En la vi vida da di diar aria ia se ut util iliz izan an co cont ntin inua uame ment nte e co conj njun unto toss or orde dena nado doss de nú núme mero ross co como mo el de lo loss nú núme mero ross natu na tura rale les, s, el de lo loss nú núme mero ross pa pare ress u ot otro ross co conj njun unto toss nu numé méri rico coss en lo loss qu que e ca cada da té térm rmin ino o se pu pued ede e ob obte tenerr de ne dell an ante teri rior or me medi diant ante e una fó fórm rmul ula. a. Es Estas tas suc suces esio ione ness nu numé méri ricas cas ti tien enen en gr gran an im impor porta tanc ncia ia prá práct ctic ica a y porr es po eso o es tan in inte teres resan ante te el es estu tudi dio o de sus re relac lacio ione ness y sus pro propi pied edade ades. s. Por me medi dio o de dell es estu tudi dio o de la lass suc suces esio ione ness y pro progr gres esio ione ness re real aliz izar arás ás un re repas paso o de lo loss co cont nten enid idos os de Álg Álgeebra br a qu que e es estu tudi dias aste te en añ años os an ante teri rior ores es y en pa part rtic icul ular ar aq aque uell llos os qu que e ap apre rend ndis iste te co con n el CUAD UADERN ERNOS OS DE EST ESTUDI UDIO O 2, como com o las ecu ecuaci acione ones, s, las fór fórmul mulas as para parareg regular ularida idades des y fun funcio ciones nes.. Tam Tambié bién n ret retoma omarás rás alg algunas unascue cuesti stione oness rela re lati tiva vass al cá cálc lcul ulo o de in inte tere rese sess que quein inic icia iaste steen en la uni unidad dad an ante teri rior. or.Est Este e tr trab abaj ajo o te fa faci cili lita tará rá la co comp mpre rens nsió ión n de lo loss te tema mass po post ster erio iore res, s, ta tale less co como mo el uso de ec ecuac uacio ione ness pa para ra la re reso solu luci ción ón de ej ejer erci cici cios os y pro probl blem emas as..
TEMA TE MA 1: SU SUCE CESI SION ONES ES Y PR PROG OGRE RESI SION ONES ES En est stee te tem ma est stud udia iará ráss las pr prop opie ied dade dess de ci cier erto toss co conj nju unt ntoos de nú núme merros cu cuyyos el eleeme ment ntos os se rela laci cioonan na n en entr tree sí po porr alg lgun unaa reg egla la fi fijja o pa patr trón ón.. Pod odrá ráss des esccub ubri rirr ese pa patr trón ón ana nalliz izaand ndoo el co conj njun unto to de nú núme me-ros. Verás que, una vez que conozcas la regla, podrás encontrar un número cualquiera de la sucesión en func fu nció ión n de dell an ante teri rior or o de dell si sigu guie ient nte. e.
1.
Sucesiones Sucesi ones numéri numéricas cas
Obse serv rváá lo loss si sigu guie ient ntes es co conj njun unto toss de nú núme mero ross na natu tura rale les. s. a) Ob
I. 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, …
IV.. IV 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
II. 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
V.. V 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, …
III. 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
b) Re Resp spon ondé dé en tu ca carp rpet eta. a. 1. Lo Loss co conj njun unto toss de nú núme mero ross pr pres esen enta tado dos, s, ¿s ¿sig igue uen n al algú gún n co comp mpor orta tami mien ento to reg egul ular ar,, al algú gún n pa patr trón ón?? 2. A par arttir de un tér érm min ino o, ¿se pu pued ede e co con nse segu guir ir el si siggui uien entte med edia iant nte e un cá cálc lcu ulo sen enci cilllo lo?? 3. En alg lgú ún ca casso, ¿se pue ued de co con nse seggui uirr el tér érmi mino no si siggui uien entte a par arttir de lo loss dos tér érm min ino os an antter erio iorres es??
Segura Segu rame men nte, hab abrrás obs bser ervvad ado o que en el prim imer er ca casso, la dif ifer eren enci ciaa en enttre un tér érm min ino o y el an antter erio ior r es siempre la misma y su valor es 5. Estos números son múltiplos de cinco y todos los términos se pued pu eden en obt bten ener er a par arti tirr de dell pri rim mer ero o suma man ndo sie iemp mprre 5 al an antter erio iorr es de deci cirr que sig igu uen un pat atrrón
Segura Segu rame men nte, hab abrrás obs bser ervvad ado o que en el prim imer er ca casso, la dif ifer eren enci ciaa en enttre un tér érm min ino o y el an antter erio ior r es siempre la misma y su valor es 5. Estos números son múltiplos de cinco y todos los términos se pued pu eden en obt bten ener er a par arti tirr de dell pri rim mer ero o suma man ndo sie iemp mprre 5 al an antter erio iorr, es de deci cirr, que sig igu uen un pat atrrón de co com mpo port rtam amie ien nto to.. Si ob obse serv rvás ás,, ver eráás que la su suce cesi sión ón de lo loss núme merros nat atu ural ales es se co com mport rtaa de la misma manera, pero en este caso la diferencia que se suma al término anterior para obtener el sigu si guie ien nte es 1. La suce cesi sió ón de lo loss núm úmer ero os pa parres res esp pon ond de al mi missmo es esq que uem ma, cad adaa uno se ob obti tien ene e dell an de ante terrio iorr su sum man ando do 2. Ex Exac acttam amen entte lo mis ism mo ocu curr rre e co con n lo loss núme merros im impa parres que se obt btie ien nen a part pa rtiir de 1. Tam amb bié ién n en el seg egu undo ej ejem emp plo se obs bser erva va el mis ism mo com omp por orta tami mien entto: ca cada da tér érm min ino o se obti ob tien ene e su suma mand ndo o 7 al an ante teri rior or..
Se puede entonces imaginar variadas sucesiones de números en las que la diferencia entr en tree to todo doss lo loss pa parres de té térm rmin inos os co cons nsec ecut utiv ivos os es un nú núme mero ro cu cual alqu quie iera ra r di dist stin into to de ce cero ro,, quee se es qu escr crib ibee r 0.
Las sucesiones en las que un término se obtiene del anteri rioor sumando un número constante r se llaman progresiones aritméticas.
Las do Las doss pr prim imer eras as su suce cesi sion ones es qu que e ob obse serv rvas aste te so son n ej ejem empl plos os de pro progresiones gresiones aritméticas aritméticas.. La tercera sucesión no es una progr gre esión aritmética porque un término cualquier eraa no se obtiene suma su mand ndo o un núme merro al an ante terrio iorr, si sino no mu mult ltip iplilicá cán ndolo por un nú núm mer ero; o; en es estte cas aso o se tra ratta de mu mult ltiiplic pl icar ar por 2. Lass dos últ La ltim imas as su suce cessio ion nes es,, en la lass qu que e un té térm rmin ino o se obt btie ien ne su sum man ando do lo loss do doss an antter erio iorres tam ampo poco co suce cesi sion ones es de Fi Fibo bona nacc cci i en ho son so n pr prog ogrres esio ione ness ar arit itmé méti tica cas; s; se la lass co cono noce ce co con n el no nomb mbrre de su home mena naje je al gran gr an ma mattem emááti tico co it ital alia iano no de la Ed Edad ad Med ediia qu que e la lass fo form rmul uló ó por pri rime merra ve vezz. Más ad adel elan ante te la lass an anal aliizará za ráss co con n má máss de deta talllle. e.
Los términos de una sucesión se pueden expresar simbólicamente. El primer término se repre re presen senta ta com comoo a 1, el segundo a 2, el tercero a 3 y as asíí su suce cesi siva vame mente nte.. Cuando se quiere mostrar que la sucesión po pod dría continuar hasta un número no determi n a do d e t é rm i n o s s e h a c e n ec e s ar i o e x p re s ar l a s i mb ó l i c am en t e a t r a v é s de l o q ue s e denomina término general . El término general que ocupa el lugar n se es escr crib ibee a n, de modo quee un qu unaa su suce cesi sión ón se si simb mbol oliz iza: a: a 1, a 2, a 3, … a n... donde el subíndice indica el lugar que ocupa el número en la sucesión.
2. Progr Progresion esiones es aritm aritmética éticass En esta actividad te vas a ocupar de las sucesiones en las que cada término se puede obtener a partir de su sum mar un nú núm mer eroo fi fijo jo al ant nter eriior or.. Ya vi vist stee qu quee es esas as suc uceesi sion ones es pa part rtic icu ula larres rec ecib iben en el no nom mbr bree de pr proogresiones gres iones aritm aritmética éticas. s.
En to toda da pr prog ogrres esió ión n ar arit itmé méti tica ca,, la di differe renc ncia ia en entr tree un té térm rmin inoo y el an ante teri rioor se de den nom omin ina a razón de la progresión y se la simboliza con la letra r .
Por ej ejem emp plo lo,, en la pri rim mer eraa su suce cessió ión n qu que e obse serv rvas astte en la ac acttiv ivid idaad an ante terrio ior: r: 5, 10 10,, 15 15,, 20 20,, 25 25,, 30 30,, .. .... la diferencia entre un término y el anterior es 5, por lo tanto la razón de esa sucesión es 5. En to toda da su suce cesi sión ón el té térm rmin ino o an oc ocup upaa el lu luga gar r n n y su an antter erio iorr ocu cupa pa el lu luga gar r n-1 n-1,, es decir, que el término mi no an ante teri rior or a an es an – 1. En es estte ej ejem empl plo o, an – an – 1 = 5 y ta tamb mbié ién n an = an – 1 + 5.
Par araa ge gene nera rali liza zarr es esta tass ex expr pres esio ione ness a cu cual alqu quie ierr pr prog ogre resi sión ón ar arit itmé méti tica ca se es escr crib ibee a n – a n – 1 = r y ta tamb mbié ién n a n = a n – 1 + r. El té térm rmin inoo ge gene nera rall a n de un unaa pr prog ogre resi sión ón ar arit itmé méti tica ca se pu pued edee ob obte tene nerr po porr ap apli lica caci ción ón de su suce ce-siva si vass su sum mas co cono noci cien end do sól óloo el pr prim imer er té térrmi mino no a 1 y la razón r: si el primer término es a 1; el segu se gund ndoo té térm rmin inoo es a 2 = a 1 + r; el término siguiente es a 3 = a 2 + r, pero si aquí se reemplaza a 2 por a 1 + r se ob obti tien ene: e: a 3 = a 1+r +r o bien a 3 = a 1+ 2·r; a 4 = a 3 + r = a1 + 2·r + r, o sea a 4 = a 1 +3·r, …, a n = a 1 + (n-1)·r.
a) Par araa ap aplilica carr lo qu que e ap aprren endi dist ste e ac acer erca ca de la lass pr prog ogrres esio ione ness ar arit itmé méti tica cass, res esol olvé vé en tu ca carp rpet etaa la lass si sigu guie ienntes con consig signas nas:: 1. ¿Cuán ántto vale la razón en una progr gres esiión aritmétic icaa cu cuyyo ter erce cerr tér érm mino es 24 y el quinto tér érm mino es 32 32?? Calc lcu ulá el prim ime er térm rmiino y es esccribí el térm rmin ino o gen ene eral al.. 2. Copiá en tu carpeta las sucesiones que aparecen a continuación y escribí dos términos más, el térm rmiino general e indicá en cada caso cuál es la razón. i. a1 = 3, a2= 5, a3 = 7, a4 = 9, ........ an =.............. ii. b1 = , b2= 2, b3 = 3, b4 = 4, ...... bn = .. .... .... .... .... .... .. iiiii. i. c1 = 2, c2= 5, c3 = 8, c4 = 11, ....... cn =..............
Resolv olvé é los sig siguie uient ntes es pr probl oblema emas. s. b) Res
En la Ciudad de Buenos Aires, el primer piso de un edifi ficcio en torre se encuentra a 7 m del niv ive el de la calle y la distancia entre cada uno de los siguientes pisos es de 3 m. • ¿A qué altura está el segundo piso? ¿Y el tercero, el cuarto y el piso veinte?
Un ci cicl clis ista ta se so some mete te a un ri rigu guro roso so en entr tren enam amie ient nto o du dura rant nte e un unaa se sema mana na pa para ra po pode derr co comp mpet etir ir en un unaa carr ca rrer era. a. El pr prim imer er dí díaa rec ecor orrre 52 ki kiló lóme mettros y va au aume men nta tand ndo o 3 km ca cada da día de su en entr tren enam amie ient nto o. • In Indi dicá cá cu cuán ánto toss ki kiló lóme metr tros os rec ecor orri rió ó du dura rant nte e es esaa se sema mana na..
3. Su Suma ma de lo loss té térm rmin inos os de un una a pr prog ogre resi sión ón ar arit itmé méti tica ca El cá cálc lcu ulo pa para ra reso solv lveer est stee úl últi timo mo pr prob oble lema ma te ha hab brá resu sullta tad do se senc ncil illo lo.. Pero im imaagi giná ná qu quee el ci cicl clis ista ta sigu si guie iera ra au aume ment ntan ando do 3 km a su en entr tren enam amie ient nto, o, dí díaa tr tras as dí día. a. ¿C ¿Cuá uánt ntos os ki kiló lóme metr tros os ha habr bráá rec ecor orri rido do al ca cabo bo de 25 días, 32 días, es decir, en general, al cabo de n días? Resolver esta nueva situación no resulta tan senc se ncil illo lo.. Med edia iant ntee la si sigu guie ient ntee ac acti tivi vida dad d ve verá ráss un unaa fó fórm rmul ulaa qu quee pe perm rmit itee ob obte tene nerr de un unaa ma mane nera ra si simp mple le la sumaa nec sum necesa esaria ria.. a) Le Leé é el si sigu guie ient nte e te text xto o.
Recordaremos una anécdota del gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss que vivió entre los siglos XVIII y XIX. Cuando Gauss tenía diez años de edad, su maestro solicitó a la clase que encontrara la suma de todos los números comprendidos entre 1 y 100. 10 0. El ma maes estr tro, o, pe pens nsaand ndoo qu quee co con n el ello lo lo loss alu lum mno noss es esta tarí ríaan oc ocuupad pa dos durante algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss le entr en treegó ens nseg egui uid da su pi pizzar arra ra co con n el resu sult ltaado de la su sum ma: (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +…+ (50 + 51) = 101 · 50 = 5 050. El maestro tuvo la certeza de que el niño era una promesa para las matemáticas.
b) Di Disc scut utíí co con n tu tuss co comp mpañ añer eros os y en encu cuen entr tren en un unaa ex expl plic icac ació ión n al pr proc oced edim imie ient nto o qu que e us usó ó Ga Gaus usss pa para ra en enco conntrar la suma de los 100 primeros términos de una progresión aritmética de razón 1. Cuando la hayan enco en cont ntra rado do,, co comé mént nten enla la co con n el do doce cent nte. e.
c) Ahora intentá aplicar el mismo procedimiento para calcular la suma de los números naturales compren pr end did idos os en enttre 10 101 1 y 20 200. 0.
Observ Obse rváá que par araa su sum mar 10 100 0 núme merros hay qu que e rep epet etir ir la su sum ma de es esto toss pa parres 50 ve vece cess, es dec ecir ir,, qu que e hay que multiplicar es esaa suma por el número que repres ese enta la mitad de la cantidad de los térm rmiinos que qu e se qu quie ierren su suma marr.
d) Si en lugar de calcular la suma de los números naturales, tuvieras que calcular la suma de los números pares desde 8 y hasta 50. 1. ¿Cuántos tér érm minos tendría esa progr gre esión aritmética? ¿Cuál es la razón? ¿Qué cálculo harías para enco en cont ntra rarr la su suma ma?? ¿P ¿Por or qu qué? é? arti tina na y Jo José sé Lu Luis is,, do doss al alum umno noss de ot otra ra es escu cuel ela, a, res esol olvi vier eron on es este te mi mism smo o ej ejer erci cici cio o de ma mane nera rass di dife ferren ente tess. 2. Mar Mart Ma rtin inaa es escr crib ibió ió en su ca carp rpet eta: a:
En ca camb mbio io José Luis hi hizzo lo sig igui uieent nte: e:
•Com •C ompa pará rá tu tuss res espu pues esta tass co con n la lass de el ello loss y es escr crib ibíí br brev evem emen ente te tu tuss co conc nclu lusi sion ones es..
Hab abrrás obs bser erva vad do en el proce ced dim imie ien nto de dell peq equ ueñ eño o Ga Gau uss par araa ca calc lcu ula larr la sum uma, a, que él se dio cue uen nta enseguida de que todas las sumas de los pares de térm rmiinos equidistantes de los extremos dan el mism mi smo o res esul ulta tado do.. Tan anto to Mar arti tina na co como mo Jo José sé Lu Luis is res esol olvi vier eron on co corr rrec ecta tame ment nte e su pr prob oble lema ma au aunq nque ue de modo mo do má máss art artes esan anal al..
faccilitar el cálculo de la suma de cualquier e) A continuación verás cómo encontrar una fórmula para fa núme nú merro de té térm rmin inos os de un unaa pr prog ogrres esió ión n ar arit itmé méti tica ca.. 1. Leé el si sigguie ient nte e tex exto to y res eso olv lvé é la lass co con nsig ign nas en tu ca carrpet eta. a.
El pr proc oceedi dimi mieent ntoo pa parra obt bteene nerr la sum umaa de los n pr prim imer eros os té térm rmin inos os de un unaa pr prog ogre resi sión ón ar arit itmé mé-tica ti ca se pu pued edee ge gene nera rali liza zarr en fo form rmaa si simb mból ólic icaa es escr crib ibie iend ndoo la su suma ma y vo volv lvie iend ndoo a es escr crib ibir irla la de deba bajo jo con co n lo loss té térm rmin inos os en el or ord den co cont ntra rari rio: o: Sn = a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n-2 + a n-1 + a n Sn = a n + a n-1 + a n-2 +…+ a 3 + a 2 + a 1
Si se su suma man n or orde dena nada dame ment ntee am amba bass ex expr pres esio ione ness se ob obti tien enee el do dobl blee de la su suma ma.. Por ot otra ra pa part rtee ya viste que la suma del primero y del último término de una sucesión es igual a la suma del seg egu und ndoo y el pe penú núlt ltim imoo y así suc uceesi siva vame ment nte. e. Ent nton once ces, s, su sum mand ndoo lo loss pa parres en enco colu lumn mnaados se ob obti tieene el dob oble le de la su sum ma to tota tal: l: 2 · Sn = (a 1 + a n) + ( a2 + a n-1) + ( a3 + a n-2) + … + (an-2 + a 3) + ( an-1 + a 2) + ( an + a 1). 2 · Sn = n · (a 1 + a n). Y, des espe peja jand ndo, o, la exp xprres esió ión n de la su sum ma, res esu ult lta: a: Sn = 21 · n · (a 1 + a n).
La suma de n té térm rmin inos os de un una a pr prog ogrres esió ión n ari ritm tmét étiica es el pr prod oduc ucto to de dell nú núme merro qu quee in indi dicca la mi mita tad d de lo loss té térm rmin inos os con onssid ider erad ados os po porr la su suma ma de dell pr prim imer eroo y de dell úl últi timo mo té térm rmin ino. o. Si Simb mból ólic icam amen ente te:: Sn = 1 n · (a1 + an). 2
2. Co Copi piáá en tu ca carp rpet etaa el si sigu guie ient nte e en enun unci ciad ado o y co comp mple leta talo lo..
Reso solv lvé é en tu ca carp rpet eta. a. f ) Re
Un tejado tiene las tejas colocadas como en la fi figgura, en la primera fi filla hay 10 tej ejaas, en la segunda 11, en la tercera 12 y en total hay 10 fi fillas.
filla, ¿están en progr gre esión aritmética? ¿Cuál es la razón? ¿A qué núme1. Los números de tejas de cada fi ro eq equiv uival ale e a1? Ca Calc lcul uláá a10 apl aplica icando ndo la fór fórmu mula la cor corre respo spondi ndient ente. e. 2. Ca Calc lcul uláá el nú núme merro to tota tall de te teja jass ap aplilica cand ndo o la fó fórm rmul ulaa qu que e ap aprren endi dist ste. e.
4. Suc Sucesi esión ón de Fib Fibona onacci cci Como viste en los ejempl ploos IV y V de la primera actividad, en algunas sucesiones numéricas un t é r mi n o s e o b t i e n e s u ma n do l o s d o s a n t e r i o res . A e s t as s uc es i o n e s s e l as c o n o c e c o n el n o m bre d e sucesiones de Fibonacci . a) Leé el si sigu guie ien nte tex extto par araa co cono noce cerr có cóm mo se pr pres esen enta tan n es estte tip ipo o de su suce cessio ione ness.
El interés por el estudio de las sucesiones de Fibonacci, má máss all lláá de su fo form rmul ulaaci ción ón ma mate temá máti tica ca,, est stá á en qu quee se pr pres eseent ntan an en la na natu tura rale leza za en fo form rmas as cu curi rios osaas. Por ejemplo, si observás una piña por el lado donde esta tab ba sujeta a la rama, verás dos conjuntos de espiras o esca es cam mas as,, un unaas se ubi bica can n si sigu guie iend ndoo el mo movi vim mie ient ntoo de la lass agu gujjas de dell relo lojj y ot otra rass en sen enti tido do co cont ntrrar ario io.. Si co cont ntáás la lass espiras, su número, en una dirección y en la otra, será do s t é r mi n o s c o n s e c ut i v o s de u n a s u c es i ó n de Fibonacci, por ejemplo, en algunas especies de pinos son 5 y 8 y en otras 8 y 13. Lo mismo sucede con las espiras de la fl floor de girasol, de la margarita y de otras plantas. Esta sucesión también apa parrece en la fo forrmación de la concha de algunos moluscos como el caracol y en el estudio de las leyes de la herencia formuladas por Gregor Mendel, un monje y naturalist li staa del sig iglo lo xi xix. x.
En las sucesiones de Fibonacci cada término es igual a la suma de los dos anteri rioores. En sí símb mbol olos os:: an = an-1 + an-2
Por ejemplo, si los dos primeros términos de una sucesión son los números 1 y 1, los té térrminos de la sucesión de Fibonacci serán: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...
Cop piá la lass sig igu uie ien nte tess ex exp pres esio ion nes y es escr crib ibíí en sí sím mbo bolo loss la lass fó fórm rmu ula lass de dos tér érmi min nos más de la su suce cesi sió ón b) Co de Fib Fibona onacci cci.. 1. El pr prim imer er té térm rmin ino o es a1. 2. El se segu gun ndo té térm rmin ino o es a2. 3. El te terrce cerro es a3 = a1 + a2. 4. El cu cuar arto to,, a4 = a2 + a3, es decir, a4 = a2 + a1 + a2, o sea, a4 = a1 + 2 a2. 5. a5 = a3 + a4, es dec eciir, a5 = a1 + a2 + a1 + 2 a2, o bien, a5 = 2 a1 + 3 a2. 6. a6 = a4 + a5, a6 = a1 + 2 a2 + 2 a1 + 3 a2, o bien, a6 = 3 a1 + 5 a2.
c) Escribí los primeros 10 términos de una sucesión de Fibonacci en la que los dos primeros términos son a1 = 3 y a2 = 7. d) La suc uces esió ión n de Fib ibo onac acci ci tie ien ne mu much chas as propi pied edad ades es cu currio iosa sass que te van a sorp rprren end der er.. De Desscu cubr bríí ca cad da una de ellas a partir de la sucesión que comienza con los términos 1, 1, 2, 3, … Cont ntin inuá uá la su suce cesi sión ón ha hast staa ob obte tene nerr lo loss di diez ez pr prim imer eros os té térm rmin inos os.. 1. Co 2. Su Sumá má lo loss di diez ez pr prim imer eros os té térm rmin inos os.. 3. Señalá el séptimo término y analizá la relación que se da entre la suma y el térm rmiino que señalaste. 4. Co Cons nstr truí uí ot otra rass su suce cesi sion ones es de Fi Fibo bona nacc ccii di dist stin inta tass y rea ealilizá zá lo mi mism smo o qu que e co con n la su suce cesi sión ón an ante teri rior or..
En la co cons nsig igna na c ha habr bráás ob obte teni nid do co com mo co conc nclu lusi sióón la pr priime mera ra pr prop opie ied dad qu quee se ver erif ific icaa en todas las sucesiones de Fibonacci y que se enuncia así: la suma de los diez primeros términos es once veces el séptimo término. Tal vez la propi pieedad más curiosa de esta sucesión es que a medida qu quee los términos crecen, el cociente entr tree dos términos consecutivos de la sucesión se aproxima al nú núm mero de oro que estu es tudi dias aste te en la un unid idad ad 12 del CUA UADE DERN RNO O DE ES ESTU TUDI DIO O 2.
A medi medida da que se cons conside idera ra un núme número ro n ma mayo yorr, en to toda da su suce cessió ión n de Fi Fibo bona nacc ccii el co coci cien ente te se ap aprroxi xima ma cada vez más a 1 + √ 5 qu quee es el nú núme merro ir irrrac acio iona nall φ cu cuyo yo va valo lorr ap apro roxi xima mado do es an = 1,61803... 2 an - 1
e) Par araa co comp mprrob obar ar la se segu gund ndaa pr prop opie ieda dad d en enun unci ciad ada, a, ca calc lcul uláá la lass si sigu guie ient ntes es ra razo zone ness y pl plan ante teáá al algu guna nass má más: s: 1; 3
10 ; 7
17 ; 10
27 ; 17 17
44 ; 27
71 ; 44
115 71
Es decir que si construimos otra sucesión de Fibonacci y, por ejemplo, tomamos dos números cualesquiera como 2 y 6, los siguiente tess término noss serán 8, 14, 22, 36, etc tcéétera. Si obse ob serv rvaamo moss la ra razó zón n ent ntrre ca cada da té térm rmin inoo y el ant nteeri rior or ver erem emos os qu quee co comi mieenz nzaa en 3, si sigu guee en 4 y v a o s c i l a n do ap rox i má n do s e c a da ve z má s a u n va l o r q ue en s i e t e u o c h o p a s o s y a n o 3 se di dist stin ingu guee de φ=1,618.
5. Progr Progresion esiones es geom geométric étricas as a) Ret eto omá el ej ejem empl plo o II IIII de la lass suce cesi sio ones de la prim imer eraa ac acttiv ivid idaad. 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
1. ¿Cuá uáll es la reg egu ula larrid idad ad que se pu pued ede e ad advver erttir en es esta ta suc uces esió ión n? 2. ¿Hay al alggún mo mod do de obt bten ener er un té térm rmin ino o a par arttir del ant nter erio iorr? b) Ob Obse serv rváá la lass si sigu guie ient ntes es su suce cesi sion ones es en la lass qu que e ca cada da té térm rmin ino o, ex exce cept pto o el pr prim imer ero o, se ob obti tien ene e mu mult ltip iplilica canndo el anterior por un número fi fijjo.
1, 4, 16, 64, 256, ….
3 , 3,15, 75, 375, … 5
5, -5, 5, -5, 5, …
1. Co Copi pial alas as en tu ca carp rpet eta. a. fijjo y, en cada caso, qué operación se aplica a un térm rmiino para obtener el 2. Indicá cuál es ese número fi siguiente.
progres resiones iones geomé geométrica tricass. A este tipo de sucesiones se las denomina prog
Una sucesión numérica es un una a pr prog ogre resi sión ón ge geom omét étric rica, a,si si ca cada da té térm rmin inoo an , exc except eptoo el prim primer ero, o, es igu igual al al an ante terio rior r an – 1 mu mult ltip iplilica cado do po porr un nú núme mero ro co cons nsta tant ntee r (r 0) llamado razón de la progr progresión esión. ,
En sí símb mbol olos os:: a n : a n - 1 = r y ta tamb mbié ién n a n=a n - 1 . r El té térm rmin inoo gen eneera rall de un unaa pr prog ogrres esió ión n ge geom oméétr tric icaa se pu pueede ob obte tene nerr co cono noci cien end do só sólo lo el pr priimerr té me térm rmin inoo a 1 y la razón r: a 1 a 2 = a 1 . r a 3 = a 2 . r a 4 = a 3 . r ………………… a n-1 = a n-2 . r a n = a n-1 . r ___________ a n = a 1 . rn-1 Al multiplicar todas las igualdades, se simplifican los factores que figuran en ambos miembros. En el pr priimer miembro sólo queda a n y en el segundo queda a 1 mul multip tiplic licad adoo por n - 1 fact fa ctor ores es ig igua uale less a r.
c) Es Escr crib ibíí lo loss tr tres es pr prim imer eros os té térm rmin inos os de la lass si sigu guie ient ntes es pr prog ogre resi sion ones es ge geom omét étri rica cass y ca calc lcul uláá el se sext xto o té térm rmin ino o. 1. a4 = 3 , r = 5 4 2. a1 = 7 , r = -3 9 3. a3 = 2 , r = 1 4 Leé é el si sigu guie ient nte e rel elat ato o. d) Le
Cuentan que un sabio indio inventó el ajedrez y se lo mostró al rey Shirham que quedó tan entusiasmado con el juego, que le ofre of reci cióó reg egal alaarl rlee lo qu quee pi pidi dier eraa. El in inve vent ntor or,, co com mo mu mues estr traa de su hu humi mild ldaad, le pi pid dió lo si sigu guie iennte: un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la s eg u n da , c u at ro p o r l a t erc e r a, o c h o p o r l a c u ar t a y a s í s uc e s i v amen ente te,, du dupl plic icaand ndoo en ca cada da ca cassil illa la la ca cant ntid idaad de la an ante teri rior or ha hast sta a l l eg a r a l a ú l t i m a. El rey se extrañó de lo poco con que se conformaba el inventor, perro or pe orde denó nó qu quee le di dier eran an lo qu quee pe pedí día. a. Só Sólo lo cu cuan ando do su suss co cont ntab able less ec echa haro ron n cu cuen enta tass vi vier eron on,, asombrados, que no había trigo en el granero real, ni siquiera en todo el reino para juntar esaa ca es canti ntida dad. d.
ensá sá có cómo mo te ten ndrí ríaas qu que e cal alcu cula larr lo loss gr gran ano os de tri riggo co corr rres espo pon ndie ient ntes es a la ca casi sillllaa 64 64.. 1. Pen
Aunque Aunq ue res esul ulte te cu curi rios oso o, ha hayy qu quie iene ness hi hici cier eron on el cá cálc lcul ulo o ob obte teni nien endo do co como mo res esul ulta tado do el nú núme merro 18 446 744 073 709 551 615 . Se trata de un número muy gr graande, tiene veinte cifras y el problema que im imp plilica ca le leer erlo lo es una ta tarrea tan dif ifíc ícilil que se vu vuel elvve ca cassi im imp pos osib iblle.
e) Co Como mo ha habr brás ás ob obse serv rvad ado o, la lass pr prog ogrres esio ione ness ge geom omét étri rica cass de ra razó zón n ma mayyor qu que e 1 cr crec ecen en a gr gran an ve velo loci cida dad. d. Pensá, por ejemplo, en este problem emaa de los gr graanos de trigo; es una situación del tipo del problema de la hoja de papel que se dobla reiter eraadamente que se presentó como desafío en la unidad 3 del CUADERNO DE ES ESTU TUDI DIO O 2. Para seguir pensando en estos casos, respondé en tu carpeta las siguientes preguntas. 1. ¿Cuántos tatarabuelos tiene una persona? 2. ¿Cuántos antepasados tiene una persona contando hasta sus tatarabuelos? 3. Cuando estaba resolviendo este problema, Tomás exclamó: “Entonces, ¡antes había más gente que ahora!”. ¿En qué falla el razonamiento de Tomás?
6. Suma de los términos de una progresión geométrica Tal como sucedió con las progresiones aritméticas, se presentarán muchas situaciones en las que resultará necesario sumar los términos de una progresión geométrica. Esta actividad te permitirá avanzar hacia la obtención de una fórmula para cualquier caso. a) Resolvé la siguiente situación.
La crecida de un río destruyó el puente de acceso a una pequeña localidad por lo que se pidió la colaboración de voluntarios para organizar grupos de ayuda. El primer día concurrieron 4 amigos, el segundo día cada uno llevó a otros 2, al día siguiente cada uno de ellos llevó lle vó a otros 2 y así siguieron durante varios días.
1. ¿Cuántos voluntarios trabajaron en el quinto día? 2. ¿Cuántas jornadas desempeñó el total de los voluntarios a lo largo de 7 días? 3. ¿Qué cálculo debiste realizar para responder a la pregunta 2? Intentá hallar una fórmula que te permita resolver el problema con los datos indicados.
Para expresar la suma de una progresión geométrica en cualquier caso, seguí con atención este procedimiento: Si querés calcular los n términos de una progresión geométrica, podes escribir simbólicamente Sn= a 1 + a 2 + a 3 +….+ a n-2 + a n-1 + a n Si multiplicás los dos miembros de la igualdad por r resulta, Sn . r = a 1 r + a 2 r + a 3 r +….+ a n-2 r + a n-1 r + a n r pero a 1 r = a 2 , a 2 r = a 3, … o sea Sn . r = a 2 + a 3 +…+ a n-2 + a n-1+ a n + a n r y restando la suma Sn, Sn = a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n-2 + a n-1+ a n queda: Sn . r - S n= a n r - a 1 porque los demás sumandos se simplifican; entonces se puede escribir Sn.(r - 1) = a n r - a 1 o bien Sn = (a nr - a 1) r -1
Esta expresión se lee: “La suma de n términos de una progresión geométrica es el cociente de la diferencia entre el último término multiplicado por la razón y el primer pr imer término, dividido por la razón disminuida en uno”.
b) Ahora podés verificar los cálculos que realizaste para resolver el problema anterior aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica. c) Si hoy recibís una moneda; mañana, dos: pasado, cuatro y así sucesivamente. ¿Cuántas monedas tendrás al cabo de un mes?
El concepto de sucesiones numéricas es muy amplio. Cada una de ellas queda caracterizada por una fórmula que indica cómo se construyen los sucesivos términos. La complejidad de esa construcción depende de las operaciones involucradas. Hasta aquí trabajaste con diferentes tipos de sucesiones y viste que algunas reciben el nombre de progresiones, son las sucesiones en las que cada término se obtiene del anterior por reiteración de una suma o de una multiplicación. Por otra parte, pudiste observar que tanto en las progresiones aritméticas como en las sucesiones de Fibonacci, que no están incluidas en las progresiones, sólo interviene la suma, en cambio en las progresiones geométricas se aplican la multiplicación y la potenciación. El estudio de las propiedades de las progresiones tiene muchos años de historia, entre otras razones, porque algunas de esas propiedades se aplicaron a la Aritmética comercial. Resulta un importante desafío distinguir el ritmo de crecimiento de las progresiones y calcular, por ejemplo, en cuánto tiempo se duplicará una cantidad de dinero puesto a un interés determinado.
TEMA 2: INTERÉS GENERADO POR UN CAPITAL En la unidad 1 de este Cuaderno viste algunas nociones acerca de interés simple y compuesto. En este tema vas a profundizar esos conocimientos vinculándolos con la aplicación de lo que aprendiste sobre sucesiones y progresiones.
7. ¿Simple o compuesto? Cuando calculamos el interés de un capital, lo que hacemos es analizar qué va sucediendo con ese capital a lo largo del tiempo. El cálculo del interés que se utiliza en economía se basa en la aplicación del cálculo de sucesiones. a) Leé los dos problemas siguientes siguientes y conversá con tus compañeros para determinar cuál es la diferencia entre ambos.
1. Una institución bancaria ofrece un interés anual del 5%, eso significa que por cada 100 pesos que se depositen, al cabo de un año pagará 5 pesos. Si se depositan $1000 durante 5 años en un banco que da un interés del 5% anual y cada año se recogen los intereses producidos, al cabo de los cinco años, ¿cuánto podrá retirarse en concepto de interés? ¿Cuánto dinero habrá en el banco? 2. Si se depositan $1000 durante 5 años en un banco que da un interés del 5% anual y recién al cabo de los 5 años se va a retirar el dinero, ¿en cuánto se han convertido los $1000? b) Escribí en tu carpeta un breve comentario que explique la diferencia entre recoger los intereses cada año y recogerlos todos juntos al final de varios años.
Para calcular en cuánto dinero se convierte un capital al cabo de un año al 10% hay que pensar: CAPITAL Intereses TOTAL $100 producen $10 y se convierten en $110 $C producen C 10 y se convierten en $1,1 C 100 De modo que para calcular en cuánto se convierte un capital al cabo de 1 año al 10%, se multiplica el capital por 1,1. En el problema 2, los intereses no se retiran por lo que al cabo de un año pasan a incrementar el capital y al siguiente año también producen intereses como se ve en esta tabla: Capita Cap itall al com comien ienzo zo del año 1º año 2º año 3º año 4º año 5º año
1000 1100 1210 1331 1464,10
Inter Int erese eses s
Capita Cap itall al fin final al del año
100 110 121 133,10 146,41
1100= 1 000.(1,1) 1210= 1 000.(1,1)2 1331= 1 000.(1,1)3 1464,10= 1 000.(1,1)4 1610,51= 1 000.(1,1)5
c) Si en lugar de depositar 1 000 durante 5 años se depositan durante 8 años, ¿en cuánto se convertirían?
Un capital C durante un año al i% anual produce unos intereses de C.i y por lo tanto se 100 convierte en C + C.i que también se puede escribir: C . (1+ i ). 100 100
Si los intereses pasan cada año a formar parte del capital, al cabo de t años el capital se habrá transformado en C . (1 + i )t. 100 El interés compuesto consiste en sumar periódicamente al capital los intereses. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización y el período usado para capitalizar los intereses se llama período de capitalización.
d) Resolvé en tu carpeta: 1. ¿Cuál será la suma que se obtenga al final de 6 años por una cantidad de $10 000 a un interés compuesto anual del 8%? 2. Calculá el dinero que se recibirá en concepto de intereses y el valor acumulado de un capital de $50 000 depositado al 16% mensual durante 2 años.
Conversá con tu docente para ver si es conveniente que resuelvas otros problemas vinculados con interés simple o compuesto.
Para finalizar En esta unidad conociste sucesiones ordenadas de números que se pueden obtener aplicando al primer término las mismas operaciones, reiteradas veces. Según las transformaciones que se apliquen en cada caso, distinguiste casos particulares de sucesiones: las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. En ambos casos encontraste las fórmulas que permiten calcular la suma de los términos conociendo el primero, la razón y el número de términos. Por la frecuencia con que aparecen en la naturaleza, también aprendiste a construir sucesiones de Fibonacci y viste algunas de sus propiedades. A través de ese caso particular te iniciaste en el estudio de las tendencias de las sucesiones y comprobaste que a medida que crecen los términos de las sucesiones de Fibonacci, el cociente entre dos términos contiguos se aproxima al número de oro. Más adelante aplicaste lo que aprendiste de las sucesiones a la comprensión de la diferencia entre colocar un capital a interés simple o compuesto. Esta aplicación es de tal importancia que es conveniente que la tengas siempre presente ya que, al momento de depositar un capital, la ganancia que produzca variará según el tipo de interés que se le aplique y, quizá, este conocimiento te permita tomar mejores decisiones en el momento de calcular beneficios.
DESAFÍOS MATEMÁTICOS
1. Construcción geométrica de la sucesión de Fibonacci Trabajá en una hoja de papel cuadriculado realizando realizando los siguientes pasos: En el centro de la hoja dibujá un cuadrado de 1 cm de lado, llamalo A. Dibujá otro cuadrado A’ de modo que con el anterior formen un rectángulo de 1 cm por 2 cm. Dibujá otro cuadrado 2 cm de lado que tenga un lado común con el rectángulo. Llamalo B. Dibujá otro cuadrado C, de lado consecutivo al lado mayor del rectángulo que forman los otros tres. Seguí dibujando cuadrados consecutivos consecutivos D, E, etcétera, de lado igual al lado mayor del rectángulo que forman los anteriores. Los lados menores de los rectángulos que se van formando constituyen la sucesión de Fibonacci. El desafío consiste en que midas tu hoja y digas hasta qué término de la serie podés dibujar. Medios proporcionales
a) Entre 1 y 16 escribí tres números p, q y r de modo que 1, p, q, r, 16 estén en progresión geométrica. geométrica. b) Hacé lo mismo con 3, m, n, p, 48. c) Hacé lo mismo con 32, m, n, p, 2. Esta operación recibe el nombre de interpolación de medios proporcionales. Te desafiamos a que expliques por qué se llama así.
2. El autor de novelas Un escritor publica una novela cada 2 años. Cuando publica su séptima novela, la suma de los años en los cuales fueron publicadas es 13 986. ¿En qué año publicó su primera novela?
3. El charco de pintura Juan andaba en su bicicleta por un camino y pasó sobre una mancha de pintura fresca de unos 10 cm de ancho. Después de continuar un tramo en línea recta se dio vuelta y miró hacia atrás. ¿Cómo son las marcas que vio en el pavimento?
