USACH – ÁLGEBRA 2002 – Gabriel Rabanales R.
Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Depto. Matemática y Ciencia de la Computación
Prof. Gabriel Rabanales R.
Guía de ejercicios Espacios vectoriales 1 2
1. En V = ¡ se definen las siguientes operaciones: (i)
( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
(ii) λ ( x, y ) = ( λ x, y ) ,
λ∈
¡
¿Es V con estas operaciones un espacio vectorial real?
∈ ∧ u = ( x, y ) ∈ V . Entonces: (α + β ) u = α u + β u (además de las otras propiedades de espacio vectorial)
Solución: Sean α , β P.d.q:
¡
(1) (α + β ) u = (α + β ) ( x, y ) = ( (α + β ) x, y ) ( 2 ) α u + β u = α ( x, y ) + β ( x, y ) = (α x, y ) + ( β x, y ) = ( (α + β ) x, 2 y) Luego: (α + β ) u ≠ α u + β u y V no es espacio vectorial sobre ¡
2. En V = ¡ se definen las siguientes operaciones:
(i ) x + y = x ⋅ y
( ii ) λ ⋅ x = x λ , λ ∈
¡
¿Es V con estas operaciones un espacio vectori al real? Solución: No. Contraejemplo:
1 1 ⋅ ( −3) = ( −3) 2 = −3 ∉ 2
¡
3. Determine el subespacio generado por el conjunto de vectores S subespacio de
¡
2
= {1, x − 2, x 2 − 2 x + 1} como
[ x]
Solución: Sean p ( x ) = a0
+ a1 x + a2 x2 ∈
[ x] ∧ α , β , γ ∈ . Entonces: p ( x) ∈ S ⇔ a0 + a1 x + a2 x2 = α ⋅1 + β ( x − 2 ) + γ ( x2 − 2 x + 1) ¡
2
¡
⇔ a0 + a1 x + a2 x2 = α + β x − 2 β + γ x2 − 2γ x + γ ⇔ a0 + a1 x + a2 x2 = (α − 2 β + γ ) + ( β − 2γ ) x + (γ ) x2 α − 2 β + γ = a0 ⇔ β − 2γ = a1 γ = a2 ⇔ γ = a2 ∧ β = a1 + 2a2 ∧ α = a0 + 2 ( a1 + 2a2 ) − a2 ⇔ γ = a2 ∧ β = a1 + 2a2 ∧ α = a0 + 2 a1 + 3a2 Luego p( x) ∈ S
∀p( x) ∈
¡
2
[ x] ⇒ {1, x − 2, x2 − 2 x + 1} =
¡
2
[ x]
El subespacio generado por S es ¡ 2 [ x ] .
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4. Sea W
= {( x, y, z, w ) ∈
¡
4
/ x = y ∧ z = w} ≤
¡
4
.
Encuentre una base para W y calcule su dimensión. Solución:
u ∈ W ⇔ u = ( x, y, z, w) ∈
¡
4
∧ x = y∧ z = w 2
⇔ u = ( x, x, z, z ) ∧ ( x, z ) ∈
⇔ u = x (1,1, 0, 0) + z ( 0, 0,1,1) ∧ ( x , z ) ∈
¡
¡
2
⇔ u ∈ {(1,1,0,0) , ( 0,0,1,1)}
{(1,1,0,0) , ( 0,0,1,1)} ≤ 4 P.d.q: {(1,1,0,0 ) , ( 0,0,1,1)} es linealmente independiente. Luego, W =
¡
Sean a, b ∈ ¡ tales que:
a (1,1, 0, 0 ) + b ( 0,0,1,1) = ( 0, 0,0,0) ⇔ ( a , a , b , b ) = ( 0,0, 0, 0)
⇔ a = 0 ∧b = 0 Así
{(1,1,0,0) , ( 0,0,1,1)} es l.i. y es una base de W , y dim (W) = 2
5. Sea W
= {( x, y, z ) ∈
¡
3
/ x + y − z = 0} ≤
¡
3
a) Demuestre que α = b)
{(1,1,2 ) , ( 2,1,3)} es una base de W. 3 Determine v ∈ tal que β = {(1,1, 2 ) , ( 2,1, 3,) , v} es una base de ¡
¡
3
.
Solución: a)
1 + 1− 2 = 0 ⇒ (1,1, 2) ∈ W ∧ 2 + 1 − 3 ⇒ ( 2,1,3) ∈W
(i) P.d.q. α
= {(1,1,2 ) , ( 2,1,3)} genera W.
u = ( x, y, z ) ∈ W ⇔ ∃a, b ∈
¡
: ( x, y, z ) = a (1,1, 2 ) + b ( 2,1,3)
a + 2b = x ⇔ a+b = y 2a + 3b = z
⇒ x + y − z = ( a + 2b ) + ( a + b ) − ( 2 a + 3b) = 0
{(1,1,2 ) , ( 2,1,3)} genera W . (ii) P.d.q. α = {(1,1,2 ) , ( 2,1,3)} es linealmente independiente. Sean a, b ∈ Luego
¡
tales que:
a + 2b = 0 a (1,1, 2 ) + b ( 2,1,3) = ( 0, 0, 0) ⇔ a + b = 0 ⇔ a = b = 0 ⇒ α es l.i. 2a + 3b = 0 Luego, α
= {(1,1,2 ) , ( 2,1,3)} es base de W.
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b) Tomamos v P.d.q. β
= ( 0,0,1) ⇒ β = {(1,1, 2) , ( 2,1,3) , ( 0, 0,1)} ⊂
¡
3
= {(1,1, 2 ) , ( 2,1, 3) , ( 0, 0,1)} es linealmente independiente. Sean a, b, c ∈
¡
tales que:
a + 2b = 0 a (1,1, 2 ) + b ( 2,1,3) + c ( 0,0,1) = ( 0, 0, 0) ⇔ a + b = 0 ⇔ a = b = c = 0 2a + b + c = 0 3 Luego, β es l.i. y dim β = 3 ⇒ β es base de . ¡
6. Sean α =
{(1, −1, 0 ) , ( 0, −1, 2 )} y
β = {(1, −2, 2 ) , ( 3, −5, 4)} dos bases de un subespacio W ≤
¡
3
.
β
a) Encuentre [ I ]α
b) Encuentre, si es posible, las coordenadas en ambas bases de los vectores (1,0,0) y (4,-7,6). Solución: a) Sean a, b ∈ ¡ tales que:
a + 3b = 1 (1, −1, 0 ) = a (1, −2, 2 ) + b ( 3, −5, 4) ⇔ −2a − 5b = −1 ⇔ a = −2 ∧ b = 1 2a + 4b = 0 a + 3b = 0 ( 0, −1, 2) = a (1, −2, 2) + b ( 3, −5, 4) ⇔ − 2a − 5b = −1 ⇔ a = 3 ∧ b = − 1 2a + 4b = 2 β
Luego, [ I ]
α
−2 3 = 1 −1
b) Coordenadas: En β :
a + 3b = 1 (1,0, 0 ) = a (1, −2, 2) + b ( 3, −5, 4) ⇔ −2a − 5b = 0 ⇒ no existe solución ⇒ ( 1,0,0) ∉ W 2a + 4b = 0
a + 3b = 4 ( 4, −7, 6 ) = a (1, −2, 2) + b ( 3, −5, 4) ⇔ − 2a − 5b = − 7 ⇔ a = 1∧ b = 1 2a + 4b = 6 Luego,
1 ( 4, −7, 6 ) β = 1
Entonces:
(
β
( 4, −7, 6) α = [ I ]α
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)
−1
−1
−2 3 1 1 3 1 4 ( 4, −7,6) β = 1 = 1 2 1 = 3 1 1 −
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