SUCESIONES Y PROGRESIONES INTEGRANTES: LAVADO PÉREZ FRANK MURRUGARRA CERQUEN FRANK MURRUGARRA CERQUEN NILSON SANDOVAL PAREDES JHON
CURSO: MATEMÁTICA
GRADO: “5º”
SECCION: “I”
TRUJILLO-PERÚ 2014
SUCESIONES 1) Ejemplos de sucesiones:
2) Vocabulario Básico: Sucesión: Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Término: En el campo de la matemática, por último, un término es cada una de las partes vinculadas entre sí por el signo de la sustracción o de la adición en una expresión analítica.
Término General: Se llama término general de una sucesión al que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe a n. Hay sucesiones cuyo término generales una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n. En otras, cada término se obtiene a partir de los anteriores, se dice que están dadas en forma recurrente. Una relación de recurrencia es una expresión algebraica, que expresa el término n en función de los anteriores.
Recurrencia: Propiedad de las secuencias en que cualquier término se puede calcular conociendo los precedentes.
3) La sucesión de Fibonacci: La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
El 2 se calcula sumando (1+1)
las
Análogamente, el 3 es sólo (1+2), Y el 5 es (2+3), ¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55 La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" La regla es xn = xn-1 + xn-2 Dónde:
xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2)
4) Imágenes de la sucesión de Fibonacci:
PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1) Ejemplo de Progresiones Aritméticas: a) Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23. a= 3,
b= 23;
d= (23-3) / (3+1) = 5; 3, 8, 13, 18, 23.
b) Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7, -12. c) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5. a1= 5;
d= 10 ;
n= 15.
a15= 5+ 14 ·10= 145 S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125
2) Vocabulario Básico: Progresión Aritmética: Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Diferencia: Para la matemática, la diferencia es el resultado de la resta o sustracción (una de las operaciones básicas de la aritmética). La resta consiste en quitar una cierta cantidad (el sustraendo) de una cifra (el minuendo). La cantidad resultante es la diferencia.
3) Calcula la suma de números del 1 al 1000: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 996 + 997 + 998 + 999 + 1000 1000 + 1 = 1001 999 + 2 = 1001 1001 x 500 = 500500
4) Problemas de Progresiones Aritméticas: a) El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. a 1 = − 1;
a 15 = 27;
a n = a 1 + (n - 1) · d 27= -1 + (15-1) d;
28 = 14d;
d=2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195 b) Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º. 360= ( a1 + a4) · 4/2 a4= a1 + 3 · 25 360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2 a1 = 105/2 = 52º 30'
a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30'
a4 = 127º 30'
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 1) Ejemplos de Progresiones Geométricas: a) Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...
b) Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. a = 3;
3,
b = 48;
6, 12, 24, 48
c) Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:
d) Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...
2) Vocabulario Básico: a) Progresión Geométrica: Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
b) Razón: En una progresión geométrica el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de la progresión.
4) Problemas de Progresiones Geométricas: a) El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos. a 1 = 3;
a 8 = 384;
384 = 3 · r 8-1 ;
r 7 = 128;
r 7 = 27;
r= 2.
S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765
b) Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros. a1= 1
r= 2;
n = 20;
S= (1 · 220 - 1 - 1)/(2 - 1) = 524287 €.
MATERIAL UTILIZADO – PAGINAS WEB
http://www.descubrelaciencia.com/index.php/es/78-general/138sucesiones-y-progresiones.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Pro gresiones_geometricas_3eso/index.html
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/pg_e.html
http://www.descubrelaciencia.com/index.php/es/78-general/139-gaussel-nino-genio
http://www.descubrelaciencia.com/index.php/es/78-general/137-losorigenes-del-ajedrez