HOMOLOGIA PLANA Paulo Sérgio Brunner Rabello Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de Janeiro Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal Fluminense Ex-Professor da Universidade Santa Úrsula Livre-Docente em Construção Civil Especializado em Geometria e Representação Gráfica
Cabo Frio, 11 de junho de 2007
1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS Dois pontos são ditos correspondentes quando estão contidos num mesmo raio projetivo que parte de um centro de projeções. Deste modo pode-se inferir que duas figuras são correspondentes quando há correspondência respectiva entre todos os pontos de uma e da outra.
figura 01-a Para que duas retas sejam correspondentes basta que dois quaisquer de seus pontos sejam, respectivamente correspondentes.
figura 01-b
Uma correspondência é biunívoca quando a cada ponto de uma figura corresponde um, e somente um, ponto da outra. A equação y = 3x + 1 representa, algebricamente, uma correspondência biunívoca uma vez que, para cada valor de x existe somente um valor de y, e vice-versa. Já na equação y = x² + 1, a cada valor de x corresponde um só valor de y, mas a recíproca não é verdadeira e a correspondência não é biunívoca. Um exemplo clássico é a correspondência entre uma circunferência e uma reta. Quando o centro de projeções (ou centro projetivo) está sobre a circunferência, a correspondência é biunívoca. Se o centro projetivo não estiver sobre a circunferência, não existirá biunivocidade e a correspondência é chamada simples.
figura 02-a
figura 02-b
Quando duas figuras estão associadas por correspondência biunívoca são então chamadas homólogas.
uma
2 – TEOREMAS DE DESARGUES Se dois triângulos são homólogos, as retas que unem os vértices correspondentes se interceptam num mesmo ponto e os prolongamentos dos lados correspondentes se interceptam sobre uma mesma reta. A demonstração desse teorema só é possível quando os triângulos não são coplanares.
figura 03 Sejam: (O) : centro projetivo ABC: triângulo contido no plano (π) A’ B’ C’ : triângulo homólogo de ABC, contido no plano (α) e : interseção de (π) com (α)
Demonstração: A’ A e B’ B são coplanares, logo se interceptam num mesmo ponto (O). A’ A e C’ C também são coplanares e se interceptam também no ponto (O). Conclui-se então que A’ A, B’ B e C’ C se interceptam em (O). AB e A’ B’, obviamente são coplanares também, mas AB pertence a (π) e A’ B’, pertence a (α). Logo AB e A’ B’ se interceptam num ponto M da reta e, interseção de (π) como (α). Por raciocínio análogo, conclui-se que os pontos N (interseção de AC com A’ C’) e P (interseção de BC com B’ C’) pertencem também à reta e.
3 - HOMOLOGIA Aplicando as conclusões de Desargues aos conceitos anteriormente vistos sobre correspondências, pode-se definir homologia como sendo a transformação geométrica que estabelece uma correspondência biunívoca entre pontos e pontos, retas e retas de duas figuras de modo que dois pontos correspondentes estejam alinhados com um ponto fixo e duas retas correspondentes se interceptem sobre uma mesma reta. O ponto fixo é chamado centro de homologia e à reta que contém os pontos comuns das retas homólogas chama-se eixo de homologia. Os pontos, retas e planos que estabelecem uma homologia entra duas figuras são chamados elementos da homologia.
figura 04 Do sistema homológico da figura destacam-se os seguintes elementos: O : centro de homologia ( π ) : geometral, plano horizontal que contém a figura objetiva AB (Q) : quadro, plano perpendicular a (π), que contém a figura A’ B’, homóloga de AB (N) : plano neutro, também perpendicular a (π), que contém o centro de homologia (H) : plano do horizonte, paralelo a (π), que também contém o centro de homologia e : eixo de homologia, interseção de (Q) e (π) l 1
: reta limite 1, interseção de (H) com (Q)
l 2
: reta limite 2, interseção de (π) com (N)
n : linha neutra, interseção de (H) com (N) Observando-se atentamente a figura dada, verifica-se que: 1) Se prolongamos AB, indefinidamente, no sentido de B para A, A’ se deslocará sobre o suporte A’ B’, no sentido de B’ para A’ até encontrar l1, no ponto L1. Como AB, A’ B’, (O) e L1 são coplanares e OL1 pertence ao plano (H), paralelo a (π), L1 será paralela ao suporte AB. Concluímos então que L1 é o lugar geométrico dos pontos homólogos dos pontos impróprios da reta que contém AB. Por extensão do raciocínio, concluímos também que a reta limite l1 é o lugar geométricos dos pontos impróprios de todas as retas que pertencem ao geometral. A distância de (O) a l, mede o afastamento do centro de homologia em relação ao quadro. 2) Pelo teorema de Desargues, o encontro dos suportes de AB e A’ B’ se dá sobre o eixo de homologia (e), no ponto M. Se prolongarmos, agora, A’ B’, no sentido de A’ para B’, B se deslocará sobre o suporte AB, encontrará B’ em (H) e segue até interceptar l2 em L2. Como AB, A’ B’, M, (O) e L2 são coplanares e OL2 pertence ao plano (N), paralelo a (Q), OL2 será paralelo ao suporte A’ B’. Concluímos então L2 é o lugar geométrico dos pontos homólogos dos pontos impróprios da reta que contém A’ B’. Ainda por extensão de raciocínio, concluímos também que a reta limite l 2 é o lugar geométrico dos pontos impróprios de todas as retas que pertencem ao quadro. A distância de (O) a l 2, mede a altura de centro de homologia em relação ao geometral. 3) A figura formada pelos pontos O,L1, M e L2 é um paralelogramo, logo OL1 = ML2 e M L1 = L2O.
4 – CONSTRUÇÃO DA HOMOLOGIA Tomam-se a reta limite 1 (l como eixos de rotação.
1),
e o eixo de homologia e
Gira-se o plano (H) (plano do horizonte) em torno de l 1 no sentido trigonométrico até que (H) se confunda com o quadro (Q). Gira-se o geometral (π), em torno de e, também no sentido trigonométrico, até que (π) se confunda com o quadro (Q).
figura 05 Com estas operações é possível trabalhar com as homologias no plano do quadro que, em última análise é a própria épura do sistema homológico em questão. Como pode ser observado a correspondência entre A e A’, bem como entre B e B’ á mantida após o rebatimento. Também o paralelogramo definido por O,L 1, M e L2 fica bem evidenciado. O conhecimento, portanto, dessas propriedades permite a resolução de qualquer problema de homologia e, especialmente, fundamenta o estudo da perspectiva cônica.
5 – PROBLEMAS FUNDAMENTAIS 5.1 – Dados os pontos homólogos A e A’, o centro de homologia O, e o eixo de homologia e, determinar as retas limites l 1 e l 2.
figura 06-a -
escolhe-se um ponto M, arbitrário, sobre e; une-se A e A’ a M; por O traça-se paralela a AM até encontrar o prolongamento de MA’ no ponto L1; por L1, traça-se paralela a e, determinando l 1; por O, traça-se paralela a A’M até encontrar o prolongamento de AM no ponto L2; por L2 traça-se paralela a e, determinando l 2.
5.2 – Dados o centro de homologia O, o ponto A do geometral, o eixo de homologia e e a reta limite ?1, determinar A’ homólogo de A.
figura 06-b -
escolhe-se um ponto L1, arbitrário, sobre l; une-se O a L1; por A traça-se uma paralela a OL, determinando M sobre e; liga-se M a L1, determinando A’ sobre o raio AO.
5.3 – Dados o centro de homologia O, o eixo de homologia e e a reta limite l 1, determinar a reta limite l 2. como a distância d entre 0 e l 1 é igual à distância entre e e l 2, basta traçar uma paralela a e com distância d.
figura 07-a 5.4 – Dados o centro de homologia O, o eixo de homologia e, a reta limite l 1, um ponto A’ sobre l 1 e outro ponto B’, determinar A e B, homólogos de A’ e B’.
figura 07-b
-
liga-se A’ a B’ até encontrar M sobre e; por M traça-se paralela a OA’; como A’ está sobre l 1 seu homólogo é o ponto impróprio A∞ do raio OA’; liga-se 0 a B’ prolongando até encontrar MA∞, determinando B, homólogo de B’.
6 – CASOS PARTICULARES Um sistema homológico é geral quando todos os seus elementos são próprios. Na realidade os elementos mais importantes numa homologia são o seu centro e o eixo. Quando um, outro, ou ambos são impróprios, estamos diante dos casos particulares de homologia.
6.1 – AFINIDADE Ocorre quando o centro de homologia é impróprio e o eixo é próprio. Neste caso o eixo de homologia é chamado eixo de afinidade. Chama-se razão de afinidade à relação entre as distâncias dos pontos homólogos ao eixo de homologia: K = Aao / A’Ao = BBo / B’Bo = Cco / C’Co A relação acima é demonstrada pelo teorema de Thales.
figura 08-a
Se a direção dos raios projetantes é perpendicular ao eixo de homologia, diz-se que a afinidade é ortogonal.
6.2 – HOMOTETIA Ocorre quando o centro de homologia é próprio e o eixo impróprio. Neste caso o centro de homologia é chamado centro de homotetia. Os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes logo as razões entre os lados homólogos são iguais e determinam a razão de homotetia: K = AB / A’ B’ = BC / B’ C’ = AC / A’ C’
figura 08-b
6.3 – TRANSLAÇÃO Ocorre quando tanto o centro como o eixo de homologia são impróprios
Nesse caso as figuras são congruentes.
figura 09-a
7 – TRANSFORMAÇÕES HOMOLÓGICAS 7.1 – POLÍGONOS Um polígono irregular pode ser homólogo de outro polígono qualquer de mesmo número de lados, desde que seja determinado o sistema homológico adequado em que o centro de homologia assume posição específica e determinada. Se qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos, lembrando o teorema de Desargues, fica evidenciado porque polígonos homólogos tem, obrigatoriamente, o mesmo número de lados.
7.1.1 – Transformação de um quadrilátero qualquer num quadrado homólogo. Se o quadrilátero ABCD é homólogo de um quadrado A’ B’ C’ D’, seus lados paralelos quando prolongados determinarão a reta limite l 1. De fato, se AB é paralelo a CD, seus prolongamentos se encontrarão em L1. Sendo AD paralelo a BC, seus prolongamentos se encontrarão em L2. Ligando L1 a L2, tem-se a reta limite l 1. O eixo de homologia tem que ser paralelo a l 1. Por facilidade traçamos o eixo pelo ponto A, pois seu homólogo fica logo determinado.
Sabe-se que OL1 será paralelo a MD’ C’, OL2 será paralelo a NB’ C’ e o ângulo D’ C’ B’ é reto. Sabe-se ainda que AB = BC = CD = DA. O problema consiste então em encontrar uma posição para o centro projetivo O tal que L1 OL2 seja um ângulo reto. Para tanto, determina-se o arco capaz de 90º em relação ao segmento L1L2. O arco em questão é o lugar geométrico dos pontos que “vêem” o segmento L1L2 sob ângulo de 90º. Qualquer posição de O sobre o arco C1 faz com que A’ B’ C’ D’ seja, pelo menos um retângulo. Falta determinar uma posição específica para que o polígono seja um quadrado. Determinam-se então as diagonais do polígono ABCD. Ligase L1 ao ponto de encontro dessas diagonais determinando os pontos E e F. Prolonga-se a diagonal AC até encontrar L3 em L1 . L, EF e L3AC são lados homólogos de um ângulo de 45º. Acha-se então o arco capaz de 45º em relação ao segmento L1L3. É o arco C2. A interseção de C1 e C2 define a posição de O. Agora sim, há condições de determinar o quadrado ABCD. Liga-se O a A1 B1 C e D. Por M traça-se uma paralela a OL1 e determina-se D’ sobre OD e C’ sobre OC. Por N traça-se uma paralela a OL2 e determina-se B’ sobre OB. O ponto A é ponto unido de A’. Unem-se os pontos A, B, C e D e temos o quadrado procurado.
figura 09-b
7.1.2 – Transformação de um triângulo qualquer num triângulo equilátero. Se o triângulo ABC é homólogo do triângulo equilátero A’ B’ C’, então AC pode ser uma das diagonais de um paralelogramo ABCD que o divide em dois triângulos equiláteros iguais, ou seja, ABC e DBC. Construi-se então o paralelogramo ABCD e determinam-se a reta limite l1 e o eixo de homologia e de análogo ao exemplo anterior. Sabe-se que os ângulos BCA e ACD tem 60º. O centro de homologia O, neste caso, estará na interseção de arcos capazes de 60º, c1 e c2, sendo um em relação a L1L3 e outro em relação a L3L2. Une-se O a L1. Traçam-se os raios projetantes OB e OC.
Por M, traça-se paralela a OL, determinando B’ sobre OB e C’ sobre OC. Ligando A’ B’ e C’, tem-se o triângulo equilátero pedido.
figura 10
7.2 – CIRCUNFERÊNCIA A transformada homológica da circunferência é sempre uma cônica. Quando a homologia é uma afinidade, a transformada de circunferência é uma elipse. Quando a homologia é uma homotetia ou uma translação, a transformada é outra circunferência (que pode ser considerada como uma cônica degenerada). Quando a homologia é cônica a transformada da circunferência pode ser elipse, hipérbole ou parábola.
7.2.1 – Construção da transformada homológica de uma circunferência conhecendo-se o eixo de homologia e, o centro da circunferência O, seu homólogo O, o raio da circunferência e a direção dos raios projetantes. Se é dada a direção dos raios projetantes a transformada é uma afinidade. O traçado de pontos da elipse é tarefa extremamente simples, bastando que se determinem os extremos homólogos de diâmetros da circunferência. Para determinar os eixos da elipse procede-se da seguinte forma: -
-
-
traça-se a mediatriz do segmento OO’, determinando o ponto E sobre o eixo de homologia e; com centro em E e raio EO ou EO’ traça-se uma circunferência que corta o eixo de homologia e nos pontos P e Q; liga-se P a O e O’ determinando o diâmetro AB da circunferência, seu homólogo A’ B’ será o eixo maior da elipse; liga-se Q a O e O’ determinando o diâmetro CD da circunferência, seu homólogo C’ D’ será o eixo menor da elipse.
figura 11 Para traçar uma tangente por um ponto T’ da elipse, procedese da seguinte forma: -
Determina-se o ponto T da circunferência, homólogo de T’. Traça-se por T a tangente t à circunferência e prolonga-se até encontrar To no eixo de homologia Ligando To a T’ tem-se a tangente t’ procurada.
Note-se que, ligando T’ a O’ e prolongando até o eixo de homologia, deverá encontrar no mesmo ponto P o prolongamento de TO
7.2.2 – Construção da transformada homológica de uma circunferência conhecendo-se o centro de homologia O, o centro da circunferência C, a reta limite l2 eixo de homologia e o raio da circunferência. 1º caso: A circunferência não tem ponto de contato com a reta limite. A transformada é uma elipse.
figura 12
-
-
Escolhe-se arbitrariamente um ponto L1 sobre l2 e por ele traçam-se tangentes a circunferência nos pontos M e N; Determinam-se os homólogos M’ e N’; Prolonga-se MN até encontrar ?2 em L2; Traçam-se por L2 novas tangentes à circunferência determinando os pontos P e Q; Determinam-se os homólogos P’ e Q’ (notar que P, Q e L1 são colineares); A interseção de MN com PQ é o ponto D, cujo homólogo D’ é o centro da elipse em que M’ N’ e P’ Q’ são diâmetros conjugados; Outros pontos da elipse são simples de serem marcados, o que não foi feito para não congestionar a épura.
2º caso: A circunferência tem um ponto de contato com a reta limite. A transformada é uma parábola
figura 13
Se o homólogo de F é ponto impróprio, OF é a direção homóloga do eixo da parábola. Sabe-se que a tangente à parábola no vértice é perpendicular ao seu eixo. O procedimento então é o seguinte: -
-
Une-se O a F e por O traça-se uma perpendicular a OF até encontrar G em l 2; OG é a direção homológica da tangente à parábola no vértice; Por G traça-se uma tangente ao círculo, no ponto V; Une-se F e G a V e determinando p e t, respectivamente; Determinam-se os homólogos V’, p’ e t’, respectivamente, vértice, eixo e tangente da parábola; Outros pontos são facilmente determináveis, especialmente considerando que os pontos da curva são simétricos em relação ao eixo p da parábola.
3º caso: A circunferência tem dois pontos de contato com a reta limite. A transformada é uma hipérbole.
figura 14
As tangentes à circunferência nos pontos M e N encontram-se em S.
SM e SN são homológicas das assíntotas da hipérbole. Procede-se da seguinte forma: -
-
-
-
Traçam-se as tangentes à circunferência pelos pontos M e N e prolongam-se os segmentos até que se encontrem em S, SM e SN encontrem o eixo de homologia e, respectivamente em Q e T; Determinam-se as assíntotas da hipérbole traçando uma paralela a OM por Q e outra a ON por T; determinando S’ (notar que S, O e S’ são colineares); A bissetriz do ângulo QS’T define o eixo b’ da hipérbole; O encontro de b’ com o eixo de homologia e é o ponto U que ligado a S determina a corda da circunferência que é homóloga do eixo da hipérbole; Os pontos V e V1 que SU determina na circunferência que é homóloga do eixo da hipérbole; A hipérbole não está traçada para não congestionar a épura porém a forma de encontrar seus pontos é análoga aos casos anteriores.
7.2.3 – TANGENTES O traçado de tangentes por pontos da transformada em qualquer caso de homologia cônica é feita da mesma forma, ou seja: -
Definido o ponto T’ da transformada, acha-se seu homólogo T na circunferência homóloga; Traça-se a tangente à circunferência no ponto T, definindo a reta t; Determina-se a reta t’, homóloga de t, que será a tangente da transformada no ponto desejado.
BIBLIOGRAFIA
•
Rodrigues, Álvaro José - Geometria Descritiva / Projetividades, Curvas e Superfícies, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 3ª ed., 1960;
•
Rangel, Alcyr Pinheiro - Curvas, UFRJ, Rio de Janeiro,1974;
•
Rangel, Alcyr Pinheiro - Geometria Descritiva, SEDEGRA, Rio de Janeiro, 1959;
•
Rangel, Alcyr Pinheiro - Superfícies, texto datilografado pelo próprio autor;
•
Rangel, Alcyr Pinheiro - Dicionário de Matemática, texto datilografado pelo próprio autor;
•
Rangel, Alcyr Pinheiro - Tópicos Extraídos de Palestras, Preleções e Publicações;
•
Bustamante, Léa Santos - Transformações Projetivas / Sistemas Projetivos, Tese de concurso para Professor Titular da Escola de Belas Artes da UFRJ, 1981;
•
Bustamante, Léa Santos - Projeções da Esfera, Tese de Concurso para Professor Catedrático da Escola Nacional de Belas Artes da antiga Universidade do Brasil, 1960;
•
Cavallin, José – Perspectiva Linear Cônica, A.M. Cavalcanti & Cia. Ltda., Curitiba, PR, 2ª ed., 1976;
•
Ayres, Frank – Geometria Proyectiva, Libros MacGraw-Hill de México, Bogotá, Colômbia, 1971;
•
Ferdinando Aschieri – Geometria Projettiva, Ulrico Hoelpli Editore-Librarjo della real Casa, Milano, Itália, 1888.
