GEOMETRIA PLANA Unidades 1, 2 y 3: Fase 5 – Evaluación – Evaluación Final
ADRIANA MUNEVAR QUICENO Codigo: 1.022326.236
Tutor AUL ENRIQUE VIDE
Cur!o: ""1121A # 360
UNIVERIDAD UNIVER IDAD NACIONAL NACIONA L A$IERTA A$IERTA % A DITANCIA DITANCIA UNAD LICENCIAT LICENC IATRURA RURA EN MATEMAT MATEMATICA ICA MA%O DE 201&
I'trodu((i)'
L* g+o,+tr-* /*'* tr*t* d+ *u+//o! +/+,+'to! u+ !o/o ti+'+' do! di,+'!io'+! u+ or /o t*'to !+ +'(u+'tr*' o+r*' +' u' /*'o. Lo! +/+,+'to! 4!i(o! (o' /o! u+ !+ !u+/+ tr**5*r +' g+o,+tr-* /*'* !o' +/ u'to /* r+(t* /* (ir(u'+r+'(i* otr*! (ur7*!. L* g+o,+tr-* /*'* !+ di7id+ +' 7*rio! t+,*! u+ 'o! *ud*' * +!tudi*r/* (o,o t*,i8' /* g+o,+tr-* 'o! +r,it+ r+!o/7+r /o! ro/+,*! +' /o! u+ i't+r7i+'+' ,+did*! * !u 7+9 !+ di7id+ +': Tr*9*do! 4!i(o!. L*! o+r*(io'+! g+o,8tri(*! ,4! +/+,+'t*/+! u+ ti+'+' u'* uti/id*d u'i7+r!*/ (o,o or +5+,/o +/ tr*9*do d+ ,+di*tri(+! i!+(tri(+! +t(. Po/-go'o! L-'+*! (+rr*d*! or,*d*! or 7*rio! !+g,+'to!. E' +!t+ tr**5o od+,o! 7+r u' r+!u,+' d+ /*! *'t+rior+! *(ti7id*d+! /*! (u*/+! 7*' *!o(i*d*! (o' /o u+ ti+'+ u+ 7+r (o' +/ u!o d+ rogr*,*! u+ +r,it+' *(i/it*r'o! /o! ro(+!o! u+ (o,o i+' !*+,o! !*+ ,o! !o' u'* ;+rr*,i+'t* * /* ;or* d+ ori+'t*r (/*!+! +' (u*/ui+r i'!titu(i)'.
DEARROLLO
R+*/i9*r /*! !igui+'t+! *(ti7id*d+! d+ ,*'+r* gru*/
1. i: ∠ AOD<2=> ∠DOC<"=> ∠CO$<3=. ?Cu4'to ,id+ (*d* 4'gu/o@
Rt* !*+,o! * !i,/+ 7i!t* u+ /* !u,* d+ /o! tr+! 4'gu/o! +! d+ 1B0 Por t*'to od+,o! d+(ir u+: 2 x + 5 x + 3 x =180 ° 10 x
x =
=180
180 10
x =18
U'* 7+9 d+!+5*d* r++,/*9*,o! r+!o/7+,o! (*d* 4'gu/o. AOD < 2=1B < 36 DOC < "=1B < F0 COD < 3=1B < "
2. H*//*r /o! (o,/+,+'to! d+ /o! !igui+'t+! 4'gu/o!: Rt* d++,o! t+'+r +' (u+'t* u+ +' +/ !i!t+,* !+=*g+!i,*/ 1 Jgr*doK ti+'+ 60 J,i'uto!K u' ,i'uto ti+'+ 60 J!+gu'do!K. E/ (o,/+,+'to d+ u' 4'gu/o AO$ +!t4 d*do or R ¿ AOB . d+ do'd+ *K 1B< F01B < &2 K 36"2< BF6036 "2 < "3 B
(K B3F1" < BF "F 60 B 3F 1"<1 20 "
3. E'(o'tr*r /o! !u/+,+'to! d+ /o! !igui+'t+! 4'gu/o!: Rt* 1*. 3.1 r*d < 1&F.F1 gr*do !+=*g+!i,*/ 1. F.2 r*d < "2F.1 gr*do !+=*g+!i,*/ 1(. 6.2B r*d < 3"F.B2 gr*do !+=*g+!i,*/
2*K &B !u (o,/+,+'to +! 102 2K F2 1" < F2.2" !u (o,/+,+'to +! B&" < B&.&" 2(K 123 F1" < 123.1" !u (o,/+,+'to +! "6"10 < "6.B"
. i +/ ∠AO$ +! r+(to ∠AOC ∠$OC +!t4' +' r+/*(i)' :" ?(u4'to 7*/+ (*d* 4'gu/o@
Rt* < ∠$OC < R∠AOC d+ do'd+
"∠AOC < JR∠AOCK .: F∠AOC < R % ∠AOC
<
4 R 9
=
360 ° 9
= 40 °; ∠ BOC =90 ° − 40 ° =50 °
". i +/ ∠AOD +! r+(to ∠AO$<2=> ∠$OC<3=> ∠COD<= ?(u4'to 7*/+ (*d* 4'gu/o@
Rt* /o !o/u(io'*,o! or ,+dio d+ u'* +(u*(i)' d+ ri,+r gr*do (o' u'* i'()g'it* do'd+: 2= 3= = < F0 S'gu/o AO$< 2=< 2J10K< 20 F= < F0 <10 S'gu/o $OC< 3=< 3J10K< 30 =< F0 S'gu/o COD< =< J10K< 0
6. !i ∠$OC<2∠AO$;*//*r: ∠AO$∠COD
∠
Rt*
BOC + ∠ AOB =180 °
=2 x ; ∠ AOB = x
∠ BOC
2 x + x =180 °
3 x
=180 °
x =
180 ° 3
x =60 ° ∠
BOC =2 ( 60 ° )=120 °
AOB =60 °
∠
Lo! 4'gu/o! AO$ % COD */ !+r ou+!to! or +/ 78rti(+ !o' 4'gu/o! igu*/+!. ∠ AOB
=∠ COD
AOB =60 °
∠
∠ COD
=60 °
&. i ∠MON ∠ NOP +!t4' +' /* r+/*(i)' * " ?(u4'to ,id+ (*d* u'o@
Rt* !*+,o! i+' u+ ( < = ∠ NOP < "=
Por /o t*'to: = "= < 1B0 +!to ui+r+ d+(ir u+ /* !u,* d+ +!to! do! +! F=<1B0 180
<
9
= 20
or /o t*'to =< 20
U'* 7+9 d+!+5*d* = ro(+d+,o! * r++,/*9*r ∠ NOP<J20K
∠MON<"J20K < 100
8. Hallar el ángulo que es igual a su complemento
Rt**+,o! u+ do! 4'gu/o! !o' (o,/+,+'t*rio! (u*'do /* !u,* d+ !u! ,+did*! < F0 Por /o t*'to ==
9. Encontrar el ángulo que es el doble de su complemento
Rta/ 2JK<0
2JF0=K<0 1B02= <0 1B0<2= 1B02<= =
10. U' 4'gu/o !u (o,/+,+'to +!t4' +' r+/*(i)' " * ;*//*r di(;o 4'gu/o !u (o,/+,+'to.
Por /o t*'to: =
"
< F0=
Mu/ti/i(*,o! = < " J F0 = K = < "0 " = = "= < "0 F= < "0 =< "0 F =<"0 E/ *'gu/o ,id+ "0 !u (o,/+,+'to : F0 = < F0 "0 < 0
11. Dos ángulos están en relación 3 a 4 su suma es igual a !"#. Hallarlos.
Rt* <3 =<&0 gr*do! =<30 gr*do! <0 gr*do!
1$. Dos ángulos se encuentran en relación 4 a 9 su suma es igual a 13"#. Hallarlo s
Rt* !*+,o! u+ /* !u,* d+ /o! do! *'gu/o! !o' 130 or /o t*'to F<13 x 4 = 130 ° − x 9 9 x
=4 (130 °− x )
9 x =520 ° − 4 x
13 x
x =
=520 °
520 ° 13
<0
130 0 < F0 Por /o t*'to +/ *'gu/o A ,id+ 0 +/ *'gu/o $ ,id+ F0
13. Lo! /*do! d+ u' tri4'gu/o ,id+' 6 & F (,. Co'!truir +/ tri4'gu/o (*/(u/*r !u +r-,+tro !u !+,i+ri,+tro. Rt*
2< *(< F & 6 < 22 (, +r-,+tro do'd+ 11 (, J!+,i+r-,+troK
%os lados de un triángulo miden 3&4 ' pulgadas. (onstruir el triángulo calcular su per)metro su semiper)metro tanto en pulgadas como en cm *tomar como +alor de la pulgada $&'4 cm,.
Rt* ri,+ro u+ todo /*! ,+did*! d+ /o! /*do! /* *!*,o! * u/g*d*! !+g' +/ 7*/or d*do +/ (u*/ +! 2"(, 3=2."<&62 (, = 2"<1016 (, " = 2" <12& (,
A;or* ;*//*,o! +/ +r-,+tro &62101612& < 30.B % +/ !+,i+ri,+tro +! /* ,it*d d+/ +r-,+tro or /o t*'to /o r+!o/7+,o! *!30.B2 < 1".2 (,
1'. (onstruir un triángulo que tenga un ángulo que mida -"# los lados que lo orman midan 3 4 pulgadas. ra0ar las tres medianas sealar el baricentro.
Rt* ri,+ro ;*//*,o! /o! (, +' /*! u/g*d*! *!-: 3 u/g*d*! = 2"(, < &62 (, u/g*d*! = 2" (, < 1016 (,
Pro(+d+,o! * ;*(+r/o +' g+og+r*
1-. (onstruir un triángulo que tenga un lado que mida 4 pulgadas los ángulos adacentes midan 4"# '" #. ra0ar las bisectrices sealar el incentro.
Rt* *!- (o,o +/ *'t+rior *!*,o! d+ u/g*d*! * (,. = 2" (, < 1016 (, A;or* ro!+gui,o! * u!*r g+og+r* *!-
1!. (onstruir un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida - cm un ángulo agudo de '"#& dibu2ar las tres mediatrices. Rta/
18. (onstruir un triángulo rectángulo que tenga una ipotenusa que mida ' cm un ángulo que mida 4'#. Dibu2ar las tres medianas.
Rt*
19. Dos ángulos de un triángulo miden 4" 3" # respeti+amente. (uánto mide el tercer ángulo cada uno de los ángulos e5teriores6
Rt* !*+,o! u+ +' tot*/ +/ *'gu/o d++ d+ !+r d+ 1B0 or /o t*'to /+ r+!t*,o! /o! 7*/or+! u+ * !*+,o! *!- 'o! *rro5*r4 +/ r+!u/t*do. 0 30 < 1B0 1B0 J0 30K <= 1B0 &0 < =
110 < = P*r* !*+r (u4'to ,id+' /o! 4'gu/o! +=t+rior+! !o/o r+!t*,o! * 1B0 /o! 7*/or+! u+ * t+'+,o! *!-: 1B0 0 < 10 +/ ri,+r 4'gu/o +=t+rior 1B0 30 < 1"0 +/ !+gu'do 4'gu/o +=t+rior 1B0 110 < &0 +/ t+r(+r 4'gu/o +=t+rior
$". %a apotema de un cuadrado inscrito en una circunerencia de 3 m de radio si el lado 3 √ 2
del cuadrado mide
m.
Rt* *r+'d- u+ /* *ot+,* +! d+ u' (u*dr*do +! igu*/ * 1
a = por lotanto solo cambio el valor superior 2
a=
3 √ 2 2
=
4.2426406871 2
=2.1213203436
$1. (alcular la apotema de un triángulo equilátero inscrito en una circunerencia de ' m de radio& si el lado del triángulo mide
5 √ 3
m.
√ Rt* E' +!t+ (*!o /* *ot+,* d+ u' tri*'gu/o +ui/4t+ro (orr+!o'd+ * ap = 6 .? 3
+'(i//*,+'t+ /o *'t+rior /o ,u/ti/i(o or +/ 7*/or u+ 'o! d*' u+d*'do *!-: √ 3 .5 6
√ 3 =loque nosda como resultado2.5
$$. 7abiendo que el lado del octágono regular inscrito en una circunerencia de - m de radio es igual a -
√ 2−√ 2 m & allar el lado del pol)gono regular de 1- lados inscritos
en la misma circunerencia.
Rt* Ar+'d- u+ /* )r,u/* d+/ /*do d+/ o/-go'o d+ do/+ ',+ro d+ /*do! l2 n=√ 2 r −r √ 4 r −l n ; 2
2
2
% or otro /*do /* d+/ o(t4go'o +!
√
6 = 2 −√ 2 m , r =6 m
y n =16
*!- u+ r+(+d+,o! *
r+*/i9*r /* !igui+'t+ o+r*(i)': 2 6
¿ ¿ 2 2− √ ¿
¿ ¿
( ) 2 ( 6 ) −6 √ ¿ l =√ 2 r −r √ 4 r −l = √ 2 ( 6 ) − 6 √ 4 ( 6 ) − 6 √ 2 −√ ¿ 2
4 6 −¿ 2
2
16
2
2
2
2
2
6
❑
¿=√ ¿
6
¿ ¿ 2
− √ ¿ ¿ ¿ ¿
2
2
−¿ 2 ( 6 ) −¿ √ ¿ 4
2
$3. 7i el lado del e5ágono regular inscrito en una circunerencia de 9 m de radio es igual a 9 m& allar el lado del e5ágono regular circunscrito a la misma circunerencia.
Rt* uti/i9*,o! /* !igui+'t+ )r,u/*:
l n=
2 rl 6
√ 4 r −l n 2
2
A;or* t+'+,o! +/ /*do d+ ;+=4go'o r+gu/*r i'!(rito l6=r =9 m, r =9 m , y n= 6 por lo tanto …
l 6=
2 rl 6
√
2
= 2
4 r − l6
2r
√ 4 r
2
2
−r
= 2
2r
2
r √ 3
=
2r
√ 3
=
( ) √ 3
2 9
3
=6 √ 3 m=10.39 m.
$4. 7i el lado del cuadrado inscrito en una circunerencia de ! m de radio es igual a 7 √ 2
m& allar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunerencia.
Rt* !*+,o! L<2r Por /o t*'to r++,/*9*,o! L<2J& √ 2 ¿=7 x 2 =14 m
$'. El per)metro de un cuadrado inscrito en una circunerencia es
20 √ 2
m & allar le
diámetro de esta circunerencia. Rta/
*+,o! u+ +/ +r-,+tro +! 202 +/ /*do d+/ (u*dr*do +! "2 d+ do'd+ *ir,*,o!
u+ !u di*go'*/ u+ +! * /* 7+9 di4,+tro d+ /* (ir(u'+r+'(i* ,id+ 10.
$-. 7i el per)metro de un e5ágono regular inscrito en una circunerencia es igual a 48 cm& calcular el diámetro de dica circunerencia.
Rt* !+ +'ti+'d+ u+ u' ;+=4go'o ti+'+ !+i! /*do! or /o t*'to t+'+,o! u+ +/ +r-,+tro d+ +!t+ ;+=4go'o +! d+ B (, or /o t*'to di7idi,o! B (, +'tr+ 6 J/*do!K 'o! d* (o,o r+!u/t*do B B6 < B
*;or* *r* ;*//*r +/ di4,+tro ,u/ti/i(*,o! or do! +/ r+!u/t*do B=2<16
$!. (alcular el lado del octágono regular inscrito en la circunerencia cuo radio es igual
√ 2+ √ 2
m.
Rt* !*+,o! u+ u'* (ir(u'+r+'(i* ,id+ 360 or /o t*'to /* di7idi,o! +' +/ 'u,+ro d+ (*r*! d+/ o(t4go'o *!l 2
=22 ° 30 !
2
=360 ° / 8= 45 °
= √ 2 + √ 2
1.8477
( sen 22 ° 30 ! ) =¿
( sen 22 ° 30! )=0.7011
=1.40
2B. E/ /*do d+/ d+(4go'o r+gu/*r i'!(rito +' u'* (ir(u'+r+'(i* (uo di4,+tro ,id+ 22 √ 5 ,.
Rt* +' +!t+ (*!o di7idi,o! 22 √ 5 , +'tr+ 2 u+d*'do *!-: $$ √ 5 m-.4!$ -.4!$/$ 3.$3-
A;or* !*+,o! u+ u' d+(4go'o ti+'+ 10 /*do! or /o t*'to di7idi,o! 360 J(ir(u'+r+'(i*K +'tr+ /o! /*do! J10K Por /o t*'to 'o! d* (o,o r+!u/t*do 30
O 2
2
=
36 ° 2
= 13 °
=3.24 "sen 13 ° = 0.728
=1.45
$9. (alcular el lado del decágono regular inscrito en una circunerencia cuo radio mide 2 + √ 3 m
Rt* ;*(+,o! +/ ,i!,o ro(+di,i+'to d+/ *'t+rior. 36010< 36 A;or* 36 2 <13 2
=2 + √ 3 "sen 13 ° =3.732 "sen 13 ° =0.8395 =1.679
Co'(/u!i)'
D+!u8! d+ r+*/i9*r +!t* t*r+* ,+ di (u+'t* !or+ /* i,ort*'(i* d+ (o'o(+r /*! igur*! g+o,8tri(*! * u+ +! */go u+ +!t4 ,u u'ido * 'u+!tr* 7id* 'o! to*,o! (o' +//*! d-* * d-* /*! 7+,o! do'd+ ui+r* u+ 'u+!tr* 7i!t* !+ diri5* +!t*,o! +' /+'o (o't*(to (o' +//*!.
H+,o! /ogr*do (r+*r igur*! 'u+7*! * *rtir d+ /*! * +=i!t+'t+! /o ,4! i,ort*'t+ +! u+ ;+,o! *r+'dido * id+'tii(*r/*! 'o !)/o +' i,4g+'+! !i'o u+ t*,i8' +' o5+to! (r+*do! or +/ ;o,r+ + i'(/u!o or Dio!.
A *rtir d+ !+'(i//o! ro(+!o! od+,o! (o'o(+r /*do! 4'gu/o! d*to! u+ !+ r+ui+r+'.
L* ;+rr*,i+'t* g+og+r* !i' dud* */gu'* +r,it+ (r+*r tr*9o! +=*(to! /o! (u*/+! *(i/it*' +/ ro(+!o d+ *r+'di9*5+.
$i/iogr*i*
,*t+,*ti(*.(u*+du(*.(u,+di*!i't+r*(ti7id*d+!.../*'*!...igur*!#/*'*!#.;t,/ 1. ;tt!:+!.!(rid.(o,do("60F336I'trodu((io'*/*GEOMETRIAPLANA ;tt!:+!.!(rid.(o,do("60F336I'trodu((io'*/*GEOMETRIAPLANA