Espacios Vectoriales Julio César Barraza Bernaola. Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) Lima - Perú
Mayo 2013
Definición de Espacios Vectoriales
Un espacio vectorial implica cuatro cosas Dos conjuntos no vacios V y F y Dos operaciones algebraicas llamadas suma de vectores y multiplicación por un escalar . Los objetos en el conjunto V son llamados vectores y los elementos en el conjunto F son llamados escalares.
Definición de Espacios Vectoriales (Continuación)
Definición Decimos que V es un espacio vectorial sobre F si se cumple lo siguiente 1 2 3 4 5
u v 2 V , para todo u, v 2 V λ u 2 V , para todo λ 2 F, para todo u 2 V u v = v u, para todo u, v 2 V (u v) w = u (v w) , para todo u, v, w 2 V Existe un elemento neutro (cero) denotado por 0 2 V tal que u0 = u
para todo u 2 V
Definición de Espacios Vectoriales (Continuación)
Definición (Continuación) 6. Para cada elemento u 2 V existe un elemento denotado como u 2 V tal que u (u) = 0 7. 8. 9. 10.
λ (u v) = (λ u) (λ v), para todo λ 2 F y para todo u, v 2 V (λ + µ) v = (λ v) (µ v) , para todo λ, µ 2 F y para todo v 2 V
(λµ ) v = λ (µ v) , para todo λ, µ 2 F y para todo v 2 V 1 v = v, para todo v 2 V
Definición de subespacio vectorial
Definición Un subconjunto W de un espacio vectorial V es llamado un subespacio vectorial de V si W es tambien un espacio vectorial bajo la suma y multiplicación por un escalar definido en V
Teorema Un subconjunto no vacio W de un espacio vectorial V es un subespacio si y solo si u+v λu para todo u, v 2 W y para todo λ 2 F
2 W 2 W
Combinación lineal
Definición Sean v1 , v2 , , vm vectores de un espacio vectorial V sobre el campo F. Entonces cualquier vector de la forma α 1 v1 + α 2 v2 + + α m v m
donde α1 , α2 , , αm 2 F se denomina combinación lineal de v1 , v2 , , vm
Espacio generado
Definición Sea S V un subconjunto del espacio vectorial V , el espacio generado por S es definido como el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S, se suele denotar como
[S] = span (S) = gen (S) Si S = fv1 , v2 , , vm g entonces
[S] = fα1 v1 + α2 v2 + + αm vm : αi 2 F, i = 1 ng
Espacio generado
Lema En un espacio vectorial V, el espacio generado por un subconjunto S de V es un espacio vectorial (subespacio)
Vectores linealmente dependiente e independiente
Definición Dado los vectores v1 , v2 , , vm 2 V se dice que son linealmente dependientes si y solo si existen escalares no todos iguales a cero talque λ 1 v1 + λ 2 v2 + λ m v m = 0
(1)
Definición Los vectores v1 , v2 , , vm 2 V se dice que son linealmente independientes si ellos no son linealmente dependientes
Dimension de un espacio vectorial
Definición El número mas grande de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V es llamado la dimensión de V y se denota dim V .
Base de un espacio vectorial
Definición Sea S un conjunto de vectores incluido en el espacio vectorial V , S es una base de V si y solo si 1 2
Los vectores en S son linealmente independientes El conjunto generado por S es V , esto es, [S] = span (S) = V
Propiedades de una base
Teorema Sea S = fv1 , v2 , , vn g una base de un espacio vectorial V , entonces cada vector v que pertenece a V, es expresado de manera única como combinación lineal de los vectores de S. Esto es existen escalares únicos α1 , α2 , , αn , tal que v = α 1 v 1 + α 2 v2 + + α n v n
Propiedades de una base
Teorema Si una base de un espacio vectorial tiene n vectores, entonces cualquier otra base también tiene n vectores.
Coordenadas de un vector
Definición Sea B = fv1 , v2 , , vn g una base del espacio vectorial de dimensión finita n y que el vector x 2 V , las coordenadas de x relativas a la base B son los escalares c1 , c2 , , cn tal que x = c 1 v 1 + c 2 v2 + c n v n esto es
2 66 [ x] B = 6 4
c1 c2 .. . cn
3 77 75
Suma e intersección de subespacios
Definición Sean U y W dos subespacios de V . La intersección de estos subespacios se define como U \ W = fv 2 V tal que v 2 U y v 2 W g y la suma de estos subespacios se define como U + W = fu + w tal que u 2 U y w 2 W g
Suma e intersección de subespacios
Teorema Sean U y W dos subespacios de V , entonces U \ W y U + W son subespacios vectoriales de V
Teorema Si U y W son subespacios de dimensión finita del espacio vectorial V entonces U + W es de dimensión finita y dim U + dim W = dim (U + W ) + dim (U \ W )
Cambio de Base
Definición Sean B1 = fu1 , u2 , , un g , B2 = fv1 , v2 , , vn g dos bases de un espacio vectorial V se define la matriz A como la matriz de transición de la base B1 a la base B2 como A = [u1 ] B2 , [u2 ] B2 , , [un ] B2
donde [ui ] B2 son las coordenadas del vector ui en la base B2 para i = 1 : n