ,
su diferencial es
du
1
x
dx.
Además, sea
dv 2 x
2
1
2
1) como Algebraica y
, integrando sería
v
ln x
4x 1.
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
(2 x
2
2 x3 2 x3 x 1 x 1) ln( x) dx ln x 3 3 x 2 2 x3 2x ln x x 1 3 3 2 x3 2 x3 ln x x x 3 3(3) 2 x3 2 x3 ln x x x 3 9
(3 x 1)cos( x)dx Solución:
En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a 3 x 1 como Algebraica y cos x como Trigonométrica. Sea u 3x 1, su diferencial es du 3dx. Además, sea dv cos xdx , integrando sería v senx.
Luego, aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
(3 x 1) cos( x)dx
(3 x 1)(senx) 3senx (3 x 1)(senx) 3( cos x ) c (3 x 1)(senx) 3(cos x ) c
1) La intensidad de amortiguación de los resortes de una moto lineal es estimado por: A' (t )
15e 0.015t sin(t ) ¿Cómo determinaría la ecuación que describe la amortiguación de los
resortes? Solución:
Recuerde que la ecuación de amortiguación de un resorte es la derivada de la función A(t). Entonces,
Cálculo II dA
15e
0.015t
dt
Y por tanto,
A(t ) debe
A(t ) =
sin(t )
dA
dt = 15e
Resolviendo en
dA
ser antiderivada de
0.015t
, así
dt
sin(t )
A(t ),
Según el método de ILATE, identificamos a Trigonométrica. Sea
u
sen(t )
200e v
, su diferencial es
du
e
como Exponencial y dv
Además, sea
cos(t )dt.
0.015t
e
3t /200
dt ,
sen(t ) como
integrando sería
3t /200
.
3
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
15
e
0.015t
sin(t )
15
(200)e3t /200 sen(t )
3 (200)e3t /200 sen(t )
3 (200)e3 /200 sen(t ) t
Se considera Sea
u
e
3t /200
3 200e 3t /200 3
200
3
e
3t /200
(cos(t )) (cos(t ))
cos(t ) ….. (I)
cos(t )
cos(t ) , su diferencial es
200e
v
A
3
200e 3t /200
dv
Además, sea
sen(t )dt .
du
3t /200
e
dt ,
integrando sería
3t /200
3
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
e
3t /200
cos(t )
200e3t /200 cos(t )
3
200e
3t /200
cos(t )
3
200e3t /200 ( sen(t )) dt
3
200 3
e
3t /200
sen(t )dt …..(II)
(II) en (I)
15e
0.015t
sen(t )
15
15e
0.015t
sen(t )
15
(200)e3t /200 sen(t ) 3
(200)e
3t /200
sen(t )
3
200 200 e3t /200 cos( t)
3
3
200 200e
3t /200
3
200 3
e
3t /200
cos(t )
200 200 3t /200 e sen(t )dt 3 3
3
Considerando: e0.015t sen(t ) y y
15
(200)e3t /200 sen(t ) 3
y
15
200 200e3t /200 cos(t )
3
200 200 y 3 3 (15)
3
(200) e3t /200 sen(t ) 3 3t /200
(200)e 40000 1 y y 15 9 3
sen (t )
40000 9
e t
40000 9
3 /200
e
sen(t ) dt
cos(t )
3t /200
cos(t )
40000 y 9 15
Cálculo II (200)e t sen(t ) 40000 3t /200 1 cos(t ) e y 9 3 9 15 40009 1 40000 3t /200 e cos(t ) y (200)e3t /200 sen(t ) 9 3 3 3(15) 40000 3t /200 3t /200 y sen(t ) e cos(t ) (200)e 40009 3 (9000)e3t /200 sen(t ) 600000e3t /200 cos(t ) y 40009 40009 3t /200 (9000)sen(t ) 600000cos(t ) y e 40009 40009 3 /200
40009
Reemplazando en y:
e
0.015t
sen(t )
(9000)sen(t ) 600000cos(t ) e3 /200 40009 40009 t
2) Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por C'(x)
donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a costo.
5000ln(x 20)
, en (x 20)2 $ 2000, determine la función de
Solución:
a) El costo
C ( x)
C ( x ) se
determina integrando
C '( x) con
respecto a
x
. Así
5000ln( x 20) dx 2 ( 20) x ln( x 20) 5000 2 ( x 20)
C '( x )dx
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando la técnica de ILATE: -Identificamos a ln( x 20) como Logarítmica y x 20 como Algebraica. Sea
u
ln( x 20) , su diferencial es
1 v x
du
1
Además, sea
.
x 20
dv
1
.
20
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
ln( x 20)
1
1
1
( x 20)2 5000 ln( x 20) x 20 x 20 x 20
5000
1 2 5000 ln( x 20) x 20 x 20 1 1 ( x 20) 5000 ln( x 20) c 1 x 20 ln( x 20) 5000 ( x 20)1 c x 20
ln( x 20) 1 5000 c x 20
x 20
, integrando sería
Cálculo II
El valor de C se determina por el hecho de que 0 R(0)
C (0)
0 . Así,
ln(0 20) 1 0 5000 C 0 20
0 250ln(20) 250 C
C 250ln(20) 250
Por tanto
ln( x 20) 1 5000 250ln(20) 250 x 20
C ( x)
b) El costo total está definido por el costo variable más el costo fijo
ln( x 20) 1 250ln(20) 250 2000 x 20 ln( x 20) 1 5000 250ln(20) 2250 x 20
CT ( x) 5000
3) El ingreso marginal de una empresa por su producto es I'(x) 10(20
x)e
x/20
: determine la función
de ingreso. Solución:
a) El ingreso I ( x)
se determina integrando I '( x) con respecto a
I ( x)
I '( x)dx 10(20 x)e
x /20
x
. Así
dx
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE, x
identificamos a Sea v
u
20e
e
20
como Exponencial y (20 x) como Algebraica. (ILATE)
20 x , su diferencial es x /20
du
Además, sea
1.
.
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
(20 x)e
x/20
(20 x)20e x/20 20e x/20( 1) C
(20 x)20e x/20 20e x/20 (1) C
(20 x)20e
El valor de
(20x 400 400) C
x/20
(20x 400 400) C
e
10(20)e
200e
x/20
x/20
x/20
C
C
C
determina por el hecho de que I (0) 0 . Así, 0/
20
0 200e
0 200 C
C 200
C
Por tanto
20(20)e
x/20
0 I (0)
I ( x)
e
C se
x/20
200e
x
/20
200
dv
e
x /20
dx ,
integrando sería
Cálculo II 4) Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de
I'(x) 4000xe 0,2x juegos por semana, en donde x es el número por semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, s, como una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas?
Solución:
a) Las ventas
I ( x)
I ( x)
se determina integrando I '( x) con respecto a
I '(x)dx 4000xe
x
. Así
0,2 x
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE, identificamos a Sea
u
x
e
0.2 x
como Exponencial y
, su diferencial es
du
x
como Algebraica.
Además, sea
1.
4000 x( 5e 4000 x(5e 4000 x(5e
dv
0.2 x
e
dx ,
integrando sería
v
5e
0.2 x
.
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
4000xe
0,2x
) 5e C ) 5e C
0.2x
) 5e 0.2x C
0.2x
0.2x
0.2x
0.2x
4000 5xe 0.2x 5( 5)e 0.2x C 4000 5xe0.2x 25e0.2x C
0.2x
) x 5 C
0.2x
) x 5 C
4000( 5e
20000(e
El valor de C se determina por el hecho de que I (0) 0 . Así, 0 I (0)
0 20000e0.2(0) (0 5) C
0 100000 C
C 100000
Por tanto I ( x) 20000(e
0.2 x
) x 5 100000
b) El número de ventas totales durante las 4 primeras semanas es I (4)
20000( e
0.2(4)
) 4 5 100000
80879.2135 100000
80879.21 80879
5) Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de llegada de casos nuevos a cierto hospital es igual a C
'(t )
5te
0,1t
, donde t está medido en días, t = 0 es el inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital cuando t =5 y cuando t=10?
Solución:
a) Los casos atendidos C ( x)
C (t ) se
determina integrando
C '( x)dx 5te
C '( x)
con respecto a
x
. Así
0,1t
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE, identificamos a e
0.1t
como Exponencial y t como Algebraica.
Cálculo II Sea
u
t
, su diferencial es
du
Además, sea
dt.
dv
e
0.1t
dx
, integrando sería
v
0.1t
10e
.
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
5te
-0,1t
= 5(t(-10e-0.1t ) - -10e-0.1t ) + C
5(10te
0.1t
0.1t
5( 10te
5( 10te
0.1t
10 e0.1t ) C
100e
0.1t
0.1t
10( 10e
)) C
)
50e 0.1t (t 10) C El valor de C se determina por el hecho de que 0 I (0)
C (0)
0 . Así,
0 50e0.1(0) (0 10) C
0 50(10) C
C 500
Por tanto C ( x)
50e
0.1t
(t 10) 500
b) El número de casos atendidos en el hospital durante los 5 primeros días C ( x)
C ( x)
50e
0.1(5)
(5 10) 500
454.8979948 500 C ( x ) 45.1 45
6) Función de Demanda: Una importante emisora de radio, lanza al aire un nuevo programa de las once
hasta la una de la mañana, éste espacio musical, tendrá como principal característica la música de los 80s, y para ello adquiere varios lotes de discos compactos originales y se estima que el precio p , en soles de cada lote de CD original, cambia a una tasa de: dp 2 x ln x dx Donde x , es la cantidad demandada por la emisora. Suponga que se demandan 40 lotes, cuando el precio es de 100000 soles. El fabricante, como parte de la cultura de fidelización del cliente (en este caso de la radio), llevará a cabo un estudio para: a) Determinar el modelo matemático, es decir la función de la demanda p( x) . b) ¿A qué precio se demandará 20 lotes, sabiendo que son CDs importados y autografiados? Solución:
La cantidad demandada P( x)
P( x ) se
P '( x)dx x
2
determina integrando P '( x) con respecto a
x .
Así
ln x
Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE, identificamos a Sea
u
x
2
como Algebraica y ln x como Logarítmica.
ln( x) , su diferencial es
du
1
x
dt.
Además, sea
dv
Ahora aplicando la definición udv uv duv , se obtiene
x
2
3 x3 x 1 ln x ln x 3 3 x dx C 2 x3 x ln x dx C 3 3
2
x dx ,
integrando sería
x v
3
3
Cálculo II
x3 x 3 ln x C 3 9
x
3
3
1 ln x C 3
El valor de C se determina por el hecho de que P (40) 100000 . Así, 100000 P (40)
100000
403
1 ln 40 C 3 3
100000 71584.98391 C
C 28415.02
a) Por tanto, el modelo matemático para la función demanda p(x) es: C ( x)
3
1 ln x 28415.02 3 3
x
b) El precio de 20 lotes de CDs es: C (20)
203
1 ln 20 28415.02 3 3
C (20) 7099.7 28415.02 C( x)
35514.72
35515
