O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a gura abaixo. 01 - (UNICAMP SP)
4o retâ retâng ngul ulo o ABCD, 'ue re!rese re!resenta nta o terre terreno no do !ar'ue, !ar'ue, M é o !onto médio de AB, send sendo o e arco arcoss de cir circunf cunfer er5n 5nci cia a 'ue 'ue t5m t5m 6 metr metros os de diâmetro. #endo assim, !odemos armar 'ue a área da regi regi)o )o /ac/ /ac/ur urad ada a ou área área "erd "erde e em metr metros os 'uadrados é3 a% b% c% d% e%
Deno Denota tand ndo o as área áreass das das regi regie ess semi semici circ rcul ular ar e triangular, res!ecti"amente, res!ecti"amente, !or #$ ϕ% e &$ϕ%, !odemos arm armar ar 'ue 'ue a ra() ra()o o #$ϕ%*&$ϕ%, 'uando ϕ + π* radianos, é
-7π - $8 7 π% 6 $- 7 π% 89 $- 7 π% : $- 7 π%
04 - (UFTM)
a% b% c% d%
;m uma ár"ore estili(ada, o tronco é re!resentado !or um triângulo isósceles, e a co!a, !or um setor circular de centro O, re!resentado !ela cor "erde na gura.
π*. π. π. π*-.
02 - (UNIFOR CE)
A interse)o das áreas de um retângulo e um 'uarto de um círcu círculo lo $"ide $"ide medida medidass abaix abaixo% o% forma forma uma uma regi)o semel/ante 0 "ela de uma 1angada cearense. #abendo2se 2se 'ue y = x 3 a área da regi)o /ac/urada em fun)o de y é3
#abendo 'ue o raio da co!a e a base do tronco !oss !ossue uem m medi medida dass igua iguais is,, 'ue 'ue o !erí !eríme metr tro o do triângulo é igual a < cm, e 'ue a medida de um dos lados do triângulo é igual a a% b% c% d% e%
πy
2
2
8 πy
2
10 πy
da medida da base, é
2
6 πy
4
correto armar 'ue a área a!roximada da co!a dessa ár"ore é, em cm , igual a
4 πy
7
2
12
03 - (UNIFOR CE)
O secre secretár tário io de urbani urbanismo smo de uma !refe !refeitu itura ra do interior cearense !retende construir um !ar'ue na forma forma retan retangu gular lar,, como como mostra mostra a gura gura abaix abaixo. o. Dentro desse !ar'ue ")o ser construídos3 box !ara "enda de artesanatos, lanc/onetes e !rinci!almente uma área área "erde "erde 'ue 'ue é re!r re!rese esenta ntada da !ela !ela regi) regi)o o /ac/urada.
a% b% c% d% e%
-,= π. :,9 π. ,6 π. :, π. =,> π. 05 - (PUC RS)
?m desao matemático construído !elos alunos do Curso de @atemática tem as !eas no formato de um cone. A gura abaixo re!resenta a !lanica)o de uma das !eas construídas. A área dessa !ea é de cm.
a% b% c% d% e%
8π 89π π 6π -π 06 - (Unifa! BA)
Considerando2se 'ue o setor circular re!resentado re!resentado na gura tem raio + 86 e θ + 9, é correto armar 'ue o raio da circunfer5ncia tangente ao setor nos !ontos &8, & e &: mede, em u.c.,
8. . :. -. =.
= 9 > 6 <
#abe #abend ndo2s o2se e 'ue 'ue FG + F, F, 'ue 'ue é um arco arco de circunfer5ncia de centro F, e adotando π + :, a área da su!erfície lim!a !elo lim!ador, em cm , é igual a a% b% c% d% e%
8 >=. 8 :>=. 8 :=. 8 :=. 8 =. 0 - (UER)
4a fotograa fotograa abaixo, abaixo, obser"am2s obser"am2se e duas bol/as de sab)o unidas.
Guan Guando do duas duas bol/ bol/as as unid unidas as !oss !ossue uem m o mesm mesmo o taman/o, a !arede de contato entre elas é !lana, conforme ilustra o es'uema3
0" - (UFBA)
?m tam!o de mesa de "idro, ao ser trans!ortado, foi trinc trincado ado em algun algunss !ontos !ontos.. O Enico Enico !edao !edao 'ue 'ue resto restou u !ara !ara ser a!ro"ei a!ro"eitad tado o tin/a tin/a a forma forma de um triân triângul gulo o retân retângul gulo o com cateto catetoss medind medindo o 9cm 9cm e . 60 3cm
Dese1ando2se fa(er com esse !edao de "idro um tam!o de mesa com a maior área !ossí"el, de forma retangular ou circular, encontre a mel/or o!)o de escol/a, indicando a área e a forma do tam!o de mesa mesa,, cons consid ider eran ando do 'ue, 'ue, no caso caso do form format ato o retangu retangular, lar, um dos lados do retângulo retângulo de"e estar sobre a /i!otenusa do triângulo. 0# - (Unia!$%&' SP)
?m lim!ador de !ara2brisa foi xado em um "idro retan retangu gular lar !lano !lano ABCD, ABCD, confor conforme me indica indicado do !ela !ela gura.
Considere duas bol/as de sab)o esféricas, de mesmo raio , unidas de tal modo 'ue a distância entre seus centros A e B é igual ao raio . A !arede de contato dessas bol/as é um círculo cu1a área tem a seguinte medida3 a%
πR 2 2
b%
3πR 2 2
c%
3πR 2 4
d%
4πR 2 3
4a gura abaixo, ABCD e um 'uadrado de lado . Considere o circulo inscrito ao 'uad 'uadra rado do,, 'ue 'ue tang tangen enci cia a os lado ladoss AB e AD nos nos !ontos ; e H, res!ecti"amente. 10 - (PUC R)
c% d% e%
>,= J 8 =. 9,- J 8 =. =,6 J 8 =. 13 - (IFO)
O gráco abaixo re!resenta um triângulo inscrito numa semicircunfer5ncia.
a% Calcule a area do triangulo A;H. b% O circulo descrito acima corta o triangulo em duas regioes. Calcule a area de cada uma destas regioes. 11 - (UFPB)
Duas antenas de transmiss)o de sinal de rádio est)o situadas em um terreno !lano e se!aradas !or uma distância de 8=Im. A regi)o no !lano do solo de alcance máximo de transmiss)o de cada antena é um círculo de 8=Im de raio cu1o centro é a base de cada antena. Considerando as informaes a!resentadas, conclui2 se 'ue a área máxima alcanada, em Im, !elas transmisses dessas antenas corres!onde a3 a% b% c% d% e%
2π 3 + 3 4 3 450 π + 2 3 450 2π + 4 4π 3 450 + 3 4 3 450 2π + 2
Analise as seguintes armati"as relacionadas a ela. K. KK.
O triângulo ABC da gura acima é retângulo. As coordenadas do baricentro do triângulo ABC s)o L+ $9,-%. KKK. A área do triângulo ABC é 89 unidades de área. KM. A área da regi)o ADCA "ale - unidades de área. N correto armar 'ue3
450
a% b% c% d% e%
A!enas a armati"a K é correta. A!enas as armati"as K e KKK s)o corretas. A!enas as armati"as K, KK e KKK s)o corretas. A!enas as armati"as K, KK e KM s)o corretas. A!enas as armati"as K, KKK e KM s)o corretas. 14 - (F. )
Cada um dos > círculos menores da gura a seguir tem raio 8 cm. ?m círculo !e'ueno é conc5ntrico com o círculo grande, e tangencia os outros 9 círculos !e'uenos. Cada um desses 9 outros círculos !e'uenos tangencia o círculo grande e : círculos !e'uenos.
12 - (An*%+,i SP)
Fara testar a eci5ncia de um antibiótico, colocou2se uma !astil/a desse antibiótico no centro de uma !laca circular de 8 cm de diâmetro, onde /a"ia uma grande 'uantidade de bactérias, conforme mostra a gura 8. A!ós alguns dias, o antibiótico /a"ia matado as bactérias num raio de : cm, conforme mostra a gura . 4a situa)o descrita, a área da regi)o sombreada na gura, em cm, é igual a a% b% c% d% Considerando2se des!re(í"el o taman/o da !astil/a, adotando π ≅ : e sabendo 'ue a 'uantidade de bactérias nessa !laca é de 8 - !or cm, estima2se 'ue o nEmero de bactérias "i"as 'ue restaram na !laca a!ós o uso do antibiótico é a% b%
=, J 8 =. -,6 J 8 =.
e%
π
3π 2
π 5π 2
:π 15 - (UFTM)
4a gura, s)o lados, AB, BC e CD res!ecti"amente, de um octógono regular, /exágono regular e 'uadrilátero regular inscritos em uma circunfer5ncia de centro F e raio 9 cm.
A área do setor circular colorido na gura, em cm , é igual a a% b% c% d% e%
A área do círculo da gura é3
89π 33π 2
8>π 35π 2 86π
a% b% c% d% e%
1 - (UECE)
A ra()o entre a área de um triângulo e'uilátero e a área da circunfer5ncia 'ue l/e é circunscrita é
16 - (ESPM R)
A gura abaixo mostra um triângulo retângulo de catetos - e x e um semi2círculo de raio . Fara 'ue as áreas A e B se1am iguais, a medida x de"erá ser3
<,>=π 8π 8,=π 8,=π 8,>=π
3
a%
π
b%
2 3 π
a% b% c% d% e%
c%
3 3
d%
3 3
3π
2π 4π
20 - (ESCS DF)
4a gura abaixo, o círculo está inscrito no 'uadrado formado !elos segmentos de extremos nos !ontos médios dos lados do 'uadrado ABCD.
4 2π π 3π 2 2π 3
1" - (UE O)
A gura abaixo re!resenta uma circunfer5ncia de raio r = 2 cm, em 'ue AC é o diâmetro e AB é uma corda. #abendo2se 'ue o ângulo BÔC = 60º , calcule a área da regi)o /ac/urada. #e a medida de AB é igual a x , ent)o a ex!ress)o 'ue !ermite calcular, em fun)o de x , a área sombreada é3 a% 1# - (F. )
4a gura abaixo, o ângulo do triângulo ABC inscrito na circunfer5ncia é reto. O lado AB mede -, e o lado AC mede =.
b%
x
2
2 x2 2
−π −π
x
8 x2 2
c% d%
x 7 π x x 7 πx
e%
x2
2
−π
x2 2
21 - (FM SP)
?ma médica !retende decorar uma !arede de seu consultório com um 'uadro 'ue tem o formato da gura sombreada a seguir.
O es'uema a seguir re!resenta um método de irriga)o em 'ue uma /aste, di"idida em n segmentos de um metro cada, gira em torno de um eixo !er!endicular a uma regi)o !lana, borrifando água nas coroas circulares "arridas !elos segmentos da /aste, conforme a gura. Fara a irriga)o, os as!ersores $borrifadores de água% s)o distribuídos sobre a /aste e cada um borrifa a mesma 'uantidade de água !or minuto. O !rimeiro segmento da /aste, entre e 8 m, tem : as!ersores e cada coroa circular de"e receber água na mesma !ro!or)o, !or m, 'ue recebe o círculo central "arrido !elo !rimeiro segmento. Fara isso, basta controlar a 'uantidade de as!ersores em cada segmento da /aste. Com base nestas informaes, calcule a
O centro do arco de circunfer5ncia é a origem do !lano cartesiano, e as medidas s)o em centímetros, embora a gura este1a fora de escala. A área do círculo é dada !or A + π.r $r + raio do círculo%P admite2se π + : e 2 + 8,-. A área sombreada de"e medir, ent)o, a% b% c% d% e%
< cm. :- cm. :< cm. -- cm. =- cm. 22 - (UF O)
O gráco a seguir a!resenta uma !re"is)o, !ara os !róximos de( anos, do "olume de negócios, em mil/es de dólares, e o crescimento das áreas dinâmicas da biotecnologia médica.
a% b%
'uantidade de as!ersores a serem colocados sobre o terceiro segmento da /aste, ou se1a, entre m e : m do centroP 'uantidade total de as!ersores sobre toda a /aste em fun)o de n. 24 - (UNIFOR CE)
O autor da c/arge abaixo é o cartunista Llauco Milas Boas, assassinado em maro de 8, mostra um estilo critico e bem2/umorado da realidade e dos costumes brasileiros. Obser"ando a C/arge, su!ondo 'ue o diâmetro da !i((a do mensal)o se1a de - cm, 'ual a área a!roximada do !edao de !i((a 'ue cada !essoa iria comer, em centímetro 'uadradoR Considere π + :.8-.
DK;L?;Q, Hlá"io. A guerra e"ista Hórum. Ano <, ago. 8.
dos
genes.
4este gráco, as áreas dos círculos s)o !ro!orcionais ao res!ecti"o "olume de negócios, e a área do círculo associado 0 ;uro!a é !ro!orcional a 8,>=J8 < dólares. Assim, sendo R o raio do círculo referente aos ;stados ?nidos e
R 7 4
o raio do círculo
referente 0 ;uro!a, calcule o "alor do "olume de negócios dos ;stados ?nidos !ara os !róximos de( anos. 23 - (UF O)
a% b% c%
:<, --,6 8=>
d% e%
8><,>8>,>
de metrS, uma regi)o circular de centro no !onto ; e raio 8 metros de"erá ser desa!ro!riada. #abendo2 se 'ue ;A + ;B + 8 m, a !arte do terreno de Alexandre 'ue será desa!ro!riada tem área, em m , igual a
25 - (UNIFOR CE)
Cada uma das regies sobreadas abaixo está com!reendida entre semicircunfer5ncias cu1os centros s)o colineares. As semicircunfer5ncias maiores t5m raios de mesmo com!rimento. 4a regi)o da gura KP as semicircunfer5ncias menores t5m raio de mesmo com!rimento e, na regi)o da gura KK, o raio de uma das semicircunfer5ncias internas é o dobro do raio da outra. @ar'ue a o!)o correta3
a% b% c% d% a% b% c% d% e%
A área da regi)o da gura K é a mesma 'ue a da regi)o da gura KK. A área da regi)o da gura K é menor 'ue a da regi)o da gura KK. O !erímetro da regi)o da gura K é o mesmo 'ue o da regi)o da gura KK. O !erímetro da regi)o da gura K é menor 'ue o da regi)o da gura KK. 4en/uma das res!ostas anteriores está correta.
e%
π 6− π 10.000 6− π 10.000 3− π 10.000 3− 10.000 π − 10.000
8 3 4 3 4 3 2 3 2 3
2# - (UNIFESP SP)
Moc5 tem dois !edaos de arame de mesmo com!rimento e !e'uena es!essura. ?m deles "oc5 usa !ara formar o círculo da gura K, e o outro "oc5 corta em : !artes iguais !ara formar os tr5s círculos da gura KK.
26 - (UFES)
Fara irrigar uma regi)o retangular R de dimenses ×: , um irrigador giratório é aco!lado a uma bomba /idráulica !or meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um !onto B . Guando o irrigador é colocado no !onto C , a uma distância : * do !onto B , ele irriga um círculo de centro C e raio $"e1a gura%.
a% b% c% d% e%
#e # é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a rela)o entre # e s é dada !or # + :s. # + -s. # + 9s. # + 6s. # +
?m recurso "isual muito utili(ado !ara a!resentar as 'uantidades relati"as dos diferentes gru!os de alimentos na com!osi)o de uma dieta e'uilibrada é a c/amada T!irâmide alimentarU, 'ue usualmente é re!resentada !or um triângulo di"idido em regies, como na gura a seguir. a% Calcule a área da !or)o irrigada de R 'uando o irrigador está no !onto C. b% Admitindo 'ue o raio da regi)o irrigada se1a in"ersamente !ro!orcional 0 distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da regi)o irrigada 'uando o irrigador é colocado no centro da regi)o retangular R. 2" - (UFTM)
Alexandre !ossui um terreno com a forma do tra!é(io retângulo ABCD, de dimenses AD + - m, CD + 6 m e BC + 8 m. Fara a constru)o de uma esta)o
a% b% c% d%
3 5 5 3
8 32 - (UEFS BA)
A ra()o entre as áreas delimitadas !elos círculos, inscrito e circunscrito, em um /exágono regular é
Considere 'ue as regies da gura di"idem a altura do triângulo em !artes iguais. 4o 'ue se refere 0s áreas das regies ocu!adas !or cada gru!o de alimentos, o gru!o com !redominância de carboidratos ocu!a a% b% c% d% e%
sete teros da área do gru!o com !redominância de !roteínas. cinco sétimos da área do gru!o com !redominância de bras. um sétimo da área do gru!o com !redominância de li!ídios. o dobro da área do gru!o com !redominância de !roteínas. cinco sétimos da área do gru!o com !redominância de "itaminas e sais minerais.
a%
3 4
b%
2
c% d% e%
3 2 2
2 3
3 4 33 - (IBMEC R)
O mosaico da gura adiante foi desen/ado em !a!el 'uadriculado 8x8. A ra()o entre a área da !arte escura e a área da !arte clara, na regi)o com!reendida !elo 'uadrado ABCD, é igual a
30 - (UFTM)
4o retângulo ABCD, de área igual a > cm , AB mede 8 cm e o !onto F sobre o segmento AB !ode "ariar de A até B. Conforme F se desloca sobre o segmento AB, diferentes triângulos ADF e diferentes tra!é(ios FBCD ")o sendo formados.
a% b% c% Desse modo, 'uando DP medir 8 cm, a ra()o entre a área do triângulo AFD e a área do tra!é(io FBCD será de a% b% c% d% e%
=39. :3-. >36. 3:. 83. 31 - (UECE)
#e1am r e s retas !aralelas cu1a distância entre elas é cm, F e G dois !ontos em r, @ e 4 dois !ontos em s. #e a medida do segmento FG é :cm e a medida do segmento @4 é =cm, ent)o, a ra()o entre a medida da área do triângulo FG@ e a medida da área do triângulo F4G é
d% e%
1 2 1 3 3 5 5 7 5 8
34 - (UF O)
&r5s irm)os /erdaram uma !ro!riedade rural em Loiás e necessitam re!artir as terras. A gura a seguir re!resenta a !ro!riedade, 'ue é retangular, medindo m !or 8= m, e está integralmente utili(ada !ara la"ouras e !astagens, exceto a reser"a legal mínima de mata nati"a, também em formato retangular, com 8 m de com!rimento, re!resentada !ela regi)o sombreada na gura. As lin/as destacadas na gura a!resentam uma !ro!osta de !artil/a das terras em 'ue a regi)o de mata nati"a ca di"idida em um retângulo e dois triângulos.
Considerando2se 'ue os tr5s irm)os de"em car com !ro!riedades de mesma área e 'ue, !ara cada uma delas, de"e ser garantida a reser"a legal mínima de "egeta)o nati"a, 'ue no estado de Loiás é de V da área da !ro!riedade, determine 'uais de"em ser as medidas assinaladas !or x e y. 35 - (FU.EST SP)
O "itral octogonal será feito com dois ti!os de "idro3 fum5 $em cin(a escuro na gura% e trans!arente $em cin(a claro na gura%. A ra()o entre a área da regi)o !reenc/ida com "idro trans!arente e a !reenc/ida com "idro fum5, nesta ordem, é3
Foema Q;4, Fedro Wisto, 8<99.
a% Diagrama referente ao !oema Q;4. b% c% d% e%
Obser"e as guras acima e assinale a alternati"a correta. a%
b%
c%
d%
e%
?m "idraceiro !ro!e a um cliente um ti!o de "itral octogonal obtido a !artir de um 'uadrado com < m de lado, retirando2se, de cada canto, um triângulo retângulo isósceles de cateto com : m, conforme indicado na gura a seguir.
3 2 3
3 4
8
3 2
3" - (Unifa! BA)
O !iso de uma sala é re"estido com la1otas 'uadradas de dois taman/os distintos, combinadas no !adr)o re!resentado na gura. As lin/as trace1adas re!resentam dois riscos, 'ue formam um ângulo de :, e 'ue foram feitos no !iso ao se arrastar, inad"ertidamente, um mó"el !esado. Com base nessas informaes e analisando2se a gura, !ode2se armar 'ue a ra()o entre as áreas de um 'uadrado maior e um 'uadrado menor é
O e'uilíbrio e a /armonia do !oema Q;4 s)o elementos tí!icos da !rodu)o !oética brasileira da década de 8<9. O !erímetro do triângulo ABH, !or exem!lo, é igual ao !erímetro do retângulo BCXK. O e'uilíbrio e a /armonia do !oema Q;4 !odem ser obser"ados tanto no conteEdo semântico da !ala"ra !or ele formada 'uanto na simetria de suas formas geométricas. For exem!lo, as áreas do triângulo ABH e do retângulo BCXK s)o iguais. O !oema Q;4 !ode ser considerado concreto !or a!resentar !ro!ores geométricas em sua com!osi)o. O !erímetro do triângulo ABH, !or exem!lo, é igual ao !erímetro do retângulo BCLH. O concretismo !oético !ode utili(ar !ro!ores geométricas em suas com!osies. 4o !oema Q;4, !or exem!lo, a ra()o entre os !erímetros do tra!é(io ADLH e do retângulo ADY; é menor 'ue >*8. Augusto dos An1os e @anuel Bandeira s)o re!resentantes do concretismo !oético, 'ue utili(a !ro!ores geométricas em suas com!osies. 4o !oema Q;4, !or exem!lo, a ra()o entre as áreas do triângulo DYL e do retângulo ADY; é 8*9. 36 - (UF O)
1
8. . :. -. =.
7 3 >7- 3 Z 3 > >Z- 3 3# - (UEFS BA)
O 'uadrado e o círculo re!resentados na gura t5m centro no mesmo !onto e, nessa gura, as regies sombreadas t5m área de mesma medida.
raio GF, o índice de Lini será a!roximadamente igual a3
4essas condies, !ode2se armar 'ue a% b% c% d% e%
a área do círculo é igual 0 área do 'uadrado. a área do círculo é menor do 'ue a área do 'uadrado. a área do círculo é maior do 'ue a área do 'uadrado. a rela)o entre as áreas do círculo e do 'uadrado de!ende da medida do lado do 'uadrado. a rela)o entre as áreas do círculo e do 'uadrado de!ende da medida do raio da circunfer5ncia.
a% b% c% d% e%
68V >V -V 9:V 41 - (UFU M)
3 - (UFPR)
4o triângulo ABC abaixo, o segmento D; é !aralelo ao segmento BC. #abe2se 'ue BC mede - cm, ˆ C é igual AB = AC e 'ue a medida do ângulo AB a :. 4estas condies, a distância $em cm% do segmento D; ao "értice A, !ara 'ue o triângulo AD; e o tra!é(io DBC; ten/am a mesma área, é igual a3
O retângulo ABCD foi di"idido em no"e 'uadrados, como ilustra a gura ao lado. #e a área do 'uadrado !reto é 68 unidades e a do 'uadrado cin(a 9unidades, a área do retângulo ABCD será de3
a%
6
b%
3 2
c%
6 3
a% b% c% d% e%
d%
69 unidades. << unidades. 8- unidades. 8=9 unidades. 868 unidades.
42 - (UFPB)
;m um e"ento religioso, reali(ado em uma !raa com área li"re !lana de -. m2, !ara estimar a 'uantidade de !essoas !resentes, os organi(adores tomaram como !adr)o 'ue o es!ao ocu!ado !or uma !essoa e'ui"ale a um retângulo de dimenses :=cm × 9cm . 4esse contexto, considerando 'ue o !Eblico lotou toda a área li"re da !raa, conclui2se 'ue o nEmero de !essoas !resentes nesse e"ento foi, a!roximadamente, de3
40 - (ESPM SP)
O coeciente de Lini é utili(ado !ara calcular a desigualdade da distribui)o de renda numa !o!ula)o. ;le "aria de $distribui)o da renda !erfeitamente igual% até 8 $concentra)o total da renda em uma só !essoa%. 4um gráco cartesiano, onde o eixo das abscissas re!resenta a renda e o eixo das ordenadas o nEmero de !essoas $"er gura abaixo%, a diagonal OF re!resenta a igualdade !erfeita de renda e a cur"a abaixo dela, a distribui)o em 'uest)o. O índice de Lini é calculado !ela ra()o
3
A A+B
, em
!ontos !ercentuais, onde A e B s)o as áreas das regies indicadas no gráco. Atualmente o Brasil a!resenta um índice de =-,-V $alta concentra)o de renda%. Fara um !aís onde o gráco se constitui num 'uadrado e num arco de círculo de centro em G e
a% b% c% d% e%
. :. -. =. 9. 43 - (UESPI)
4a ilustra)o abaixo, ABCD é um !aralelogramo. Gual !ercentual da área de ABCD re!resenta a área da regi)o coloridaR
c% < !ara 8. d% 9 !ara 8. e% - !ara 8. 46 - (ESCS DF)
Obser"e a gura ao lado3
a% -=
b%-9V
c%->V
d%-
Os triângulos ABC e MNP s)o e'uiláteros. #endo M, N, P e os !ontos médios dos segmentos AB, M, AM e AC, res!ecti"amente, a fra)o da área do triângulo ABC 'ue re!resenta a área sombreada é3
e%=V
Admita 'ue a área da regi)o originalmente ocu!ada !ela mata atlântica corres!onda a 8
a% b% c% d% a%
2 20
b%
2 19
c%
3
e%
3 4 5 6 7 8
7 9 13 16
4" - (ENEM Si+&a')
;m uma !adaria, /á dois ti!os de forma de bolo, formas 8 e , como mostra a gura abaixo.
20
d% e%
3
19 3
10
#e1am ] o lado da base da forma 'uadrada, r o raio da base da forma redonda, A 8 e A as áreas das bases das formas 8 e , e M 8 e M os seus "olumes, res!ecti"amente. #e as formas tem a mesma altura /, !ara 'ue elas com!ortem a mesma 'uantidade de massa de bolo, 'ual é a rela)o entre r e ]R
45 - (UNCISA/)
4a gura, o retângulo ;HCL está decom!osto em 'uadrados. A ra()o entre a área do 'uadrado ;YKL e a área do 'uadrado ABCD é de a% b% c% d% e%
]+r ] + r ] + πr L
=
r
π
] + $πr %*
4# - (UFMA)
a% < !ara -. b% < !ara .
As abel/as constroem seus fa"os na forma de reci!ientes aglomerados de cera 'ue se !ro!agam um ao lado do outro. De!ois de "ários ex!erimentos em uma colméia, "ericou2se 'ue o corte trans"ersal de um fa"o a!resenta uma das conguraes abaixo3
50 - (UF O)
4o tra!é(io ABCD abaixo, o segmento AB mede a, o segmento DC mede b, @ é o !onto médio de AD e 4 é o !onto médio de BC.
4estas condies, a ra()o entre as áreas dos tra!é(ios @4CD e AB4@ é igual a a% b% c% d%
#abendo 1 , 2
'ue
1 2
=
4
3
2
e
2 3
e% =
6
,
onde
e 3 , s)o, res!ecti"amente, os lados do
'uadrado, do triângulo e'[ilátero e do /exágono e 'ue s)o as áreas dos res!ecti"os !olígonos, !odemos armar 'ue3
a + 2 b 3a + b a + 3 b 2a + b a + 3 b
3a + b a + 2 b 2a + b 3a + 2 b 2a + 3 b 51 - (F. )
4a gura a seguir, o triângulo ABH é e'[ilátero. #endo dado 'ue BC + CD + D; + ;H, escre"a a área do 'uadrilátero CFG;, em fun)o da área S, do triângulo ABH.
a% b% somente c% d% somente e% somente 4 - (UNESP SP)
#e1a ABC o triângulo de lados , e 2 Horam traadas retas !aralelas aos lados, !assando !elos !ontos 'ue di"idem os lados em tr5s !artes iguais, conforme ilustra a gura.
52 - (UFF R)
Gual a ra()o entre a área da gura em cin(a e a área do triânguloR a% b% c% d% e%
1 9 1 6 1 5
1 4 1 3
Hig. 83 @ona ]isa e !ro!ores áureas
Hig. 3 etângulos áureos A TDi"ina Fro!or)oU também con/ecida como !ro!or)o áurea foi usada !or ]eonardo da Minci !ara !intar a @ona ]isa, uma de suas mais notá"eis obras. ;m "ários !ontos do 'uadro a!arece o retângulo áureo, como ilustrado na gura 8.
a% b% c% d% e%
55 - (UFC PB)
?m engen/eiro de materiais !ro1eta uma !laca na forma de um triângulo e'[ilátero ABC com!osta de dois materiais, @8 e @, de mesma densidade su!ercial de massa $a 'ual é denida como sendo o 'uociente da massa !ela área do material%, de modo 'ue o material @8 corres!onde 0 regi)o triangular APQ, onde P e Q s)o !ontos dos lados AC e AB , res!ecti"amente, tais 'ue
4a g. os 'uadriláteros ABDH, CDHY, ;HYX, LYX], KX]4, ^]4O s)o retângulos áureos semel/antes e os 'uadriláteros ABCY, CD;X, ;HL], LYK4, KX^O e ^]@F s)o 'uadrados. #abendo2se 'ue a ra()o entre o maior lado e o menor lado do retângulo áureo é igual ao nEmero de ouro ϕ , !ode2se armar 'ue a ra()o entre a área do 'uadrado ^]@F e a área do 'uadrado ABCY é igual a3 a% b% c% d% e%
AP
1 ϕ
Dese1a2se di"idir um terreno retangular, com lados medindo 8- metros e 6 metros, em tr5s !artes, como sugere a gura acima, de modo 'ue a área !re"ista !ara os 1ardins $!artes escuras% se1a igual 0 área destinada ao !asseio $!arte clara%. O "alor de , em metros, será3 6,= 6 >,9 > 9,=
AC
=
1 3
e
AQ AB
=
3 4
6
Obser"e a gura abaixo. Des!re(ando2se a es!essura da !laca, determine o "alor da ra()o das massas de @ 8 e @.
1 10
ϕ
1 ϕ
8
1 ϕ
5
1 12
ϕ
53 - (UNESP SP)
Considere um 'uadrado subdi"idido em 'uadradin/os id5nticos, todos de lado 8, conforme a gura. Dentro do 'uadrado encontram2se - guras geométricas, destacadas em cin(a.
a% b% c% d% e%
56 - (F. )
4a gura a seguir, a ra()o entre as áreas do triângulo A;D e do 'uadrado ABCD é igual a3
A ra()o entre a área do 'uadrado e a soma das áreas das - guras é :. :,=. -. -,=. =.
a%
54 - (USS R)
c%
b%
d%
3 2 1 2 2 3
3 4
e%
3 5
5" - (UFF R)
A ;scola Fitagórica desen"ol"ia estudos em @atemática, Hilosoa e Astronomia. O símbolo dessa ;scola era a estrela de cinco !ontas, 'ue !ode ser construída ligando2se os "értices de um !entágono regular, conforme a gura.
# $% & r a 1 ' e r r e ( )
a% b% c% d% e%
# $% & ra 2 ' M a * & e +e
, m , m 8,6 m 8,9 m 8,- m 60 - (UE O)
Aumentando uma 'uantidade x em dois dos lados o!ostos do 'uadrado de lado 9, obtém2se a gura abaixo. O retângulos de lados 9Z x e x , e o retângulo de lados 9 e x . #e1am #8 e # as áreas dos !entágonos regulares @4FG e #&?MW, res!ecti"amente. #abendo 'ue
M! M
contém a ra()o a%
b%
(
c%
(
"1 "2
=
1+ 2
5
, assinale a o!)o 'ue
.
2
+ 1 5 − 1
5
)2
5 +1 4
Determine x !ara 'ue os dois retângulos se1am semel/antes.
)2
5 +1
61 - (UNIMONTES M)
Fodemos di"idir um 'uadrado em 'uatro tra!é(ios congruentes, 'uatro triângulos congruentes e um 'uadrado, como mostra a gura abaixo.
5 −1
d%
(1 −
5
1+
e%
(1 +
)
2
5 5
)4
4
5# - (UFC CE)
a% b% c% d% e%
?ma fol/a de cartolina 'uadrada é colocada sobre uma mesa. A cartolina é branca no seu lado "isí"el e !reta no seu "erso. Ao dobrarmos a cartolina, sem emborcá2la, ao longo de um segmento 'ue une um "értice ao !onto médio de um lado n)o incidente sobre esse "értice, resulta num !olígono 'ue tem uma !arte branca e uma !arte !reta "isí"eis. Assinale a alternati"a na 'ual consta a mel/or a!roxima)o da !orcentagem da área branca "isí"el do !olígono em rela)o 0 área de . 9>V 9=V =V :=V ::V
5 - (UE O)
As guras abaixo re!resentam, res!ecti"amente, um terreno com área de -. m e uma ma'uete do mesmo terreno 'ue está na escala de 83=. A área da ma'uete é de3
etirando2se os 'uatro triângulos, obtemos um octógono. A fra)o da área eliminada é a% b% c% d%
2 9
4 9
1 4 1 3
62 - (UF O)
A matemática grega, sinteti(ada nos T;lementosU de ;uclides $: a. C.%, n)o con/ecia nEmeros irracionais. 4o entanto, ;uclides !ro"ou 'ue as áreas de dois círculos est)o entre si como os 'uadrados dos seus diâmetros. #e considerarmos dois círculos de raios r8 e r e áreas A8 e A, res!ecti"amente, a rela)o !ro"ada !or ;uclides !ode ser escrita como3
a% b%
c%
d%
A1 A2
r 1
=
65 - (UER)
r 2 2
A2
r = 1 r 2
A1
r 1
A1
A2 A1 A2
Considere uma !laca retangular ABCD de acrílico, cu1a diagonal AC mede - cm. ?m estudante, !ara construir um !ar de es'uadros, fe( dois cortes retos nessa !laca nas direes A; e AC, de modo 'ue D; + -= e BC + :, conforme ilustrado a seguir3
2
=
r 2 r 1
=
r 2
2
2
A e% 1 = A2
r 1 r 2
63 - (UNIFOR CE)
A!ós isso, o estudante descartou a !arte triangular CA;, restando os dois es'uadros. Admitindo 'ue a es!essura do acrílico se1a des!re(í"el e 'ue 3 = 1,7, a área, em cm , do triângulo CA; e'ui"ale a3
?m moti"o a ser estam!ado em um tecido é com!osto de um !adr)o de losangos e semilosangos. ;le foi desen/ado em uma fol/a de !a!el 'ue tem de largura, conforme mostra a gura 8 3cm abaixo. a% b% c% d%
6 8 8- 86 66 - (IBMEC SP)
@o"endo as /astes de um com!asso, ambas de com!rimento , é !ossí"el determinar diferentes triângulos, como os dois re!resentados a seguir, fora de escala.
#e, no
!a!el, cada losango desen/ado tem de área, o com!rimento da fol/a, em 8 3cm centímetros, é um nEmero3 menor do 'ue . 'uadrado !erfeito. mElti!lo de 8. di"isí"el !or <. !rimo. 2
a% b% c% d% e%
64 - (UE O)
O 'uadrado maior da gura 8 tem < cm de lado. ?tili(ando !artes da gura 8, constrói2se a gura , 'ue recebe o nome de cora)o !artido.
#e a área do triângulo & 8 é o tri!lo da área do triângulo &, ent)o o "alor de cos θ é igual a a% b% c% d% e%
1 6 1 3 3 3 1 2
6 6 6" - (Unifa! BA)
a% b% c% d% e%
Considerando a gura , mar'ue a alternati"a K4CO;&A3 A soma das áreas das regies 8, , : e = é a metade da soma das áreas das regies -, 9, > e 6. A área da regi)o > é igual 0 área da regi)o -. O cora)o !artido tem !erímetro 6- π + 2cm . A área do cora)o !artido é 9- π + 4,cm 2 . O !erímetro da regi)o 6 é 3-4 + 2 ,cm .
As abel/as constroem suas TcasasU ou fa"os na forma de reci!ientes aglomerados de cera 7 denominados al"éolos 7, tendo cada reci!iente a forma de um !risma /exagonal regular aberto numa extremidade e formando um á!ice triédrico na outra face, como re!resentado na gura8. A gura re!resenta um corte trans"ersal de um fa"o 'ue tem a congura)o de um mosaico formado !ela re!eti)o de /exágonos regulares 1usta!ostos. Admitindo2se 'ue os lados dos /exágonos medem x unidades de com!rimento, !ode2se obter a área do triângulo ABC atra"és da ex!ress)o 8. . :.
: 2 Desfa(er a dobra e recortar o triângulo ABF.
25 x 2 4 4
3x 2
5
3x
2
2 -. 25 3 x
3
=.
10
3x 2
A área construída da bandeirin/a AFBCD, em cm , é igual a3
6# - (UEM PR)
;m um triângulo ABC, o lado AB mede 9 cm, e o lado BC mede 6 cm. #abendo ainda 'ue a circunfer5ncia λ8 com centro A e raio AB interce!ta o segmento AC em D ≠ C, e a circunfer5ncia λ de centro C e raio BC interce!ta o segmento AC em ; ≠ A, assinale o 'ue for '%$'.
a% b% c% d%
= $- 7 = $9 7 = $ 7 = $: 7
3 3 3 3
% % % %
"0 - (UFPB)
8. A área desse triângulo n)o !ode ser su!erior a cm. . O lado AC é o maior dos lados em 'ual'uer triângulo com as !ro!riedades descritas. -. ;m 'ual'uer triângulo, tal como descrito, o segmento D; mede - cm. 6. #e o lado AC mede 8 cm, a circunfer5ncia λ8 é tangente ao segmento BC. 89. O !erímetro de ABC de"e ser inferior a 6 cm.
A Frefeitura de certo municí!io !retende construir um con1unto /abitacional !ara algumas famílias 'ue ti"eram suas casas destruídas, de"ido 0s fortes c/u"as 'ue ocorreram no in"erno. O terreno onde ser)o construídas as casas !ossui formato e dimenses conforme gura a seguir3
6 - (UER)
Fara confeccionar uma bandeirin/a de festa 1unina, utili(ou2se um !edao de !a!el com 8 cm de largura e 8= cm de com!rimento, obedecendo2se 0s instrues abaixo. 8 2 Dobrar o !a!el ao meio, !ara marcar o segmento @4, e abri2lo no"amente3
Acerca da utili(a)o da área do terreno, o código de obras do municí!io estabelece as seguintes condies3 C8 2 A ra()o máxima !ermitida entre a área de constru)o das casas e a área total do terreno é de `. C 2 4o mínimo, V da área do terreno de"em ser destinados !ara a constru)o de uma área de la(er. C: 2 #atisfeitas as condies C 8 e C, a área restante do terreno !ode ser utili(ada !ara caladas, 1ardins e "ias de circula)o dos moradores.
2 Dobrar a !onta do "értice B no segmento AB_, de modo 'ue B coincida com o !onto F do segmento @43
Com base nessas informaes e atendendo 0s condies estabelecidas !elo citado código, s)o feitas as seguintes armati"as3 K.
A área de la(er de"e utili(ar, no mínimo, 999 m do terreno. KK. O terreno !ossui uma área de ::: m. KKK. :- casas de =m de área !odem ser construídas no terreno.
KM.
Caladas, 1ardins e "ias de circula)o dos moradores !odem utili(ar <<< m do terreno.
"3 - (UFM)
4a gura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 89. Os !ontos P e Q di"idem o segmento AB em tr5s !artes iguais, assim como os !ontos M e N di"idem o segmento BC em tr5s !artes iguais.
;st)o corretas a!enas3 a% b% c% d% e%
K e KK KK e KM K, KK e KKK KK e KKK K, KK e KM "1 - (UFU M)
4a Higura 8, o triângulo retângulo ABC !ossui ângulo reto em B, AH + 8cm, AC + 8cm e BD;H é um 'uadrado. #u!on/a 'ue o 'uadrado BD;H se1a transladado ao longo de AC, sem alterar a medida dos lados e ângulos ao longo dessa transla)o, gerando, dessa forma, um no"o 'uadrado WQ, em 'ue coincidem os !ontos C e Q conforme ilustra a Higura .
Com base nessas informaes, 8. .
DETERMINE a área do triângulo QBN. DETERMINE a área do triângulo sombreado PQM. "4 - (UFU M)
O conceito de desen"ol"imento sustentá"el !re"5 a ado)o de aes e !ráticas 'ue auxiliem a sobre"i"5ncia do !laneta &erra !ara futuras geraes. N de fundamental im!ortância a ado)o de !ro1etos 'ue estimulem e insiram crianas nessa batal/a em defesa do meio ambiente. ?m exem!lo de a)o educacional moti"adora e direcionada a esse m é a inser)o de ati"idades com dobraduras, re!rodu(indo elementos da nature(a. #u!on/a 'ue, no início de tal ati"idade, ten/a2se uma fol/a de cartolina cortada na forma de um triângulo e'uilátero ABC, com lado x cm. A cartolina é dobrada de modo 'ue C coincida com o !onto médio @ de AB, onde AB e D; s)o !aralelos. #abendo 'ue o !erímetro do tra!é(io AB;D é igual a 8 cm, ent)o a área $em cm % do triângulo D;@ é igual a 4essas condies, 'ual é o "alor $em cm % da área do triângulo YQR a% b% c% d%
=* 8:*:* 8=* "2 - (FAMECA SP)
A gura re!resenta um retângulo ABCD, com AB+6 e AD+8, sendo ; o !onto de encontro das suas diagonais. ;FG e ;A s)o triângulos, com A+FG.
a% b% c% d%
3
3
3
2
3
4
3
"5 - (IBMEC R)
?m tetraedro regular é uma gura geométrica es!acial formada !or 'uatro triângulos e'uiláteros. Considere ent)o o tetraedro regular MPR, de aresta a, re!resentado na gura3
A área do triângulo ;FG corres!onde a xV da área do triângulo ;A, sendo 'ue x é igual a a% b% c% d% e%
6. >=. >:. 99. 9.
Fodemos armar 'ue área do triângulo M N P, sabendo 'ue N é !onto médio de R é dada !or3 a%
a2 2
a% b% c% d% e%
2
b%
a
2
a
2
"# - (F. )
@arta 'uer com!rar um tecido !ara forrar uma su!erfície de 8m . Guantos metros, a!roximadamente, ela de"e com!rar de uma !ea 'ue tem 8,=m de largura e 'ue, ao la"ar, encol/e cerca de -V na largura e 6V no com!rimentoR
2
4
c%
3
2
d%
a
2
a
2
A!roxime a res!osta !ara o nEmero inteiro mais !róximo.
3
4
e%
8 cm 89 cm - cm : cm :9 cm
2
6
"6 - (Unifa! BA)
" - (UESPI)
#e um !onto F está no interior de um retângulo ABCD, como ilustrado abaixo, e PA = 41 , FB + =, PC = 13 , 'uanto mede FDR
Do tra!é(io ABCD, re!resentado na gura, sabe2se 'ue • •
os lados DA, AB e BC s)o segmentos de mesma medida x3 !ara cada "alor de θ, sua área !ode ser determinada !ela fun)o A$ θ% + -=$sen θ Z senθ%. ;nt)o, a altura do tra!é(io, em fun)o de θ e em u. c., é igual a
8. . :. -. =.
=cos θ :senθ :=cos θ -senθ -=cos θ "" - (UPE)
a% 3 3 b% 2 7 c% 26 d% 29 e% =
Dois retângulos foram su!er!ostos, e a intersec)o formou um !aralelogramo, como mostra a gura abaixo3
#abendo2se 'ue um dos lados do !aralelogramo mede -,= cm, 'uanto mede a área desse !aralelogramoR
#0 - (UNCISA/)
?ma torre de telefonia celular foi instalada no !onto x, 'ue é o !onto médio da diagonal 'ue liga os "értices A e C do terreno ABCD, 'ue tem a forma de um !aralelogramo, conforme mostra a gura. A distância entre o !onto x e o "értice C é, em Im, igual a
a%
5 3
b%
3 3
c%
7
d%
7
2 2
2
e%
7 4
#1 - (UNIMONTES M)
b% c% d% e%
Considere um 'uadrado ABCD de lado medindo 9 cm, com centro em E e diagonais AC e BD. #e M e N s)o os !ontos médios dos segmentos AE e BE, res!ecti"amente, ent)o, a área do 'uadrilátero ABNM mede a% b% c% d%
27 4 18 4 9 4
cm
cm 2
4
#4 - (UEPB)
A área em m de um 'uadrado, cu1a soma das medidas de uma diagonal e de um lado "ale - 2 − 1, m , é igual a3 a% 17 ' 12 2 b% 2 c% 17 ' 2 2 d% 3 ' 2 2 e% 8
2
cm 2
3 2
89 -
#5 - (UFMA)
cm
#obre os lados o!ostos AB e CD de um retângulo ABCD s)o marcados, res!ecti"amente, os !ontos F e G. A soma das áreas dos triângulos AGB e CFD resulta exatamente em - u.a.. ;nt)o, a área do retângulo ABCD é igual a3
2
#2 - (UE O)
?m macaco !ara le"antar automó"eis tem o formato de um 'uadrilátero articulado de lados iguais a , cu1a diagonal d é um !arafuso. ;sse !arafuso, 'uando obrigado a rodar, fa( "ariar tanto o com!rimento dessa diagonal como a altura do 'uadrilátero. Me1a a gura.
a% b% c% d% e%
:9 u.a. 8 u.a. - u.a. u.a. : u.a. #6 - (UNESP SP)
?ma certa !ro!riedade rural tem o formato de um tra!é(io como na gura. As bases Q e W do tra!é(io medem <,- Im e =,> Im, res!ecti"amente, e o lado Q margeia um rio.
Considerando 'ue o !arafuso este1a !aralelo ao solo, em fun)o do lado do 'uadrilátero e de sua diagonal, o 'uadrado da altura é a% b%
1 2 1
2
- 2/
2
+ .2 ,
- 2/
2
−.2 ,
c% -l Z d d% -l 7 d
a% b% c% d% e%
ˆ ,a ˆ é o dobro do ângulo #e o ângulo medida, em Im, do lado Q 'ue ca 0 margem do rio é3 >,=. =,>. -,>. -,:. :,>.
#" - (UNIFEI M)
Considere o retângulo ABCD abaixo3
#3 - (UDESC SC)
4o !aralelogramo ABCD, conforme mostra a Fia ˆB. 4, o segmento C é a bissetri( do ângulo D C
#abendo 'ue A = 2 e AD = 5 , ent)o o "alor do !erímetro do !aralelogramo ABCD é3 a% 9
#abendo 'ue o lado CD foi di"idido em seis !artes iguais !or segmentos !aralelos ao lado AD , !ode2 se armar 'ue a área do tra!é(io ;HYL, em cm , mede3 a% b% c%
21 2 18
2
15
2
d%
12
2
## - (UFS)
?m tra!é(io isósceles tem área 'ue mede 6cm e base maior medindo 8cm. #e a altura e a base menor do tra!é(io t5m a mesma medida, 'ual o !erímetro do tra!é(ioR
a% b% c% d% e%
cm. 8
a% b% c% d% e%
:cm -cm =cm 9cm >cm # - (UPE)
. 8. . :. -.
a% b% c% d%
4o 'uadrado ABCD, de lado -cm, ; é !onto médio de BC, e o !onto H do lado CD é tal 'ue o ângulo ˆ # é reto. A Os triângulos AB; e A;H s)o congruentes. Os triângulos AB; e ;HC s)o semel/antes. A área do triângulo ADH é 9 cm . A área do triângulo ;HC é cm . A área do triângulo A;H é :V da área do 'uadrado.
As diagonais de um losango medem 8m e 89m. A medida da área do 'uadrilátero, cu1os "értices s)o os !ontos médios dos lados do losango, é igual a3 : m :9 m - m -6 m 3 - (UFP%& RS)
?m retângulo de área igual a 89m , foi di"idido em 'uadrados iguais de lado , conforme a gura abaixo.
0 - (UFC PB)
a% b% c% d% e%
Xo)o 'ueria com!rar um terreno locali(ado na es'uina em 'ue duas ruas se cru(am. O !ro!rietário do terreno informa"a no anEncio 'ue o terreno era retangular, medindo 20m !or 15m, e 'ue o !reo de cada metro 'uadrado custa"a 8,. Xo)o foi 0 !refeitura da cidade !ara c/ecar a situa)o do terreno e "ericou 'ue as medidas esta"am corretas, 'ue o terreno tin/a a forma de um !aralelogramo, !orém, n)o era retangular, uma "e( 'ue as citadas ruas se cru(a"am formando um ângulo de 9. #e Xo)o com!rasse o terreno a!enas com as informaes dadas !elo !ro!rietário, o seu !re1uí(o, em reais, seria de3 $ &e 3 ≅ 1,7 %. -.=,. =.=,. =.,. -.,. :.,. 1 - (UEM PR)
Com base nas informaes acima, analise as armati"as. x + y = K.
a% b% c% d% e% f%
4a gura a seguir, ABCD é um !aralelogramo, @ é !onto médio do lado AB, 4 é !onto médio do lado BC, e F é !onto médio do lado CD. #abendo2se 'ue a medida de BC é >cm, a medida da diagonal AC é 8cm e a medida da diagonal BD é 6cm, ent)o o !erímetro do triângulo @4F é
KK.
x =
KKK.
y =
2 3
3 4
me+r)
me+r)
N correto armar 'ue somente s)o "erdadeiras as armati"as K e KKK. somente s)o "erdadeiras as armati"as KK e KKK. somente s)o "erdadeiras as armati"as K e KK. todas as armati"as s)o falsas. todas as armati"as s)o "erdadeiras. K.. 4 - (UEPB)
#e as diagonais de um !aralelogramo formam entre si um ângulo de : e seus com!rimentos s)o res!ecti"amente 2 3 e 4 cm , o !erímetro desse !aralelogramo em centímetros, é igual a3 a% b% c% d% e%
(
2 1+
13
)
2 13 4
1+
(
13
13
2 2+
13
)
5 - (F. )
a% b% c% d% e%
As bases de um tra!é(io isósceles medem m e :9 m, e a soma das medidas dos lados n)o !aralelos é m. A medida da altura desse tra!é(io é3 9m :m 6m -m 8 m 6 - (UFAM)
A área do 'uadrado ABCD da gura é -. 4os lados BC e DC tornam2se, res!ecti"amente, os !ontos @ e 4 de modo 'ue M se1a !aralelo 0 diagonal DB . #e as áreas do triângulo C@4, do tra!é(io @4DB e do triângulo ABD formam, nessa ordem, uma !rogress)o aritmética, ent)o a medida de MC é3
A ra()o entre as áreas de um !entágono e um losango, nessa ordem, é igual a . # - (IBMEC SP)
A ra()o entre a área da regi)o clara e a área da regi)o escura da gura, nessa ordem, é a!roximadamente igual a a%
2 3 3
b%
3
c%
3 3
d%
d%
3 2
e%
e%
3 3
a% b% c%
b% c% d% e%
10
- (IBMEC SP)
3 2
20 7 15 4 15
3
Considere um losango ABCD em 'ue @, 4, F e G s)o os !ontos médios dos lados AB , BC , CD e DA , res!ecti"amente. ?m dos ângulos internos desse losango mede α, sendo α <.
#e1a o triângulo de base igual a 10 + e altura igual a 5 + com um 'uadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do 'uadrado é, em metros, igual a3
5
R 2 R
TETO7 2 - C'++ 8 9%!$:'7
2
" - (UFF M)
a%
:. . .
4essas condies, o 'uadrilátero con"exo @4FG a% b% c% d% e%
é um 'uadrado. é um retângulo 'ue n)o é losango. é um losango 'ue n)o é retângulo. é um !aralelogramo 'ue n)o é retângulo nem losango. n)o !ossui lados !aralelos. TETO7 3 - C'++ 8 9%!$:'7 100
2
TETO7 1 - C'++ 8 9%!$:'7 #
A gura abaixo re!resenta uma !ea de "idro recortada de um retângulo de dimenses 8cm !or =cm. O lado menor do triângulo extraído mede =cm.
O mosaico da gura é formado !or losangos congruentes entre si e !or !entágonos regulares.
100 - (IBMEC SP)
Guatro !eas dessas foram coladas a uma base 'uadrada de lado 8cm !ara formar um reci!iente,
1untando2se sem!re lados de mesmas dimenses de cada dois tra!é(ios ad1acentes. A gura abaixo mostra a tam!a desse reci!iente, 'ue será feita de um "idro escurecido de um dos lados.
LABAK&O3 1) a,3 A 2) a,3 ; 3) a,3 C 4) a,3 B 5) a,3 B 6) a,3 ") a,3
A área de cada um dos triângulos 'ue forma essa tam!a, em cm, é a% b% c% d% e%
5 194 6
194
6 198 7
198
7
200
TETO7 4 - C'++ 8 9%!$:'7 101
?ma mastaba é um tEmulo egí!cio, uma ca!ela, com a forma de um tronco de !irâmide $!aredes inclinadas em dire)o a um to!o !lano de menores dimenses 'ue a base%. For todo o ;gito existem mil/ares de mastabas com uma grande "ariedade de !inturas murais, algumas com "alor artístico inestimá"el. ;ssas imagens retratam, geralmente, ati"idades do cotidiano no antigo ;gito. Desse modo, esses monumentos funerários re"elam2se uma fonte im!ortantíssima de informa)o sobre esse !eríodo da /istória da /umanidade, no 'ue di( res!eito 0 "ida das classes mais modestas $ainda 'ue fossem tEmulos de luxo de !ersonalidades eminentes%. As !inturas 'ue ornamentam as mastabas contrastam com as das !irâmides 'ue re!resentam, essencialmente, a "ida na corte e as ati"idades no !alácio do faraó.
Da
gura 3 r = → r = 30 3 60 − r
+% 30 = AC
= 900π(
3
Com!arando A R
Considere 'ue uma das !aredes laterais de uma mastaba ten/a a forma geométrica de um tra!é(io com área lateral igual a 8:=m , base menor 8=m e altura 9m. A medida de sua base maior é3 a% b% c% d% e%
8 m m = m - m : m
)
3 −1
e
cm 2 .
= 900
A R = 900 3cm 2 .
#) a,3 ; ) a,3 C 10) a,3
a%
A+
b%
A8 +
1 2
4−π 4 π−
2
4
11) a,3 A
101 - (UNIUBE M)
2
(
3cm 2 ≈ <$8,>:%cm e AC
+ <π ( 3 − 1) 2 cm ≈ < ⋅8,99cm conclui2se 'ue a mel/or o!)o é um tam!o de mesa retangular com dimenses de 9 e e área 15 3cm
A +
Dis!oni"el em3 /tt!3**!t.iIi!edia.org*iIi*@astaba Honte3 /tt!3**!ramidenge/eimnisse.de*index.!/!R to!+!reh!age+bare
− 1)
tem2se
12) a,3 B 13) a,3 B 14) a,3 C 15) a,3 B 16) a,3 C 1") a,3
A p +
4π − 3 3
1#) a,3 C
3
1) a,3 D
51) a,3
20) a,3 A
Como o triângulo ABH contém esses 6 triângulos e o 'uadrilátero CFG; de área # contém - deles, a área
21) a,3 B
do triângulo ABH "ale
22) a,3
O "olume de negócios dos ;?A será de - bil/es de dólares.
23) a,3
a% b%
8= as!ersores :n
24) a,3 D
52) a,7 B 53) a,3 B 54) a,3 D 55) a,3 56) a,3 B
25) a,3 C
5") a,7 A
26) a,3
a% $*9%$: b% r + 9*=
3
5#) a,7 A
Zπ%
5) a,7 D
2") a,3 B
60) a,7
2#) a,3 ;
61) a,7 A
2) a,3 A
62) a,7 B
30) a,3 ;
63) a,7 C
31) a,3 D
64) a,7 A
32) a,3 ;
65) a,3 C
33) a,3 A
66) a,3 A
34) a,3 x = 8, Im y + 8,= Im
6") a,3 :
35) a,3 B
6) a,3 B
36) a,3 C
"0) a,3 ;
3") a,3 =
"1) a,3 C
3#) a,3 A
"2) a,3 B
3) a,3 D
"3) a,3
40) a,3 D
8. .
41) a,3 C 42) a,3 A 43) a,3 ; 44) a,3 C 45) a,3 C 46) a,3 ; 4") a,3 D 4#) a,3 C 4) a,3 ; 50) a,7 C
6#) a,3 >
#∆G4B + 8#∆F@G + 6
"4) a,3 A "5) a,3 B "6) a,3 "") a,3 ; "#) a,3 6 metros ") a,3 D #0) a,3 D #1) a,3 A #2) a,3 D #3) a,3 ;
" 2
.
#4) a,3 A #5) a,3 C #6) a,3 ; #") a,3 A ##) a,3 B #) a,3 HMMHH 0) a,3 A 1) a,3 C 2) a,3 D 3) a,3 C 4) a,3 A 5) a,3 A 6) a,7 A ") a,7 A #) a,3 B ) a,3 B 100) a,3 B 101) a,3 ;