GUIA ESPECIAL DE DISTRIBUCION D ISTRIBUCION DE PROBABILIDADES
El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿ Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas ? n = 40 p = 0.08 lambda =3.2 X=5
La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores , obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos. n = 85 P = 0.02 X=4 lambda = 1.7
Ejemplos: 1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución: a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc. = 6 cheques sin fondo por día = 2.718
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc. = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
Solución: a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
= 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata
= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106
1. Los desperfectos que se producen en un cable submarino siguen un proceso de Poisson con frecuencia =0.1 por km. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se produzcan desperfectos en los primeros dos kms? b) conocido de que no hay desperfectos en los dos primeros kms, ¿qué probabilidad existe de que no haya tampoco desperfectos en el tercer km.? 2. Los clientes llegan a un establecimiento de acuerdo a un proceso de Poisson de frecuencia =4 por hora. Dado que el establecimiento abre a las 9:00: ¿cuál es la probabilidad de que exactamente haya llegado un cliente para las 9:30 y un total de cinco para las 11:30?
3. Un emisor emite partículas de acuerdo a un proceso de Poisson con frecuencia =2 por minuto: a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente una partícula sea emitida en el intervalo entre los minutos 3 y 5?
b) ¿cuál es la probabilidad de que la primera partícula aparezca en algún momento después del tercer minuto pero antes del quinto minuto? c) ¿cuál es la probabilidad de que el momento en el que se emita la primera partícula sea después del tercer minuto? 4. Suponiendo que la tasa de nacimientos en una población es un proceso de Poisson con =500 nacimientos por año: a) calcular la probabilidad de que en el tercer mes hayan ocurrido como mucho 150 nacimientos. b) calcular la probabilidad de que para el tercer mes haya como mucho 150 nacimientos y en los siguientes 6 meses como poco 100 nacimientos. 5. Supongamos que la gente emigra a un territorio siguiendo un proceso de Poisson con frecuencia =1 por día. a) ¿cuál es el tiempo esperado hasta que lleguen 10 inmigrantes? b) ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo entre el décimo y el undécimo inmigrante exceda en dos días? 6. En un equipamiento de 3 piezas, al fallar la primera pieza entra en funcionamiento la segunda y si ésta fallase, entraría en servicio la tercera. Suponemos el tiempo de vida de cada pieza distribuido exponencialmente, siendo de 5000 horas el valor esperado. Si el equipamiento tuviera infinitas piezas de recambio, tenemos un proceso de Poisson reconociendo los fallos del sistema. a) ¿Para cuándo esperamos que se sustituya la tercera pieza que pongamos? b) ¿Qué probabilidad tenemos de que tanto la primera como la segunda pieza duren 5000 horas cada una? c) ¿Qué probabilidad tenemos de que el tercer fallo acontezca como poco después de haber transcurrido 15000 horas?
7. Supongamos que los clientes llegan a un barco siguiendo un proceso de Poisson con frecuencia 1 por hora, y éstos son clasificados como hombre o mujer con probabilidad 1/2. Si en 10 horas han llegado 10 hombres, ¿cuál es el número esperado de mujeres en esas 10 horas? 8. Supongamos que a un país llegan inmigrantes siguiendo un proceso de Poisson con frecuencia 10 por semana. Si cada inmigrante es inglés con probabilidad 1/12, ¿cuál es la probabilidad de que no inmigre ningún inglés a ese país durante el mes de febrero?
9. Un jugador de baloncesto bota el balón siguiendo un Proceso de Poisson con parámetro = 12 botes por minuto: a) ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el minuto 10 haya realizado como mucho 100 botes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el minuto 10 haya realizado como mucho 100 botes y en los siguientes 5 minutos como poco 52 botes? c) ¿Cuándo esperamos que realice el bote número 16? d) Dado que se han realizado 4 botes en los primeros 6 minutos, ¿cuántos botes esperamos que se hayan realizado entre el minuto 7 y el minuto 9? e) ¿Cuál es la probabilidad de que se realicen 8 botes entre el minuto 8 y el minuto 12? f)
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre el bote 14 y el bote 15 exceda en 2 minutos?
g) Si entre el bote 18 y el 19 han transcurrido 30 segundos, ¿cuánto tiempo esperamos que transcurra entre el bote 19 y el 20? h) Si cada bote que se realiza se hace con probabilidad 2/3 con la mano izquierda y con probabilidad 1/3 con la mano derecha, entonces: i)
¿Con qué probabilidad se realizarán 20 botes con la mano derecha entre los minutos 4 y 7?
j)
Sabiendo que se han realizado 8 botes con la mano derecha entre el minuto 7 y el 9, ¿cuál es el número total de botes esperados que se realicen con ambas manos entre esos minutos?
10. Un empleado se encuentra supervisando los elementos que pasan por una cinta transportadora. Por dicha cinta pasan bolígrafos siguiendo un proceso de Poisson con parámetro 1= 60 bolígrafos por minuto. También pasan lápices siguiendo un proceso de Poisson con parámetro 2=70 lápices por minuto. a) Si en un momento aleatorio el empleado va a tomar café y el tiempo que tarda en tomárselo está exponencialmente distribuido con media 0.5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que pase un lápiz antes de que acabe de tomarse el café? ¿Y de que pasen dos lápices? b) Si un segundo empleado se dirige a tomar café cuando el primero lleva ya un minuto tomándolo, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo empleado acabe el café antes que el primero? Razona tu respuesta, suponiendo que el tiempo que tarda el segundo empleado en tomarse el café está también exponencialmente distribuido con media 0.5 minutos. c) Si cada bolígrafo que pasa por la cinta es con probabilidad 1/4 rojo y con probabilidad 3/4 azul, entonces:
d) ¿Con qué probabilidad entre el primer y el tercer minuto habrán pasado como mucho 1000 bolígrafos rojos? e) ¿Cuándo esperamos que aparezca el octavo bolígrafo azul? f)
Si entre el paso del décimo y undécimo bolígrafo azul han transucrrido 30 segundos, ¿cuánto tiempo esperamos que transcurra entre el paso de los bolígrafos azules 18 y 19?
g) Sabiendo que han pasado por la cinta 8 bolígrafos azules entre el minuto 2 y el minuto 3, ¿con qué probabilidad van a pasar 9 bolígrafos rojos entre esos mismos minutos? h) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre el primer y el segundo bolígrafos rojos sea mayor que el que transcurre entre el tercer y cuarto bolígrafos rojos?
11. Dados Ni(t), t0 procesos de Poisson independientes con parámetros i,i =1,2, de tal forma que N(t), t0 es un proceso de Poisson con parámetro 1+2 donde N(t)=N1(t)+N2(t). ¿Cuál es la probabilidad de que el primer suceso del proceso combinado proceda del proceso N 1?
12. Una centralita telefónica tiene s líneas. Las llamadas telefónicas llegan según un proceso de Poisson con parámetro , y la duración de las llamadas sigue una distribución exponencial de parámetro µ. Si la centralita está ocupada, se envía un mensaje de ocupado. Todas las líneas están ocupadas en este momento. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue una nueva llamada mientras el sistema continua ocupado?.
13. Ciertos sucesos ocurren de acuerdo con un proceso de Poisson con parámetro =2 por hora. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran sucesos entre las 20:00 y las 21:00 horas?. (b) Comenzando al mediodía, ¿cuál es el tiempo esperado para que el cuarto suceso ocurra?. (c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más sucesos ocurran entre las 18:00 y las 20:00?.
14. Ciertos pulsos llegan a un contador Geiger de acuerdo con un proceso de Poisson con una frecuencia de tres llegadas por minuto. Cada partícula que llega al contador tiene una probabilidad 2/3 de ser registrada. Sea X(t) el número de pulsos registrados durante t minutos. (a) P(X(t)=0)=?. (b) E[X(t)]=?.
15. Los vehículos pasan por un punto de una autopista con una frecuencia de Poisson de uno por minuto. Si el cinco por ciento de vehículos en carretera son furgonetas, entonces (a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una furgoneta pase durante una hora? (b) Dado que han pasado diez furgonetas en una hora, ¿Cuál es el número esperado de vehículos que han pasado en el mismo tiempo?.
21. Los clientes que entran a una tienda siguiendo un proceso de Poisson de =10 por hora, independientemente uno de otro, deciden comprar algo con probabilidad 0.3 y salen sin comprar nada con probabilidad 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que durante las primeras dos horas 9 personas entren en la tienda, y de que 3 de éstas compren algo y 6 no?
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria. La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos (expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones. PROPIEDADES:
- La muestra se compone de un número fijo de observaciones n - Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Unapersona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso. - La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones. - La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n Ecuación:
Donde Probabilidad de X éxitos, dadas
y
n = Número de observaciones p = Probabilidad de éxitos 1-p = Probabilidad de fracasos X = Número de éxitos en la muestra (
= 0, 1, 2, 3, 4,………
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS:
1) Determine P(X=8) para n = 10 y p = 0,5 Solución:
Aplicando la ecuación se obtiene:
EN EXCEL SE CALCULA DE LA SIGUIENTE MANERA:
EN WINSTATS SE PROCEDE DE LA SIGUIENTE MANERA
)
2) DETERMINAR P(X=3) PARA N =4 Y P = 0,45 SOLUCIÓN:
SE PUEDE APLICAR LA ECUACIÓN PARA CADA PROBABILIDAD, PERO PARA AHORRAR TIEMPO SE RECOMIENDA ENCONTRAR LAS PROBABILIDADES CON LECTURA EN LA TABLA DE PROBABILIDADES BINOMIALES.
REALIZANDO LA LECTURA EN LA TABLA DE P(X=0) CON N=4 Y P = 0,45 SE OBTIENE 0,0915. CONTINUANDO CON LA RESPECTIVAS LECTURAS EN LA TABLA SE OBTIENE: 0,2995 PARA P(X=1), 0,3675 PARA P(X=2) Y 0,2005 PARA P(X=3). POR LO TANTO PARA QUE APAREZCA LA TABLA EN WINSTATS SE HACE CLIC EN EDIT Y LUEGO EN PARÁMETROS. EN LA VENTANA DE PARÁMETROS, EN LA CASILLA TRIALS ESCIBIR 4 Y EN SUCCESS PROB ESCRIBIR 0,45. FINALMENTE CLIC CALC Y LUEGO EN TABLE
LOS CÁLCULOS REALIZADOS EN EXCEL SE MUESTRAN EN LA SIGUIENTE FIGURA:
LOS CÁLCULOS REALIZADOS WINSTATS SE MUESTRAN EN LA SIGUIENTE FIGURA:
3) EL 60% DE PROFESIONALES LEEN SU CONTRATO DE TRABAJO, INCLUYENDO LAS LETRAS PEQUEÑAS. SUPONGA QUE EL NÚMERO DE EMPLEADOS QUE LEEN CADA UNA DE LAS PALABRAS DE SU CONTRATO SE PUEDE MODELAR UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. CONSIDERANDO UN GRUPO DE CINCO EMPLEADOS: 3.1) LLENAR LA TABLA MANERA MANUAL Y EMPLEANDO EXCEL
3.2) RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE MANERA MANUAL Y EMPLEANDO EXCEL. CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE: A) LOS CINCO LEAN CADA UNA DE LAS PALABRAS DE SU CONTRATO B) AL MENOS TRES LEAN CADA UNA DE LAS PALABRAS DE SU CONTRATO C) MENOS DE DOS LEAN CADA UNA DE LAS PALABRAS DE SU CONTRATO SOLUCIÓN:
A)
B)
C)
EN EXCEL SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA:
4) UN EXAMEN DE ESTADÍSTICA DE ELECCIÓN MÚLTIPLE CONTENÍA 20 PREGUNTAS Y CADA UNA DE ELLAS 5 RESPUESTAS. SI UN ESTUDIANTE DESCONOCÍA TODAS LAS RESPUESTAS Y CONTESTÓ AL AZAR A) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CONTESTE CORRECTAMENTE A 5 PREGUNTAS? B) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CONTESTE CORRECTAMENTE A LO MÁS 5 PREGUNTAS? SOLUCIÓN: A) P(X=5) N=20 P=1/5=0,2
B) A LO MÁS 5
Ejercicios resueltos de distribución binomial se sabe que el 30% de los habitantes de una ciudad depende del asma. determinar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 4 personas. i) Ninguna padezca de asma ii) más de 2 sufran de asma. sea x el numero de personas que sufren de asma en una muestra de personas. X~B(n=4; P=0,3) i) P(X=0)= (40)*0,30*(0,7)4=0,2401 ii) P(X ≥ 3)= (43)*0,33*(0,7)1 + (44) *0,34*(0,7)0= 0,0756 + 0,0081=0,0837
