Actividad de Aprendizaje No. 3 Ejercicios de distribución de probabilidades.
A partir de las reglas de distribución de probabilidades desarrolla de manera clara los siguientes ejercicios: a) Ejercicios de distribución binomial 1. La probabilidad de que una persona recién egresada de la universidad con buenas calificaciones consiga trabajo en un mes es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de cinco recién egresados con buenas calificaciones consigan trabajo en un mes? K=4 p(x=k)= n=5 p(x=4)= p=0.9 (Probabilidad de éxito) = q=0.1 (Probabilidad de fracaso) = = 5 X= 4 p(x=4)= 5=0.32805 La probabilidad de que 4 de 5 recién egresados con buenas calificaciones consigan trabajo en un mes es de 32.8%
2. La probabilidad de que una persona que entra a cierta tienda haga una compra es 0.6. Encontrar las probabilidades de que de un grupo de nueve personas haga una compra K=2 p(x=k)= n=9 p(x=2)= p=0.6 (Probabilidad de éxito) = q=0.4 (Probabilidad de fracaso) = = 36 X= 2 p(x=2)= 36=0.005898 La probabilidad de que de un grupo de 9 personas 2 haga una compra es de 58.98%
3. La probabilidad de que una persona que entra a cierta tienda haga una compra es 0.6. Encontrar las probabilidades de que de un grupo de nueve personas haga tres, cuatro o cinco compras. P = 0.6^9 = 0.0101 4. Suponer que la probabilidad de que se recupere un automóvil en la ciudad de Puebla, en la zona sur, es de 0.60. Encontrar la probabilidad de que se recuperen, por lo menos, tres de 10 automóviles robados en la ciudad. Fórmula: X~Bin(n,p) ⇒ P(X = x) = Comb(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x), donde: "Comb" es el número combinatorio: Comb(n,x) = n! / (x! * (n-x)!) n = el total de elementos a considerar ---> n = 10 p = probabilidad de que un elemento cumpla la condición requerida ---> p=0,60 x = cantidad de elementos que cumplirán la condición Como dices "por lo menos", entonces habría que aplicar la fórmula desde x=3, hasta x=10, pero es más fácil trabajar con el complemento: solamente pueden recuperarse hasta 2 carros. Recuerda que si p es la probabilidad de un evento, la probabilidad de su complemento es 1-p. P(x=0) = Comb(10,0) * (0,60)^0 * (0,40)^10 = 1,048576 * 10^(-4) P(x=1) = Comb(10,1) * (0,60)^1 * (0,40)^9 = 1,572864 * 10^(-3) P(x=2) = Comb(10,2) * (0,60)^2 * (0,40)^8 = 0,010616832 Entonces, la probabilidad de que máximo dos autos se recuperen es de: 1,048576 * 10^(-4) + 1,572864 * 10^(-3) + 0,010616832 = 0,012294553 Luego, la probabilidad de que por lo menos tres se recuperen es: 1 - 0,012294553 = 0,987705446 5. Después de seguir un tratamiento para dejar de fumar, la probabilidad de volver a fumar dentro del primer mes es de 0.4. Determinar la probabilidad de que máximo tres de siete pacientes vuelvan a fumar antes de un mes. En este caso llamamos “éxito” a volver a fumar en menos de un mes después del tratamiento. Ahora n=7 y p=0.4. Usando la fórmula arriba mencionada o buscando en una tabla podemos hallar que los valores correspondientes a x=0, x=1,x=2 y x=3 son
respectivamente 0.028,0.131,0.261 y 0.29. La probabilidad de que a lo más tres de los siete pacientes vuelvan a fumar dentro de un mes es 0.028 + 0.131 + 0.261 +0.29=0.71
6. Una empresa aplica un esquema de muestreo para aceptar lotes de ciertos insumos. Se examinan diez artículos y el lote será rechazado si se encuentran dos o más artículos defectuosos. Calcular la probabilidad de rechazar un lote si contiene 5% de artículos defectuosos. n=10
P(X>=2) = 1 - (1-p)^n - np(1-p)^(n-1)
p=0.05 , n=10 P(X>=2) = 1 - (1-p)^n - np(1-p)^(n-1) P(X>=2) = 1 - (1-0.05)^10 - 10*0.05(1-0.05)^9 = 0.0861 b) Ejercicios de distribución de Poisson 1. A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria Poisson. Suponer que, en promedio se reciben 7 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora? P= p(x=5) = =0.1277 λ=7 X=5 La probabilidad de que 5 llamadas lleguen en una hora es 12.77% 2) En un proceso de manufactura se registran, siguiendo la distribución de Poisson, en promedio cuatro fallas en un turno de ocho horas. Calcular la probabilidad de que en un turno cualquiera haya entre dos y cuatro fallas. La probabilidad de que en un turno haya dos fallas es 0.146 La probabilidad de que en un turno haya tres fallas es 0.195 La probabilidad de que en un turno haya cuatro fallas es 0.195
La probabilidad de que en un turno cualquiera haya entre dos y cuatro fallas es 0.536
3. A un auto lavado llegan, siguiendo la distribución de Poisson, 8 autos por hora. Calcular la probabilidad de que en una hora determinada llegue entre cuatro y siete autos. La probabilidad de que en una hora determinada lleguen cuatro autos 0.0572 La probabilidad de que en una hora determinada lleguen cinco autos 0.0916 La probabilidad de que en una hora determinada lleguen seis autos 0.1221 La probabilidad de que en una hora determinada lleguen siete autos 0.1395 La probabilidad de que en una hora determinada llegue entre cuatro y siete autos es 0.410 c) Ejercicios de distribución normal 1. El tiempo que les toma a un grupo de obreros ensamblar una serie de microchips tiene una distribución normal con media de 14.5 minutos y desviación estándar de 2.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que a uno de estos obreros le tome entre 11 y 16 minutos? Z= 0.4192 - 0.2257=0.1935 La probabilidad de que a uno de estos obreros le tome entre 11 y 16 minutos es 0.1935
2. El tiempo que les toma a un grupo de obreros ensamblar una serie de microchips tiene una distribución normal con media de 14.5 minutos y desviación estándar de 2.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que a uno de estos obreros le tome más de 18 minutos? Z= (0.5-0.4192)= 0.0800 La probabilidad de que a uno de estos obreros le tome más de 18 minutos es 0.0808
3) El tiempo que les toma a un grupo de obreros ensamblar una serie de microchips tiene una distribución normal con media de 14.5 minutos y desviación estándar de 2.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que a uno de estos obreros le tome menos de 10
minutos? z=10−14.52.5=−1.4 __________ 2.5
Z=(0.4641 + 0.5)=0.9641 La probabilidad de que a uno de estos obreros le tome menos de 10 minutos es 0.9641
BIBLIOGRAFIA: Johnson, R. y Kuby, P.(1999)– Distribuciones de probabilidad normales – México: editorial Thomson. Murray R. Spiegel.(2000), Estadística. Teoría y 875 problemas resueltos. Editorial McGraw Hill. Luis R. (2006) “Probabilidad” en una introducción a la probabilidad y estadística. México Facultad de Ciencias UNAM
