TRANSFORMA TRANSF ORMACIONES CIONES PRO PROYECTI YECTIV VAS: HOMOLOGÍ HOMOLOGÍA A Y AFINIDAD AFINIDAD OBJETIVOS 1.
Profundizar en el conocimiento del espacio euclidiano, mediante la geometría proyectiva, con el estudio de las transformaciones proyectivas: homología y afinidad .
2.
Descubrir las posibilidades que ofrecen las relaciones proyectivas en el campo del dibujo técnico como medio de transformación de las formas geométricas sobre el plano.
3.
Conocer y utilizar las transformacio transformaciones nes homológicas que se producen en el espacio como algoritmo proyectivo de cálculo mecánico en la geometría descriptiva.
1 INTRODUCCIÓN O
Las figuras geométricas están compuestas de puntos, rectas y planos que constituyen los llamados elementos geométricos fundamentales . Dichos elementos pueden someterse a diversas transformaciones sobre el plano conservando su forma, sus proporciones o ninguna de las dos características. Sin embargo, todas ellas se basan en la proyectividad la proyectividad ,, una operación espacialque consiste en una «proyección» seguida de una «sección» de la radiación proyectiva. Se trata de estudiar las relaciones geométricas geométricas que se establecen entre dos planos por medio de una proyección o radiación desde un punto exterior propio o impropio (en el i nfinito).
P
a b
B
2a
γ
α A
D
δ
β B
C
E
C
Radiación de rectas.
2b
Con las definiciones precedentes, podemos afirmar que: «una homografía homografía es es la correspon- dencia proyectiva que relaciona, en el espa- cio, dos figuras planas como secciones distin- tas de una misma radiación».
D
E
π (plano sección)
El concepto de proyectividad es el fundamento de los diversos sistemas de representación que se utilizan, como procedimientos científicotécnicos, para representar los objetos tridimensionales sobre el plano del papel.
e
d
c A
En ambos casos, es evidente que, por ser coplanarias las radiaciones O radiaciones O A 2 A1 y O O B 2 B 1 , las rectas A rectas A 1 B 1 y A A 2 B 2 han de cortarse en un punto E punto E de la recta común de los planos π 1 y π 2 , que las contienen (recordemos que tres planos no paralelos se cortan en un punto). Así pues, en dos figuras homológicas los pares de rectas homólogas se cortan en la recta de intersección ( e e ) ) de los dos planos, denominada eje de la homología . homología .
O
Radiación de planos.
La geometría proyectiva introduce los elemen- tos impropios: puntos, rectas y planos del infinito, que surgen de las proyecciones paralelas a sus elementos homográficos. Así, un punto impropio P propio P 1 del plano π 1 (fig.2e) (fig.2e) define define una dirección y tiene como punto homológico en el plano π 2 el punto P punto P 2 , obtenido como intersección de la recta que pasa por el centro O y es paralela a la dirección anterior. Análogamente, el punto homólogo de R de R 1 será será R R 2 y viceversa.
O
∞
2 DEFINICIONES Y OPERACIONES PROYECTIVAS
C2
Se llama radiación de rectas al conjunto de rectas o rayos que pasan por un punto O llamado centro mado centro de radiación (fig.2a) .
C2
•
•
Del mismo modo, una recta del infinito (unión de los puntos P puntos P 1 con con R R 1 ) ) situada situada en el plano π 1 , tiene por homológica la recta P recta P 2 R 2 (intersección del plano que pasa por el centro O O ,, paralelo a π 1 , con el plano sección π 2 ) .
π2
∞
A2 A2
C1
B2
B2
C1
E
2c
e
A1
π1
E
Planos perspectivos bajo una radiación de centro propio.
e
A1
π1 2d
P2
∞
3 TEOREMA DE LAS TRES HOMOLOGÍAS
B1
B1
Así, proyectar una figura plana A plana A 1 B 1 C 1 (fig.2c) desde un punto O punto O es es unir dicho punto con los infinitos puntos de la línea que definen la forma; por tanto, proyectar equivale a definir una radiación de infinitas rectas. Si a continuación seccionamos la radiación por un plano π 2 distinto de π 1 (que contiene a la figura A figura A 1 B 1 C 1 ), obtenemos otra figura A figura A 2 B 2 C 2 . Ambas figuras, situadas en planos perspectivos distintos, se dice que son homólogas homólogas .. La evidente correspondencia que relaciona una figura con la otra recibe el nombre de de perspectividad u homografía homografía . Recíprocamente: dos figuras planas (contenidas en planos distintos) son homólogas son homólogas si las rectas que unen los pares de puntos homólogos ( A1 con A A2 , B 1 con B B 2 ,…) pasan por un punto fijo O fijo O (centro (centro de de la homología) . homología) . Dicho punto punto puede ser «propio» (siendo, por tanto, la radiación cónica) (fig (fig.2c), .2c), o «impr «impropio» opio» (en el infinito y, por ende, con radiación cilíndrica) (fig.2d).
∞
π2
Se entiende por radiación de planos al conjunto de todos los planos del espacio que pasan por un mismo punto O O (fig.2b) (fig.2b) . Las operaciones proyectivas, fundamentalmente, son dos: proyectar dos: proyectar y seccionar . seccionar . Proyectar un punto P punto P desde otro punto O (centro de proyección) proyección) consis consiste te en unir, por una recta o rayo, el punto O punto O con el P el P (fig.2a) (fig.2a) . Seccionar una radiación de rectas (fig.2a) (fig.2a) o o π ), planos (fig.2b) (fig.2b) por por un plano ( π ), es obtener los puntos A ,B , C ,… o las rectas AB , BC ,CD , … de intersección de los rayos o de los planos, respectivamente, con el plano sección π .
O∞
«Si dos figuras F 1 y F 2 no coplanarias son homológicas de otra F eje e F con el mismo eje e y centros O’ O’ y O’’ O’’ , serán también homológi- cas entre sí, con el mismo eje e e y y un centro O alineado O alineado con O’ O’ y O’’ » O’’ » (fi (fig.3). g.3).
Planos perspectivos bajo una radiación de centro impropio.
O
π
π2
O
O’
R2
O’’’ O’
F
π2 P 1∞
F2
e
F1
e
π1
R 1∞
π1 2e
Elementos impropios entre planos perspectivos.
3
Teorema de las tres homologías.
95
4 ELEMENTOS FUNDAMENTALES EN UNA HOMOGRAFÍA
S2 ∞
Partiendo de que cuando dos figuras planas son perspectivas están ligadas por una relación homográfica , vamos a obtener una serie de propiedades que podemos deducir de un modo directo y de forma sencilla (fig.4a) .
P2
k2
La perspectividad o relación homográfica en el espacio es, ante todo, una correspodencia biunívoca y homónima entre dos figuras geométricas planas tal que a un punto o recta de la primera figura le corresponde un punto o recta único de la segunda y, recíprocamente.
R2
π 2 d e
O
π2
Como venimos haciendo, llamaremos π 1 al plano en el que está contenida la primera figura ( F 1 ) , destacando todos sus puntos con el subíndice 1 y π 2 al plano de la segunda figura ( F 2 ) cuyos puntos se identificarán con el subíndice 2 .
A2 F2
C2
B2
P1 ∞
Si O es el centro de la perspectividad desde donde se proyectan los puntos de la figura F 1 , sus puntos homólogos se obtienen cortando la radiación por el plano π 2 . Así, a todo punto del plano π 1 le corresponde un punto único del plano π 2 y si partimos de A 1 y B 1 se puede hallar A 2 y B 2 verificándose, evidentemente, que las rectas homólogas A 1 B 1 y A 2 B 2 se cortan en un punto de la recta e común a π 1 y π 2 .
M1 M2 N1 N2
C1
A1 R1 ∞
l1
F1 e i t l í m a t c r e
B1 E1 E2
π1
De igual modo, cualquier punto de la figura F 2 (como el C 2 ) procede de un único punto C 1 de la figura F 1 .
π 1 d e
S1
e 4a
Todos los puntos de la recta e (eje de homología), intersección de los planos π 1 y π 2 , son dobles u homólogos de sí mismos, y no existen otros que lo sean fuera de ella. Tracemos ahora por el centro de perspectividad O un plano paralelo al π 2 que cortará al plano π 1 según una recta l 1 que ha de ser paralela al eje e . Intentemos hallar el punto homológico de un punto cualquiera S 1 de la recta l 1 . Debemos unirlo con O y hallar la intersección de la recta OS 1 con el plano π 2 pero –por ser paralelos la recta y el plano– el punto en que se cortan es impropio; esto es, un punto S 2 situado en el infinito del plano π 2 . Igual nos sucede con cualquier otro punto de la recta l 1 : sus homólogos son puntos del infinito o impropios del plano π 2 . Esto justifica que a la recta l 1 le llamemos recta límite del plano π 1.
e i t l í m a c t r e
k2
Elementos componentes de una homografía.
O
F2 4b
Esquema de la situación de los elementos que determinan una homografía. π1
π2 F1
e
l1
∞
Análogamente, si por el punto O trazamos un plano paralelo al π 1 cortará al π 2 según una recta k 2 , evidentemente paralela al eje e . Si deseamos determinar el punto homológico de un punto cualquiera R 2 de la recta k 2 , tendremos que unirlo con el centro de proyectividad O y hallar la intersección OR 2 con el plano π 1 pero, al igual que en el caso anterior, el punto en que se cortan es impropio: es un punto ( R1 ) del infinito del plano π 1 . Sucede, pues, que la recta k 2 está formada por los puntos homológicos de todas las direcciones o puntos impropios del plano π 1 . Por ello, a la recta k 2 se la denominá recta límite del plano π 2 . ∞
En resumen : •
96
En el plano π 1 todo punto es homológico de un punto propio del plano π 2 con excepción de los puntos de la recta límite l 1 cuyos puntos
homológicos están situados en el infinito del plano π 2 . Los puntos del eje e son dobles. •
•
En el plano π 2 todo punto es homológico de un punto propio del plano π 1 , con excepción de los puntos de la recta límite k 2 , compuesta por puntos cuyos homólogos están en el infinito del plano π 1. Asimismo, en π 2 los puntos de la recta e son dobles. Es especialmente importante destacar, con cierto énfasis, que las rectas límites l 1 (perteneciente a π 1 ) y k 2 (contenida en π 2 ) no son homológicas una de otra. Para destacar las propiedades fundamentales que hemos mencionado, conviene resumirlas esquemáticamente en la forma que muestra la fig.4b, donde se ha dibujado la proyección frontal (sobre un plano perpendicular al eje e ) que relaciona la figura F 1 con F 2 y viceversa. Las rectas límites l 1 y k 2 son rectas de punta. Fácil es observar que, siempre, se verificará que las distancias: Ol 1 = k 2 e , así como: l 1 e = Ok 2 .
5 PASO DE UNA HOMOGRAFÍA A UNA HOMOLOGÍA Si en el sistema homográfico de la fig.4a se «proyectan» o se «abaten», sobre un plano, los elementos homólogos, deja de llamarse homografía para denominarse homología . Se puede decir que la homografía es una correspondencia proyectiva en el espacio, mientras que la homología lo es sobre un único plano (el de trabajo). El paso de los elementos de una homografía (espacio) a una homología (sobre el plano de trabajo π 1), puede llevarse a cabo proyectando dichos elementos, sobre dicho plano π 1 (fig.5.1) o por abatimiento de los mismos (fig.5.2).
5.1 Proyección ortogonal sobre uno de los planos perspectivos u homológicos. Consiste en proyectar, ortogonalmente, sobre uno de los planos perspectivos, el conjunto de elementos homográficos del espacio, no pertenecientes al plano ( π1 ), sobre el que se realiza la proyección.
Para entender cómo se establece y cómo se transforman los elementos homográficos en homológicos (paso del espacio al plano), es conveniente, y muy útil, tener siempre presente el esquema que se indica en la fig.5.1. Las dos rectas límites son paralelas al eje, verificándose que: la distancia entre el centro y una recta límite es igual a la existente entre el eje y la otra recta límite. Ambas se situarán entre el centro O y el eje e , o en el espacio exterior a ambos. En la homología que se establece en el plano π 1, el eje e y la recta límite l 1 son los mismos de la homología espacial. El centro de homología O’ es la proyección del centro O y la figura F’ 2 homológica de la F 1 , es la proyección de la F 2 sobre π 1 . Tanto las dimensiones de F 1 como las distancias entre los elementos (eje, recta límite l 1 ,…), pertenecientes al plano de proyección π 1, se encuentran en verdadera magnitud.
FORMAS MÁS USUALES DE DETERMINAR UNA HOMOLOGÍA
ESQUEMAS DE PASO DE UNA HOMOGRAFÍA (ESPACIO) A UNA HOMOLOGÍA (PLANO)
DATOS
π2 k2
RESOLUCIÓN
O
e A1
e E
A2
F2
A1
O
A2 O B2
B1
r2
r1
π1
5.1
F’2
F1
6.1
e O’
k’2 =
Proyección ortogonal sobre el plano horizontal π 1.
l1
-
e
k2
e
k2
=
-
P2
O
O
A2 P1∞
π2 k2
r2 A1
O
B2
r1 E
B1 6.2
F2
k2
e
e
k2 P2
P1∞
π1
F1
5.2
e
Abatimiento sobre el plano horizontal π 1.
l1
(k 2) =
O B1
-
de charnela de giro para abatir los elementos contenidos en el plano π 2 (figura F 2 y recta límite k 2 ) sobre el plano π 1 ; y la recta l 1 hace las veces de charnela alrededor de la cual gira el plano (paralelo a π 2 ) que contiene al centro de proyectividad O .
Esta segunda forma de pasar del espacio al plano de trabajo, esto es, del sistema homográfico al sistema homológico, consiste en abatir, sobre uno de los dos planos perspectivos (en la fig. 5.2 sobre el plano π 1 ), el conjunto de elementos perspectivos del espacio, no pertenecientes a dicho plano π 1 sobre el que se se realiza el abatimiento.
Una vez realizado el abatimiento la figura abatida F 2 es la figura homológica de F 1 (situada en el plano de trabajo π 1 ) con centro de homología ( O ), eje de homología e y rectas límites l 1 y ( k 2 ) . En resumen :
En toda homología se cumple que: •
•
•
A2
(O)
=
-
5.2 Abatimiento sobre uno de los planos perspectivos u homológicos.
La fig. 5.2 muestra el esquema de cómo se lleva a cabo el abatimiento del plano π 2 , sobre el plano perspectivo π 1 (considerado como plano de trabajo); y con ello, el de todos los elementos contenidos en él (recta límite k 2 y figura homológica F 2 ), así como el abatimiento del centro de proyección O , contenido en un plano paralelo al plano perspectivo π 2 . Obviamente, los abatimientos se realizan utilizando como ejes de giro las rectas comunes a los planos que contienen los elementos. Así, el eje e hace
A1
A2
(F 2)
r2
r1
A1
Dos puntos homológicos están alineados con el centro ( O ) de homología. Dos rectas homológicas se cortan siempre en el eje ( e ) de homología, lugar geométrico de puntos dobles (homológicos de sí mismos). Las dos rectas límites ( l 1 y k 2 ) son paralelas entre sí, y ambas al eje ( e ) de la homología.
B2 E
6.3
6 DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA Para construir la figura homológica de una figura dada es necesario definir la homología mediante, al menos, tres elementos de los seis que pueden establecerse: centro , eje , dos rec- tas límites y u n par de puntos homólogos .
El punto homológico A 2 es el de corte del rayo OA 1 con la recta que resulta de unir E con P 2 . En una homología, dos rectas homólogas como A1 B 1 y A 2 B 2 , forman parte del trazo extremo y central de una línea quebrada ( OP 2 EP 1 ) en forma de zeta, donde los trazos extremos ( OP 2 y EP 1 ) son siempre paralelos. Lo mismo ocurre en referencia a la otra recta límite l 1 . ∞
6.1 Conocido el centro O , el eje e y un par de puntos homólogos A 1 y A 2 . Con estos datos (fig. 6.1), para hallar el homólogo de otro punto cualquiera ( B1 ), se traza el rayo proyectante que une éste con O . El punto de intersección con la recta E A 2 (homóloga de la A 1 B 1 y que corta al eje en el punto doble E ) determina B 2 , homólogo de B 1 .
6.2 Dado el centro O , el eje e y la recta límite k 2 . Con estos datos (fig.6.2), para hallar el homólogo de un punto A1 , se traza por él una recta cualquiera que corte al eje en E y, por O , una paralela a ésta que corta a la recta límite en P 2 .
∞
6.3 Conocido el eje e , una recta límite k 2 y un par de puntos homólogos A1 y A 2 . Con los datos que muestra la fig.6.3, para determinar el centro de homología O , y con ello, dejar definida la homología con los mismos elementos que en el caso anterior, se opera así: Se traza una recta cualquiera ( r2 ) que, pasando por el punto A 2 dado, corta a la recta límite en un punto P 2 y al eje en E . Por P 2 se traza la paralela a la recta A 1 E , que corta al rayo proyectante ( A 1 A 2 ) en el punto O buscado. 97
SISTEMA DE HOMOLOGÍA P1∞ R1∞
e d
d
El sistema de afinidad queda, pues, definido por: un eje ( e ) y dos puntos afines (homólogos) que unidos determinan la dirección ( d ) de afinidad, que puede ser oblicua u ortogonal respecto al eje del sistema. Es, por tanto, una transformación homológica que carece de rectas límites y cumple las siguientes propiedades:
S2∞ T1 P2 U2∞ •
A2
M
R2
•
C2 O
d C1 C2 A1
El rayo proyectante que une dos puntos afines es paralelo a la dirección de afinidad. B1
Dos rectas afines se cortan en un punto del eje.
A2 B2
Sea una afinidad dada por dos puntos afines A 1 , A 2 (cuya unión determina la dirección d del rayo proyectante) y una figura A 1 B 1 C 1 de la cual se desea hallar su afín ( A 2 B 2 C 2 ) .
B2
N
Determinación de figuras afines.
8.1
Según la fig. 8.1, se procede como sigue:
U1
e
8.1 Construcción de figuras afines.
N
B1
D i r e c c i ó n d e a f i n i d a d
Cuando el centro de homología es impropio (situado en el infinito), la homología se denomina homología afín o afinidad y la dirección que señala la situación del centro, direc- ción de afinidad .
k2
l1
A1
C1
RELACIÓN DE AFINIDAD
8 HOMOLOGÍA AFÍN O AFINIDAD
FIGURA AFÍN DE UNA CIRCUNFERENCIA
- Se prolonga A 1 B 1 hasta cortar al eje en el punto doble N . La recta afín de A 1 N resulta ser NA 2 , por tanto, el punto buscado B 2 (situado en NA 2 ) se halla trazando por B 1 la dirección afín.
Q2
T2∞
M d e
z
a
- Análogamente, para hallar C 2 (afín de C 1 ), se une el punto ( C 1) cuyo afín se desea determinar, con otro punto ( A 1 o B 1 ) cuyo afín se conozca.
En el sistema de afinidad, se parte de conocer: el eje ( e ) , l a dirección de afinidad ( d ) y dos puntos afines , tales como O 1 y O 2 centros de la circunferencia y la elipse respectivamente.
Q1∞
e
p
a c
A
D2 S1 7
Elementos y determinación de una homología.
7 CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS HOMOLÓGICAS Sea el triángulo A 1 B 1 C 1 cuya situación se ha fijado en un sistema de homología de centro O , eje e y recta límite k 2 . Vamos a determinar su figura homológica, que resultará ser el triángulo A 2 B 2 C 2 . - Comenzamos, por ejemplo, por determinar el lado A 2 B 2 (segmento homólogo del A 1 B 1 dado). La recta paralela, por O , a la prolongación del lado A 1 B 1, (que corta al eje en el punto doble E ) corta a la recta límite k 2 en P 2 . La recta P 2 E 2 es la homológica de A 1 B 1 ; por tanto, trazando los rayos proyectantes que pasan por A1 y B 1 se obtiene el segmento homólogo: A 2 B 2 . - Para hallar el tercer punto C 2 del triángulo nos sobran datos y, por tanto, podemos actuar por cualquiera de las tres formas planteadas en el apartado anterior. - Para determinar la situación de la segunda rec98
•
ta límite l 1 , tan sólo hemos de recordar que la distancia entre ésta y el eje es igual a la que existe entre el centro de homología O y la recta límite k 2 , sin olvidar que ambas rectas límites son paralelas al eje e de la homología y no son homológicas entre sí. Cada una de el las está compuesta de puntos cuyos homólogos se encuentran en el infinito del otro plano. Para conseguir soltura en la mecánica proyectiva que presenta la utilización de los sistemas perspectivos u homológicos se hace aconsejable, y necesario, ejercitar el paso de una a otra figura o forma homológica, haciendo uso indistinto de ambas rectas límites. El ejercicio mental que reporta trabajar en el plano situaciones proyectivas que se producen en el espacio (recuérdese la fig.4a), nos facilitará el estudio, comprensión y utilización adecuada de los sistemas de representación.
Datos: El eje ( e ) y dos puntos afines ( O 1 ,O 2 ) . Construcción: Sabiendo que los ejes principales de la elipse son afines de dos diámetros de la circunferencia, perpendiculares entre sí, se precisa trazar un arco capaz de 90° que pasando por O 1 y O 2 tenga su centro en el eje, al objeto de observar desde O 1 y O 2 el segmento MN bajo 90° .
A2
P
A1
O2 O1 D1
N
D2
8.2.1
Afinidad oblicua. D1
d l
A1
t r
o d a di ni
C1
f
- Trazando, por A1 , B 1 , C 1 y D 1 , los rayos proyectantes correspondientes, paralelos a la dirección de afinidad establecida por O 1 O 2 , se determinan los extremos de los ejes principales ( A 2 , B 2 ,C 2 y D 2 ), vértices de la elipse afín de la circunferencia dada.
a e d
E
n ói c c e
e C2
ir
D
8.2.2 Con dirección de afinidad ortogonal al eje. A2
Datos: El eje ( e ) y dos puntos afines ( O1 ,O 2 ) . Construcción: Los segmentos afines a los diámetros ortogonales de la circunferencia, A1 B 1 y C 1 D 1 , paralelo y perpendicular al eje respectivamente, determinan los ejes principales de la elipse solución.
B1
O1
a n o g o
- La unión de M y N con O 1 y O 2 determina dos diámetros perpendiculares de la circunferencia, cuyos afines son los ejes principales de la elipse.
•
B2
B1
- La mediatriz del segmento O 1 O 2 determina P , centro de la circunferencia que pasa por O 1 y O 2 .
•
C2
C1
8.2.1 Con dirección de afinidad oblicua al eje. •
d
o
c
r
8.2 La elipse, figura afín de la circunferencia.
E1 E2
° 9 0
O2
D2 8.2.2
Afinidad ortogonal.
B2
1
RELACIÓN HOMOLÓGICA ENTRE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
1. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO EQUILÁTERO de lado A1B1C1 , en un sistema homológico de centro O, eje e, y dos puntos homólogos tales como A1 y A2 .
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA HOMOLOGÍA Y A FINIDAD
2. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del CUADRADO A1B1C1D1 , en un sistema homológico definido por su centro O, el eje e y los puntos homólogos B1 y B2 .
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
2
e
fecha
e
A2 A1 B2
B1 O O A1
C1 C1 D1 B1
2 3
28
VERIFICACIONES 1.
Determina el SEGMENTO HOMÓLOGO de A1B1 en un sistema homológico en el que se conoce el centro de homología O, el eje e y el punto A2 homólogo de A1 .
1
2.
Determinar el PUNTO HOMÓLOGO del C1 sabiendo que el segmento homólogo A1B1 es el A2B2 y el punto E es doble; esto es: E1 E2 .
2
O
C1 A1
B1
B1
e
A1 E A2
A2
100
B2
1
FIGURAS HOMOLÓGICAS DE FORMAS TRIANGULARES 1. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 conociendo el centro de homología O, eleje e y la recta límite l1 , situada en el mismo plano perspectivo que la figura dada. Completar el sistema homológico determinando la posición de la segunda recta límite (k2 ).
2. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 que es atravesado por la recta límite l 1 perteneciente a su mismo plano perspectivo. Datos complementarios del sistema homológico: centro de homología O y eje homológico e.
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
2
HOMOLOGÍA
3
Y
AFINIDAD
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
2 e
l1
O
C1 B1
l1 O
C1 B1 A1
e
A1
d
29
1
FIGURAS HOMOLÓGICAS DE FORMAS TRIANGULARES 1. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 conociendo el centro de homología O, eleje e y la recta límite l1 , situada en el mismo plano perspectivo que la figura dada. Completar el sistema homológico determinando la posición de la segunda recta límite (k2 ).
2. Dibuja la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1 que es atravesado por la recta límite l 1 perteneciente a su mismo plano perspectivo. Datos complementarios del sistema homológico: centro de homología O y eje homológico e.
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
2
HOMOLOGÍA
3
Y
AFINIDAD
29
nombre y apellidos
nº
curso/grupo
fecha
2 k2
N2
∞
e
l1
M2
∞
S1
C2 E1 E2 Q1
∞
T2
∞
O Q2 C1 U1
B1 B1
N
B2 O
N1
l1
C1
C2 A2 U2
M1
B1
A1 A1
R2 ∞
e P2 A1 A1
A2
M
S2
∞
R1
∞
B2 P1
∞
T1
d
M2
d
N2
∞
∞
VERIFICACIONES 1.
Hallar el EJE DE LA HOMOLOGÍA definida por el centro O y las rectas límites l1 y k2 .
1
2.
Dibujar la FIGURA HOMOLÓGICA del TRIÁNGULO A1B1C1, determinada por una homología de eje e, recta límite k2 y dos puntos homólogos tales como A1 y A2 .
2 l1
k2
e
k2
A1
O
A2 C1
B1
102
