Capitulo Xii Espacios Vectoriales

´ INDICE

12.ESPACIOS VECTORIALES

12.1. 12.1. 12.2. 12.3. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.6. 12.7. 12.8.

253

´ DE ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 DEFI DEFINI NICI CION 253 SUBESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 254 COMB COMBIN INAC ACIO IONES NES LINE LINEAL ALES ES Y ESP ESPAC ACIO IO GENER GENERAD ADO O . . . . . . . . 256 CONJUNTOS CONJUNTOS LINEALME LINEALMENTE NTE DEPENDIENT DEPENDIENTES ES Y CONJUNTOS CONJUNTOS LILINEALMENT ENTE INDEPEN PENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 258 BASE DE UN ESP ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 261 ´ DE UN ESP DIME DIMENS NSIION ESPACIO CIO VECT VECTOR ORIA IAL L . . . . . . . . . . . . . . . 263 263 EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 265 EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 268

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CAP´ ITUL IT ULO O

12

ESPACIOS ESPACIOS VECTORIALES

12.1 12.1..

´ DEFI DEFINI NICI CION DE ESPACI ESPACIO O VECTORIAL VECTORIAL

un cuerpo y V un V un conjunto, decimos que la cuaterna (V, ( V, +, · , K ) Definici´ on on 12.1.1. Sea K un es un espacio vectorial si se cumple a) ∀ v, w ∈ V : v + v + w ∈ V ; V ; Ley de composición on Interna. b) v + (w ( w + r ) = (v + w) + r; ∀ v,w,r ∈ V ; V ; Asociatividad de la Suma. c) ∃ 0 ∈ V V tal que v que v + 0 = 0 + v = v = v;; ∀ v ∈ V ; V ; Elemento Neutro 0. d) ∀ v ∈ V ∃ − v ∈ V V tal que v que v + ( −v ) = − v + v = 0; Elemento Opuesto − v . e) v + w = w = w + + v ; ∀ v, w ∈ V ; V ; Conmutatividad de la Suma. f ) ∀ v ∈ V, V , ∀ k ∈ K se K se cumple k cumple k · v ∈ V ; V ; Ley de composición on externa. g) k · (v + w) = k · v + k · w ; ∀ v, w ∈ V, V , ∀ k ∈ K . K . h) (k1 + k2 ) · v = k = k1 · v + k2 · v ; ∀ v ∈ V, V , ∀ k1 , k2 ∈ K . K . i) (k1 k2 ) · v = k = k1 (k2 · v ) ∀ v ∈ V, V , ∀ k1 , k2 ∈ K . K . j) 1 · v = v = v;; ∀ v ∈ V ; V ; 1 ∈ K . K . Observaci´ on on 12.1.1. 12.1.1. 1. A los element elementos os de V de V se les llama, genéricamente, ericamente, “vectores” y a los elementos de K se les llama “escalares”. 2. En general general anotamos anotamos kv en lugar de k · v. Esta es la ponderación on de un vector por un escalar y no constituye una multiplicación. on.









25 4

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

3. Al referirnos a la cuaterna (V, ( V, +, · , K ) tambi´ t ambién en anotar ano taremo emoss V K K .

Proposic Prop osici´ i´ on on 12.1.1. 12.1 .1. Sea V K K un espacio vectorial sobre el cuerpo K ; se cumple

a) Los Los vectores vectores 0 y −v , cuya existencia garantiza c) y d) de la definici´ on, son ´ unicos. b) La ponder ponderaci´ aci´ on del vector nulo por cualquier escalar produce el vector nulo. c) La ponder ponderaci´ aci´ on de cualquier vector por el escalar nulo produce el vector nulo. d) (−k )v = k = k((−v ) = − (kv); kv ); ∀ v ∈ V, V , ∀ k ∈ K .

Demostraci´ on. c) Como 0v 0v = (0 + 0)v 0)v = 0v + 0v 0 v y dado que existe el vector opuesto −(0v (0v ) entonces, sumando sumand o este est e opuesto opu esto a la expresión on 0v 0 v = 0v + 0v obtenemos − (0v (0v ) + 0v = − (0v (0v ) + [0v [0v + 0v 0 v] de donde 0 = [ −(0v (0v ) + 0v 0 v ] + 0v 0 v , as´ı, ı, 0 = 0v + 0 v = 0v .

Ejemplo 12.1.1.

1. El conjunto conjunto de las matrices matrices M ( M (nR) con las operaciones usuales es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros reales. reales. 2. (R2 , +, · , R) es un espacio vectorial (las operaciones usuales est´ an declaradas por omisi´ on). 3. (R2 , +, · , R) con las operaciones (a, b) + (c, ( c, d) = (a + c, b + d) y k (a, b) = (a,kb) a,kb) no es un espacio vectorial sobre R ya que, por ejemplo, (2 + 3)(1, 3)(1, 2) = 5(1, 5(1, 2) = (1, (1, 10) y sin embargo 2(1, 2(1, 2) + 3(1, 3(1, 2) = (1, (1, 4) + (1, (1, 6) = (2, (2, 10). 10). 12.2. 12.2.

SUBESP SUBESPAC ACIO IO VECTOR VECTORIAL IAL

V . Decimos que A Defini De finici´ ci´ on on 12.2.1 12. 2.1.. Sea V K K un espacio vectorial sobre K y Φ̸ = A ⊆ V . es un subespacio vectorial de V , V , lo que denotamos A denotamos A ▹ V , V , si el conjunto A conjunto A provisto de las operaciones del espacio vectorial es, en si mismo, un espacio vectorial sobre el cuerpo K . K . Observaci´ on 12.2.1. 12.2.1. Demostrar Demostrar que un subconjunto subconjunto de un espacio vectorial vectorial es un subespacio implica, hasta el momento, verificar que se cumplen las diez “caracter´ “caracter´ısticas” deseables; por cierto una gran tarea, sin embargo, la siguiente caracterización on del concepto nos ayuda.









´ LEZ SERRANO HERALDO GONZA

25 5

Caracterizaci´ on

Sea V Sea V K sobre K y Φ̸ = A ⊆ V , V , entonces K un espacio vectorial sobre K

A ▹ V ⇔

Demostraci´ on.

 

1) 0 ∈ A 2) v, 2) v, w ∈ A ⇒ (v ( v + w ) ∈ A 3) k 3) k ∈ K, v ∈ A ⇒ kv k v ∈ A

Sabemos que que A A ▹ V entonces, V entonces, se cumple inmediatamente 1), 2) y 3). ⇒) Sabemos

⇐) Si sabemos que se cumple 1), 2) y 3) entonces debemos verificar que se cumple a), b), . b), . . . , j) de la definición. on. Necesitamos demostrar sólo olo que ∀ w ∈ A, −w ∈ A ya que las otras, son inmediatas puesto que, si p ∈ A ⊆ V V entonces p entonces p ∈ V y V y satisface las condiciones en V . V . Como A̸ = Φ entonces existe w ∈ A ⊆ V ; V ; en V , V , (−1) · w = − w, pero por 3) de la hipótesis, otesis, (−1) · w = − w ∈ A. A .

Ejemplo 12.2.1.

1. Sea V K V . K un espacio vectorial sobre K , entonces V ▹ V . 2. {0} ▹ V K K . 3. Sea R3R un espacio espacio vectorial vectorial,, entonces entonces W = {(a,b,c) a,b,c) / a ∈ 3 subespacio vectorial de RR .

= c = = R, b = c

0} ⊆

R

es

En efecto 1) 0 = (0, (0, 0, 0) ∈ W . W . 2) Sea v = (a,b,c) a,b,c), w = ( p, q, r ) ∈ W W (a (as´ı, a ∈ R, b = c = 0; p ∈ R, q = r = 0) entonces v entonces v + w = (a + p, b + q, c + r ) ∈ W ya W ya que (a ( a + p) p) ∈ R y b y b + q = c = c + r = 0. 3) Si v = (a,b,c) a,b,c) ∈ W , W , k ∈ R entonces kv = k (a,b,c) a,b,c) = (ka,kb,kc) ka,kb,kc) ∈ W W puesto que ka ∈ R y kb = kb = kc kc = 0. W es subespacio de R3R en cada uno de los siguientes casos Ejemplo 12.2.2. Decida si W a) W = { (a,b,c) a,b,c) / a = 2b, c ∈

R}.

b) W = { (a,b,c) a,b,c) / a ≤ b ≤ c }. c) W = { (a,b,c) a,b,c) / ab = ab = 0}. Soluci´ on. on.

a) Se verifica fácilmente acilmente que W que W ▹ R3R . b) No es subespacio ya que, por ejemplo, v = (1, (1, 2, 3) ∈ W W y sin embargo −2v = (−1, −4, −6) ∈ / W . W .









25 6


c) No es subespacio ya que por ejemplo, v = (0, (0, 1, 3), w = (1, (1, 0, 7) ∈ W W pero v + w + w = (1, (1, 1, 10) ∈ / W . W .

W , U son U son subespacios vectoriales de V K Ejemplo 12.2.3. Si W , K entonces W ∩ U ▹ V . En efecto 1. Como 0 ∈ W y 0 ∈ U U entonces 0 ∈ W ∩ U . U . 2. Sean Sean v, w ∈ W ∩ U , U , debemos demostrar que (v + w + w)) ∈ W ∩ U . U . Como v, w ∈ W y v, w ∈ U U entonces (v + w ) ∈ W y (v + w) ∈ U , U , entonces (v + w) ∈ W ∩ U 3. Ahora, Ahora, sea v ∈ W ∩ U , U , k ∈ K , K , debemos demostrar que kv ∈ W ∩ U . U . Como v ∈ W y v ∈ U , U , k ∈ K K entonces kv ∈ W y kv ∈ U en U entonces, tonces, por definici´ definici ón on de intersec inters ecci´ ci´ on concluimos que kv ∈ W ∩ U . U . Ejemplo Ejemplo 12.2.4. 12.2.4. Sea W =

W ▹ R3 [x].

p( p(x) = a + (a (a − b)x2 + bx3



�

R3 [x].

⊆

Demu Demues estr tree que

Soluci´ on. on.

1) p(x) = 0 = 0 + 0x 0x + 0x 0x2 + 0x 0x3 ∈ W ya W ya que p que p((x) = 0 + (0 − 0)x 0)x2 + 0x 0x3 . 2) Si p Si p((x) = a + bx+ bx + cx2 + dx3 , q (x) = e + f x + gx 2 + hx3 ∈ W entonces W entonces p p((x) + q (x) ∈ W 2 3 ya que p que p((x) + q (x) = (a + e) + ((a ((a + d) − (d + h))x ))x + (d (d + h)x . 3) Si p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ W , W , k ∈ K K entonces kp( kp (x) ∈ W W ya que que 2 3 kp( kp(x) = ka k a + (ka (ka − dk) dk)x + dkx . Por 1), 2), 3) W 3) W ▹ R3 [x]. Observaci´ on 12.2.2. 12.2.2. La caracterización on de subespacio anterior, se puede expresar tambi´ en en como sigue 1) 0 ∈ A A ▹ V K K ⇔ 2) ∀ v, w ∈ A, ∀ k ∈ K ; K ; (v + kw) kw ) ∈ A

�

En el Ejemplo ????????, la parte 2) y 3) queda: Sean v Sean v,, w ∈ W ∩ U , U , k ∈ K , K , debemos demostrar que (v ( v + kw) kw ) ∈ W ∩ U . U . Como v Como v,, w ∈ W y v, w ∈ U entonces U entonces (v (v + kw) kw ) ∈ W y (v + kw) kw ) ∈ U , U , entonces (v (v + kw) kw ) ∈ W ∩ U . U . 12.3. 12.3.

COMBIN COMBINAC ACION IONES ES LINEALES LINEALES Y ESPAC ESPACIO IO GENERAD GENERADO O

y A = { v1 , v2 , . . . , vn } ⊆ Defini De finici´ ci´ on on 12.3.1 12. 3.1.. Sea V K K un espacio vectorial sobre el cuerpo K y V entonces, V entonces, si existen escalares k1 , k2 , . . . , kn ∈ K K tal que v = vector v es una combinación on lineal de los vectores de A. A . (1, 7, −4) ∈ Ejemplo 12.3.1. Determine si el vector v = (1, vectores del conjunto A = { v1 , v2 } ⊆

3 RR donde v1 =

3

n i=1 ki vi decimos

∑

que el

es combinaci´ on lineal de los (1, (1, 3, −2), 2), v2 = (2, (2, −1, −1). 1). R










25 7

que v sea combinación on lineal de los vectores del conjunto A conjunto A deben deben existir Soluci´ on. on. Para que v reales k reales k 1 , k 2 tal que se cumpla v = k = k 1 v1 + k2 v2 . Consideremos v Consideremos v = k = k 1 v1 + k2 v2 .

                       

= k 1 v1 + k2 v2 ⇒ (1, (1 , 7, −4) = k1 (1, (1, −3, 2) + k2 (2, (2, −1, −1) ⇒ v = k

k1 + 2k 2 k2 = 1 −3k1 − k2 = 7 2k1 − k2 = − 4

Aplicando el Teorema de Rouche obtenemos: C = (A|B ) =

 

1 2 1 −3 −1 7 2 −1 −4

f 21 21 (3)

∼

f 31 31 (−2)

1 2 1 0 5 10 0 −5 −6

f 32 32 (1)

∼

1 2 1 0 5 10 0 0 4

f 2 ( 1 ) 5

∼

f 3 ( 1 ) 4

1 2 1 0 1 2 0 0 1

.

Es claro que el sistema no tiene solución y entonces v entonces v no es combinación on lineal de v de v 1 , v2 . = A ⊆ V , V , al conjunto Definici´ on on 12.3.2. 12.3.2. Sea V K K un espacio vectorial sobre K y φ ̸ L(A) formado por todas las combinaciones lineales de vectores de A lo A lo llamamos conjunto generado por A por A y lo denotamos denota mos también en ⟨ A⟩. espacio vectorial vectorial sobre K y φ ̸ = A ⊆ V , entonces s V , entonce Proposici´ on on 12.3.1 12.3.1.. Sea V K K un espacio

⟨A⟩ ▹ V K K . Demostraci´ on. Sea A Sea A = { v1 , v2 , . . . , vn } ⊆ V , V , entonces 1) 0 = 0v1 + 0v 0 v2 + · · · + 0v 0vn , as´ı,ı, 0 ∈ ⟨A⟩. 2) Si v Si v,, w ∈ ⟨A⟩ y k ∈ K , K , debemos demostrar que (v ( v + kw) kw ) ∈ ⟨A⟩. Como v ∈ ⟨A⟩ entonces v = ni=1 ki vi , como w ∈ ⟨A⟩ entonces w = donde (v (v + kw) kw ) = ni=1 (ki + kpi )vi ∈ ⟨A⟩.

∑

∑

A ⟨ A⟩ lo llamamos “subespacio generado por A por A”. ”.

Ejemplo 12.3.2. Considere A = { v1 , v2 } ⊆

4

RR donde v1

∑

n i=1 pi vi ,

de

= (1, (1, 2, 1, 1), 1), v2 = (−1, 1, 2, 2). 2).

Determine si los siguientes vectores pertenecen a ⟨A⟩. a) v = (4, (4, 4, 0, 7) e) u = (4, (4, 11 11,, 7, 7)

b) w = (2, (2, 1, 0, 3) f ) f ) t = (−1, 4, 5, 5)

c) r = (−2, 6, −8, −8) g ) x = (4, (4, 5, 0, 7)

d) s = (4, (4, 4, 0, 0) h) y = (5, (5, −2, 7, 7)

Soluci´ on. on.

Naturalmente que resulta largo realizar la verificación on vector a vector, en su reemplazo determinemos una expresión on funcional que cumplan los vectores que pertenecen a ⟨ A⟩. Sea (a,b,c,d (a,b,c,d)) ∈ ⟨A⟩ entonces, (a,b,c,d ( a,b,c,d)) = k 1 (1, (1, 2, 1, 1) + k + k2 (−1, 1, 2, 2), de aqu´ aqu´ı obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

  

k1 − k2 = a = a 2k1 + k2 = b = b k1 + 2k 2 k2 = c = c k1 + 2k 2 k2 = d = d











25 8


b Resolviendo el sistema obtenemos: a + b + b = 3k1 de donde k1 = a+ 3 . Reemplazando k1 en la ecuación on 2k1 + k 2 = b obtenemos k2 = b 32a , finalmente, reemplazando k1 y k2 b b 2a en la ecuación on k1 + 2k2 = c = d obtenemos c = a+ = b − a. a . As´ı, ⟨A⟩ = 3 + 2 3 a,b,c,d) / b − a = c, = c, c = d = d }. {(a,b,c,d) Con esto podemos deducir por que v que v,w, ,w, x, y ∈ / ⟨A⟩ y que los otros o tros vectores s´ı pertenec p ertenecen en al subespacio generado por A por A.. −

−

p(x) = a + bx + cx2 + dx3 / c = a = a − d, b = 0 ▹ R3 [x]. Ejemplo 12.3.3. Considere W = p(



�

Determine un conjunto generador de W . W .

Si p((x) ∈ W entonces W entonces W W = p( p(x) = a + bx + cx2 + dx3 / c = a = a − d, b = 0 . Soluci´ on. on. Si p



�

Si imponemos las condiciones de pertenencia a W entonces W entonces el polinomio queda p queda p((x) = 2 3 a+(a +(a− d)x +dx , si reordenamos, agrupando por coeficientes obtenemos p obtenemos p((x) = a(1+ a (1+x x2 )+ d(−x2 + x3 ), a, ), a, d ∈ R entonces, esto último ultimo dice que los elementos de W son W son combinación on 2 2 3 lineal los polinomios 1 + x y − x + x , lo cual, es precisamente la definición on de conjunto 2 2 3 generador, genera dor, as´ as´ı, un u n generad g enerador or de W de W es 1 + x , −x + x . 12.4. 12.4.



�

CONJUN CONJUNTOS TOS LINEAL LINEALMEN MENTE TE DEPEND DEPENDIEN IENTES TES Y CONJUNCONJUNTOS LINEALMENTE LINEALMENTE INDEPENDI INDEPENDIENTES ENTES

Considere los vectores v1 = (1, (1, 2, 3), v2 = (2, (2, 3, 4), v3 = (4, (4, 7, 10), es inmediato notar que v que v 3 = 2v1 + v2 , dicho de otra forma, v forma, v 3 depende de v 1 y de v de v 2 , por otro lado podemos escribir 2v 2v1 + v 2 − v 3 = 0; sin embargo, esta no es la única unica combinación o n lineal de los vectores v1 , v2 , v3 que producen al vector nulo, ya que tambi´ en en 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0; esto nos indica la siguiente definición. on. y A = { v1 , v2 , . . . , vn } ⊆ Defini De finici´ ci´ on on 12.4.1 12. 4.1.. Sea V K K un espacio vectorial sobre el cuerpo K y V . V . a) El conjun conjunto to A A es es un conjunto linealmente conjunto linealmente dependiente si si y sólo olo si existe algún un escalar n k̸ 0, i = = 1, 2, . . . , n tal n tal que i=1 ki vi = 0. i = 0, i

∑

b) El conjunto A es un conjunto linealmente independiente si independiente si y sólo olo si implica que todos los escalares k i son nulos y unicos. u ´ nicos.

n i=1 ki vi

∑

=0

Observaci´ on on 12.4.1. 12.4.1. a) Un conjun conjunto to es linealmen linealmente te indepen independie dient ntee (L.I) (L.I) si la única unica combinaci´ combinaci´ on on lineal que










25 9

Ejemplo 12.4.1. Determine la dependencia o independencia lineal de los siguientes sub-

conjuntos. a) {(6, (6, 1, 1), 1), (−2, 0, 0), 0), (4, (4, 1, 1)} ⊆

3

RR .

b) {(1, (1, 2, −1), 1), (1, (1, 0, 2), 2), (2, (2, 4, −2)} ⊆

3

RR .

Soluci´ on. on.

a) Considere Considere la combinaci´ combinaci´ on on lineal a lineal a(6 (6,, 1, 1) + b(−2, 0, 0) + c(4, (4, 1, 1) = (0, (0, 0, 0), entonces se produce el siguiente sistema lineal

 

6a − 2b + 4c 4c = 0 a + c = 0 a + c = 0

Si el sistema tiene solución on unica, u ´ nica, la trivia trivial, l, enton entonces ces el conjun conjunto to es lineal linealmen mente te independiente, en caso contrario, el conjunto es linealmente dependiente. Usando matrices tenemos

 

C = (A|B ) =

           

6 −2 4 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f 2 (− 1 ) 2

∼

f 12 12

∼

1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

     

1 0 1 0 6 −2 4 0 1 0 1 0

.

f 21 21 (−6)

∼

f 31 31 (−1)

   

1 0 1 0 0 −2 −2 0 0 0 0 0

El conjunto es linealmente dependiente ya que el sistema tiene infinitas soluciones adem´ as as de la trivial a = b = b = = c c = = 0. Es posible “colocar” los vectores en una matriz donde, cada vector constituye una fila; se puede demostrar que las filas no nulas de la matriz escalonada equivalente a la original están an asociados a vectores vectores linealmente linealmente independien independientes. tes. Veamos la técnica ecnica con los mismos vectores.

 

   

6 1 1 −2 0 0 4 1 1

f 21 21

∼

   

−2 0 0 6 1 1 4 1 1

1 1 −2

f (

∼

)

   

1 0 0 6 1 1 4 1 1

f 21 21 (−6)

∼

f 31 31 (−4)

   

1 0 0 0 1 1 0 1 1

f 23 23 (−1)

∼

 

1 0 0 0 1 1 0 0 0

Podemos concluir que los 3 vectores originales forman un conjunto linealmente dependiente ya que la matriz escalonada sólo olo tiene dos filas no nulas, sin embargo, nos entr más as info i nfo ción; on; los dos primeros vectores forman un conjunto linealmente









26 0


Es inmediato acepta que los tres vectores forman un conjunto linealmente dependiente, en tanto que, los dos primeros vectores son vectores linealmente independientes. Ejemplo 12.4.2. Si {u,v,w} ⊆ V K K es L.I. demuestre que {u + v, u − v, u − 2v + w } es

L.I. Soluci´ on. on.

Consideremos la combinación on lineal k lineal k1 (u + v ) + k2 (u − v ) + k3 (u − 2v + w) = 0, debemos demostrar que k que k 1 = k = k 2 = k = k 3 = 0, unicos. u ´ nicos. k1 (u + v ) + k2 (u − v ) + k3 (u − 2v + w ) = 0 ⇒ (k ( k1 + k2 + k3 )u + (k1 − k2 − 2k3 )v + k3 w = 0, de donde se deduce el sistema

 

k1 + k2 + k3 = 0 k1 − k2 − 2k3 = 0 k3 = 0

reso resolv lvie iend ndoo el sist sistem emaa enco encon ntramo tramoss la solu soluci ci´ón on unica u ´ nica k1 = k2 = k3 = 0, as´ as´ı, {u + v, u − v, u − 2v + w} es L.I. on lineal de vectores L.I. es ´ unica. Ejemplo 12.4.3. Demuestre que toda combinaci´ Soluci´ on. on. n Sea A Sea A = = { v1 , v2 , . . . , vn } ⊆ V K que v es unico. u ´ nico. K y v = i=1 ki vi , debemos demostrar que v n n n n Supongamos que v que v = = i=1 pi vi , entonces i=1 ki vi = i=1 pi vi , as´ı, i=1 ( pi − ki )vi = 0 y, como A como A es es un conjunto L.I. entonces p entonces p i − ki = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , n, n, luego la combinación on es unica. u ´ nica.

∑

∑∑

∑

∑

= { v1 , v2 , . . . , vn } ⊆ V , V , entonces Ejemplo 12.4.4. Sea V K K un espacio vectorial y S = a) S es S es L.D. ⇔ alg´ un vector de S es S es combinaci´ on lineal de los restantes vectores. b) Si alg´ un vector de S es S es el vector nulo entonces S es S es L.D. c) Si S es S es L.I. y S 1 ⊆ S S entonces S 1 es L.I. d) Si S 1 ⊆ S y S 1 es L.D. entonces S es S es L.D. Soluci´ on. on.

a) ⇒) Si S = { v1 , v2 , . . . , vn } es L.D. entonces algún un escalar es distinto de cero en la n ecuaci´ on on i=1 ki vi = 0. Supongamos que k que k p̸ = 0 para alg´ un p un p = = 1, 2, . . . , n, n, entonces podemos despejar v p y obtenemos

∑

k

k

k

k










26 1

b) Supongamos Supongamos que v que v p = 0 ⇒ 0v 0 v1 + 0v2 + · · · + 0v p 1 + 3v p + 0v p+1 + · · · + 0vn = 0, as´ı,ı, S = = { v1 , v2 , . . . , vn } es L.D. −

c) Sea S Sea S 1 = { v1 , v2 , . . . , v p } ⊆ S y y consideremos la combinación on lineal a lineal a1 v1 + · · · + a p v p = 0, debemos demostrar que la ecuación on tiene solución on unica u ´ nica a1 = · · · = a p = 0. Si agregamos n − p ceros tenemos a1 v1 + · · · + a + a p v p + 0v p+1 + · · · + 0vn = 0; como ésta esta ultima combinaci´ combinac ión on lineal es de vectores linealmente independientes entonces a1 = · · · = a = a p = 0, unicos, u ´ nicos, de donde S donde S 1 es un conjunto linealmente independiente. d) Sea S 1 = {v1 , v2 , . . . , v p } ⊆ S . Si S 1 es linealmente dependiente entonces, en la combinaci´ on on lineal a1 v1 + a 2 v2 + · · · + a p v p = 0 existe algún un escalar no nulo. Si agregamos “ceros” a la combinaci´ on on precedente entonces a 1 v1 + a2 v2 + · · · + a p v p + 0v p+1 + · · · + 0vn = 0 y se mantiene la existencia de un escalar no nulo, as´ as´ı entonces, S es S es linealmente dependiente. 12.5. 12.5.

BASE BASE DE UN UN ESPACIO ACIO VECTO VECTORIA RIAL L

Definici´ on on 12.5.1. Sea V K K un espacio vectorial. Decimos que el conjunto B = { v1 , v2 , . . . , vn }

es una base de V si V si y sólo olo si a) ⟨B ⟩ = V = V .. b) B es un conjunto linealmente independiente. Ejemplo 12.5.1. Verifique que

1) E = = { e1 = (1, (1, 0), 0), e2 = (0, (0, 1)} es base de R2R (base can´ onica). 2) B = { v1 = (1, (1, 5), 5), v2 = (0, (0, 3)} es base de R2R . Soluci´ on. on.

1) Debemos demostrar demostrar que: que: a) ⟨E ⟩ = a) Sea v = (x, y) ∈ ⟨E ⟩ = R2 .

2;

R

2,

R

b) E b) E es es linealmente independiente.

es inmediato concluir que v = (x, y) = xE 1 + yE + yE 2 , as´ı,

b) Para probar que E E es linealmente independiente basta con usar la expresión on matricial ( 10 01 ), lo que indica, inmediatamente, que E es E es linealmente independiente. Por a) y b) concluimos que E que E es es una base de

R

2.









26 2


b) Como ( 10 53 ) está escalonado entonces B = {v1 = (1, (1, 5), 5), v2 = (0, (0, 3)} es linealmente independiente. espacio o vector vectorial. ial. Si A = {a,b,c} ⊆ V K Ejemplo Ejemplo 12.5.2. 12.5.2. Sea V K K un espaci K es base de V demuestre que N = { a + b + c,a,a + c} tambi´ tam bién en es base de V . V . on on lineal A lineal A((a + b + c) + Ba + C (a + c) = 0, debemos Soluci´ on. on. Consideremos la combinaci´ demostrar que la solución on unica u ´ nica es A es A = = B B = C = C = 0. Dicha combinación on lineal podemos escribirla como a como a((A + B + C ) + bA + c(A + C ) = 0 y dado que el conjunto { a,b,c} es linealmente independiente, deducimos el sistema

 

A + B + C = 0 A = 0 A + C = 0

éste este sistema tiene solución on unica u ´ nica A = B = C = C = 0 por lo tanto, N es N es un conjunto linealmente independiente. Veamos ahora que ⟨ N ⟩ = V = V .. Basta con demostrar que: si v ∈ V V entonces v entonces v ∈ N . N . Si v ∈ V V entonces existen escalares k1 , k2 , k3 ∈ K tal K tal que v = k 1 a + k + k2 b + k + k3 c; como queremos mostrar que existen escalares p escalares p 1 , p2 , p3 ∈ K tal K tal que v que v = p = p 1 (a + b) + p2 a + p3 (a + c)entonces )entonces procedemos como sigue. sigue. Sean a Sean a + b = w = w 1 , a = w = w 2 , a + c = w = w 3 entonces concluimos que a que a = w = w 2 , b = w = w 1 − w2 , c = w3 − w 2, reemplazando en v = k1 a + k + k 2 b + k + k 3 c obtenemos v = k1 w2 + k 2 (w1 − w 2 ) + k3 (w3 − w2 ), esto ultimo u ´ ltimo lo podemos reagrupar en términos erminos de los w , la expresión on queda v = w = w 1 (k2 − k3 ) + w2 (k1 − k2 ) + w3 k3 ; es decir, v decir, v = = (k2 − k3 )(a )(a + b) + (k1 − k2 )a + k3 (a + c) = + p2 a + p3 (a + c). p1 (a + b) + p Con algo más as de d e teor te or´´ıa este problema probl ema se solucio s oluciona na con más as eficiencia. V se escribe Proposic Prop osici´ i´ on on 12.5.1. 12.5 .1. B = {v1 , v2 , . . . , vn } es base de V K K ⇔ todo vector de V de manera ´ unica como combinaci´ on de los elementos de B . Demostraci´ on. V , en particular genera a V , V , entonces; “todo vector de V se ⇒) Como B es base de V , escribe escribe como com combinaci binaci´ on ón de los elementos de V ”. V ”. Debemos demostrar, ahora, la unicidad de esta expresión. on. Sea v ∈ V y V y escribamos v como v = demostrar demostrar que a que a k

∑

n i=1 ai vi tanto

como v =

n i=1

∑

ki vi ; debemos












26 3

V un espacio vectorial sobre K y {v1 , v2 , . . . , vn } un conjunto Proposici´ on on 12.5.2. Sea V un m´ aximo de elementos linealmente independientes, entonces {v1 , v2 , . . . , vn } es base de V . V . Demostraci´ on. Debemos demostrar que ⟨{ v1 , v2 , . . . , vn }⟩ = V = V .. Sea w Sea w ∈ V V entonces { w, v1 , v2 , . . . , vn } es un conjunto linealmente dependiente, entonces en la combinación on lineal x lineal x 0 w + x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn = 0 existe algún un escalar x escalar x̸ i = 0, i = 0, 1, 2, . . . , n. n. Necesariamente x Necesariamente x 0̸ = 0 ya que si as´ as´ı no es, es decir si x 0 = 0 entonces la combinación on lineal queda x1 v1 + x 2 v2 + · · · + x n vn = 0 con alg´ u n escalar no nulo; esto último un ultimo es una contradicción on ya que { v1 , v2 , . . . , vn } es linealmente independiente. Entonces podemos despejar w despejar w de la combinación on lineal x lineal x 0 w + x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn = 0 obteniendo x1 x 2 x n w = − v1 − v2 − · · · − vn ; x0 x0 x0 esto indica que w que w ∈ ⟨{v1 , v2 , . . . , vn }⟩, lo que completa la demostración. on. espacio vecto vectorial rial.. Si A = {a,b,c} ⊆ V K Ejemplo Ejemplo 12.5.3. 12.5.3. Sea V K K un espacio K es base de V demuestre que N = { a + b + c,a,a + c} tambi´ tamb ién en es base de V . V . on on lineal A lineal A((a + b + c) + Ba + C (a + c) = 0, debemos Soluci´ on. on. Consideremos la combinaci´ demostrar que la solución on unica u ´ nica es A es A = = B B = = C = C = 0. Dicha combinación on lineal podemos escribirla como a como a((A + B + C ) + bA + c(A + C ) = 0 y dado que el conjunto { a,b,c} es linealmente independiente, deducimos el sistema



A + B + C = = 0 A = 0









26 4


Demostraci´ on. Sea { v1 , v2 , . . . , vn } una base de V de V entonces w1 = a = a 1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn ,

(12.1)

ya que { v1 , v2 , . . . , vn } es base de V . V . Si a Si a i = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , n entonces n entonces w w 1 = 0 y { w1 , w2 , . . . , wm } ⊆ V V es L.D. Si alg´ un un a1 ̸ = 0, suponiendo, sin perder generalidad, que a1 = ̸ 0 entonces de (12.1) a a a 1 podemos despejar v despejar v 1 obteniendo v obteniendo v 1 = a w1 − a v2 − a v3 − . . . − a vn , as´ı entonc ent onces es pod p odemo emoss concluir que ⟨{ w1 , v2 , v3 , . . . , vn }⟩ contiene a v a v 1 y, naturalmente a v a v 2 , v3 , . . . , vn ; deducimos que ⟨{ w1 , v2 , v3 , . . . , vn }⟩ = V = V .. As´ı, ı, exist exi sten en c 1 , c2 , . . . , cn ∈ K tal K tal que 1

2

3

n

1

1

1

w2 = c = c 1 w1 + c2 v2 + c3 v3 + · · · + cn vn .

(12.2)

Si c Si c i = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , n entonces n entonces w w 2 = 0 y { w1 , w2 , . . . , wm } ⊆ V V es L.D. Si alg´ un c un c̸ despejando v 2 de la (12.2) conseguimos i = 0, suponiendo que c 2̸ = 0, despejando v v2 =

1 c 1 c 3 c n w2 − w1 − v3 − · · · − vn c2 c2 c2 c2

y, de manera análoga aloga obtenemos que ⟨{ w1 , w2 , v3 , . . . , vn }⟩ = V = V .. El proceso de reemplazo de los vi por los wi nos lleva a concluir que ⟨{w1 , w2 , . . . , wn }⟩ = V y como quedan quedan todav´ todav´ıa wn+1 , wn+2, . . . , wm ∈ {w1 , w2 , . . . , wm } ⊆ V entonces V es L.D. {w1 , w2, . . . , wm } ⊆ V Corolario 12.6.1. Si V K K es un espacio vectorial que tiene una base con n elementos y

otra base con m elementos entonces m = n = n.. Demostraci´ Sean A

{

} B

{

} dos bases del espacio










26 5

A = ⟨{ (1, (1, 0, −5), 5), (0, (0, 1, 1)}⟩ y B y B = { (x,y,z) x,y,z) / x − 2y + z = 0} subesEjemplo 12.6.2. Sea A = pacio vectorial de R3R . Determine una base para A ∩ B . ( x,y,z)) ∈ A entonces ∃ a, b ∈ Soluci´ on. on. Sea (x,y,z

R tal

que (x,y,z ( x,y,z)) = a(1 a (1,, 0, −5) + b + b(0 (0,, 1, 1),

ésta esta ecuaci´ ecua ción on genera gen era el sistema sis tema

 

x = a = a y = b = b z = − 5a + b

Reemplazando a y b en la última ultima ecuaci´ ecuación on obtenemos obtenemos z = −5x + y de donde donde A = x,y,z) / 5x − y + z = 0}. {(x,y,z) Ahora, si (x,y,z (x,y,z)) ∈ A ∩ B entonces el tr´ tr´ıo debe satisfacer el sistema

�

5x − y + z = 0 x − 2y + z = 0

Dado que la solución on del sistema es Sol = − 19 z, 49 z, z / z ∈ R entonces, un generador de A ∩ B es, por ejempl ejemplo, o, {(−1, 4, 9)} que, com comoo es un conjun conjunto to lineal linealmen mente te independien independiente te nos indica que A ∩ B tiene dimensión on 1.

(

12.7. 12.7.

�

�

EJERC EJERCICI ICIOS OS RESUEL RESUELTOS TOS

Ejercicio 12.1. Decida si el subconjunto del espacio vectorial dado es o no subespacio

i) A =

( � a b c d

�

/ a + b = 0 ⊆ M (2 M (2,, R).

ii) B = { (x,y,z) x,y,z) / z − 2y = 2} ⊆ Soluci´ on. on.

3

RR .









26 6


Soluci´ on. on.

Considere av + av + bq bq + cw + cw + + dz dz = 0; a,b 0; a,b,, c, d ∈ K . Debemos demostrar que la ecuación on tiene solución on unica a u ´ nica a = b = b = = c c = = d d = = 0. Se cumple que a que a = = 0, ya que si no es as´ı, ı, es decir, si a̸ = 0 entonces podr po dr´´ıamos despejar despe jar b c d el vector v ; tendr´ te ndr´ıamo ıa moss v = − a q − indica r´ıa que v ∈ ⟨{q,w,z }⟩ lo que − a w − a z ; esto nos indicar es una contradicc contradicci´ i´ on on con la hipótesis; ote sis; as´ as´ı entonces ento nces a = 0. Como a Como a = = 0 entonces la combinación on original queda bq queda bq + + cw + dz = dz = 0, como el conjunto unica solución on de la ecuación o n es b = {q,w,z } es linealmente independiente, entonces la única c = d = d = = 0, de donde, finalmente la única unica solución on es a es a = b = b = = c c = = d d = = 0. (2, 1, 0), 0), (0, (0, 1, 2), 2), (1, (1, 0, 3)} ⊆ Ejercicio 12.3. Demuestre que A = { (2, Soluci´ on. on. Se demuestra que

3

RR es

base.

10 3

210 012 103

� �

� �

es equivalente fila con 0 1 6 , de donde, el conjunto 00 8 A = { (2, (2, 1, 0), 0), (0, (0, 1, 2), 2), (1, (1, 0, 3)} es linealmente independiente. Como además as es un conjunto 3 maximal L.I. entonces es base de RR . −

Ejercicio 12.4. Sea

A =

 

Determine Determine la dimensi´ dimensi´ on on de A de A..

 

2a a a 0 c 0 / a , c ∈ 0 0 c

 

R

▹ M (3 M (3,, R).

Soluci´ on. on.

v =

 

2a a a 0 c 0

 

∈ A ⇔

 

 

2a a a 0 0 0 0 0 0 + 0 c 0

 

∈ A ⇔ a

 

   

2 1 1 0 0 0 +c

0 0 0 0 1 0

 

∈ A,










26 7

a) Encuentre Encuentre una “expresi´ “expresión on funcional” para los elementos de ⟨A⟩. b) Demuestre Demuestre que que ⟨ A⟩ = ⟨ B ⟩. Soluci´ on. on.

a) Sea (x,y,z (x,y,z)) ∈ ⟨A⟩, entonces existen escalares a, b tal que (x,y,z (x,y,z)) = a(1, (1, 2, 0) + b(0, (0, 2, 1), de esto deducimos el sistema

 

x = a = a y = 2a + 2b 2b z = b = b

La segunda ecuación on del sistema, al expresarla en función on de x de x,, y,z queda y,z queda y y = = 2x +2 +2zz de donde, ⟨ A⟩ = { (x,y,z) 2z ; x, x,y,z) / y = 2x + 2z x , z ∈ R}. b) De manera análoga aloga al caso a) tenemos: si ( p, ( p, q, r ) ∈ ⟨B ⟩, entonces existen escalares a, b tales que ( p, ( p, q, r ) = a(2 a (2,, 2, −1) + b(1, (1, 6, 2). El sistema es ahora

 

p = p = 2a + b q = = 2a + 6b 6b r = − a + 2b 2b

combinando las dos primeras ecuaciones del sistema obtenemos 5b 5 b = q − p, luego, − p, q p b = 5 ; si esta expresión on la reemplazamos en la tercera ecuación, on, (despejando (despejando 2q 2 p 2q 2 p 5r all´ı la “variabl “vari ablee a”) tenemos, a = 2b − r = 5 − r = ; estamo estamoss ahora ahora en 5 condición on de encontrar una relación on entre p entre p,, q,r; q,r ; para ello basta con reemplazar a, reemplazar a, b en la ecuación q on q = = 2a + 6b 6 b. −

−

−

−

La relaci´ on on que se obtiene es q es q = = 2 p+2 p +2rr; as´ı, ⟨B ⟩ = { ( p, q, r ) / q = = 2 p + 2r 2r ; p, r ∈ Se concluye que ⟨A⟩ = ⟨ B ⟩.

R}.











26 8


b) Si p Si p((x) = ax 2 + bx+ bx + c ∈ W entonces W entonces p p((x) = ax 2 + (2a (2a + c)x + c = a = a((x2 + 2x) + b(x + 1) as´ı, ⟨ x2 + 2x, 2x, x + 1 ⟩ = W . W . Como x2 + 2x, 2x, x + 1 es linealmente independiente, 2 entonces x + 2x, 2x, x + 1 es base de W y dim(W )) = 2. W y dim(W

 

� �



�

c) Como la dimensión on de R2 (x) es 3 entonces debemos agregar un vector a la base de W tal W tal que los tres vectores sean linealmente independientes, tal vector, por ejemplo es el 1, as´ı, ı, x2 + 2x, 2x, x + 1, 1, 1 es base de R2 (x).



�

(1, 0, −5), 5), (0, (0, 1, 1)}⟩ y B = { (x,y,z) x,y,z ) / x − 2y + z = 0} subesEjercicio 12.7. Sea A = ⟨{ (1, pacio vectorial de

3

RR .

Determine una base para A ∩ B .

(x,y,z)) ∈ A entonces ∃ a, b ∈ Soluci´ on. on. Sea (x,y,z

R tal

que (x,y,z (x,y,z)) = a(1 a (1,, 0, −5) + b + b(0 (0,, 1, 1),

ésta es ta ecuac ecu aci´ ión on genera el sistema

 

x = a = a y = b = b z = − 5a + b

Reemplazando a y b en la última ultima ecuaci´ ecuaci´ on on obtenemos obtenemos z = −5x + y de donde donde A = x,y,z) / 5x − y + z = 0} {(x,y,z)










26 9

( a, b) + (c, d) = (a + d, b + c); Ejercicio 12.5. Sea R2 y considere las siguientes operaciones: (a, k(a, b) = (ka,kb) ka,kb), k ∈

R.

Ejercicio Ejercicio 12.6. 12.6. Sea

R

¿Es

R

2

sobre

R un

espacio vectorial. Justifique.

2

y considere las siguientes operaciones: (a, ( a, b) + (c, d) = (0, (0, 0); 2 k(a, b) = (ka,kb) ka,kb), k ∈ R. ¿Es R sobre R un espacio vectorial. Justifique.

Ejercicio 12.7. Definimos los siguientes subconjuntos de

R

3.

a) U = { (a,b,c) a,b,c) / a + b + c ≤ 1 }. b) W = (x,y,z) x,y,z ) / z = 0 ∧ x2 + y 2 ≤ 0 .



�

c) P = { (x,y,z) x,y,z) / x + 2y 2y = 0 ∧ y + z = 8}. ¿Es U ¿Es U,, W, P subespacio subespacio vectorial de

3

RR ?.

Justifique.

Si S 1 ▹ V K que S 1 ∩ S 2 ▹ V K Ejercicio 12.8. Si S K y S 2 ▹ V K K demuestre que S K .









27 0


c) C = { A ∈ V / A es sim´ si métri et rica ca }. M (2,, 3, R) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de Ejercicio 12.12. Sea V = M (2 orden 2 por 3 sobre V ?. V ?. Justifique. a) A = b) B =

R.

¿Cuáles ales de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial de

00 c

d e f

/ c = d = d + f .

a b c d 0 0

/ d > 0 .

( � ( �

�

�

Ejercicio 12.13. Determine cual(es) de los siguientes conjuntos dados es o no un conjunto

linealmente independiente. 4

a) A = { (1, (1, 1, 0, 1), 1), (1, (1, −1, 1, 1), 1), (2, (2, 2, 1, 2), 2), (0, (0, 1, 0, 0)} ⊆

RR .

b) B = { (1, (1, 0, 0, 1), 1), (0, (0, 1, 0, 1), 1), (0, (0, 0, 1, 1), 1), (1, (1, 1, 1, 1)} ⊆

4

RR .

c) C = t3 − 4t2 + 2t 2t + 3, 3, t3 + 2t 2t2 − 4t + 1, 1, 2t3 − t2 + 3t 3t − 5 ⊆ R3 (t).



�

f (t) g (t) h(t)} ⊆ V V donde V V es el espacio vectorial Ejercicio 12.14. Sea A = {f (

R

(t)










27 1

Sea W = p( p(x) = ax 2 + bx + c / 2a + c = b = b ⊆ R2 (x). Ejercicio 12.20. Sea W



a) Demuestre Demuestre que que W W es es subespacio de

�

R2 (x).

b) Determine Determine dim( dim(W ). W ). c) Extienda la base de W a W a una base de

R2 (x).

Ejercicio 12.21. Demuestre que

A = { (1, (1, 1, 0), 0), (1, (1, 0, 1), 1), (0, (0, 1, 1)} son base de

y

B = { (1, (1, 1, 1), 1), (1, (1, 2, 0), 0), (0, (0, 0, 2)}

3

RR .

Sea A = = { (x,y,z) x,y,z) / 3x − 2y − z − 4w = 0 ∧ x + y − 2z − 3w = 0} ⊆ Ejercicio 12.22. Sea A a) Demuestre Demuestre que que A A ▹ R4R . b) Determine una base de A. c) Determine Determine la dimensi´ dimensión on de A de A

4.

R









27 2


d) Extien Extienda da la base base encontrad encontradaa en c) a una base de Sea A = = { (1, (1, 2, 1, 1), 1), (−1, 1, 2, 2)} ⊆ Ejercicio 12.27. Sea A

3

RR .

4

RR .

a) ¿v1 = (3, (3, 2, 4, 5), v 5), v 2 = (1, (1, 3, 2, 2), v 2), v 3 = (3, (3, −3, 6, 6) ∈ ⟨A⟩?. Justifique. b) Encuentre Encuentre una expresi´ expresión on funcional para los vectores que pertenecen al espacio generado por el conjunto A conjunto A.. Sea A = = ⟨{ (1, (1, 0, −1), 1), (0, (0, 1, 2)}⟩ y B y B = { (x,y,z) x,y,z) / 5x − y + z = 0} subesEjercicio 12.28. Sea A pacio vectorial de

3

RR .

Determine una base para A ∩ B .

Capitulo Xii Espacios Vectoriales

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