NOLAN JARA
ESPACIOS VECTORIALES 1. Determine si el conjunto dado, con las operaciones operaciones habituales de adición y multiplicación por escalares, escalares, es un EV: a. El conjunto de todos los vectores de
(1 ) x 2 de la forma . …..SI 5 x
Solución.
b.
x (1 )t 5 y 5t y 1 x recta que pasa por el orig en es un E V x El conjunto de todos los vectores de la forma , con x 0 y y 0 . …..NO y Solución.
Porque
x
A= , con x 0 y y
y
2 2 0 . u A, pero - u A 3 3
El conjunto de vectores de cuyos puntos terminales pertenecen pertenecen al plano x 5 z a; …..NO Solución. 3
c.
A= (5z + a, y, z) puntos terminales del conjunto de vectores de x 5 z a; a 0 . (5z1 + a, y, z1) y (5z2 + a, y, z2) A (5z1 + a, y, z1) + (5z2 + a, y, z2) = (5(z1 + z2) + 2 a, 2y, z1 + z2) 2. Encuentre el vector de coordenadas de los vectores:
x 3 x 2 r (1 x) s(1 2 x) tx 2 r 1 1 b. w 6 con respecto a la base B 1 ; 5 2
1 3
; s
2 1; 3
1 3
que pertenecen pertenecen al
plano
A
a. p( x) x 3 x con respecto a la base B 1 x; 1 2 x; x Solución. 2
3
a 0.
2
de P . 2
, t 3
0 0 de 3 . 2
Solución.
1,6,2 r 1,1,5 s2,1,3 t 0,0,2 r , s, t 13,7,23 3. Determine si el conjunto B es una base del espacio vectorial
a. B x; 1 x; 1 x; x Solución.
2
x 1, V P 2
V .
P 2 rx s ( 1 x) t ( 1 x) u ( x 2 x 1) s t u r s t u x ux 2 B x; 1 x; 1 x; x 2 x 1es lin ind. B 1,0,0; 1,1,0 ; 1,1,0 ; 1,1,1 es lin. ind. r 1,0,0 s 1,1,0 t 1,1,0 u 1,1,1 0,0,0 r , s, t , u 2t ,t , t ,0 0,0,0,0 B x; 1 x; 1 x; x 2 x 1es lin dep. B no es es ba se
b. B 1 x; 1 x ; x x Solución. 2
2
,
V P 2
1
NOLAN JARA P 2 r 1 x s ( 1 x 2 ) t ( x x 2 ) r s r t x ( s t ) x 2 1
1
B 1 x; 1 x ²; x x 2 es lin ind. 1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1 0 1
0
1 1 1 0 B 1 x; 1 x ²; x x 2 es lin dep. B no es ba se 1
1 c. B 1 ; 1
1 1 0 , V gen 1; 1 0
1 0; 0
2 1 1
Solución.
x, y, z V x, y, z r 1,1,1 s1,0,0 r s, r , r r s x s x y r y r z x, y, z x, y, y y1,1,1 ( x y )1,0,0 v : B genera a V r s 0 s 0 r 0 B : lin . ind . r 0
e x ; 2e x ; e 2 , V f F / f ' ' ' f ' ' 0 1 1 5 2 1 1 4 4. Si A = ; ; , determine una base para gen(A). 2 0 6 1 1 1 d. B
5. Describa el espacio generado por cada uno de los conjuntos dados, determine su dimensión y proporcione dos bases para cada uno de ellos:
1 0 a. ; 1 1
1 1 ; 0 1
0 0 4 0 0
b. 1 x; x
3
x 2 P 3
6. Diga si los siguientes conjuntos son LI ó LD: a.
x;
2 x x 2 ; 6 x 2 x 2 en P 2 b. 1 2 x; 3 x x 2 x 3 ; 1 x 2 2 x 3 ; 3 2 x 3x 3 en P 3
Solución.
a. x; 2 x x 2 ; 6 x 2 x 2 rx s 2 x x 2 t 6 x 2 x 2 0
r 2 s 6t 0(i ) s 2t 0 s 2t
r 2 s 6t x s 2t x 2 0
en (i ) : r 2t r , s, t 2t ,2t ,.t 0,0,0
x; 2 x x 2 ; 6 x 2 x 2 LIN . DEP Tambien por que : 6 x 2 x 2 2 x 22 x x 2 2
NOLAN JARA b. 1 2 x; 3 x x 2 x 3 ; 1 x 2 2 x 3 ; 3 2 x 3 x 3 1
2 0
0
0
3
1
1
1
0
1
2
3
2
0
3
11 0 1 2 x; 3 x x 2 x 3 ; 1 x 2 2 x 3 ; 3 2 x 3 x 3 L.I
7. Suponga que B v; w es una base de un espacio vectorial V . ¿Cuál de los siguientes conjuntos son también bases de V ? a) v w; v
b)
v - w; w v
c) v + w; v; w
Solución. v w; v 8. Un EV “V “ tiene dimensión 15 y
es un SEV de “V “, para el cual
W
v ;...;v es un conjunto 1
8
generador. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? a) dimW 8. b) dimW 15. ……..(V) c) dimW 7. d) Cada conjunto LI en W no contiene más de 8 vectores ……..(V) 9. ¿Verdadero o falso? Justifique:
x i) El conjunto S y : x y 0 es un subespacio de R ...(F) z ii) El conjunto H p x P : p 3 3 p 1 0 es un subespacio de 3 3
iii) El conjunto W
a bx cx2 : abc 0 es un subespacio de
...(V) P 3
P2 ...(F)
iv) Sea V F un espacio vectorial y A e ; sen3x; x senx , entonces gen A es subespacio 2
x
vectorial de F .
...(V)
10. ¿Verdadero o falso? Justifique: 1 0
1
1
i) Los vectores v1 0 y v 2 1 generan el plano ii) La función f : R R, f x 1 pertenece a gen
π : x y z 0
e ;e x
x
...(V)
...(F)
x iii)El conjunto W y R 3 : 3x 2 5 y 2 0 R 3 es un subespacio de R ...(V) z 3
iv) Si u,v,w son vectores de R , con v ≠ w, entonces gen u; v ≠ gen u; w ...(F) 3
11. Verifique que el conjunto S
A M nxn R / A AT es un subespacio de
M nxn R .NO VIENE
12. Determine gen
1 2 ; 1 0
2 2 ; 0 4
1 1 ; 2 6
0 3 3 6
3
NOLAN JARA Solución.
x, y, z, w r 1,2,1,0 s2,2,0,4 t 1,1,2,6 u0,3,3,6 x r 2 s t y 2r 2 s t 3u z r 2 t 3 u w 4 s 6t 6u x 1 2 1 0 x 1 2 1 0 2 2 1 3 y f 2 f 0 2 3 3 y 2 x f f f 4 2 f 2 1 0 2 0 0 3 z 3 3 z x 0 4 6 6 w 0 4 6 6 w x 1 2 1 0 0 2 3 3 y 2 x w 2 y 4 x 0 0 0 3 3 z x 0 0 w 2( y 2 x) 0 0 2
3
1
1
1 13.a) Determine el valor de k para el cual el vector v k sea combinación lineal del 5 1 2 conjunto de vectores del conjunto S 3 ; 1 . 2 1 Solución.
1, k ,5 r 1,3,2 t 2,1,1 r 2t ,3r t ,2r t r 2t 1 3r t k 2r t 5 r 3, t 1, k 8 b) Exprese el polinomio p x 1 3x de tres formas distintas como combinación lineal de los vectores del conjunto 1 x;1 x; 2 x . Solución.
1 3 x r 1 x s 1 x t 2 x r s 2t ) ( r s t x r s 2t 1 r s t 3 2r t 2 t 2r 2, s 3 r 2r 2 3r 5, r R r , s, t r ,3r 5,2r 2 1,2,0; 0,5,2 ; 1,8,4
14. a) Siendo A 1 2x; 2x x ;1 x ;1 x 2
2
2
, determine gen( A)
Solución.
gen( A) r 1 2 x s2 x x ² t 1 x ² u 1 x ²
r t u) (2r 2 s x t u x² gen( A) A Bx Cx² 2 2 b) Consideremos los vectores p x 1 2x 3x , q x x x , determine si el polinomio 4
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r x 2 5x 5x2 es un elemento de gen p x ;q x . Solución.
gen p ( x), q ( x) s1 2 x 3 x ² t x x ² s 2 s t x 3 s t x ² gen p ( x), q ( x) s 2 s t x 3 s t x ² 2 5 x 5 x ² s 2 2 s t 5 t 1 3 s t 5 t 1
r ( x) (2 5 x 5 x ²) gen p ( x), q( x) o tambien 2 p ( x) q( x) 21 2 x 3 x ² x x ² 2 5 x 5 x 2
c) Es P generado por el conjunto A 1 x; x x ; 1 x 2 2
2
; es decir P gen A ? 2
Solución.
gen( A) r 1 x s x x ² t 1 x ² r t ) (r s x s t x ² A Bx Cx² P 2 ( x)
gen( A) P 2 ( x) 15. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: i) Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y dimV dimW , entonces V W . ...(F) ii) Si u; v; w es un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V , entonces el conjunto u v; v w; u w es también LI. ...(V) iii) Si V es un espacio vectorial de dimensión n y S v1 ; v 2 ;....v p un conjunto de vectores de V ,
con p n, entonces el conjunto S es linealmente independiente. ...(F)
2 1 a 3 16.Determine el valor de a para el cual el conjunto A 1 ; 0 ; 2 forma una base de R . 1 1 1 Solución.
2 1 A 1
0
1 1
a 2 1 1 a 22 1 a 1 0 a 1
1
17.Determine una base y la dimensión de los siguientes espacios vectoriales:
x 3 a) W y R : x y z 0 z Solución.
x W y R 3 : x y z 0 z x y z Sea r, s, t W r, s, t r , s,r s r (1,0,1) s(0,1,1) B (1,0,1), (0,1,1) Dim(W ) 2 b) W p( x) P 2 : p(1) 0 Solución. P2(x)=(c-b) + (b-c)x +c(x-1)2
5
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B 1; x; x 2 ; Dim(W) 3 18.Determine una base y la dimensión de gen( A) si
A 1 2 x; 2 x x 2 ; 1 x 2 ; 1 x 2 Solución.
A 1 2 x; 2 x x 2 ; 1 x 2 ; 1 x 2 gen( A) a1 2 x b2 x x 2 c1 x 2 d 1 x 2 gen( A) a c d 2a 2b x b c d x ² B 1; x; x 2 ; Dim(A) 3 19.Halle la dimensión del subespacio generado por el conjunto A
1 1 A , 0 0
2 2 , 0 0
0 1 , 0 0
2 0 , 0 3
1 2 , 0 8
R 4 :
0 0 0 0
Solución.
1 1 A 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
2
0
2
1
0
0
0
0
0
2
1
2
0
0
0
0
1 2 0 2 1 0 1 2 1 0 2 0 0 2 0 y f xf 0 0 0 0 3 8 0 0 0 z 0 3 8 w 0 0 0 0 0 0 1 0 x 3 0 y x z 0 en R 4 Espacio R³ 3 8 w 0 0 z 2
1
0 x
3
4
x
f f w z
y
2
1
Dim gen( A) 3 20.
Sea
A 1 ax, a 2 3, ax 2 1; a 0 un conjunto que no es base para P 2 y sea
1 0 1 M 2 , b 1 , 0 un conjunto linealmente dependiente en R 3 . 3 2 1 coordenadas de p( x) abx b P 1 en base B 1, 1 x.
Determine el vector de
Solución.
A 1 ax, a 2 3, ax 2 1; a 0 no es base para P 2 si A no es Lin. IN D. es decir r 1 ax s a 2 3 t ax 2 1 0 para a lg un r,s o t 0, en efecto :
r a 2 3 s t 0 i ar 0 r 0 en i at 0 t 0
a
2
3 s 0; s 0 a 2 3 0 a 3
6
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1 0 1 M 2 , b 1 , 0 3 2 1 -1
0
es lin. dep M 0
1
M 2 b 1 0 b 1 4 3b 1 0 3
-2
1
4b 8 0 b 2 p( x) 2 3 x 2 P 1 en base B 1, 1 x
p( x) 2 3 x 2 2 2 3 1 2 3 1 x ADICIONALES 1. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: ii) Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y dimV dimW , entonces V W . ...(F) ii) Si u; v; w es un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V , entonces el conjunto u v; v w; u w es también LI. ...(V) iii) Si V es un espacio vectorial de dimensión n y S v1 ; v 2 ;....v p un conjunto de vectores de V ,
con p n, entonces el conjunto S es linealmente independiente. ...(F)
2 1 a 3 2. Determine el valor de a para el cual el conjunto A 1 ; 0 ; 2 forma una base de R . 1 1 1 Solución.
2 1 A 1
0
1 1
a 2 1 1 a 22 1 a 1 0 a 1
1
3. Determine una base y la dimensión de los siguientes espacios vectoriales:
x 3 a) W y R : x y z 0 z Solución.
x W y R 3 : x y z 0 z x y z Sea r, s, t W r, s, t r , s,r s r (1,0,1) s(0,1,1) B (1,0,1), (0,1,1) Dim(W ) 2 b) W p( x) P 2 : p(1) 0 Solución. P2(x)=(c-b) + (b-c)x +c(x-1)2
B 1; x; x 2 ; Dim(W) 3
4. Determine una base y la dimensión de gen( A) si
7
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A 1 2 x; 2 x x 2 ; 1 x 2 ; 1 x 2 Solución.
A 1 2 x; 2 x x 2 ; 1 x 2 ; 1 x 2 gen( A) a1 2 x b2 x x 2 c1 x 2 d 1 x 2 gen( A) a c d 2a 2b x b c d x ² B 1; x; x 2 ; Dim(A) 3 5. Halle la dimensión del subespacio generado por el conjunto A
1 1 A , 0 0
2 2 , 0 0
0 1 , 0 0
2 0 , 0 3
1 2 , 0 8
R 4 :
0 0 0 0
Solución.
1 1 A 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 6.
Sea
0 x
2
0
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
8
0 1
2
1
2 0
1
0
2 3 0
0
0
3
8
0
0
0
0
A 1 ax, a 2 3,
1 2 0 2 1 0 x 1 2 1 0 2 0 y y f xf f f 0 0 0 0 3 8 w z 0 0 0 0 0 0 z w x y x z 0 en R 4 Espacio R³ ; Dim gen( A) 3 w z ax 2 1; a 0 un conjunto que no es base para P 2 y sea 3
4
1 0 1 M 2 , b 1 , 0 3 2 1
3 un conjunto linealmente dependiente en R . coordenadas de p( x) abx b P 1 en base B 1, 1 x.
2
1
Determine el vector de
Solución.
A 1 ax, a 2 3, ax 2 1; a 0 no es base para P 2 si A no es Lin. IN D. es decir r 1 ax s a 2 3 t ax 2 1 0 para a lg un r,s o t 0, en efecto :
r a 2 3 s t 0 i ar 0 r 0 en i at 0 t 0
a
2
3 s 0; s 0 a 2 3 0 a 3
1 0 1 M 2 , b 1 , 0 3 2 1 -1
0
es lin. dep M 0
1
M 2 b 1 0 b 1 4 3b 1 0 3
-2
1
4b 8 0 b 2 8
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p( x) 2 3 x 2 P 1 en base B 1, 1 x
p( x) 2 3 x 2 2 2 3 1 2 3 1 x
9
