Geometría Plana
Índice 1. Objetivos 2. Geometría plana 3. Operaciones con segmentos 4. Problemas de auto evaluación 5. Proporcionalid Proporcionalidad ad . !ndicaciones ". #ngulos $. %eoremas &. Problemas 1'. Problemas de autoevaluación
1. Objetivos Cognitivo:
1.- Comprender los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen a la geometría axiomática. 2.- Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de raonamientos.
!rocedimental: 1.- "ani#estar $a%ilidades para deducir, demostrar teoremas y pro%lemas de aplicación. 2.- Correlacionar, y organiar los di#erentes su%temas de estudio y su verdadera utiliación.
&ctitudinales: 1.- 'esarrollar, con#iana en sus $a%ilidades matemáticas y lógicas puestas al servicio de las distintas demostraciones. 2.- &lcanar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana.
2. Geometría plana (ntroducción Conceptos )undamentales * (mportancia 'el *studio 'e +a eometría
!roposición *s un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los trminos verdadero o #also. +as proposiciones más comunes que se utilian son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios. &xiomas *s una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento. !ostulados *s una proposición aceptada como verdadera. & di#erencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se $an constituido al aar, sino que $an sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría eorema *s la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una ve que el teorema se $a pro%ado se lo puede utiliar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados. /n teorema consta de: $ipótesis y tesis: 0ipótesis: son las condiciones o datos del pro%lema esis: esis: es la propiedad prop iedad a demostrarse. Corolario *s la consecuencia de un teorema demostrado. aonamiento +ógico Cuando una persona se empea en una 3re#lexión clara4 o en una re#lexión rigurosa, está empleando la disciplina del raonamiento lógico. 'emostraciones *s un conjunto de raonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados.
2
!rocedimental: 1.- "ani#estar $a%ilidades para deducir, demostrar teoremas y pro%lemas de aplicación. 2.- Correlacionar, y organiar los di#erentes su%temas de estudio y su verdadera utiliación.
&ctitudinales: 1.- 'esarrollar, con#iana en sus $a%ilidades matemáticas y lógicas puestas al servicio de las distintas demostraciones. 2.- &lcanar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana.
2. Geometría plana (ntroducción Conceptos )undamentales * (mportancia 'el *studio 'e +a eometría
!roposición *s un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los trminos verdadero o #also. +as proposiciones más comunes que se utilian son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios. &xiomas *s una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento. !ostulados *s una proposición aceptada como verdadera. & di#erencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se $an constituido al aar, sino que $an sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría eorema *s la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una ve que el teorema se $a pro%ado se lo puede utiliar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados. /n teorema consta de: $ipótesis y tesis: 0ipótesis: son las condiciones o datos del pro%lema esis: esis: es la propiedad prop iedad a demostrarse. Corolario *s la consecuencia de un teorema demostrado. aonamiento +ógico Cuando una persona se empea en una 3re#lexión clara4 o en una re#lexión rigurosa, está empleando la disciplina del raonamiento lógico. 'emostraciones *s un conjunto de raonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados.
2
/na demost demostrac ración ión %ien %ien ela%or ela%orada ada solo solo puede puede %asars %asarse e en propos proposici iciones ones antes antes demost demostrad radas, as, la demostr demostraci ación ón tam%i tam%in n es necesa necesaria ria para para #undame #undamentar ntar la general generalida idad d de la propos proposici ición ón que se demuestra. !or medio de las proposiciones, las verdades geomtricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos cientí#icos. "todos 'e 'emostraciones "todo (nductivo *s un raonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para o%tener mediante ellos una verdad general. "todo 'eductivo *s un raonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para o%tener mediante ellos una verdad particular. +a mayoría de los pro%lemas geomtricos se demuestran usando el mtodo deductivo. !rocedimiento 'e /na 'emostración +a demostración #ormal de un teorema consiste en cinco partes a) b) c) d) e)
*l enunciado del teorema. 0acer un grá#ico que ilustre el teorema. /na a#irmación de lo que es el dato 5s6 en trminos del grá#ico 5$ipótesis6. /na a#irmación de lo que de%e pro%arse 5tesis6. 'emostración: *s una serie de raonamientos lógicos esta%lecidos mediante de#inición, axiomas y postulados aceptados y teoremas pro%ados en anterioridad. oda demostración de%e constar de a#irmaciones y raones.
(mportancia 7!or qu estudiar geometría8 *l alumno que empiea a estudiar geometría, puede preguntar con toda raón: 79ue es la geometría8 79ue gano con estudiarla8. /no de los %ene#icios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio al escuc$ar leer y pensar. Cuando estudia estudia geometría, deja de aceptar aceptar a ciegas proposicion proposiciones es e ideas y se le ensee a pensar en #orma clara y critica, antes de $acer conclusiones. tro es el adiestramiento en el uso exacto de idioma y en la $a%ilidad para analiar un pro%lema nuevo, para di#erenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia, originalidad y raonamiento lógico para resolver el pro%lema. +os estudiantes de%en conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos $an aportado a nuestra cultura y civiliación.
3. Operaciones con segmentos !unto *lemento geomtrico que tiene posición pero no dimensión, sin em%argo las pala%ras posición y dimensión no se de#inen, por lo tanto la pala%ra punto no se de#ine. epresentación ra#ica ;e lo $ace por medio de una marca 5 . o x 6 'enominación !or medio de una letra may
C5x, y, 6
ecta 3
*s una #igura geomtrica, en la cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos> se prolonga inde#inidamente en am%as direcciones. epresentación ra#ica 'enominación !or medio de dos letras may
&=
+
!untos Colineales ;on los puntos, elementos de una misma recta. !lano /n plano está determinado por: a) res puntos no colineales. b) /na recta y un punto externo. c) 'os rectas que se intersecan. d) 'os rectas paralelas. epresentación ra#ica 'enominación
!or medio de letras may
;egmento +a parte de la recta &= entre & y =, incluido los puntos & ? = se llama segmento. epresentación ra#ica &
=
'enominación !or los extremos del segmento: &=
4
*l n
&
=
9
m !9 @ m!& A m&= A m=9 m &! @ m!= B m&! m&= @ m!9 B m!& B m=9 !ro%lemas:
16
&
"
=
!
!" @ !& B &"
06 &" @ "= !& A =! 6 !" @
2!" @ !& A !"
P( ) P* P+ , 2
26
&
!
"
= 06 &" @ "= != - !&
!" @ =! B "= !" @ -!& A "& 2!" @ =! B !&
6 !" @ 2
*P - P( P+ , 2 6 ;o%re un recta se toman los puntos &, =, C, ', *, ), consecutivamente, de modo que =* @ DEF &). Calcular &) sa%iendo que: &C A =' A C* A ') @ Gu. 06
=* @ DEF&) &C A =' A C* A ') @ Gu &C A =' A C* A '* A *) @ Gu
6
&) @ &) A =' A '* @ Gu &) A =* @ Gu 5
&) A DEF&) @ Gu 1EF&) @ Gu ( , 2
H6 &
=
C
'
*
) 06 &= @ =C '* @ *)
=* @ &' B &= A '* 2=* @ &' A )C
6 =* @ 2
(/ ) 0 * , 2
D6
&
=
C
"
'
&" @ =C A C' B &C A&" - "' &" @ &= A 2&C B &C A&"-"' (+ , (* ) (0
I6
&
=
C
06 &= @ =C C' @ 2&C &" @ "' 6 &" @ &= A &C
'
&C A C' 06 &= @
2
=' - 2=' A 1 @ J 5=' B 165=' B 16@ J =' @ 1
2 =' - 2=' A 1 @ J 2
6 &' @ 8
&= @ &' - =' &= @ &'E2 2&= @ &' 25&' B ='6 @ &' 2&' B 2 @ &' -2 @ - &' 2 , (/
K6
&
&C @ &= A =C
=
C
'
06 =C @ C' 6 &C2 @ &= . &' A =' 2 H
&C @ &' B C' 2&C @ &= A &' 6
2&C @ &= A &= A =' 52&C62 @ 52&= A ='6 2 H&C 2 @ H&=2 A H&=.=' A =' 2 &C2 @ H&=2EHA H&=.='EH A =' 2EH &C2 @ &=2 A &=.=' A =' 2EH &C2 @ &=2 A &=5&' B &=6 A ='2EH &C2 @ &=2 A &=.&' B &= 2 A ='2EH (02 , (*.(/ ) */2 4
F6
&
=
"
&= @ &" - =" &C @ &" A "C &=2 @ 5 &" B =" 62 &C2 @ 5 &" A "C 62
C 06 "= @ "C 6 &=2 A &C2 @ 25&"2 A ="26
&=2 @ &" 2 B 2&".=" A ="2 &=2 A &C2 @ 2&"2 A 2="2
(*2 ) (02 , 2(+2 ) *+2
&C @ &= A =C &C @ &' - C' 2&C @ &= A &' 2&C @ &= A &= A =' 2&C2 @ 5 2&= A =' 6 2 H&C2 @ H&=2 A H&=.=' A =' 2 &C2 @ &=2 A &=.=' A='2EH &C2 @ &=2 A &= 5&' B &=6 A =' 2EH &C2 @ &=2 A &=.&' B&=2 A='2EH &C2 @ &=.&' A ='2EH
&= @ a &C @ m &' @ % 6
m @ a% A 5% B a62EH
m , ab ) b - a2 4
16
&=.=C @ 2&'.=C &=5&' B &C6 @ 2&'5&C B &=6 &=.&' B &=.&C @ 2&'.&C B 2&'.&= &=.&' A 2&'.&= B &=.&C @ 2&'.&C &=.&' @ &=.&C A &'.&C &=.&' @ &C5&= A &'6 E&C @ 2&'E&=.&' A &=E&=.&'
6 2E&= A 1E&' @ E&C 026 &=.C' @ K=C.&' 6 1E&' A KE&= @ FE&C
7
3(0 , 2(* ) 1(/ 26
&=.C' @ K=C.&' &=5&' B &C6 @ K5&C B &=6&' &=.&' B &=.&C @ 5K&C B K&=6&' &=.&' B &=.&C @ K&C.&'.K&=.&' F&=.&' @ K&C.&' A &=.&C F&=.&' @ &C5K&' A &=6 FE&C @ K&'E&=.&' A &=E&=.&' $(0 , "(* ) ((/
116
&
=
C
'
&C A =' A C* @ HHu &* B C* A &* B &= B '* A C* @ HHu 2&* B &= B2&= @ HHu 252Du6 B &= @ HHu DJu B &= @ HHu - &= @ HHu BDJu &= @ -I E - (* , 2
* 06 &C A =' A C* @ HHu &* @ 2Du '* @ 2&= 6 &= @ 8
4. Problemas de auto evaluación (ndicaciones: 1 6 *studie el capítulo y luego conteste cada numeral. 2 6 +a evaluación de la prue%a es de H puntos cEu. otal 2J E 2J 6 ;i alg
nuevamente el
Cuestionario 1.- ;ea una recta en la se tima los puntos &, =, C, y ', de tal manera que: a &= A =C @ 2F m. Calcular la longitud del segmento "C, si m es el punto medio de &= Solución: x = 14m
2.- *n una recta sean los puntos consecutivos &, =, C, ' y *> tal que ) sea el punto medio de &= y punto medio de '*. &demás &= @=C y C' @ '*. am%in &= A '* @ 1J. Calcular ). Solución: FG = 15
.- *n una recta, se toman los puntos consecutivos &, =, C, ', de tal manera que &C @ 2F y =' @ I. Calcular la longitud del segmento "L, siendo " y L !untos medio de &= y C', respectivamente. Solución: MN = 32
H.- *n una recta se toman los puntos consecutivos &, =, C y ', de tal manera que :1E &= A 1E&' @ 2E&C donde &= @ 2, C' @ . Calcular la longitud =C. Solución: BC = 1 8
D.- en una recta se dan los puntos consecutivos &, =, C y '. 0allar &', sa%iendo que &C A =' @ 1Im, y =C @ Hm. Solución: AD = 12m
5. Proporcionalidad aón *s una comparación de una cantidad respecto a otra cantidad semejante, el resultado es un n
ayd %yc ayc %yd
!ropiedades 'e +as !roporciones a6 *n una proporción pueden invertirse las raones ;i aE% @ cEd, entonces %Ea @ dEc. !or ejemplo 2E @ FE12 E12 @ 12EF %6 *l producto de los extremos es igual al producto de los medios. ;i aE% @ cEd, entonces ad @ %c. !or ejemplo ;i DEK @ 1JE1H KJ @ KJ c6 *n una proporción a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su respectivo antecedente. ;i aE% @ cEd, entonces 5aA%6 E % @ 5cAd6 E % o aE 5aA%6 @ c E 5cAd6 *jemplo: ;i HED @ 2JE2D HADED @ 2JA2DE2D o HEHAD @ 2JE2DA2J d6 *n una proporción a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su respectivo antecedente. 9
;i aE% @ cEd, a-%E% @ c-dEd o aE%-a @cEd-c *jemplo: ;i KE @ 1HEI K-E @ 1H-IEI o KE-K @ 1HEI-1H e6 *n una serie de raones iguales, la suma de los antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo consecuente. ;i aE% @ cEd @ eE# @ ..... aAcAeA ... E %AdA#A ... @ aE% @ cEd @ eE# @... *jemplo: 1E2 @ EI @ 12E2H 1AA12E2AIA2H @ 1E2 @ EI @ 12E2H. 'ivisión (nterna 'e /n ;egmento Consiste en localiar un punto en el interior de un segmento, tal que #orme dos segmentos que están en una raón dada, mEn &
!
=
&!E!= @ mEn
;olución ra#ica !rimer caso. 5mEn 16 'atos: &= y
m
n
;egundo Caso. 5mEn 16 'atos : &= y
n
m
1
ercer caso. 5mEn @ 16 m 'atos : &= y
n
;olución &nalítica 'atos : Coordenadas de & y = y relación mEn
& x1
! x
= x2
&)("&C(L*;
&ML*;
&!E!= @ mEn ............. )ormando proporciones &!A!=E!= @ mAnEn ............. !ropiedad de las proporciones &=E!= @ mAnEn ............. ;uma de segmentos != @ n &=EmAn ............. 'espejando &= x @ x2 B != ............. ;eg
m
n
;olución ra#ica
11
;olución &nalítica 'atos : Coordenadas de los puntos & y = y la relación mEn 1 &#irmaciones
aones
&9E=9 @ mEn &9-=9E=9 @ m-nEn &=E=9 @ m-nEn =9 @ n &=Em-n x @ x2 A =9
................ ................ ................ ................ ................
)ormando !roporciones !ropiedad de las proporciones ;uma de segmentos 'espejando =9 !or grá#ico
;egundo caso. ;i 5mEn 16 'atos : &=
y
m
n
;olución ra#ica
;olución &nalítica &#irmaciones
aones
&9E=9@ mEn &9 B =9E=9@ m-nEn -&=E=9@ -5n-m6En =9@ n &=En-m x@ x2 - =9
................. ................. ................. .................
)ormando !roporciones !ropiedad de las !roporciones peración de segmentos 'espejando =9
ercer Caso. ;i mEn @ 1 'atos:
&=
y
m@n
;olución ra#ica
12
;olución &nalítica Lo existe localiado un punto en el exterior del segmento por que lar rectas traadas son paralelas. 'ivisión &rmónica 'e /n ;egmento Consiste en dividir un segmento interno y externamente de una misma raón. ;i ! y 9 dividen armónicamente al segmento &=, se tiene:
&
!
9
&
=
9 !
=
&!E!= @ &9E=9 @ mEn *n la división armónica de%e veri#icarse la división interna y externa.
!ro%lemas: 16 ;i ! y 9 dividen armónicamente al &=, entonces la relación correcta es: a6 &!E!= @ &=E=9 e6 L(L/L&
%6 !=E&! @ =9E&9
&
!
c6 &=E!= @ &9E=9
=
9
;olución : %6 !=E&! @ =9E&9 26 'ado un &= de coordenadas 5 -1DG> 1I 6 , encontrar las coordenadas de los puntos que dividen segmento en cinco partes de igual medida. & -1DG
-1JJ
-H1
1F
KK
el
= 1I
6 'ado un &= de coordenadas 5 -IG > G1 6 , encontrar la coordenada del punto ! que divide internamente 06 m @ K, n @ 1 al &= en relación KE1. mEn 1 &=@ KIJ &#irmaciones 6 N @ 8 1.- &!E!= @ mEn 2.- 5&! A !=6E!= @ 5m A n6En .- &=E!= @ 5m A n6En H.- != @ &=.nEm A n D.- != @ 5KIJ . 16EK A 1 I.- != @ HGH K.- N @ N2 B != F.- N @ G1 B HGH G.- N @ -1J
&
!
=
aones )ormando proporciones &plicando ley de las proporciones ;uma de segmentos 'espejando != emplaando $ipótesis peraciones 'i#erencia entre el punto #inal y != emplaando a#irmación I, e $ipótesis peraciones 13
H6 'ado un &= de coordenadas 5-11 > 2JK 6 , encontrar la coordenada de un punto ! que divide internamente al &= en relación 2KE1. 06 m @ 2K, n @ 1 & ! = mEn 1 &= @ 2J &#irmaciones aones 6 N @ 8 1.- &!E!= @ mEn )ormando proporciones 2.- 5&! A !=6E!= @ 5m A n6En &plicando ley de las proporciones .- &=E!= @ 5m AnE6n ;uma de segmentos H.- !=@ &=.nEm A n 'espejando != D.- != @ 52J . 16E2K A 1 emplaando $ipótesis I.- != @ 1JH peraciones K.- N @ N2 B != 'i#erencia entre el punto #inal y != F.- N @ 2JK B 1JH emplaando a#irmación I, e $ipótesis G.- N @ 1J peraciones D6 'ado un &= de coordenadas 5 -11K> I6 , encontrar la coordenada de un punto 9 que divide externamente al &= en relación KE1G. 06 m @ K, n @ 1G & = 9 &= @ 1FJ 6 N @ 8 &#irmaciones aones 1.- &9E&= @ mEn 2.- 5&9 B 9=6E9= @ 5m B n6En .- &=E9= @ 5m B n6En H.- 9= @ &=.nEm Bn D.- 9= @ 51FJ . 1G6EK B 1G I.- 9= @ 1GJ K.- N @ N2 B 9= F.- N @ I B 1GJ G.- N @ - 12K
)ormando proporciones &plicando ley de las proporciones ;uma de segmentos 'espejando 9= emplaando $ipótesis peraciones 'i#erencia entre el punto #inal y 9= emplaando a#irmación I e $ipótesis peraciones
I6 'ado un &= de coordenadas 5 -IG > FK 6 , encontrar la coordenada de un punto 9 que divide externamente al &= en relación 2EHK. 06 m @ 2, n @ HK mEn 1 &= @ HDI 6 N @ 8 &#irmaciones 1.- &9E9= @ mEn 2.- 5&9 B 9=6E 9= @ 5m B n6En .- -&=E9= @ 5m B n6En H.- &=E9= @ 5n - m6En D.- 9= @ &=.nEn B m I.- 9= @ 5HK . HDI6EHK B 2 K.- 9= @ FG F.- N @ N2 B 9= G.- N @ FK B FG 1J.- N @ - DJI
9
&
=
aones )ormando proporciones &plicando ley de las proporciones ;uma de segmentos "ultiplicando por -1 'espejando 9= emplaando $ipótesis peraciones 'i#erencia entre el punto #inal y 9= emplaando a#irmación K e $ipótesis peraciones
K6 'ado un &= de coordenadas 5-IG> FK6 encontrar las coordenadas de los puntos ! y 9 que dividen al &= en relación, GE1K, armónicamente. 14
06 m @ G, n @ 1K mEn 1 6 N @ 8 &#irmaciones
&
!
aones
1.- &!E!= @ mEn 2.- 5&! A !=6E!= @ 5m B n6En .- &=E!= @ 5m A n6En H.- != @ &=.nEmAn D.- != @ 51K . KDI6E G A 1K I.- != @ 22G,D K.- N @ N2 B != F.- N @ FK B 22G,D G.- N @ 1DK,D 1J.- &9E9= @ mEn 11.- 5&9 B 9=6E9= @ 5m B n6En 12.- &=E9= @ 5m B n6En 1.- 9= @ &=.nEm-n 1H.- 9= @ 5KDI . 1K6EG B 1K 1D.- 9= @ DFH,1F 1I.- NO @ N2 A 9= 1K.- NO @ FK A DFH,1F 1F.- NO @ GK1.GF
)ormando proporciones &plicando ley de las proporciones ;uma de segmentos 'espejando != emplaando $ipótesis perando 'i#erencia entre el punto #inal y != emplaando a#irmación I e $ipótesis perando )ormando proporciones &plicando ley de las proporciones ;uma de segmentos 'espejando 9= emplaando $ipótesis perando ;uma entre el punto #inal y 9= emplaando a#irmación 1D e $ipótesis peraciones
=
9
F6 'ado un &= de coordenadas 5-KDG> FI6, encontrar las coordenadas de los puntos ! y 9 que dividen armónicamente al &= en relación 11E2G 06 m @ 11, n @ 2G mEn 1 6 N @ 8 &#irmaciones aones
9
&
1.- &!E!= @ mEn 2.- 5&! A !=6E=! @ 5m A n6En .- &=E=! @ 5m A n6En H.- != @ &=.nEm A n D.- != @ 51I22 . 2G6E11 A 2H I.- != @ 11KD,GD K.- N @ N2 B != F.- N @ FI B 11KD,GI G.- N @ -12,GD 1J .- &9E =9 @ mEn 11.- 5&9 B 9=6E9=@ 5m B n6En 12.- -&=E9= @ 5m B n6En 1.- &=E9= @ 5n B m6En 1H.- 9= @ &=.nEn B m 1D.- 9= @ 51I22 . 2G6E2G B 11 1I.- 9= @ 2I1,22 1K.- NO @ N2 B 9= 1F.- NO @ FI B 2I1,22 1G.- NO @ -1KKK,22
)ormando !roporciones &plicando ley de las proporciones ;uma de segmentos 'espejando != emplaando $ipótesis perando 'i#erencia entre el punto #inal y != emplaando a#irmación I e $ipótesis perando )ormando proporciones &plicando ley de las proporciones ;uma de segmentos "ultiplicando por -1 'espejando 9= emplaando $ipótesis peraciones 'i#erencia entre el punto #inal y 9= emplaando a#irmación 1I e $ipótesis perando
G6
=
!
&
!
=
C
06 !& @ 1Ju != @ Ju 15
&CED @ =CE 6 !C @ 8 &#irmaciones
aones
1.- &CED @ =CE 2.- !C B !&ED @ !C B !=E .- !C B 1JuED @ !C B JuE H.- D!C B 1DJ @ !C B J D.- !C @ IJ
!or $ipótesis peraciones con segmentos emplaando $ipótesis ransposición de trminos 'espejando !C
1J6 'ado un &= de coordenadas 5 -IG > 1F 6 , encontrar la relación mEn, si != @ HG 5! divide internamente al &=6 06 != @ HG &= @ 2D2 6 mEn @ 8 &#irmaciones 1.- &!E!= @ mEn 2.- 5&= B !=6E!= @ mEn .- 52D2 B HG6EHG @ mEn H.- JEHG @ mEn D.- 2GEK @ mEn
&
!
=
aones )ormando proporciones ;uma de segmentos emplaando $ipótesis perando ;impli#icando
116 'ado un &= de coordenadas 5 -HK > KF 6 , encontrar la relación mEn, si &! @ DD 5 ! divide internamente al &=6 06 &! @ DD &= @ 12D 6 mEn @ 8 &#irmaciones 1.- &!E!= @ mEn 2.- &!E5&= B &!6 @ mEn .- DDE512D-DD6 @ mEn H.- DDEKJ @ mEn D.- 11E1H @ mEn
&
!
=
aones )ormando proporciones ;uma de segmentos emplaando $ipótesis perando
126 'ado un &= de coordenadas 5 -K > KD 6 , encontrar la relación mEn 1, si =9 @1D2 59 divide externamente al &=6. 06 mEn 1 &= @ 112 6 mEn @ 8 &#irmaciones
aones
1.- &9E=9 @ mEn 2.- &= A =9E=9 @ mEn .- 5112 A 1D26E1D2 @ mEn H.- 2IHE1D2 @ mEn D.- E1G @ mEn
)ormando !roporciones ;uma de segmentos emplaando $ipótesis peraciones ;impli#icando
&
=
9
16 'ado un &= de coordenadas 5-22F> DI6, encontrar la relación mEn 1, si &9 @ KG1 5 9 divide 06 mEn 1 &= @ KG1
9
&
= 16
6mEn @ 8 &#irmaciones
aones
1.- &9E=9 @ mEn 2.- &9E5&9 A =96 @ mEn .- KG1E5KG1AKG16 @ mEn H.- KG1E1DF2 @ mEn D.- @ mEn
)ormando proporciones ;uma de segmentos emplaando $ipótesis peraciones ;impli#icando
1D6 ;i los puntos ! y 9 dividen armónicamente al &= en relación mEn 1, cuál es la relación mEn si: != @ H2J y =9 @ 1IJKH 06 mEn 1 != @ H2J, =9 @ 1IJKH 6 mEn @ 8 &#irmaciones
aones
1.- &!E!= @ &9E9= @ mEn 2.- NEH2J @ 12IDH B NE1IJKH .- 1IJKHN @ H2KIIFJ B H2JN H.- 1GHGHN @ H2KIIFJ D.- N @ H2KIIFJE1GHGGH I.- N @ 222J K.- 222JEH2J @ mEn F.- 111E1K1 @ mEn
)ormando proporciones ;uma de segmentos. y remplaando $ipótesis &plicando ley de las proporciones ransposición de trminos y operaciones 'espejando N perando emplaando N e igualando con mEn ;impli#icando
9
&
!
=
1I6 ;i los puntos ! y 9 dividen armónicamente al &= en relación mEn 1, cual es la relación mEn si : &= @ KG2 y !9 @ 2KH. 06 &= @ KG2, !9 @ 2KH mEn 1 6 mEn @ 8 &#irmaciones
9
&
!
=
aones
1.- &!E!= @&9E=9 @ mEn )ormando proporciones 2.- NE5KG2-N6 @ 2KH B NE1JII B N emplaando $ipótesis y suma de segmentos .- 1JII B N2 @ 21KJJF B 2KHN A KG2 A N2 +ey de las proporciones. H.- N2 B 1JIIN A N2 B2KHN B KG2N A 21KJJF @ J (gualando a J y multiplicando por -1 D.- 2N B 212N A 21KJJF @ J rminos semejantes 2 I.- N B 1JIIN A 1JFDJH @ J "ultiplicando por P K.- N @ 1JII 1JII2 B H51JFDHH6E2 &plicando #ormula de ecuación de 2do grado F.- N @ 11H,J2 perando G.- NE5KG2 B N6 @ mEn !or a#irmación 1 1J.- 11H,J2E5KG2 B 11H,J26 @ mEn emplaando N 11.- 11H,J2EIKK,GF @ mEn perando 1K6;i los puntos ! y 9 dividen armónicamente al &= en relación mEn 1, cual es la relación mEn si> &= @ DIHJ y !9 @ 12IDH. 06 &= @ DIHJ 9 & ! = != @ 12IDH 6 mEn @ 8 &#irmaciones aones 1.- &!E!= @ &9E=& @ mEn )ormando proporciones 2.- NEDIHJ B N @ 12IDH B NE1F2GH B N emplaando $ipótesis y suma de segmentos .- 1F2GHN BN2 @ K1IFDIJ BDIHJN B12IDHN AN2 &plicando ley de las proporciones 17
H.- N2-1F2GHN AN2AK1IFDIJ -12IDHNADIHJN @J "ultiplicando por -1 e igualando a J D.- 2N2 B IDFFN A K1IFDIJ @ J rminos semejantes I.- N2 B 1F2GH A DIFH2FJ @ J "ultiplicando por P K.- 1F2GH 51F2GH62 B H5DIFH2FJ6E2 &plicando #ormula de ecuación de 2 do grado F.- N @ 222J peraciones G.- NE DIHJ B N @ mEn !or a#irmación 1 1J.- 222JEDIHJ B 222J @ mEn emplaando N 11.- 222JEH2J @ mEn perando 1F6 'ados los puntos & y = de coordenadas 5-2K> 2G6, determinar =; tal que =; 2 @ &=.&; 5; en un punto situado entre & y =6. 06 =;2 @ &=.=; & ; = &= @ DI 6 =; @ 8 &#irmaciones aones 1.- =;2 @ &=.&; !or $ipótesis 2.- =;2 @ &=5&= B =;6 ;uma de segmentos 2 2 .- =; @ &= B &=.=; 'estrucción de segmentos 2 2 H.- =; @ DI B DI=; !or $ipótesis 2 D.- =; ADI=; B 1I @ J peraciones e igualando a J 2 I.- =; @ -DI DI A H5-1I6E2 &plicando #ormula de ecuación de 2do grado K.- =; @ H,I1 peraciones 1G6 ;i los puntos ! y 9 dividen armónicamente al &= 5 mEn 16, calcular &= si: !=.=9 @2F y =9 B!= @ K. 06 !=.=9 @ 2F & ! = 9 =9 B != @ K 6 &= @ 8 &#irmaciones aones 1.- &!E!= @ &9E=9 @ mEn )ormando proporciones 2.- 5&= B !=6E!= @ 5&= A =96E=9 peraciones con segmentos .- =9.&= - =9.!= @ !=.&= A !=.=9 &plicando ley de las propiedades H.- =9.&= B !=.&= @ 2=9.!= ransposición de trminos D.- &=5=9 B !=6 @ 2=9.!= )actor com
2J6
&
"
!
=
9
06 ! y 9 dividen armónicamente al &= &" @ "= 6 "=2 @ "!. "9 &#irmaciones
aones
1.- &!E!= @ &9E9= @ mEn )ormando proporciones 2.- 5&"A"!6E5"=- "!6 @5&"A"96E5"9-"=6 peraciones con segmentos .- 5"=A"!6E5"=- "!6 @5"=A"96E5"9-"=6 emplaando $ipótesis H.- "=."9 - "=2 A "!."9 - "!."= @ &plicando ley de las proporciones "=2 A "=."9 - "!."= - "!."9 D.- -2"=2 @ 2"!."9 rminos semejantes 2 I.- "= @ "!."9 peraciones 216 ;i ! y 9 dividen armónicamente al &= en relación mEn 1, demostrar que: 18
&
!
=
9
&#irmaciones
aones
1.- &!E!= @ &9E=9 @ mEn 2.- &!E&= B &! @ &9E&9 B &= .- &9.&! B &!.&= @ &9.&= B &!.&9 H.- 2&9.&! @ &9.&= A &!.&= D.- 2E&= @ 1E&9 A 1E &!
)ormando proporciones ;uma de segmentos &plicando ley de las proporciones ransposición de trminos ransposición de trminos ysimpli#icando
226 ;i p y 9 dividen armónicamente al &= en relación mEn 1, demostrar que: 9 &#irmaciones 1.- &!E!= @ &9E9= @ mEn 2.- &!E&= B &! @ &9E&9 A &= .- &!.&9 A &!.&= @ &=.&9 B &9.&! H.- 2&!.&9 @ &=.&9 B &!.&= D.- 2&!.&9 @ &=5&9 B &!6 I.- 2E&= @ 1E&! B 1E&9
26
&
!
=
aones )ormando proporciones ;uma de segmentos &plicando ley de las proporciones ransposición de trminos )actor com
& = C ' 06 & y C dividen armónicamente al =' &' @ D &=, N& @ 2J, NC @ D 6 N= @ 8 > N' @ 8
&#irmaciones 1.- =CEC' @ =&E&' 2.- 5&C B &=6E5&' B &C6 @ &=E&' .- 51D B &=6E5D&= B 1D6 @ &=ED&= H.- KD B D&= @ D&= B 1D D.- &= @ G I.- mEn @ 1ED K.- N= @ D B I F.- N= @ 2G G.- N' @ D A J 1J.- N' @ ID
aones )ormando proporciones ;uma de segmentos emplaando $ipótesis y simpli#ica &plicando ley de proporciones 'espejando &= y trminos semejantes emplaando a#irmación D e $ipótesis estando =C de Nc peraciones ;umando N' y C' peraciones
. !ndicaciones !ro%lemas de autoevaluación 1 6 *studie el capitulo y luego conteste cada numeral. 2 6 +a evaluación de la prue%a es de H puntos cEu. otal 2J E 2J 6 ;i alg
nuevamente
Cuestionario 16 'ado un &= de coordenadas 5 -IG > G1 6 , encontrar la coordenada del punto ! que divide internamente al &= en relación KE1. 26 '1K6;i los puntos ! y 9 dividen armónicamente al &= en relación mEn 1, cual es la relación mEn si> &= @ y ! @ 12IDH. 19
6 'ado un &= de coordenadas 5 -IG > FK 6 , encontrar la coordenada de un punto 9 que divide externamente al &= en relación 2EHK. H6 'eterminar las coordenadas de los puntos ! y 9 que dividen armónicamente al segmento representado por la intersección de los conjuntos " y L en relación EK. " @ NEI N - 2 1J L @ NE5N B D6 -2J D6 'eterminar las coordenadas de los puntos ! y 9 que dividen armónicamente al segmento representado por el conjunto de puntos: -D 2N A D en relación E2.
". #ngulos 'e#inición *s una #orma geomtrica que está #ormada por dos rayos o líneas rectas que se cortan en un mismo punto. epresentación rá#ica
=
&
C
*lementos 'e /n &ngulo +ados 'el &ngulo &=
y
&C
Qrtice rigen 5punto &6 'enominación 16 +a letra del vrtice entre las otras dos: =&C& > =&C& 26 !or la letra del vrtice : & > R& 6 !or una letra, o numero en el ángulo: > R1 2
"edidas 'e &ngulo &'(&L: *s la medida de un ángulo, cuyo arco su%tendido es igual al radio del circulo. 5 rad.6 &' ;*N&*;("&+: ;i a un circulo se lo divide en IJ partes de igual medida, a cada una de estas partes se le denomina grado. 5 6. Clasi#icación 'e +os Sngulos &gudo. ;u medida es menor aE2 rad
ecto. ;u medida es igual a E2 rad
%tuso. ;u medida es mayor a E2 rad y menor a
Sngulos 'e +ados Colineales 5++&L6. ;u medida es igual a
rad.
Sngulos complementarios. ;on dos ángulos cuya suma de medidas es igual a E2 rad. & cada ángulo se lo llama complemento del otro. mR1A mR2 @ E2 rad
21
Sngulos ;uplementarios. ;on dos ángulos cuya suma de medidas es igual a rad. & cada ángulo se lo llama suplemento del otro.
mR1AmR2 @ rad &dyacentes. ;on dos ángulos que tienen el mismo vrtice y un lado com
puestos !or *l Qrtice. ;on dos ángulos no adyacentes, #ormados cuando dos rectas se intersecan.
R1 y R2 R y RH Sngulos #ormados por dos rectas cortadas por una transversal.
22
Sngulos internos I, K, Sngulos externos
H,
2
1, , D, Sngulos alternos internos
F
H y K 2 y I Sngulos alternos externos y F 1 y D Sngulos correspondientes H y F, 1 y I, Congruencia de Sngulos
2 K
y y
D,
'os ángulos son congruentes si tienen la misma medida. ;i mR& @ mR=
&
=
$. %eoremas eorema 1 +os ángulos opuestos por el vrtice son congruentes. 06 1 y 2 son ángulos opuestos por el vrtice 6 1 2
'emostración &#irmaciones 1.- m 1 A m @ 1FJT 2.- m 2 A m @ 1FJT .- m 1 A m @ m 2 A m H.- m 1 @ m 2 D.- 1 2 teorema
aones !or ser ángulos suplementarios !or ser ángulos suplementarios (gualando a#irmaciones 1 y 2 rminos semejantes !or tener la misma medida
2
+os ángulos internos, alternos externos y correspondientes, #ormados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, son congruentes. 06 +1 +2 , 1 y 2 son alternos internos, H y D son alternos externos, y H son complementarios. 6 1 2, H D, H
23
'emostración &#irmaciones 1.- m 2 A m @ 1FJT 2.- m 1 A m @ 1FJT .- m 1 A m @ m 2 A m H.- m 1 @ m 2 D.- 1 2 I.- m H A m 1 @ 1FJT K.- m D A m 2 @ 1FJT F.- m H A m 1 @ m D A m 2 G.- m H @ m D 1J.- H D 11.- I 12.- H I 1.- H
aones !or ser ángulos suplementarios !or ser ángulos suplementarios (gualamos a#irmaciones 1 y 2 rminos semejantes !or tener la misma medida !or ser ángulos suplementarios !or ser suplementarios (gualando a#irmaciones I y K rminos semejantes !or tener la misma medida !or ser alternos internos !or ser opuestos por el vrtice (gualando a#irmaciones 11 y 12
eorema +as %isectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares entre si. 06 &C' ? =C', son ángulos suplementarios C* es %isectri de &C' C) es %isectri de =C' 6 C* C)
'emostración &#irmaciones
aones
1.- 2m 2 A 2m 1 @ 1FJT 2.- m 1 A m2 @ GJT .- m *C) @ GJT H.- C* C)
!or ser ángulos suplementarios "ultiplicando por P ;eg
eorema H +as %isectrices de dos ángulos opuestos por en vrtice, son colineales.
06 R&C y RC0 ;on ángulos opuestos por el vrtice C* es %isectri de R&C= C) es %isectri de RC0 m R @ m RH 6 R*C) es ángulo colineal &#irmaciones
aones
1.- 2m R2 A 2m R1 A m R A m RH @ IJT;uma de ángulos 24
2.- 2m R2 A 2m R1 A R2m RH @ IJT .- m R2 A m R1 A m RH @ 1FJT H.- m R*C) @ 1FJT
!or $ipótesis "ultiplicando por P !or grá#ico
eorema D ;i dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, son congruentes 5paralelos en el mismo sentido6 o suplementarios.
06 +1 +2 y + +H R1 ? R2 ienen sus lados respectivamente paralelos 6 R1 R2 m R1 A mR @ 1FJT &#irmaciones
aones
1.- R1 RH 2.- R2 RH .- R1 R2 H.- m R2 A m R @ 1FJT D.- m R1 A m R @ 1FJT
!or ser ángulos alternos internos !or ser ángulos alternos internos (gualando las a#irmaciones 1 y 2 !or ser ángulos suplementarios !or a#irmación
&. Problemas 1. - /no de los ángulos complementarios, aumentado en EI rad es igual al otro. Cuanto mide cada ángulo8.
06 R y R son complementarios 6 m R @ 8 mR@8 &#irmaciones 1.- m R A m R @ GJT 2.- m R A JT @ m R .- 2m @ IJT H.- m R @ JT D.- m R @ IJT
aones !or ser ángulos complementarios !or $ipótesis ;umando a#irmaciones 1 y 2 "ultiplicando por P emplaando a#irmación H en 1 y operaciones
2. - +a di#erencia de dos ángulos suplementarios es E rad. 0allar el complemento del ángulo menor. 25
06 m R - m R @ IJT m R A m R @1FJT 6 m R &#irmaciones 1.- m R A m R @ 1FJT 2.- m R - m R @ IJT .- 2m R @ 2HJT H.- m R @ 12JT D.- m R @ IJT
aones !or ser ángulos suplementario !or $ipótesis ;umando a#irmación 1 y 2 ;impli#icando emplaando a#irmación H en 1
.- 'os ángulos son complementarios, y uno de ellos es E1J rad más que el triple del otro. cuánto mide cada ángulo8.
06 R y R son complementarios m R A m R @ GJT 6 m R @ 8 mR@8 &#irmaciones
aones
1.- m R A m R @ GJT 2.- m R @ 1FT A m R .- Hm R @ K2T H.- m R @ 1FT D.- m R @ K2T
!or ser ángulos complementarios !or $ipótesis "ultiplicando por B1 a#irmación 2 y sumando con a#irmación 1 ;impli#icando emplaando a#irmación H en 1
H. - Cuanto mide cada uno de los ángulos suplementarios, si quitando el menor de ellos EG rad y agregándole al mayor, este resulta el triple de lo que queda del menor.
06 R y R son suplementarios m R A m R @ 1FJT 6 m R @ 8 mR@8 &#irmaciones 1.- m R A m R @ 1FJT 2.- m R A 2JT @ 5 m R - 2JT6 .- m R A 2JT @ m R - IJT H.- m R - m R @ FJT D.- Hm R @ 2IJT I.- m R @ IDT K.- m R @ 11DT
aones !or ser ángulos suplementarios !or $ipótesis peraciones rminos semejantes peraciones y sumando a#irmaciones 1 y H ;impli#icando emplaando a#irmación I en 1 26
D.- 'os ángulos son suplementarios> uno de ellos es disminuido en E12 rad., para ser agregado a otro, de tal manera que este nuevo ángulo es igual a cuatro veces el resto del primero. Cuanto mide cada ángulo8.
06m R A m R ;on suplementarios m R A m R @ 1FJT 6 m R @ 8 mR@8 &#irmaciones
aones
1.- m R A m R @ 1FJT !or ser ángulos suplementarios 2.- m R A m R -1DT @ H5m R - 1DT6!or $ipótesis .- m R A m R - 1DT @ Hm R - IJT peraciones H.- 1FJT - 1DT @ Hm R - IJT emplaando a#irmación 1 en D.- m R @ DI,2DT 'espejando m R y operaciones I.- m R @ 12,KDT emplaando a#irmación D en 1 y
operaciones
I. - Calcular el valor de dos ángulos suplementario de modo que, si al quíntuplo del menor se le disminuye la mitad del mayor, se o%tiene el triple del menor aumentado E1F rad.
06 m R y m R son suplementarios m R A m R @ 1FJT 6 m R @ 8 mR@8 &#irmaciones 1.- m R A m R @ 1FJT 2.- Dm R - Pm R @ m R A 1JT .- 2m R - Pm R @ 1JT H.- DE2m R @ 1JJT D.- m R @ HJT I.- m R @ 1HJT
aones !or ser ángulos suplementarios !or $ipótesis rminos semejantes esolviendo el sistema entre a#irmaciones 1 y 2, y operaciones ;impli#icando emplaando a#irmación en 1 y operaciones
K.- /no de los ángulos suplementarios es los ED del otro ángulo. Cuanto mide cada ángulo8.
06 R y R son suplementarios m R A m R @ 1FJT 6 m R @ 8 mR@8 27
&#irmaciones 1.- m R A m R @ 1FJT 2.- m R @ EDm R .- m R - EDm R @ J H.- FEDm R @ 1FJT D.- m R @ 112,D I.- m R @ IK,D
aones !or ser ángulos suplementarios !or $ipótesis (gualando a J esolviendo el sistema entre a#irmaciones 1 y , y operaciones ;impli#icando emplaando a#irmación D en 1 y operaciones
G. - 'e dos ángulos suplementarios, los 2E de uno de ellos más la sexta parte del otro #orman un ángulo recto. Cuanto mide cada ángulo8.
06 R y R son suplementarios m R A m R @ 1FJT 6 m R @8 mR@8 &#irmaciones 1.- m R A m R @ 1FJT 2.- 2Em R A 1EIm R @ GJT .- Pm R @ IJT H.- m R @ 12JT D.- m R @ IJT
aones !or ser ángulos suplementarios !or $ipótesis esolviendo el sistema entre a#irmaciones 1 y 2, y operaciones ;impli#icando emplaando a#irmación H en 1
1J. - +os HEK de un ángulo menos la cuarta parte de su suplemento, dan su suplemento aumentado en EI rad. Cuanto el ángulo8
06 R y R son suplementarios m R A m R @ 1FJT 6 m R @ 8 &#irmaciones
aones
1.- m R A m R @ 1FJT !or ser ángulos suplementarios 2.- HEKm R - 1EHm R @ m R A JT !or $ipótesis .- HEKm R - DEHm R @ JT rminos semejantes H.- D1E2Fm R @ 2DDT esolviendo el sistema entre a#irmaciones 1 y , y operaciones D.- m R @ 1HJT peraciones 12.- 7Cuánto mide un ángulo que es igual a su suplemento8.
28
06 R y R son ángulos suplementarios m R A m R @ 1FJT 6 m R @ 8 &#irmaciones 1.- m R A m R @ 1FJT 2.- m R @ m R .- 2m R @ 1FJT H.- m R @ GJT
aones !or $ipótesis !or $ipótesis emplaando a#irmación 2 en 1 y operaciones "ultiplicando por P
1.- +a medida de uno de los ángulos de un par de suplementarios, es el do%le de la medida del otro menos E2J. *ncontrar la medida de cada ángulo.
&#irmaciones 1.- @ 2 - 2KT 2.- R A R @ 1FJT .- R @ 1FJT - R H.- 1FJT - @ 2 - 2KT D.- - @ -2JKT I.- R @ IGT K.- R @ 1F1T - IGT F.- R @ 111T
aones !or $ipótesis !or ser ángulos suplementarios 'espejando (gualando a#irmaciones 1 y rminos semejantes ransposición de trminos emplaando a#irmación I en perando
1D. - +a suma del complemento de un ángulo 34 con el suplemento de su ángulo do%le, es igual aE2 del complemento de un ángulo 34 . ;i m R - mR @ E2J rad. Calcular el complemento del ángulo 34.
&#irmaciones aones 1.- 5GJT - 6 A 51FJT- 26 @ E25GJT - 6 !or $ipótesis 2.- DHJT - I @ 2KJT - 2 peraciones .- - 2 @ -GJT rminos semejantes H.- - A @ 2KT !or $ipótesis D.- - @ -I ;umando a#irmaciones y H I.- @ IT "ultiplicando por -1 K.- GJT - @ 2KT 'e#inición de complementarios &#irmaciones 1.- 2m R1 A 2m R2 @ 1FJT 2.- m R1 A m R2 @ GJT .- m R=C& @ GJT
aones !or ser ángulos suplementarios "ultiplicando por P !or suma de ángulos internos del &=C 29
H.- &C C*
!or a#irmación
&#irmaciones
aones
1.- + 'C &* 2.- m R1 A m R2 @ KJT .- m RN @ m R1 H.- m R2 @ m RU D.- m RN A m R& @ KJT I.- m RN @ JT
!or construcción !or $ipótesis !or ser ángulos alternos internos !or ser ángulos alternos internos emplaando a#irmación 1 y H en 2 emplaando $ipótesis de transposición de trminos
&#irmaciones
aones
1.- =' ) C* 2.- m R1 A m R= @ 1FJT .- m R1 A 1JT @ 1FJT H.- m R1 @ DJT D.- m R& @ m R1 A m R2 I.- m R2 @ m R& B m R1 K.- m R2 @ JT F.- m R2 A m RC @ 1FJT G.- m RC @ 1DJT
!or construcción !or ser ángulos suplementarios emplaando $ipótesis ransposición de trminos !or grá#ico 'espejando medida del ángulo 2 emplaando $ipótesis, a#irmación H en I y operando !or ser ángulos suplementarios emplaando a#irmación K en F, transposición de trminos y operaciones
&#irmaciones
aones
1.- &! ) 2.- m R1 @ m R2 A m R .- m R& @ m RH H.- m R @ m RH D.- m RD @ GJT I.- m RD @ m R2 K.- m R1 @ m RD A m R& F.- m R1 @ GJT A DH G.- m R1 @ 1HH
!or construcción !or construcción !or ser correspondientes !or ser sus lados paralelos !or grá#ico !or tener sus lados paralelos emplaando a#irmación I y en 2 emplaando $ipótesis y a#irmación D en F perando
&#irmaciones
aones
1.- m R= @ m RC 2.- m RC @ 1DT .- mR 1 A m RC @ 1FJT H.- m R1 A 1DT @ 1FJT D.- m R1 @ HDT
!or ser ángulos correspondientes !or a#irmación 1 !or ser ángulos suplementarios emplaando a#irmación 2 en ransposición de trminos y operando
&#irmaciones
aones
1.- 2m R1 A 2m R2 @ 1FJT 2.- m R1 A m R2 @ GJT .- m R1 @ m R H.- m R B m R2 @ 22T D.- m R @ 22T A m R2 I.- m R A m R2 @GJT K.- 22T A 2m R2 @ GJT F.- m R2 @ HT G.- m R1 @ GJT B HT 1J.- m R1 @ DIT
!or ser ángulos suplementarios "ultiplicando por P !or $ipótesis ;uma de ángulos 'espejando m R emplaando a#irmación en 2 emplaando a#irmación D en I ransposición de trminos y operaciones emplaando a#irmación F en 2 peraciones 3
&#irmaciones
aones
1.- 5 m RN A m R16 B 5m R1 B m RN6 @ JTemplaando $ipótesis 2.- m RN A m R1 B m R1 A m RN @ JT 'estrucción de parntesis .- m RN @ 1DT rminos semejantes y multiplicando por P &#irmaciones
aones
1.- 2m R2 B 2m R1 @ 2JT 2.- m R2 B m R1 @1JT .- m RN A m R1 B m R1 @1JT H.- m RN @ 1JT
!or $ipótesis ;impli#icando emplaando medida del ángulo 2 en a#irmación 2 rminos semejantes
&#irmaciones
aones
1.- m R A m R1 @ FJT 2.- 2m R1 B 2m R @ HJT .- -2m R B 2m R1 @1IJT H.- -Hm R @ -12JT D.- m R @ JT I.- m @ @ 2mR2 K.- m R2 @1DT F.- m R2 @ m R*) G.- m R*) @ 1DT
!or $ipótesis !or $ipótesis "ultiplicando a#irmación 1 por -2 ;umando las a#irmaciones 2 y , ransposición de trminos y simpli#icando !or grá#ico emplaando a#irmación D en I y multiplicando por P !or grá#ico emplaando a#irmación K en F
&#irmaciones
aones
1.- 2m RH A m R2 @1FJT !or ser suplementarios 2.- m RN @ m RH B m R*) !or grá#ico .- m RN @ 51FJT - m R26E2 B m R*)6 emplaando a#irmación 1 en 2 H.- m R2 A m R*) @ m R !or grá#ico D.- m R @ m R2 A m R1 B m R*) !or grá#ico I.- m R2 A m R*) @ m R2 A m R1 B m R*) (gualando a#irmaciones H y D K.- 2m R*) @ m R1 rminos semejantes F.- m R*) @ m R1E2 ransposición de trminos G.- m RN @ 51FJT - m R26E2 - m R1E2 emplaando a#irmación F en 1J.- m RN @ 1FJ - 5m R2 A m R16E2 ;uma de #racciones 11.- 2m R2 A 2m R1 @ 1FJT !or ser suplementarios 12.- m R2 A m R1 @ GJT "ultiplicando por P 1.- m RN @ 51FJT - GJT6E2 emplaando a#irmación 2 en 1J 1H.- m RN @ HDT peraciones &#irmaciones
aones
1.- HDT A mR @ 2m R2 A m R 2.- HDT @ 2m R2 .- m RC* m @ 2m R2 H.- m RC* @ HDT
!or $ipótesis rminos semejantes !or grá#ico !or a#irmación
&#irmaciones
aones
1.- 2m R2 A m R @ DJT
!or $ipótesis 31
2.- 2m R1 A m R @ GJT .- 2m R1 A 2m R2 A 2m R @ 1HJT H.- m R1 A m R2 A m R @ KJT D.- m R1 A m R2 A m R @ m R!9 I.- m R!9 @ KJT
!or $ipótesis ;umando a#irmaciones 1 y 2 "ultiplicando por !or grá#ico emplaando a#irmación D en H
&#irmaciones
aones
1.- m R A mR1 @ FJT 2.- 2m R1 B 2m R2 @ HJT .- -Hm R B 2 R1 @ -1IJ H.- -Hm R B 2m R2 @ 12JT D.- m R2 @ 2m R I.- -Hm R B Hm R @ -12JT K.- -Fm R @-12J F.- m R @ 1DT
!or $ipótesis !or $ipótesis "ultiplicado a#irmación 1 por -2 ;umando a#irmación 2 y !or grá#ico emplaando a#irmación D en H rminos semejantes ;impli#icando
&#irmaciones
aones
1.- 5m R1 A m R26E5m R1A m R2 A GJT6 @ 11E2G !or $ipótesis 2.- 2m R2 A m R1 @ GJT !or grá#ico .- m R2 @ 5GJT - m R16E2 'espejando mR2 y multiplicando por P H.-mR1A5 GJT-mR16E2E mR1A5GJT-mR16E2AGJ @11E2G emplaa a#irmación en 1 D.- 2Gm R1 A 2I1JT @ 2GKJT A 11m R1 ;uma de #racciones, y transposición de trminos I.- m R1 @ 2JT educción de trminos semejantes
1'. Problemas de autoevaluación (ndicaciones: 1 6 *studie el capítulo y luego conteste cada numeral. 2 6 +a evaluación de la prue%a es de D puntos cEu. otal 2J E 2J 6 ;i alg
(nvestigador: (smael uerrero ;uáre ra%ajo enviado por: 32
