ESTADISTICA DESCRIPTIVA UNTELS
Profesor: Ing. Enrique Morales Cauti
PRACTICA DIRIGIDA: TEORIA DE LA PROBABILIDAD
1.
De 1! "a#iente "a#ientes s e$a%in e$a%ina&o a&os s en una #l'ni#a( #l'ni#a( se en#ontr en#ontr) ) que *! ten'an ten'an enfer%e& enfer%e&a&e a&es s #ar&ia #ar&ia#as #as + ! ten'an ten'an &ia,etes. Cal#ular: a) La "ro,a,ili&a& &e en#ontrar un "a#iente #on uno u otro "a&e#i%iento. R: 14/15 = 0.93 b) La "ro,a,ili&a& &e un "a#iente #on uno u otro "a&e#i%iento( si se sa,e que -! ten'an a%,os "a&e#i%ientos.
R: 11/15 = 0.73 .
En la UN/V( UN/V( se sa,e que que el -!0 &e estu&iantes estu&iantes son son #osteos( #osteos( el 1!0 estu&ian estu&ian Ingenier' Ingenier'a( a( el 10 estu&ian estu&ian Ingenier'a Ingenier'a + son #osteos: Si sele##iona%os al a2ar un estu&iante &e la UN/V( #al#ular: a) La "ro,a,ili&a& que este no sea #osteo. R: P(C’) = 1 - 0.30 = 0.70 b) La "ro,a,ili&a& que sea #osteo o estu&ie Ingenier'a. R: P(C ∪I) = 0.30+0.10-0.01 = 0.39 c) La "ro,a,ili&a& que no sea #osteo( ni estu&ie ingenier'a. R: P(C’ ∩I’) = 1-0.39 = 0.61
-.
De un sa#o sa#o que #ontie #ontiene ne #ani#as #ani#as negras negras + - ,lan#as( ,lan#as( se e$trae e$traen n - &e ellas ellas en for%a for%a su#esi3a su#esi3a #on ree%"la ree%"la2o. 2o. Cal#ular las siguientes "ro,a,ili&a&es: a) 4ue las tres sean negras . R: P(N ∩N ∩N) = 0.244 b) 4ue las tres sean ,lan#as . R: P(B∩B∩B) = 0.053 c) 4ue sean &os ,lan#as + una negra . R: P(B∩B∩N) = 0.088
5.
Del e6er#i# e6er#i#io io anterior anterior(( #al#ular #al#ular las %is%as %is%as "ro,a,ili "ro,a,ili&a& &a&es( es( si es que la e$tra## e$tra##i)n i)n &e las tres #ani#as #ani#as es en for%a for%a su#esi3a + sin ree%"la2o.
a) b) c) .
R: P(N∩ N ∩N) = 5/28 = 0.178 R: P(B∩B∩B) = 1/56 = 0.178 R: P(B∩B∩N) = 5/56 = 0.089
Un e$"eri%ent e$"eri%ento o #onsiste #onsiste en e$traer e$traer aleatoria% aleatoria%ente ente &os &os fo#os uno uno a uno( sin sin re"osi#i)n re"osi#i)n &e una una #a6a que que #ontiene #ontiene !! fo#os. fo#os. Si se sa,e sa,e que el 0 &e estos estos fo#os fo#os son &efe#tuo &efe#tuosos sos 7Cu8l ser8 la "ro,a, "ro,a,ili& ili&a& a& &e e$trae e$traerr fo#os fo#os &efe#tuosos9
R: P(A) = P (A1 ∩ A2 ) = P(A1)*P(A2/A1) = (25/200) (25/200) * (24/199) = 0.015 .
Se tiene tiene tres #a6as que que #ontienen #ontienen #a&a #a&a uno 1!! 1!! fo#os. La La "ri%era "ri%era #a6a #ontiene #ontiene 1! fo#os fo#os &efe#tuoso &efe#tuosos( s( la segun&a segun&a fo#os &efe#tuosos + la ;lti%a tiene fo#os &efe#tuosos. Si se sele##iona al a2ar una &e estas #a6as + &e ella se e$trae un fo#o. Cal#ular: a< La "ro, "ro,a,i a,ili&a li&a& & &e que que este este sea sea &efe# &efe#tuo tuoso. so. ,< La "ro,a,ili& "ro,a,ili&a& a& que el el fo#o &efe#tu &efe#tuoso oso e$tra'&o e$tra'&o "ro3enga "ro3enga &e la #a6a #a6a que #ontiene #ontiene el 0 &e &efe#tuos &efe#tuosos. os.
R(a): P() = P(A1 )*P(/A )*P(/A1 )+ )+ P(A2 )*P(/A2 )+ P(A3 )*P(/A )*P(/A3 ) ) = 17/300 = 0.057 (P!"bab#$#%a% &"'a$). R(b): P(A3 /) /) = P(A3 )*P(/ )*P(/ A3 ) ) / P() = (1/3)*(2/100) / (17/300) (17/300) = 2/17 = 0.118 0.118 (&"!a % Ba, : P!"bab#$#%a% C"'a / P!"bab#$#%a% a!#a$ " &"'a$) =.
En un lan2a% lan2a%iento iento &e &os &a&os &a&os si%ult8 si%ult8nea%e nea%ente nte 7Cu8l 7Cu8l es la "ro,a, "ro,a,ili&a& ili&a& &e o,tener o,tener una una su%a %enor que = o una su%a "ar9
R: P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = (15/36)+(18/36)-(9/36) = 0.667 >.
Una #a6a #a6a #ontiene #ontiene #ani#as #ani#as ro6as( ro6as( 1! ,lan#as ,lan#as + 1 a2ules? a2ules? to&as to&as ellas ellas &el %is%o %is%o %aterial %aterial + &el %is%o %is%o ta%ao. ta%ao. Si se e$traen - &e ellas en su#esi)n + sin ree%"la2o 7Cu8l es la "ro,a,ili&a& &e que sean &e #olores &iferentes9
R: P(R ∩B∩ A)+......... + P(A ∩B∩R) = 6*(750/24360) 6*(750/24360) = 0.185 *.
Las #aras #aras nu%er nu%era&a a&as s 1( + - &e un &a&o( &a&o( son &e #olor #olor ro6o ro6o + las #aras #aras nu%era& nu%era&as as 5 + son &e #olor #olor ,lan# ,lan#o( o( + la #ara nu%era&a es a2ul. Al lan2ar este &a&o. 7Cu8l es la "ro,a,ili&a&9: a) 4ue a"are2#a una #ara ro6a o el . b) 4ue a"are2#a una #ara ro6a o un n;%ero i%"ar. c) De que( si la #ara que a"are#e es ro6a( a"are2#a ta%,i@n el n;%ero .
R(a): P(R ∪5) = P(R) + P(5) = (3/6) + (1/6) = 2/3 = 0.667 R(b): P(R ∪#a!) = P(R) + P(#a!) P(R ∩#a!) = (3/6) + (3/6) - (2/6) = 2/3 = 0.667 R(c): P(2/R) = P(2 ∩R) / P(R) = (1/6) / (3/6) = 1/3 = 0.333 1!. Una #a6a #a6a #ontiene #ontiene &os sa#os( sa#os( el "ri%er "ri%er sa#o #ontie #ontiene ne #ani#a #ani#as s ,lan#a ,lan#as s + #ani#as #ani#as negras negras.. El segun&o segun&o sa#o i&@nti#o al "ri%ero( #ontiene - #ani#as ,lan#as + negras. Si se sele##iona al a2ar una &e estos sa#os + se e$trae una #ani#a 7Cu8l es la "ro,a,ili&a& &e que esta sea ,lan#a9
R: P(B) = P(1 ) ) * P(B/1 ) ) + P(2 ) * P(B/2 ) = (1/2) * (5/7) + (1/2) * (3/8) = 0.544 '"%" %$ #a!aa %$ !b"$:
S1
5/7 5B
(1/2) * (5/7)
S2
2/7 2N
3/8 3B
+ (1/2) * (3/8) P(B) = 0.357 + 0.188 = 0.544
5/8 5N
ESTADISTICA DESCRIPTIVA UNTELS
Profesor: Ing. Enrique Morales Cauti
N"'a: # #% ca$c$a! $a !"bab#$#%a% $a ca#ca '!a;%a a !a< '"c % ac!%" a$ %#a!aa %$ !b"$ '# : P(N) = (1/2) * (2/7) + (1/2) * (5/8) = 0.143 + 0.312 = 0.455 11. En un al%a#@n se en#uentran >! #a6as #on 1!! fusi,les #a&a una. -! #a6as #ontienen fusi,les "ro&u#i&os "or la %8quina A( -! #a6as #ontienen fusi,les "ro&u#i&os "or la %aquina +( -! tienen fusi,les "ro&u#i&os "or la %8quina C. Las #a6as est8n al%a#ena&as al a2ar( sin que i%"orten la %8quina &e "ro#e&en#ia. La %8quina A "ro&u#e( en "ro%e&io( 0 &e fusi,les &efe#tuosos( la %8quina ( -0 + la %8quina C( 0. Si se sele##iona una &e estas #a6as al a2ar( se to%a uno &e sus fusi,les + se en#uentra que es &efe#tuoso 7Cu8l es la "ro,a,ili&a& &e que Ba+a si&o "ro&u#i&o "or la %8quina 9
R: P(B/% ) = P(B) * P(%/B) / P(% ) = (30/100) * (3/100) / (1/40) = 9/25 = 0.360 1. Se tiene una "lanta que utili2a &os %8quinas sella&oras &e &iferente %ar#a( A + ( luego en una 6orna&a &e > Boras &e tra,a6o se reali2a un %uestreo "era 3erifi#ar la #ali&a& &el sella&o( &e la %8quina A se to%an >! uni&a&es + &e la %8quina 11! uni&a&es. En la ins"e##i)n "asa( no "asa ( se &eter%ina que la %8quina A tiene 5 sella&os &efe#tuosos + la %8quina sella&os &efe#tuosos? &eter%inar las siguientes "ro,a,ili&a&es: a) Si se elige un "ro&u#to al a2ar + sien&o este &e la %8quina ( que sea &efe#tuoso. b) Si se elige un "ro&u#to al a2ar( #ual ser8 la "ro,a,ili&a& que sea no &efe#tuoso.
R(a): P(% /B) = P(% ∩ B) / P(B) = (6/190) / (110/190) = 6/110 = 0.054 R(b): P(% ’ ) = P(A)*P(% > /A)+P(B)*P(% > /B) = (80/190)*(76/180)+(110/190)*(104/110) = 0.947 &ab#: P(% > ) = 180 /190 =0.947 1-. Una e%"resa #uenta #on - %8quinas "ro&u#toras &e "ie2as %et8li#as( la "ri%era A< "ro&u#e !! uni&a&es "or Bora( la segun&a < >5! un&FBora( la ter#era C< 1! un&FBora? el n;%ero &e "ie2as &efe#tuosas que "ro&u#en las %8quinas son 1( 5 + > res"e#ti3a%ente. Deter%inar las siguientes "ro,a,ili&a&es( #uan&o se elige un "ro&u#to al a2ar &el total &e "ie2as "ro&u#i&as "or las %8quinas: a) 4ue la "ie2a sea &efe#tuosa. b) 4ue Ba,ien&o si&o "ro&u#i&o "or la segun&a( la "ie2a resulte &efe#tuosa. c) 4ue sien&o una "ie2a no &efe#tuosa "ertene2#a a la ter#era %8quina.
"$c#?: Desarrollando el Tablero de matrices: d D ’
A
B
C
15 585 600
24 816 840
8 502 510
47 1903 1950
d d ’
A
B
C
0.008 0.300 0.308
0.012 0.418 0.430
0.004 0.258 0.262
0.024 0.976 1.000
R(a): P(% ) = 0.024 R(b): P(% /B) = P(% ∩ B) / P(B) = 0.012 / 0.430 = 0.028 R(c): P(C /% ’ ) = P(C ∩% ’ ) / P(% ’ ) = 0.258 / 0.976 = 0.263 15. Se tiene tres %8quinas que "ro&u#en un &eter%ina&o "ro&u#to seg;n nor%as &e #ali&a& + #ostos( el n;%ero total &e uni&a&es a %uestrear "ara las tres %8quinas es &e =!!( #u+a "ro"or#i)n &e,e ser 1 : : 5( "ara las %8quinas A( ( C res"e#ti3a%ente. Los "or#enta6es &e "ro&u#tos &efe#tuosos son los siguientes: 0( 50 + 1!0 res"e#ti3a%ente. Se "i&e &eter%inar las siguientes "ro,a,ili&a&es: a) 4ue sien&o un "ro&u#to no &efe#tuoso( #orres"on&a a la %8quina C. b) La "ro,a,ili&a&( que el "ro&u#to #orres"on&a a la %8quina .
"$c#?: Desarrollando el Tablero de matrices: A
B
C
2 8 40 98 192 360 100 200 400 R(a): P(C /% ’ ) = P(C ∩% ’ ) / P(% ’ ) = 0.514 / 0.929 R(b): P(B ) = 0.286 d
d ’
50 650 700 = 0.553
d d ’
A
B
C
0.003 0.140 0.143
0.011 0.275 0.286
0.057 0.514 0.571
0.071 0.929 1.000
1. sa,e que #ierta %8quina que "ro&u#e tornillos tra,a6a #orre#ta%ente el *!0 &el tie%"o. Si la %8quina no est8 tra,a6an&o #orre#ta%ente( el 0 &e los tornillos "ro&u#i&os son &efe#tuosos. Cuan&o est8 tra,a6an&o ,ien sola%ente el !.0 &e los tornillos son &efe#tuosos. Si se es#oge un tornillo aleatoria%ente( 7Cu8l es la "ro,a,ili&a& que sea &efe#tuoso9
"$c#?: a $" ##' @'": = $ '"!#$$" %c'"" = $a #a ' '!abaa%" c"!!c'a' ’ = $a #a " ' '!abaa%" c"!!c'a' Ω = ∪ ’ , = ∪ ’ P"! $" 'a'": P() = P() * P(/) + P(’ ) * P(/> ) = (0.9)(0.005)+(0.01)(0.05) = 0.021 (P!"bab#$#%a% C"$'a) 1. Se tiene una ,ara6a que se #o%"one &e #artas( &i3i&i&os en 5 "alos &ia%antes( #ora2ones( tr@,oles + es"a&as<( #on 1- #artas en #a&a "alo 1( ( -( ....( 1!( sota( reina + re+<. Si las #artas est8n ,ien ,ara6a&as( &eter%inar: a) Si se e$trae una #arta al a2ar( #al#ular la "ro,a,ili&a& &e o,tener una sota G< . b) Si se e$trae una #arta al a2ar( #al#ular la "ro,a,ili&a& resulte una es"a&a o un re+. c) Si se e$trae una #arta al a2ar( #al#ular la "ro,a,ili&a& que sea un re+ &e &ia%antes. %) Si se o,tu3o un re+ &e &ia%antes en la "ri%era e$tra##i)n( #al#ular la "ro,a,ili&a& &e o,tener otro re+ en la segun&a e$tra##i)n su#esi3a + sin ree%"la2o.
R(a): P(D) = 4/52 = 0.077
ESTADISTICA DESCRIPTIVA UNTELS
Profesor: Ing. Enrique Morales Cauti
R(b): P(E ∪R) = P(E) + P(R) - P(E ∩R ) = (13/52) + (4/52) - (1/52) = 0.308 R(c): P(R ) = 1/52 = 0.019 R(%): P(R ∩R) = P(R ) * P(R/R ) = (1/52) * (3/51) = 0.001 * * * * * *
