Docente: Luis Cuesta Grado: 9º A
Area: MATEMATICAS PERIODO: IV
Tema: Talleres Fecha: _______________.
SUCESIONES SERIES Y PROGRESIONES 4 PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Concepto EXPERIENCIA: •
Consideremos las siguientes sucesiones: 1) 2, 7, 12, 17, 22,.. 2)
•
1 2
, 1,
3 2
, 2,
5 2
, 3, ...
3) -3, -5, -7, -9, -11, -13, …
Observemos que en la sucesión (1), cada uno de los términos es igual al anterior más 5; en la (2), cada término es igual al anterior más
•
1 2
; en la (3), cada término es igual al
anterior más (-2) Cada una de las sucesiones anteriores a nteriores es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
APRENDAMOS DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Una sucesión f 1, f 2, f 3 f n,... se llama PROGRESIÓN ARITMÉTICA cuando cada término se deduce del anterior sumándole un número fijo d. El número d es la DIFERENCIA de la progresión. Puede ser positivo o negativo; en el primer caso, la progresión es creciente; en el segundo, decreciente. Cálculo de un Término Cualquiera de una Progresión Aritmética EXPERIENCIA Dada una progresión aritmética, es fácil encontrar una fórmula para hallar el nsimo término cuando se conoce el número de términos (n) y el primer término (f 1). En efecto: como f 2 = f 1 + d y f 2 = f 3 + d, entonces: f 3 = (f 1+ d) + d ∴ f 3 = f 1 + 2d En forma similar, podemos obtener que: f 4 = f 3 + d ∴f 4 = (f 1+ 2d) + d f 4 =f 1+ 3d En general: PRENDAMOS
f 5 = f 4 + d ∴f 5 = (f 1+ 3d) + d ∴f 5 =f 1+ 4d
TÉRMINO n-ESIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA El n-simo término de una progresión aritmética está dado por: f n = f 1 + (n- 1)d Ejemplo 1: Hallemos el 11° término de la progresión 5, 9, 13, 17,... 1
Docente: Luis Cuesta Grado: 9º A
Area: MATEMATICAS PERIODO: IV
Tema: Talleres Fecha: _______________.
Solución: Datos: f 1= 5, n = 11, d = 4; hallemos f 11. Como: f n = f 1+ (n - 1) d, entonces f 11 = 5 + (11 - 1) 4 = 5 + 40 = 45. •
•
Ejemplo 2: Calculemos la diferencia de la progresión aritmética cuyo primer término es 21 y el último -35, siendo 15 el número de sus términos. Solución • Datos: f 1= 21, f n = -35, n = 15; hallemos d. f − f 1 Tenemos: f n = f 1 + (n - 1) d; luego, d = n n −1 • Por lo tanto: d =
−
35 − 21
=−
15 − 1
56 14
4
=−
Ejemplo 3: Hallemos el número de términos de una progresión aritmética cuyos extremos son 15 y 48 y la diferencia es 3. Solución Datos: f 1= 15, f n = 48, d = 3; hallemos n Tenemos: f n = f 1+ (n - 1) d; luego, despejando n de esta ecuación nos queda: •
•
n=
f n
f 1
−
d
+
1=
48 − 15 3
+
1 = 11 + 1 = 12
El 12° término de una progresión aritmética es -21 y el 25° término es 18. ¿Cuál es el cuarto término? Solución: Tenemos una progresión aritmética de 25 términos; es decir: f 1, f 2, f 3, ..., f 12 12 , ..., f 25 25 . Por lo tanto, usando la fórmula f n = f 1 + (n - 1) d, con n = 25 y f 25 25 = 18, obtenemos: f 25 25 = f 1 + ( 2 5 - 1 ) d ∴ 18 = f 1 + 24 d ………….… ………….… (1) Ahora bien, los doce primeros términos forman una progresión aritmética, con n = 12, f, 2 = -21. Por lo tanto: f 12 12 = f 1 + ( 1 2 - 1 ) d 21 = f 1 + 11 d ………….… ………….… (2) ∴ Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:
f = − 5 d = 3 1
Luego f 4 = - 54 + (4 – 1)(3) = - 54 + 9 = - 45
ATENCIÓN: En toda progresión aritmética, los términos comprendidos entre el primero y el último 2
Area: MATEMATICAS PERIODO: IV
Docente: Luis Cuesta Grado: 9º A
Tema: Talleres Fecha: _______________.
se denominan MEDIOS ARITMÉTICOS entre dichos elementos. Por ejemplo, en la sucesión:
3, 7,11 ,15 ,19 , 23 ,27
m edio ios
aritm tm éti
cos
los elementos 7, 11, 15, 19, 23 son cinco medios aritméticos entre 3 y 27.
Ejemplo 5: Hallemos tres medios aritméticos entre 16 y 32. Solución Supongamos que f 2, f 3 y f 4 son los tres medios aritméticos que debemos encontrar. Por lo tanto, tenemos la progresión aritmética: aritmética: 16, f 2, f 3, f 4, 32 con n=5. Aplicando la fórmula f n = f, + (n 1) d obtenemos: 32 = 16+ (5- 1 ) d ∴ 32- 16 = 4d ∴ 16 = 4d ∴ d=4 Luego: f 2 = 16 + 4 = 20 ;f 3 = 20 + 4 = 24 ;f 4 = 24 + 4 = 28 Suma de los Términos de una Progresión Aritmética EXPERIENCIA
Consideremos la sucesión: f 1, f 2, f 3,,..., f n. La suma de los n primeros términos de esta sucesión podemos podemos escribirla escribirla así: así: S n = f 1 + f 2 + f 3 +...+ f n = n ∑ f n ……………….(1) 1
Si la sucesión dada es una progresión aritmética, entonces existe una diferencia común, d, entre sus términos y la igualdad (1) podemos escribirla así: Sn = f 1 + (f ( f 1 + d) + (f 1 + 2d) +...+ (f n - 2d) + (f n - d) + f n ………..….(2) Ahora, escribiendo el lado derecho de la igualdad (2) en orden contrario, obtenemos •
S n = f n + (f ( f n - d) + (f n - 2d) +...+ (f 1 + 2d) + (f 1 + d) + f 1 …………..(3) Y si sumamos miembro a miembro las igualdades (2) y (3) nos queda: •
2 S n = (f 1 + f n ) + (f 1 + fn) + (f 1 + fn) + ... ... + (f 1 + fn) + (f 1 + fn)
n veces
∴S n = n ( f 1 + f n ) ∴S n =
n ( f 1 + f n ) 2
APRENDAMOS Teorema: SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA ARITMÉTICA La SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA es igual a la semisuma de los extremos por el número de términos. S n
=
f 1
f n
+
ATENCIÓN: Si tenemos en cuenta que f n = f 1 + (n - 1) d entonces reemplazando en la ecuación anterior, tenemos: 3
Docente: Luis Cuesta Grado: 9º A f 1 + f n ∴S n =
Area: MATEMATICAS PERIODO: IV
S
∴ n =
Tema: Talleres Fecha: _______________. + ( n −1) d •n 2 2 f 1 + ( n −1)d •n 2
Ejemplo 1. Demostremos que la suma de los n primeros números impares es n2. Solución: Los números impares constituyen una progresión aritmética de razón 2; así: 1, 3, 5, 7 (2n - 1). 1). Por lo tanto:
s
n
=
( 2n − 1) + 1 2
•n =
2n 2
•n = n
2
Ejemplo 2. Calculemos el camino recorrido por un viajero durante 15 días, sabiendo que el primer día recorrió 12 km y en los días siguientes disminuyó en 200 metros el recorrido, con respecto al día anterior. Solución: Tenemos la progresión aritmética: 12000, 11800, 11600, 11400, ... Por lo tanto: s n
=
s
∴ n =
s
∴ n =
2 f 1 + ( n −1) d 2 24000
+
•
n=
2(12000 ) + (15−) • (−1200 )
(14) • ( −200 200 ) 2
21200
15 =
•
2 24000
−
2800
2
=
=
15
15
15 = (10600 ) • (15) = 159000 m = 159 159 km
•
2
TALLER 1. Indica cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas: a) 4, 8, 12, 16, 20 b) 27, 23, 30, 16, 10 c)
1 2 3 4 , , , 2 3 4 5
d) 4, -7, 14, -21
e) 5a, 7a, 9a, 1 1 a
f) 5a, 5a - 1. 5a - 6, 5a - 9
2. Halla el quinto término de una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y cuya diferencia es 4. 3. Calcula la diferencia de la progresión aritmética cuyo primer término es 12, el último 42 y el número de términos 11. 4. Halla el número de términos de una progresión aritmética cuyo último y primer término son respectivamente 126 y 42, y la diferencia 7. 5. a)Halla 10 medios aritméticos entre 4 y 26. b) Halla 8 medios aritméticos entre
1 3 y 2 4
c)Halla 7 medios aritméticos entre 7 y -9
6. Calcula la suma de: a) 5 términos términos de la la progresión progresión 36, 30, 24, 18, 12,... 12,... 4
Area: MATEMATICAS PERIODO: IV
Docente: Luis Cuesta Grado: 9º A
b) 20 términos de la progresión 4, 4 c) 10 términos de la progresión - 4
1 2 1 2
Tema: Talleres Fecha: _______________.
, 5, 5 ,-2
3 4
1 2
, 6,...
, -1, ...
d) 9 términos términos de la la progresión progresión (2a - 4), (2a (2a - 1), (2a + 2), ... 7. Calcula la suma de los n primeros números: a) naturales
b) pares
c) impares.
8. ¿Qué valor numérico debe tener z para que las expresiones 2(z - 1); z 2 + 1; 5z + 1, formen una progresión aritmética? 9. ¿Qué valor numérico debe tener b para que las expresiones b 2 + 1 ; 4b + 1 ; 4b 2 + 4 sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética? Escribe las progresiones. 10. Halla f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(30), si f(x) = 2x + 3, con x
∈
N.
11. En una progresión aritmética de 10 términos, el 2° y el 9° suman 35, si el 4° término vale 13, ¿cuánto valdrá el 7°? 12. ¿Forman progresión aritmética las expresiones x 2 - 3x + 1; x 2 + 1,- x2 + 3x + 1; x 2 + 6x + 1? Si la respuesta es verdadera, halla la diferencia y el 6° término. 13. a) Halla tres medios medios aritméti aritméticos cos entre entre 2 y 14. b) Halla -cuatro medios aritméticos entre 1 y 21. c) Halla Halla cinco cinco medios medios arit aritmét mético icoss entre entre 21 y -3. 14. Halla la suma de todos los múltiplos de 3, de 9 a 27, incluidos ambos. 15. Halla la suma de todos los múltiplos de 6, comprendidos entre 11 y 58. 16. ¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena más que a las horas exactas? 17. Luís ahorró el primer mes 3.000 dólares. Si cada mes ahorra 100 dólares ¿cuántos meses tendrá que ahorrar para tener 60.000 dólares? 18. La suma de los 3 términos de una progresión aritmética es 36 y su producto 1680. Calcula los 3 términos. 19. La calificación de un estudiante fue de 41 puntos en el primero de 7 exámenes de álgebra y en cada examen siguiente obtuvo 8 puntos más que en el examen anterior. ¿Cuánto obtuvo en el último examen? 20. En un aserrío hay un montón de troncos con 3 1 troncos en la hilera del suelo y con un tronco menos en la hilera inmediatamente anterior. Calcula cuántos troncos hay en la hilera superior si el total de troncos es 286.
5
