Espacios Vectoriales Espacio vectorial real: Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación: Axiomas de un espacio espacio vectorial: vectorial: ∈
I!i "
V y #
∈
V, entonces " $ #
∈
V %cerradura bajo la suma&
II II
'ara 'ara tod todo o ", # y ( en en V, V, %x$ %x$y y& $ z) x$ %y %y$z $z&& %ley %ley aso asoci ciat ativ iva a de la la suma suma de de vectores&
III
Existe un un ve vector *
∈
V tal que para todos x
∈
V, x $ *)*$x)x %el * se
llama vector cerrado o id+ntico aditivo& ∈
!i "
V
inverso aditivo de x& !i x y y est est.n .n en en V, V, ent enton once ces s x $ y) y $ x %le %ley y conm conmut utat ativ iva a de la la suma suma de de vectores&
VI
!i x
VII
multiplicación por un escalar& !i x y y es est.n en en V y α
∈
V, exist existe e un vecto vectorr x en
∈
IV
V y
α
es un escalar, entonces
V tal que x$%-x&)* %-x se llama
αx
∈
V %cerradura bajo la
es un esca escalar lar,, entonc entonces es
α ( x + y )= αx+ αy
%primera ley distributiva& VIII
!i x
∈V
son escalares, escalares, entonces
( α + β ) x =αx + βx ¿ %se/unda
y α y β son escalares, entonces
α ( βx )=( αβ ) x %ley asociativa
yα y β
ley distributiva& I"
!i x
∈V
de la multiplicación por escalares& "
'ara cada vector
x ∈ V , 1 x = x
ESPACIO Kn
!ea 0 un cuerpo arbitrario 1a notación 0n se usa frecuentemente para desi/nar el conjunto de todas las n-p de los elementos de 0 Aqu2 0n se ve como un espacio vectorial sobre 0, en el que la suma vectorial y el producto por un escalar se define se/3n ESPACIO DE MATRICES Mm, n.
1a notación 4m, n, o simplemente 4, se utilizara para desi/nar el conjunto de todas las matrices m5n sobre un cuerpo arbitrario 04m, n, es un espacio vectorial sobre 0 con respecto a las operaciones usuales de suma matricial y producto por un escalar ESPACIO DE POLINOMIOS P (t)
6enotamos por ' %t& el conjunto de todos los polinomios
ɑ* $ɑ7 t$ɑ8, t 8$$ ɑn, t n 9on coeficientes ai en al/3n cuerpo '%t& es un espacio vectorial sobre 0 con respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios producto de un polinomio por una constante
Subespacios de E. V. y sus propiedades !ubespacio: !ea ; un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y supon/a que ; es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V Entonces se dice que ; es un subespacio de V
!ubespacio: Un subconjunto no vacio ; de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos re/las de cerradura: Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacio es un subespacio I.Si II.
x ∈ H y y ∈ H , entonces x + y ∈ H . Si x ∈ H , entonces αx ∈ H para todo escalar α .
Combinación lineal !e =a visto que todos los vectores v) %a,b,c& en > ? se puede escribir en la forma v ) ai $ bj $ c En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal d los tres vectores i, j y 6e manera m.s /eneral, se tiene la si/uiente definición:
9ombinación lineal:
!ean v7,v8,@,vn Vectores en un espacio vectorial V Entonces cualquier vector de la forma: a7v7 $ a8v8 $ @ $ anvn donde, a 7,a8,@, an son escalares de denomina una combinación lineal de v 7,v8,@ vn
Independencia Lineal 6efinición: 1os vectores v 7,v8,@, v es un espacio vectorial V /eneran a V si todo vector en V es una combinación linal de v 7, v8,@, v Adem.s, si estos vectores son distintos y
{v
los denotamos como un conjunto !)
1
{v
que el conjunto ! /enera a V, o que
1
, v 2 , … , v k }
, v 2 , … , v k }
El procedimiento para verificar si los vectores
, entonces tambi+n decimos
, /enera a V, o que !) V
v 1 , v 2 , … , v k
/eneran al espacio
vectorial V es el si/uiente:
'aso 7: se eli/e un vector arbitrario en v en V 'aso 8: se determina si v es una combinación lineal de los vectores dados !i lo es, entonces los vectores dados /eneran a V !i no lo es, entonces no /eneran a V Ejemplo: !ea V el espacio vectorial > ? y sean: V7) %7,8,7&
V8) %7,*,8&
y V ?) %7,7,*&
'aso 7 !ea v) %a, b, c& cualquier vector en > ?, donde a, b y c son n3meros reales arbitrarios 'aso 8 6ebemos ver si existen constantes c 7, c8 y c? tales que 97v7 $ c8v8 $ c?v? ) v Esto conduce al sistema lineal: c7 $ c8 $ c? )a 8c7 $
c? ) b
c7 $ 8c) 9
Una solución es %verifique& −2 a + 2 b + c
97 )
a−b + c
, 98 )
3
4 a −2 b− c
, c?) )
3
3
9omo =emos obtenido una solución para cada elección de a, b y c concluimos que V7$ v8 y V ? /eneran a >? Esto Equivaled a decir a un /en
{v
1
, v2 , v3 }
) >?
Independencia lineal: 1os vectores
v 1 , v 2 , … , v k
si existen constantes
de un espacio vectorial son linealmente dependientes
c 1 , c 2 , … , c k
no todas son i/uales a cero, tales que:
c 1 v 1+ c 2 v 2 , … , c k v k
En caso contrario, se dice que decir,
v 1 , v 2 , … , v k
c 1 v 1+ c 2 v 2 , … , c k v k
son
v 1 , v 2 , … , v k
linealmente
)*
son linealmente independientes Es independientes
si
siempre
que
) * debemos tener: c1
)
c 2 … c k =
Es decir, la 3nica combinación lineal de
)*
v 1 , v 2 , … , v k
que da como resultado el
vector cero es aquella en la cual todos los coeficientes son i/uales a cero !i los vectores
{v
1
v 1 , v 2 , … , v k
, v 2 , … , v k }
son distintos y los detonamos como un conjunto !)
, entonces tambi+n decimos que el conjunto ! es linealmente
dependiente o linealmente independiente
El procedimiento para verificar si los vectores
v 1 , v 2 , … , v k
son linealmente
dependientes o independientes es el si/uiente:
'aso 7: se forma la ecuación, lo cual conduce a un sistema =omo/+neo 'aso 8: !i el sistema =omo/+neo obtenido es el paso 7 solo tiene la solución trivial, entonces los vectores dados son linealmente
independientesB si tiene una solución no trivial, entonces los vectores dados son linealmente dependientes Ejemplo: determine si los vectores:
|| || −1
−2
1
0
y
0
1
0
1
que se/3n /eneran el espacio de Ax)*, son linealmente dependienteso independientes !olución: Al formas la ecuación
| | | | || −1
2
1
c7
0
−
0
$ c8
0 0
1 1
0
)
0 0
obtenemos el sistema =omo/+neo: -c7-8c8)* c7$ *c8) * *c7$ c8)* *c7$ c8)* cuya 3nicamente solución es linealmente independientes
c1
)
c2
) * 'or lo tanto, los vectores dados son
Base y dimensión de un espacio vectoriales. 'or lo com3n, se concibe una recta como un espacio unidimensional, un plano como uno bidimensional y el espacio que lo que rodea a uno como tridimensional El objetivo principal de esta sección es precisar esta noción intuitiva de dimensión Definición.
!i V es espacio vectorial y ! ) Cv 7,v8,@,vr D es un conjunto finito de vectores en V %i& cualquier , entonces ! se denomina base para V si %i& %ii&
! linealmente independiente ! se /enera V
Base estn!a" #a"a Rn
!ean e7 ) C 7,*,*@@,*D, e 8) %*,7,*@@,*&, @@,e n) %*,*,*@,7& !) C e 7,e8,@,en D es un conjunto linealmente independiente en > n 6ado que cualquier vector v ) %v 7,v8,@,vn& en >n se puede escribir como v)v 7e8 $ v8e8 $ @vnen, ! /enera a > n y, por tanto , es una base Esta base se conoce como Base estn!a" #a"a Rn. Base estn!a" #a"a Pn.
el conjunto !) C 7,x, x 8,@@,xnD es una base para el espacio ' n , los vectores en ! se /eneran a ' n a fin de ver que ! es linealmente independiente , supón/ase que al/una combinación lineal de vectores en ! es el vector cero , esto es ,
C 0 + C 1 x +…….+ C n x n = 0
!e debe demostrar que 9 * ) 97@@@) 9n )* 9on base visto en al/ebra, un polinomio diferente de cero de /rado n tiene m.s n ra2ces distintas 6ado que es una identidad, todo valor de " es una ra2z del primer miembro Esto implica que 9 7 ) 98 )@@ 9n ) * B por otra parte ,9 * $ 97x $@@$ 9nxn podr2a tener m.s cuando mas n ra2ces por tanto, el conjunto ! es linealmente independiente 1a base ! de este ejemplo se conoce como base estn!a" #a"a Pn.
Dimensión finita.
!i ! ) Cv7,v8,@,vr D es un conjunto linealmente independiente es un espacio vectorial V, entonces ! es una base para el subespacio lin%!&, ya que ! es independiente y, por definición de lin %!&, ! se /enera a lin%!& !e dice que un espacio vectorial diferente de cero V es una !imensión finita si contiene un conjunto finito de vectores Cv 7,v8,@,vr D que forma una base !i no existe un conjunto de este tipo, se dice que V es una !imensión infinita Adem.s se considera el espacio vectorial cero como dimensión finita cuando no tiene conjuntos linealmente independientes y, como consecuencia, no tiene base Te$"ema %. Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es una base para un espacio vectorial V, entonces todo conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente.
Dem$st"ación. !ea !I ) C 7, 8,@@, FmD cualquier conjunto de m vectores en V, en donde m G n !e desea demostrar que ! I es linealmente dependiente !upuesto que !) Cv 7,v8,@,vn D es una base, cada i se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en ! , por ejemplo,
W 1= a11v 1 +a21v 2 + a31v 3+ ………….+an1v n W 2= +a22 v2 + a32 v3 + ………….+an2 vn a12 v1 W 3= a13v 1 +a23v 2 + a33v 3+ ………….+an3v n
W m= a1mv 1 +a2mv 2 + a3mv 3+ …………. +anmv n
'ara demostrar que ! I es linealmente dependiente, se debe =allar los escalanres 7, 8 @@@ 0m, no todos cero, tales que k 1w 1+ k 2w + 2 ………. +K m w m = 0 Al aplicar las ecuaciones se volver. a escribir como: (K 1 a11+ k 2a 21 + ……….+ K m a1m ) v 1 + (K 1 a21+ k 2a 22 + ……….+ K m a2 m ) v 2 + (K 1 an1+ k n2 a n2 + ……….+ K m anm ) v n =0
'or tanto, el problema de probar que ! I es un conjunto linealmente dependiente se reduce a demostrar que existen 7, 8 @@@ 0m, no todos cero, que satisfacen: a 11K 1 + a21k 2 + ……….+ a1m K m = 0 a21K 1 + a22 k 2 + ……….+ a2 m K m = 0 an1K 1 + a n2 k n2 + ……….+ anm K m = 0 6ado que tiene m.s incó/nitas que ecuaciones, la demostración queda completa ya que el teorema 7 /arantiza la existencia de soluciones no triviales 9omo consecuencia, se obtiene el si/uiente resultado:
Te$"ema &. Dos bases cualesquiera para un espacio vectorial de dimensin !inita tienen el mismo n"mero de vectores.
Dem$st"ación.
!ean ! ) Cv 7,v8,@,vn D y !I ) C 7, 8,@@, FmD dos bases para un espacio vectorial de dimensión finita V dado que ! es una base ! I es un conjunto linealmente independiente , el teorema H implica que m n de modo an.lo/o , dado que ! I es una base y ! es linealmente independiente , tambi+n se tiene n m por tanto , m ) n 1a base est.ndar para > n contiene n vectores 'or consi/uiente, toda base > n contiene n vectores 1a base est.ndar para ' n contiene n $7 vectores, asi entonces toda base para ' n contiene n$ vectores El n3mero de vectores en una base para un espacio vectorial de dimensión finita es una cantidad en particular importante 'or ejemplo: 8 tiene dos vectores, para > ? tiene tres vectores #a que > 8 %el plano& es intuitivamente bidimensional y para toda base > ? es intuitivamente tridimensional, la dimensión de estos espacios es i/ual al n3mero de vectores que tiene en sus bases Esto su/iere la si/uiente definición:
Definición. #a dimensión de un espacio vectorial de dimensin !inita V se de!ine como el n"mero de vectores en una base para v. además, por de!inicin, el espacio vectorial tiene dimensin cero. 'or lo que se vio, > n es un espacio vectorial de dimensión n y ' n es un espacio
Vectorial de dimensión n$7
Ejemplo: 6eterm2nese una base y la dimensión para el espacio de soluciones del sistema =omo/+neo
2 x 1 + 2 x2 − x3 + x 5=0
− x 1− x 2 + 2 x3 −3 x 4 + x5 =0
x 1+ x 2−2 x 3− x 5=0 x 3+ x 4 + x5 =0
!olución: x 1=−s −t
x 2=s x 3=−t x 4= 0 x 5=t
'or tanto, los vectores solución se pueden escribir como x 1 x 2 x 3 ) x 4 x 5
−s −t
−s
−t
−1
−1
s −t
s
0
1
0
0
t
)
0
$
−t
0
0
0
t
6e lo cual demuestra que los vectores
) s
0 0 0
$ t
−1 0 0
V7 )
−1
−1
1
0
0 0 0
y v8 )
−1 0 0
Jeneran el espacio de soluciones 6ado que estos vectores tambi+n son linealmente independientes, v 7, v8 es una base y el espacio de soluciones es bidimensional En /eneral, a fin de demostrar que un conjunto de vectores Cv 7,v8,@,vn D es una base para un espacio vectorial V se tiene que demostrar que los vectores son linealmente independientes y que se /eneran a V sin embar/o, si se sabe de antemano que V tiene dimensión n % de modo que Cv 7,v8,@,vn D contiene el n3mero correcto de vectores para tener una base& entonces basta con verificar
a$ Si S = {v 1,v 2, …..,v n } es un conjunto de n vectores linealmente independiente en un espacio V de dimensin n, entonces S es una base para V. Te$"ema '. b$ Si S = {v 1,v 2, …..,v n } es un conjunto de n vectores que %enera un espacio V de dimensin n, entonces S es una base para V. c$ Si S = {v 1,v 2, …..,v n } es un conjunto linealmente independiente en un espacio V de dimensin n & r ' n, entonces se puede a%radar S (asta !ormar una base para V ) es decir , e*isten vectores V r +1 ………..,V n , tales que {v 1,v 2, …..,v r , v r +1….. v n }
Espacios de reglones y columnas de una matriz; rango; aplicaciones para hallar bases. Definición considere la matriz m x n
A)
a11
a 12
a1 n
a21
a 22
a2 n
am 1
am 2
amn
1os vectores > 7 ) % a77 $a78@@@@ a7n& >8 ) % a78 $ a88 @@ $ a8n & >m) % am7, am8@@@amn & Kormados a partir de los ren/lones de A se conocen como vectores ren/lón de A y los vectores :
a11
97 )
a12
a21
a22
, c8 )
am 1
am 2
a1 n ,
@ 9n )
a2 n amn
Kormados a partir de la columna A El subespacio de > n /enerado por los vectores ren/lón es el espacio de ren/lones de A, ye le subespacio de > m /enerado por los vectores columna es el espacio de columnas de A Ejemplo: !ea A)
2
1
0
3
−1
4
1os vectores ren/lón de A son r 7 ) %8, 7,*& r 8 ) %?,-7,L&
y los vectores columna de A son
2
c7 )
3
1
c8) −1
0
c? )
4
Espacios vectoriales con producto interno Definición.
Un producto interior sobre un espacio vectorial N es una función que asocia un numero real u,v G con cada pareja de vectores u y v en V , de tal manera que se satisface los axiomas si/uientes por todos los vectores u , v y F en V y todos los escalares de
7 8 ? L
uvG ) vuG axioma de simetr2a u $ v FG ) uF G $ v FG axioma de aditividad u vG ) uvG axioma de =omo/eneidad vv M * y vv G ) * axioma de positividad !i y solo si v ) *
Un espacio vectorial con un producto interior se conoce como espacio de productos interiores 1as si/uientes propiedades adicionales se deducen de inmediato a partir de los cuatro axiomas de los productos interiores a *vG ) v*G ) * b u v$ FG ) uv G $ uFG c u vG ) uvG !e probara %N& y se dejan %A& e %9& como ejercicios u v$ FG ) v $ F uG por simetr2a ) vuG $ FuG por aditividad ) uvG $ u FG por simetr2a
Esto es, la función producto interno es tambi+n lineal en su se/unda posición %variable& por inducción tendremos # 9ombinar estas propiedades nos conducen a la formula /eneral escrita a continuación: 'odemos =acer, por orden las si/uientes observaciones: Oota 7: el axioma PI7Q por si mismo implica En consecuencia, PI7Q,PI8Q,ePI?Q son equivalentes a PI7Q,PI8Q y el axioma : PIR?Q si u S *, necesariamente G* T sea una función que satisface PI7Q,PI8Q,ePI?Q es un producto interno Oota 8: de acuerdo con PI?Q, es no ne/ativo y por lo tanto existe una ra2z cuadrada real positiva utilizamos la notación el n3mero real no ne/ativo se determina la
normal o lon/itud de u Esta función satisface los axiomas de una norma para un espacio vectorial Ejemplo 7a& !ea V el espacio vectorial de las funciones reales continuas en el intervalo a t b el si/uiente es un producto interno en V: 6onde f%t& y /%t& son a=ora funciones continuas cualquiera en Pa,bQ
b& !ea V nuevamente el espacio vectorial de las funciones reales continuas en el intervalo a t bsi F%t& es una función continua dada ,positiva en Pa,bQ otro producto interno en V es: En este caso F%t& se denomina una función peso para el producto interno
