UNIDAD 4 Espacios vectoriales

IV. ESPACIOS VECTORIA VECTORIALES LES IV.I DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. sumarse . Sea V un conjunto sobre el cual se definen dos operaciones llamadas suma y multiplicaci!n por un escalar. Si u y v están en V la suma de u y v se denota mediante u v y si c es un escalar el m"ltiplo escalar de u por c se denota mediante mediante cu. Si los siguientes a#iomas se cumplen para todos u v y $ en V y para todos los escalares c y d entonces V se llama espacio vectorial y sus elementos se llaman vectores.

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%. u & v está en V. V. 'erradura bajo la suma . u & v  v & u 'onmutatividad *. (u &v)  $ & u & (v & $) Asociatividad +. ,#iste un elemento - en V llamado vector cero tal ue u e u & -  u. /. 0ara cada u en V e#iste un elemento 1u en V tal ue u & (1u)  -. 2. cu está es tá en V. 'erradura bajo multiplicaci!n escalar 3. c (u & v)  cu & cv 4istributividad 5. (c & d)u  cu & du 4istributividad 6. c (du)  (cd)u %-. %u  u 7,89,A Sea V un espacio vectorial u un vector en V y c un escalar. a. -u  b. c-  c. (1%)u1u d. Si cu  - entonces c  - o u  -.

IV.II DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES Un subconjunto ; de un espacio vectorial V se llama subespacio de V si ; es en s< mismo un espacio vectorial con los mismos escalares suma y multiplicaci!n por un escalar ue V. 7,89,A Sea V un espacio vectorial y sea ; un subconjunto no vac




IV.III COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL Un conjunto de vectores =v% v . . .  v>? en un espacio vectorial V es linealmente dependiente si e#isten escalares c% c . . .  c> al menos uno de los cuales no es cero tales ue c%v% & cv & @ & c> v>   Un conjunto de vectores ue no es linealmente dependiente se dice ue es linealmente independiente. 7,89,A Un conjunto de vectores =v% v . . .  v>? en un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y s!lo si al menos uno de los vectores puede e#presarse como una combinaci!n lineal de los otros. 7,89,A Sea V un espacio vectorial y sea  una base bas e para V. 0ara todo vector v en V e#iste e#actamente una forma de escribir v como una combinaci!n lineal de los vectores base en . Un conjunto S de vectores en un espacio vectorial V es linealmente dependiente si contiene infinitos vectores linealmente dependientes. Un conjunto de vectores ue no es linealmente dependiente se dice ue es linealmente independiente.

IV.IV BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE BAS,: Un subconjunto  de un espacio vectorial V es una base para V si %.  genera a V y .  es linealmente independiente.





4E,FSEGF: Ha definici!n de dimensi!n es la misma para un espacio vectorial ue para un subespacio de 9n: el n"mero de vectores en una base para el espacio. 4ado ue un espacio vectorial puede tener más de una base es necesario demostrar ue esta definici!n def inici!n tiene sentidoI es decir: es necesario establecer ue diferentes bases para el mismo espacio vectorial contienen el mismo n"mero de vectores. 7,89,A Sea  =v% v . . .  vn? una base para un espacio vectorial V. V. a. 'ualuier conjunto con más de n vectores en V debe ser linealmente dependiente. b. 'ualuier conjunto con menos de n vectores en V no puede generar a V. V. 'ABE8 4, BAS, Sean   =u% . . .  un? y '  =v% . . .  vn? bases para un espacio vectorial V. Ha matriz de nDn cuyas columnas son los vectores coordenados Ju%K ' . . .  JunK' de los vectores en B con respecto a ' se denota y se llama matriz de cambio de base B a '. ,sto es 0cLb JJU%KcJUK' @ JUnKcK 0iense en  como la base MantiguaN y en ' como la base MnuevaN. ,ntonces las columnas de 0cLb son justo los vectores coordenados obtenidos al escribir los vectores de la base antigua en tCrminos de los nuevos. Sean B  =u% . . .  un? y '=v% . . .  vn? bases para un espacio vectorial V y sea 0cLb la matriz de cambio de base B a '. ,ntonces a. 0cLbJDKbJDKc para todo # en V. b. 0cLb es la matriz "nica 0 con la propiedad de ue para todo # en V. c. 0cLb es invertible y (0cLb) 1%  0cLb





IV.V ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES 4efinici!n. ,l espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualuier cua luier par de vectores u y v en V e#iste un "nico n"mero n"mer o complejo (u v) llamado el producto interior de u y v tal ue si u v y $ están en V y si O ∈ ' entonces 0ropiedades

i. (v v) P ii. (v v)  - si y s!lo si v  -. iii (u v &$)  (u v)& (u $) iv. (u & v $)  (u $)&(v $) v. (u v)  (v u) vi. (Ou v)  O(u v) vii. (u Ov)  O(u v) Ha barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.

IV.VI BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT 'ambio de base ,l cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B encontrar las coordenadas de dicQo vector con respecto a otra base BR. 7,89,A +.%- (Ha inversa de la matriz de transici!n). Si 0 es la matriz de transici!n de una base B a una base BR en  entonces 0 es invertible y la





Seanydos bases de 9n entonces la matriz de transici!n 01% de B a BR puede determinarse mediante eliminaci!n de auss T ordan en la matriz como se muestra a continuaci!n ,n la matriz BR representa la matriz ue tiene por columnas las componentes de los vectores de la base BR respectivamente de forma similar B representa la matriz ue tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente.

BASE ORTONORMAL Una base ortonormal de un espacio preQilbertiano V (es decir un espacio vectorial con producto interno) o en particular de un espacio de ilbert  es un conjunto de elementos e lementos cuyo span es denso en el espacio en el ue los elementos son mutuamente ortogonales y normales es decir de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones salvo la de magnitud unitariaI es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de QecQo esta es la forma Qabitual en la ue se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal. As< una base ortonormal es una base ortogonal en la cual la norma de cada elemento ue la compone es unitaria. ,stos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensi!n finita como de dimensi!n infinita. 0ara espacios de dimensi!n finita la condici!n de span denso es la misma ue la de WspanW como se usa en álgebra lineal. Una base ortonormal por lo general no es una XbaseX es decir en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinaci!n lineal de un n"mero finito de elementos de la base ortonormal. ,n el caso de dimensi!n infinita esta distinci!n cobra importancia: la definici!n dada reuiere solo ue el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial y no ue iguale al espacio entero. Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un ,spacio de BanacQ no tendrá una base ortonormal a no ser ue sea unespacio de ilbert.







PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN GRAM – SCHMIDT ,l proceso de ortogonalizaci!n de ramTScQmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numCrico para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio preQilbertiano más com"nmente el espacio eucl los cuales son linealmente independientes y ueremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u% @ u> los cuales generan el mismo subespacio ue los vectores v% @ v>. ,ste proceso lleva el nombre en Qonor a Yrgen 0edersen ram y ,rQard ScQmidt. 0roceso de ramTScQmidt 4efinimos el operador proyecci!n condonde los corcQetes angulares representan el producto interior proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u. Antes de ver el proceso debemos comprender el poruC de la definici!n de proyecci!n. Si recordamos la definici!n de producto escalar tenemos para el caso del numerador m!dulo de u por m!dulo de v por el coseno del ángulo ue forman. ,n el denominador tenemos m!dulo de u por m!dulo de u ya ue el coseno ser

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