Eventos Independientes La principal característica de una situación con eventos independientes es que el estado original de la situación no cambia cuando ocurre un evento. Existen dos maneras de que esto suceda:
Los eventos independientes ocurren ya sea cuando: el proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible resultado el proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido antes de que suceda una segunda acción. (A esto se le llama sacar un reemplazo.) Aquí hay ejemplos de cada caso:
Situación
Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?
Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?
Sacas una carta de un mazo de 52 cartas, y luego lanzas un dado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 y luego lanzar y que caiga 2?
Eventos El primer lanzamiento no es un 6. El primer lanzamiento es un 6.
Sacar una canica roja en el primer intento.
Por qué los eventos son independientes El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.") Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.
Sacar una canica roja en el segundo intento.
La carta es un 2. El dado cae en 2.
Aunque la carta no es regresada al mazo después de sacarla, el lanzamiento del dado no depende de las cartas, por lo que ningún posible resultado ha sido reemplazado. A pesar del resultado de sacar la carta, la probabilidad de del dado no será afectada.
Examinemos el segundo ejemplo. En el primer intento, la probabilidad de sacar una canica roja es de ellas son rojas.
, porque hay 5 canicas y 2
Si volvemos a poner la canica roja dentro de la bolsa, la probabilidad de sacar una canica roja en un segundo experimento sigue siendo
, y eso significa que los dos eventos son
independientes. El resultado de un experimento no afecta el resultado del otro. Pero, ¿qué hubiera pasado si no pones la primera canica de nuevo en la bolsa? La probabilidad de sacar una canica roja será diferente para el segundo intento. Si una canica roja es eliminada, en el segundo intento la probabilidad será ahora de
porque sólo quedan 4 canicas
y una es roja. Ahora veamos el primer ejemplo. Supongamos que el dado se lanzó 15 veces sin sacar un 6. En
el siguiente lanzamiento, ¿es la probabilidad de sacar un igual a , o es mayor? Algunas
personas creen que en el siguiente lanzamiento es más probable que les salga un 6 porque "¡Ya me toca un 6!" — el dado no puede recordar qué fue lo que sacó antes. Si bien es un poco inusual tirar un dado 16 veces sin sacar un 6, la probabilidad de sacar un 6 en 15 tiradas ha sido la misma en cualquiera de las tiradas.
Latonya está jugando un juego de cartas. Empieza con 10 cartas, numeradas del 1 al 10, y que están boca abajo por lo que no puede ver los números. Ella escoge una carta al azar (de forma aleatoria) y la voltea. Si la carta es mayor que 5, la carta es "ganadora" y la pone en una fila de cartas "ganadoras", Si la carta es 5 o menor, la pone en una fila de cartas "perdedoras". Ella gana el juego si logra juntar tres cartas en la pila ganadora antes de juntar tres cartas en la pila perdedora. Elige el enunciado que mejor describe la situación. A) Los eventos son independientes, porque el juego no elimina ningún resultado. B) Los eventos son independientes, porque cada ronda tiene l os mismos posibles resultados (ganar o perder). C) Los eventos no son independientes, porque un resultado es eliminado en cada turno y no es reemplazado.
Respuestas A) Incorrecto. En cada turno, Latonya elimina una carta de las 10 cartas con las que empieza. Uno de los posibles resultados es elimi nado y la probabilidad de obtener una carta "ganadora" cambia con cada turno. Los eventos no son independientes.
B) Incorrecto. Como las cartas de Latonya se van a la pila de "ganadoras" o "perdedoras", no son devueltas al mazo, por lo que la probabilidad de sacar una carta "ganadora" cambia con cada turno. Los eventos no son independientes.
C) Correcto. Latonya elimina cartas en cada turno y no las devuelve al mazo, por lo que la probabilidad de sacar una carta "ganadora" cambia en cada turno.
Probabilidad de Eventos Independientes Veamos el espacio muestral y el espacio de eventos de los ejemplos de la sección anterior. Lanzas un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo tiro pero no en el primero? En este ejemplo, el dado es lanzado dos veces. Primer lanzamiento Segundo lanzamiento
1
2
3
4
5
6
1
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
3
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
4
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
6
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
Existen 6 resultados posibles para el primer tiro, y para cada uno de ellos, hay 6 resultados posibles para el segundo tiro. Hay 6 • 6, o 36, resultados posibles:
Espacio muestral: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
El espacio muestral consiste en todos los resultados para los cuales el primero tiro no fue 6, y el segundo tiro fue 6. Para el primer lanzamiento existían 5 resultados posibles que no son 6. Para cada uno de ellos, existía sólo un posible resultado que era 6. Entonces hay 5 • 1 o 5 resultados en el espacio de eventos:
Espacio de eventos: {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}
Nota que el tamaño del espacio muestral para ambos lanzamientos es el producto del tamaño del espacio muestral para cada lanzamiento. De manera similar, el tamaño del espacio de eventos par dos lanzamientos es el producto del tamaño de los espacios de eventos de cada lanzamiento.
Veamos el escenario 2: Sacas una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Anotas el color, regresas la canica a la bolsa, y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja ambas veces? Para ayudarnos a recordar que hay dos canicas rojas, las nombraremos R1 y R2. Haremos lo mismo con las canicas blancas, W1 y W2.
Primera sacada Segunda sacada
R1
R2
W1
W2
G
R1
R1,R1
R2,R1
W1,R1
W2,R1
G,R1
R2
R1,R2
R2,R2
W1,R2
W2,R2
G,R2
W1
R1,W1
R2,W1
W1,W1
W2,W1
G,W1
W2
R1,W2
R2,W2
W1,W2
W2,W2
G,W2
G
R1,G
R2,G
W1,G
W2,G
G,G
El espacio muestral para la primera sacada tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}. Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda sacada es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles:
Espacio muestral: {(R1,R1), (R1,R2), (R1,W1), (R1,W2), (R1,G), (R2,R1), (R2,R2), (R2,W1), (R2,W2), (R2,G), (W1,R1), (W1,R2), (W1,W1), (W1,W2), (W1,G), (W2,R1), (W2,R2), (W2,W1), (W2,W2), (W2,G), (G,R1), (G,R2), (G,W1), (G,W2), (G,G)}
El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden escoger en la segunda sacada. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos: Espacio de eventos: {(R1,R1), (R1,R2), (R2,R1), (R2,R2)}
De nuevo, nota que el tamaño del espacio muestral para las dos sacadas es el producto del tamaño de los espacios muestrales de cada sacada. De manera similar, le tamaño del espacio
de eventos para las sacadas combinadas es igual al producto del tamaño de los espacios de eventos de cada sacada. Ahora, veamos las probabilidades para las tres situaciones, usando la razón del tamaño del espacio de eventos con el tamaño del espacio muestral:
Situación
Lanzar dados
Probabilidad del primer evento
Probabilidad del segundo evento
Probabilidad de ambos eventos
( )
()
( )
()
()
( )
Sacar canicas
Podemos derivar la fórmula a partir de estos datos. Como el espacio de eventos para una situación puede calcularse multiplicando los espacios de eventos de cada evento independiente, y el espacio muestral de la situación puede encontrarse multiplicando los espacios muestrales de cada evento independiente, tenemos:
()
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
Esto es válido para todas las situaciones con eventos independientes. También puede extenderse a más de dos eventos. Si A y B son eventos independientes, P( A y B) = P( A) • P(B).
En general, para cualquier número de eventos independientes, la probabilidad de que todos los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que sucedan los eventos individuales. Vamos a aplicar esto a un problema:
Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo que agarra un par al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. S i continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en su tercer intento? Solución Evento A: un par de calcetines que no son blancos Evento B: un par de calcetines que no son blancos Evento C: un par de calcetines que son blancos Primero, definimos los eventos. Como queremos que ella saque unos blancos en su tercer intento, es necesario que no saque blancos en su primer y segundo intentos Los eventos son independientes, porque cada resultado eliminado es reemplazado. Los eventos anteriores no cambian las probabilidades de eventos posteriores Ahora revisa si son independientes. Beth elimina un resultado cuando saca un par de calcetines, pero luego lo regresa al cajón, entonces las probabilidades no cambiarán El tamaño de espacio muestral para cada evento es 10 (Hay 10 pares de calcetines de donde escoger) El tamaño del espacio de eventos para el Evento A y el Evento B es 7. (Hay 7 pares que no son blancos) El tamaño del espacio de eventos del Evento C es 3. (Hay 3 pares que son blancos) Podríamos encontrar el espacio muestral y el espacio de eventos para todo el experimento y calcular la razón. Sin embargo, como los eventos son independientes, es más fácil encontrar los espacios muestrales y los espacios de eventos de los eventos individuales y multiplicarlos
( ) ( )()()
SOLUCION
( )
Carlos tiene un mazo de 15 cartas numeradas del 1 al 15. Saca una c arta al azar, ve el número, y la revuelve de nuevo en el mazo. ¿Cuál es la probabilidad de que no le salga una carta menor o igual a 5 en el primer intento, pero que sí le salga una carta menor o igual a 5 en el segundo intento?
A)
B)
C)
D)
Solución
A) Incorrecto. Podrías haber definido mal el primer evento, o encontrado incorrectamente la probabilidad del primer evento. La respuesta correcta es .
B) Correcto. El primer evento (no sacar 5 o menos) tiene una probabilidad de y el segundo
evento (sacar 5 o menos) tiene una probabilidad de . Los eventos son independientes porque
Carlos vuelve a poner la carta en el mazo cada vez, entonces la probabilidad de no sacar 5 o menos y luego sacar 5 o más es de
C) Incorrecto. Podrías haber definido mal el primer evento, y olvidaste multiplicarla por la probabilidad del primer evento. La respuesta correcta es
D) Incorrecto. Pudiste haber encontrado sólo la probabilidad del primer evento y olvidaste multiplicarla por la probabilidad del segundo evento. La respuesta correcta es
Sumario Dos (o más) eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no cambia la probabilidad de que otro evento ocurra. Existen dos tipos de situaciones cuando esto sucede: 1) Cuando la acción aleatoria no elimina un resultado (como al lanzar un dado o una moneda varias veces, o realizar acciones aleatorias que no tienen conexión una con otra como sacar una carta y luego lanzar un dado); y 2) cuando la acción aleatoria sí elimina un resultado posible, pero el resultado es reemplazado antes de que la acción vuelva a suceder (como sacar una carta y devolverla al mazo). Cuando los eventos son independientes, la probabilidad de que todos ocurran es igual a la multiplicación de las probabilidades de que ocurran los eventos individuales. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.-Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? 2.- P(A B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par e n el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es
3.- Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es: 4.-Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara? 5.-Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes? 6.- En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 fichas, con reposición, éstas sean amarillas? 7.- El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la Probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces? 8.- Una persona muy distraída ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo, pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo además que el primer dígito debe ser par, distinto de 0 y que la última cifra es impar mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de acertar al número de teléfono de su amigo? 9.-En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15 % de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%
de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero? 10.- El procesador, la placa madre y la memoria tienen un 5%, 10% y 20% de probabilidades de fallar antes de un año respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de comprar un computador que presentará fallas antes de un año, en los tres componentes señalados?
11.-Un estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas? 12.- Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar? 13.- Una persona muy distraída ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo, pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo además que el primer dígito debe ser par, distinto de 0 y que la última cifra es impar mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de acertar al número de teléfono de su amigo? 14.- Un estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas? 15.- Un test de selección múltiple consta de 30 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuestas siendo sólo una de ellas la correcta. Si un alumno responde al azar cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas? 16.- Un alumno contesta las 70 preguntas de la P.S.U. de matemáticas al Azar. Si cada pregunta tiene 5 alternativas y sólo una de éstas es correcta, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el puntaje máximo? 17.- Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es 18.- Un restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2 Entradas, 3 platos de fondo y 5 postres. Si no me gustan 2 de los platos de fondo y 3 de los postres. ¿Cuál es la probabilidad de que me toque un menú de mi agrado si la elección es el azar? 19.- El procesador, la placa madre y la memoria tienen un 5%, 10% y 20% de probabilidades de fallar antes de un año respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de comprar un computador que presentará fallas antes de un año, en los tres componentes señalados? 20.-En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15 % de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35% de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?
